专题09线段.射线.直线知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题09线段.射线.直线知题通关讲义 知识点 01 直线、射线、线段定义 1. 基础定义 1）线段：直线上两点及两点之间的部分，有两个端点，长度可测量。 2）射线：将线段向一个方向无限延伸得到的图形，仅有1个端点，不可度量长度。 3）直线：将线段向两个相反方向无限延伸得到的图形，无端点，不可度量长度。 2. 三线完整对比表 3. 表示方法核心易错规则 线段：两个字母无顺序，线段AB= 线段BA； 射线：端点字母必须写在第一位，射线AB≠射线BA（端点不同，是两条完全不同的射线）； 直线：两个字母无顺序，直线AB= 直线BA； 小写字母表示时，直接写线段a、射线l、直线m。 知识点 02 直线两大基本事实（公理，考试必考） 基本事实 1：两点确定一条直线 文字表述：经过两点，有且只有一条直线。 关键词：有且只有—— 存在且唯一。 生活实例：钉木条至少钉 2 颗钉子、站队两点对齐、建筑放线。 几何语言：过点A、B有且仅有一条直线AB。 基本事实 2：两点之间，线段最短 文字表述：两点之间所有连线中，线段的长度最短。 衍生定义：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 ⚠️易错区分：距离是长度（数字），线段是图形，不能说 “两点之间的线段叫距离”。 生活实例：走路抄近道、修路尽量直。 知识点 03 点与直线的位置关系 平面内一个点和一条直线只有两种位置： 1.点在直线上（直线经过点） 几何语言：点A在直线l上 / 直线l经过点A 2.点在直线外（直线不经过点） 几何语言：点B在直线l外 / 直线l不经过点B 知识点 04 线段相关核心知识点 1. 线段的画法（尺规作图） （1）画一条射线AB； （2）圆规量取已知线段MN的长度； （3）圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； （4）线段AC即为所求。 2. 线段中点 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 几何等量关系： 若点M是线段AB中点， 则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB。 3. 线段的和与差 在线段一条延长线上取点，可构造线段和、差： 和：点C在线段AB延长线上，AB=AC+BC 差：点C在线段AB之间，AC=AB-BC 4. 线段延长线规范说法 延长线段AB：从A向B方向延伸； 反向延长线段AB：从B向A方向延伸； 射线只能反向延长，直线无需延长。 知识点 05：线段长短的比较 度量法：用尺子度量出线段的长度，再进行比较 叠合法：一端端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧。 知识点 06 计数类题型规律（数线段、射线、直线） 1. 直线上有n个点，数线段条数 公式：线段总条数 = 例：直线上 4 个点，线段数 ==6条。 2. 直线上 1 个点，射线数量：2 条（向左右各 1 条） 直线上n个点，射线总数：2n条。 3. 过点画直线 1）过 1 个点：可画无数条直线； 2）过 2 个点：只能画1 条直线； 3）平面内三点，分两种情况： ①三点共线：仅 1 条直线； ②三点不共线：可画 3 条直线。 1. 混淆线段、射线、直线的延伸属性 提醒：线段：2个端点，不能延伸；射线：1个端点，只向一端无限延伸；直线：没有端点，向两端无限延伸。 2. 误以为射线可以向两端无限延伸 提醒：射线只能从端点出发，朝没有端点的那一侧延伸；端点这一侧不能延伸。 3. 端点相同、方向不同，仍当成同一条射线 提醒：是同一条射线必须同时满足两个条件：①端点完全相同 ②延伸方向完全相同，缺一不可。 4. 不遵守字母书写顺序，表示射线时端点字母后置 提醒：直线：两个大写字母无顺序；线段：两个大写字母无顺序；射线：端点字母必须写在最前面。 5. 认为经过两点可以画出多条直线 提醒：直线公理：两点确定一条直线，经过两个点，有且只有一条直线。 6. 认为经过一点只能画出一条直线 提醒：经过同一个定点，可以画出无数条直线。 7. 把两点之间的线段等同于两点之间的距离 提醒：线段是图形；距离是这条线段的长度（是一个数），图形和长度不能等同。 8. 说成“两点之间，直线最短” 提醒：正确：两点之间，线段最短；直线没有长度，不能说“最短”。 9. 数射线上、直线上的射线时漏数或多数 提醒：直线上每一个点，分出两条方向相反的射线；射线上的端点，只对应1条射线，按点依次计数。 10. 对点与直线的位置关系判断不全 提醒：点和直线只有两种位置：点在直线上、点在直线外，不存在第三种。 11. 认为延长得到的图形依旧是线段 提醒：线段只在两个端点之间；向一端延长得到射线，向两端延长得到直线，不再是线段。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型二 直线相交的交点个数问题 ★★ 题型三 线段的应用 ★★ 题型四 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型五 画出直线、射线、线段 ★ 题型六 点与线的位置关系 ★ 题型七 两点确定一条直线 ★ 题型八 线段的和与差 ★★ 题型九 线段中点的有关计算 ★★ 题型十 线段 n 等分点的有关计算 ★★ 题型十一 线段之间的数量关系 ★★ 题型十二 与线段有关的动点问题 ★★★ 题型十三 两点之间线段最短 ★ 题型十四 两点间的距离 ★ 题型十五 最短路径问题 ★★★ 题型十六 作线段 ★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 直线、线段、射线的数量问题 1．如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 【答案】6 【详解】解：一个点有2条射线， 所以图中共有射线条． 2．有6个点，每两个点之间连一条线段，6个点最多可以连成___________条不同的线段． 【答案】 【分析】要得到最多线段，任意三个点不共线，按顺序统计不重复的线段即可求出总数． 【详解】解：要连成最多不同线段，需要任意三个点不共线，任意两点可连一条不同线段，按顺序统计不重复线段：第一个点可和其余个点连条线段，第二个点已和第一个点连线，可再连条不重复的新线段，第三个点已和前两个点连线，可再连条不重复的新线段，第四个点可再连条不重复的新线段，第五个点可再连条不重复的新线段，第六个点已和所有点完成连线，没有新线段，总线段数为 ． 3．平面上有四个点，经过其中的两点画直线最少可画a条直线，最多可画b 条直线，那么的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】当四点在一条直线上时，可画1条，当任意三点不在同一条直线上时，可画出6条直线，据此得出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：如图所示： 平面上有四个点最少画1条直线，最多画6条直线， ∴，， ∴． 题型二 直线相交的交点个数问题 4．在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是______ 【答案】 0或1或2或3个 【分析】本题主要考查了相交线和平行线．正确画出图形，即可得到正确结果． 分类讨论画出图形，①当三条直线平行时，没有交点；②三条直线交于一点时，有一个交点；③两条平行线与一条直线相交时，有两个交点；④三条直线两两相交时有三个交点，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可知：同一平面内的三条直线，其交点个数为：0个；1个；2个；3个． 故答案是：0个或1个或2个或3个． 5．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则_________． 【答案】37 【分析】本题考查了直线的交点问题，代数式求值，掌握直线相交于一点时交点最少为1个，任意n条直线两两相交时交点最多为个是关键． 由题意可得9条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出m，n的值，从而得出答案． 【详解】解：对于9条直线，任两条都相交，最多交点数m为无三线共点时的交点数，即； 最少交点数n为所有直线交于一点时，即， 因此，， 故答案为：37． 6．平面上的条直线恰有2011个交点，则的最小值为________． 【答案】64 【分析】本题考查了直线的交点问题，熟练掌握 （，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点是解题的关键．由题意可得，再代入适当的值，计算即可得出结果． 【详解】解：∵（，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点， 由题意可得， 当时，最大交点数为， 当时，最大交点数为， ∴平面上的条直线恰有2011个交点时，的最小值为64， 故答案为：64． 题型三 线段的应用 7．由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（    ） A．6种 B．7种 C．21种 D．42种 【答案】C 【分析】从汕头要经过6个地方，所以要制作6种车票；从潮汕要经过5个地方，所以制作5种车票；以此类推，则应分别制作4、3、2、1种车票，即可得出答案． 【详解】共制作的车票数＝6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（种）． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段、射线、直线等知识点，解此题的关键是能得出规律，学会用数学来解决实际问题． 8．如图（一），为一条拉直的细线，两点在上，且，．若先固定点，将折向，使得重叠在上，如图（二），再从图（二）的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为________． 【答案】 【分析】本题考查了线段长短的比较，理解题意，找出各线段的长度是解题的关键． 根据题意可以设出线段的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决． 【详解】设的长度为， ∵， ∴，，，， ∴， ∵再从图（二）的 点及与 点重叠处一起剪开，使得细线分成三段， ∴剪开后这三段的长度分别是： 的长度，即； 的长度的2倍，即； 图（二）中的长度，即， ∴此三段细线由小到大的长度比为：． 故答案为：． 9．如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽与相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图2给出的信息进行计算即可． 【详解】解： 由题意可知，折叠凳的内层长为，即， 又∵， ∴， ∴外框宽为， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段和与差的应用，弄清图中线段之间的关系是解题的关键． 题型四 直线、射线、线段的联系与区别 10．线段有_________个端点，射线有________个端点（填“1”或“2”）． 【答案】 2 1 【分析】根据线段是直线上两点之间的部分，因此有2个端点；射线是直线上一点向一侧无限延伸的部分，因此有1个端点回答即可 【详解】解：线段有2个端点，射线有1个端点． 11．关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线；③直线没有端点；④直线有无数个端点．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了直线的定义和性质，根据直线的定义和性质，直线是向两方无限延伸的，没有端点． 【详解】①线段向两方无限延长后，两端无限延伸，形成直线，正确；②射线反向延长后，变为向两方无限延伸，形成直线，正确；③直线没有端点，正确；④直线没有端点，因此说有无数个端点错误． 故答案为：①②③． 12．下列语句正确的是（   ） A．画直线厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到点C，使得 【答案】D 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解决本题的关键． 根据直线、射线、线段的概念逐项判定即可解决此题． 【详解】解：A、直线两端无限延伸，即直线无长度，所以画直线厘米错误，故此选项不符合题意． B、射线一端有固定的顶点，另一端无限延伸，即射线无长度，所以画射线厘米错误，故此选项不符合题意． C、射线是向一方无限延伸的，要截取长为2厘米的线段，应以射线端点O为线段的一个端点，即截取厘米，原说法错误，故此选项不符合题意； D、延长线段到点C，当B为的中点时，可使得，所以延长线段到点C，使得正确，故此选项符合题意． 故选：D． 题型五 画出直线、射线、线段 13．如图，直线可以经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线的定义，解题的关键是掌握直线的作图方法和定义，在图中画出直线即可得出结论． 【详解】解：如图：直线如图所示： 由图可知，直线经过的点． 故选：B． 14．根据“点P是直线a外的一点，过P有一条直线b与直线a相交于点Q”画图，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据语句画图问题，掌握基本作图的语句，按要求画图是解题关键．先根据语句作出图形，再根据图形作出判断即可． 【详解】解：根据语句作图如下： 正确的是D． 故选择：D． 15．同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键．分两种情况进行讨论，①为斜边，则，② 为直角边，或者． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有个， 如图： ②为直角边，或者， 满足上述条件的点C有个， 故答案为：． 题型六 点与线的位置关系 16．如图，用适当的语句表述点A、点B、点P分别与直线l的关系． 答：________；________；________． 【答案】 点在直线上 点在直线上 点在直线外 【分析】根据点与直线的位置关系即可解答． 【详解】解：点在直线上；点在直线上；点在直线外． 17．如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是__________（直接填写序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了直线的基本特征，点与直线的关系，熟记直线的基本知识是解题的关键． 根据直线的基本特征及点与直线的关系进行判断即可． 【详解】解：①点A在直线外，正确； ②直线m和n相交于点C，正确； ③点B既在直线l上又在直线n上，原描述错误． 综上所述，其中正确的是①②． 故答案为：①②． 18．已知线段，则点C的位置可能会出现以下的（    ）种情况． ①在线段上； ②在线段的延长线上； ③在线段的延长线上； ④在直线外． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差计算与两点之间的距离，分四种情况逐一讨论验证即可解题． 【详解】解：①若点在线段上 ，与矛盾，故①不可能． ②若点在线段的延长线上 设，则 由得： 解得，存在符合条件的点，故②可能． ③若点在线段的延长线上 设 ，则 由得： 解得，存在符合条件的点，故③可能． ④若点在直线外 根据两点之间，线段最短，可得，即， 因此可以等于，存在符合条件的点，故④可能． 综上，②③④共3种可能情况． 题型七 两点确定一条直线 19．某班同学在操场上站成笔直的一排，只要确定两个同学的位置，这一排的位置就确定了，依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过不共线的三点可以确定三条直线 【答案】C 【分析】根据两点确定一条直线的性质即可选出正确答案． 【详解】解：∵两个同学的位置对应两个点，笔直的一排对应一条直线，题目说明确定两个点就可以确定这一排（直线）的位置， ∴符合直线的基本性质两点确定一条直线． 20．在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（   ）       A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】平板弹墨线，利用了“两点确定一条直线”，符合要求， 建筑工人砌墙时拉直线找准线，利用了“两点确定一条直线”，符合要求， 会场将茶杯摆成直线，先确定两端点，再确定直线，利用了“两点确定一条直线”，符合要求， 弯河道改直，利用的是“两点之间线段最短”，不符合要求， ∴ 符合题意的共有3个． 21．平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有__________________条． 【答案】170 【分析】此题主要考查了两点确定一条直线，解决问题的关键是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，再代入求值． 根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线…，依此类推找出规律：n个点最多确定（条）直线．据此即可解题． 【详解】解：平面内不同的2个点确定1条直线， 3个点最多确定3条，即； 4个点确定最多（条）直线； 则n个点最多确定（条）直线． 解法1：平面上20个点最多可连（条）直线，而平面上的7个点最多可连（条）直线，现四点共线，故有（条）． 解法2：由直线外的13个点分别与同一直线上的7个点连线可连（条），又13个点无三点共线，可连（条），再加上四点共线一条，一共是（条)． 故答案为：170． 题型八 线段的和与差 22．图1中的线段，则图2中线段表示的线段长度是___________． 【答案】 【分析】本题考查线段的和与差，由图可知：，根据线段的和差关系，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：， ∴； 故答案为： 23．如图，点是线段上的一点，，，点是线段的中点，点是线段的中点，线段的长度________． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及和差关系是正确解答的关键． 根据线段的和差关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【详解】解：，， ，， 点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ． 故答案为：． 24．如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（     ） A．20 B．24 C．26 D．28 【答案】C 【分析】如图，由AB=10，BC=8，得AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36，而长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形，故AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=6，可得MN+LK+IJ+OP=12，即XW+UV+ST+QR=12，又四个重叠部分的周长之和为28，可得EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=14，即可求出EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26． 【详解】解：如图： ∵AB=10，BC=8， ∴AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36， ∵长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形， ∴AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=×12=6， ∴（AB+BC+CD+DA）-（AN+AO）-（BM+BL）-（CK+CJ）-（DI+PD）=36-6-6-6-6=12，即MN+LK+IJ+OP=12， ∴XW+UV+ST+QR=12， ∵四个重叠部分的周长之和为28， ∴EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=×28=14， ∴（EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF）+（XW+UV+ST+QR）=14+12=26， ∴EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26， 故选：C． 【点睛】本题考查长方形周长，解题的关键是掌握长方形周长等于长加宽和的2倍． 题型九 线段中点的有关计算 25．如图，点是线段的中点，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查线段中点的定义；由线段中点的定义可知，据此即可求解． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 26．已知线段，在直线上取一点，恰好使，点为的中点，则线段的长为（    ） A．35 B．50 C．35或50 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是线段中点的性质，线段的和差，正确的对线段进行和、差、倍、分计算是解决本题的关键． 根据题意分两种情况讨论：①当点P在线段上，②当点P在线段延长线上，然后分别求出，，结合线段中点的性质求解即可． 【详解】解：①当点P在线段上，如图1 ∵，， ∴，， ∵点Q为线段的中点， ∴， ∴； ②当点P在线段延长线上，如图2 ∵，， ∴，， ∵点Q为线段的中点， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为35或50． 故选：C． 27．已知线段，直线上有一点C，且，点M是线段的中点，点N是线段的中点，则_______． 【答案】7或13 【分析】根据点在直线上，位置有两种可能，需分情况讨论，结合中点性质计算的长度． 【详解】解：∵ 点是线段的中点， ∴ ； ∵ 点是线段的中点， ∴ ． 当点在线段上时， ； 当点在线段的延长线上时， ． 28．如图，点C是线段上一点，点分别是线段的中点．，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知线段的长度求出，，再利用中点得到，结合即可求解． 【详解】解：∵，，点是线段的中点， ∴，， 又∵点是线段的中点， ∴， ∴． 题型十 线段 n 等分点的有关计算 29．线段的十一等分点共有_____________个． 【答案】 【分析】本题考查了线段的等分点的定义．根据线段等分点的数量计算． 【详解】解：线段的十一等分点是将线段分成等份的点，每个等分点对应一个分点，由于端点和不包括在内，因此等分点的数量为个． 故答案为：． 30．点A、B、C、D是线段的五等分点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 根据占4份，求出每一份的长度，即可求解总长度． 【详解】解：∵点A、B、C、D是线段的五等分点，若， ∴， 故选：A． 31．已知直线经过四点，线段的长为6，点是线段的三等分点，若，则的长为________． 【答案】1或3或5 【分析】本题主要考查了线段的和与差，熟练掌握以上知识是解题的关键． 点是线段的三等分点，分靠近和靠近两种情况；点的位置分在左侧和右侧，结合，计算的长度． 【详解】解：线段的长为6，点是线段的三等分点， 当点靠近点时，， 若点在点左侧，则点顺序为，； 若点在点右侧，则点顺序为，． 当点靠近点时，， 若点在点左侧，则点顺序为，； 若点在点右侧，则点顺序为，． 综上所述，的长为1或3或5． 32．某快递运输车队从城到B城有一天的行程，计划上午比下午多行驶80千米到地吃午饭．由于路况不佳，中午才抵达一个村庄，仅行驶了原计划的四分之一，过了村庄后，货车行驶了360千米到地才停下休息．司机表示：“再走从地到这里路程的三分之一就抵达目的地了”．则城到城的路程为（   ） A．480千米 B．560千米 C．640千米 D．720千米 【答案】A 【分析】本题主要考查线段的运算． 根据题意得出千米，，千米， ，从而得出，，求出千米，即可求出城到城的路程． 【详解】解：∵计划上午比下午多行驶80千米到地吃午饭， ∴千米， ∵中午才抵达一个村庄，仅行驶了原计划的四分之一， ∴， ∵过了村庄后，货车行驶了360千米到地才停下休息， ∴千米， ∵到地后再走从地到这里路程的三分之一就抵达目的地了 ∴， ∴，， 则千米， ∴千米． 故选：A． 题型十一 线段之间的数量关系 33．如图，点、点在线段上，是线段的中点，，若，则的长为（   ）    A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的中点性质与线段和差的计算，关键是先利用中点定义求出线段的长度，再根据与的数量关系求出的长度，最后通过线段差计算的长．首先根据线段中点的定义求出的长度；再结合和的关系，求出的长度；最后用减去得到的长度． 【详解】解：∵是线段的中点，， ∴； ∵，且， ∴，即，解得， ∴； ∴； 故选：C． 34．已知点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的中点．若线段，则______． 【答案】12或6/6或12 【分析】根据点C是线段AB上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可． 【详解】 解：如图， ∵点C是线段AB上的三等分点， ∴AB=3AC， ∵D是线段AC的中点， ∴AC=2AD=4， ∴AB=3×4=12； 如图， ∵D是线段AC的中点， ∴AC=2AD=4， ∵点C是线段AB上的三等分点， ∴BC=AC=2，AB=3BC， ∴AB=3AC=6， 则AB的长为12或6． 故答案为：12或6． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是分两种情况画图计算． 35．如图，将一根绳子对折后用线段MN表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中较短的一段为60cm，若，则这条绳子的原长为___________cm． 【答案】192或320 【分析】根据题意，绳长是MN的2倍，分以M点对折和N点对折两种情况讨论，根据线段之间的比例关系求解即可． 【详解】解：∵，∴NP＞MP， 若以M点对折，则NP为最短的一段或2MP为最短的一段， 则NP=60cm或2MP=60cm， 当NP=60cm时，由得：MP=36cm，则绳长为2×（60+36）=192cm， 当2MP=60即MP=30cm时，由得：NP=50cm＜60cm， ∴这种情况不存在，舍去； 若以点N对折，则MP为最短的一段，即MP=60， 由得：NP=100cm，则绳长为2×（60+100）=320cm， 综上，则这条绳子的原长为192cm或320cm， 故答案为：192或320． 【点睛】本题考查了线段之间的比例关系，掌握分类讨论的思想，根据线段之间的比例关系列式计算是解答的关键． 题型十二 与线段有关的动点问题 36．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 37．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 38．如图，点是线段上一定点，，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上），若一个点到达终点时，运动停止．下列结论，错误的是（   ） A．若，当点，运动了，此时，； B．当点，运动了时，求的值为； C．若点，运动时，总有，则； D．若，是直线上一点，且，则． 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点； A、根据题意，根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算即可； B、根据题意，当点，运动了，有，，从而求得即可求解； C、由，的运动速度可知，，再由已知条件，求得，所以； D、分情况讨论：①当点在线段上，②当点在线段的延长线上，分别求解可得． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∵点，运动了，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动， ∴，， ∴，， ∴不符合题意，故此选项错误； B、∵点，运动了， ∴，， ∴，， ∴， ∴不符合题意，故此选项错误； C、由，的运动速度可知，， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意，故此选项错误； D、①如图所示，当点在线段上时， ∵，由C选项可知：， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴， ∴， 综上可知，或， ∴符合题意，故此选项正确； 故选：D． 题型十三 两点之间线段最短 39．从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 【答案】B 【详解】解：从A地到B地修公路，将公路尽量修成直路的目的是缩短总路程，这样做的道理是两点之间线段最短． 40．“如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______________原来正方形的周长，理由是______________”此题中横线上应填写的正确答案是（     ） A．大于，两点之间线段最短 B．小于，两点之间线段最短 C．大于，两点确定一条直线 D．小于，两点确定一条直线 【答案】B 【详解】解：这个五边形的周长小于原来正方形的周长，理由是两点之间线段最短． 41．在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释， 选项C利用的是“两点之间线段最短”的知识． 题型十四 两点间的距离 42．如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 【答案】C 【详解】解：A、B两点之间的距离指的是线段的长度． 43．已知的长为6，点M在线段上，E，F分别是和的中点，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质．根据线段中点的性质，线段的和差，可得出答案． 【详解】解：∵E，F分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：3． 44．如图，在某个城市中，、两地之间有南北街道条、东西街道条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从走到，则不同的走法共有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】由图可得最短的路程从走到，需要东西街道走段，南北街道走段，枚举出不同的走法，即可求解． 【详解】解：最短的路程从走到，需要东西街道走段，南北街道走段， 不同的走法有： 、右走段，再下走段； 、右走段，再下走段，最后右走段； 、右走段，再下走段，然后右走段，最后下走段； 、下走段，再右走段； 、下走段，再右走段，最后下走段； 、下走段，再右走段，然后下走段，最后右走段； ∴不同的走法共有种． 题型十五 最短路径问题 45．如图，已知空间站与星球距离为，信号飞船在星球附近沿圆形轨道行驶，，之间的距离为数据表示飞船与空间站的实时距离，那么的最小值______． 【答案】/ 【分析】三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站与星球、飞船在同一直线上时，取到最小值，据此求解即可． 【详解】解：空间站与星球、飞船在同一直线上且飞船位于空间站与星球之间时，取到最小值． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握相关知识点． 46．从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第_______条路最短，另两条路的长短关系是_________． 【答案】 ② 相等 【分析】题目主要考查线段的和差，理解题意，结合图形求解即可． 【详解】解：根据平移的性质可得①、③两条路线的总长度相等； ②路线的长度最短，因为． 故答案为：②；相等． 47．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点P满足＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为（　　） A．10 B．8 C．8 D．8 【答案】C 【分析】根据S△PAB＝S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是4的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值． 【详解】解：设中边上的高是． ， ， ， 动点在与平行且与的距离是4的直线上， 如图，作关于直线的对称点，连接，，则的长就是的最小值． 在中，，， ， 即的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 题型十六 作线段 48．如图，已知线段．小明利用尺规作图画出线段，则线段___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，根据作图得出线段的长度即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 49．如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段， 正确的作图排序是：________ ．所求作的线段是线段________ ． 【答案】 ③②①④ 【分析】本题考查了线段的和差计算，作图——基本作图，根据题意确定正确的作图排序，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】解：正确的作图排序是：③②①④； ， 故答案为：③②①④；． 50．已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，掌握运用尺规画线段的方法是解题的关键． 先作射线，再截取，然后截取，则线段的长为． 【详解】解：解如图所示： ④画射线； ①在射线上画线段； ③在射线上画线段； ②则线段． 所以正确顺序为④①③②． 故选C． 解答题 1．如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图． (1)画射线相交于点F． (2)连接，并将其反向延长． (3)连接，并延长到点P，使得． (4)取一点Q，使点Q到A，B，C，D四点的距离之和最小． 【答案】(1)如图，射线相交于点F，点F即为所求； (2)如图，连接，并将其反向延长，即为所求； (3)如图，连接，，并延长到点P，使得，即； (4)如图，连接，交点为点Q，点Q即为所求． 【分析】（1）根据射线的定义即可画射线相交于点F； （2）根据线段的定义即可连接，并将其反向延长； （3）连接，，并延长到点P，使得，即； （4）根据线段的性质连接，交点为点Q． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 2．已知，C，D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有 条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，，C，D分别为，中点，求的长． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】（1）根据两点确定一条线段，数图中共有几组端点即可； （2）运用整体思想，通过，先求出和的值，再计算即可； （3）运用中点定义，，，分别求出和，再计算即可． 【详解】（1）解：图中共有，，，，，，6条线段； （2）解：由图可知，， 又， ∴， ∴； （3）解：∵C，D分别为，中点， ∴，， ∴． 3．某摄制组从市到市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到地），过了小镇，汽车赶了千米，傍晚才停下来休息（休息处），司机说：再走从地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：，两市相距多少千米． 【答案】A，B两市相距600千米． 【分析】根据题意可知DE的距离且可以得到，，，由计算即可得出结果． 【详解】如图，由题意可知， 千米，，， ∴ （千米） ∴ （千米） 答：A，B两市相距600千米． 【点睛】本题考查了求解线段长度在实际生活中的应用，能够找出线段之间的等量关系是解题关键． 4．如图，平面上有三个点． (1)根据下列语句画图：作出射线，直线；在射线上取一点（不与点重合），使． (2)在（1）的条件下，回答问题： ①用适当的语句表述点D与直线的关系：___________； ②若，则___________． (3)点以同样的速度同时从点向点运动，点沿线段运动，点沿的路线运动，请你判断谁先到达点C：___________（填“点P”或“点Q”），理由是___________． 【答案】(1) 如图，射线，，直线；射线上一点； (2)①点D在直线外；② (3)点P，两点之间线段最短 【分析】本题考查了直线、射线、点的作图与位置关系，点与直线的位置关系，两点之间线段最短． （1）根据射线，直线，线段的定义，按照题意作图即可； （2）用规范的语言描述点与的位置关系即可；利用线段的和差关系计算线段长即可； （3）根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】（1） 略 （2）解：点与直线的关系：点在直线外， 故答案为：点在直线外； ，， ． 故答案为：4． （3）解：点以同样的速度同时从点向点运动，点沿线段运动，点沿的路线运动， 则点运动的长度是线段的长度，点Q运动的长度是线段的长度， 由两点之间线段最短，得， 点P先到达点C，理由是：两点之间线段最短． 5．如图，已知点为线段上一点，其中，点是的三等分点（靠近端），点是的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)的长度为或 【分析】本题考查线段的和与差． （1）根据已知条件得到、、的长，继而根据，得到的长． （2）根据当点在点的左侧和右侧时，分两种情况讨论，得到的长． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∵点是的三等分点（靠近端），点是的中点, ∴,， ∴； （2）解：如图，当点在点的左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴点在点的左侧，即， 如图，当点在点的右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴的长度为或． 6．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09线段.射线.直线知题通关讲义 知识点 01 直线、射线、线段定义 1. 基础定义 1）线段：直线上两点及两点之间的部分，有两个端点，长度可测量。 2）射线：将线段向一个方向无限延伸得到的图形，仅有1个端点，不可度量长度。 3）直线：将线段向两个相反方向无限延伸得到的图形，无端点，不可度量长度。 2. 三线完整对比表 3. 表示方法核心易错规则 线段：两个字母无顺序，线段AB= 线段BA； 射线：端点字母必须写在第一位，射线AB≠射线BA（端点不同，是两条完全不同的射线）； 直线：两个字母无顺序，直线AB= 直线BA； 小写字母表示时，直接写线段a、射线l、直线m。 知识点 02 直线两大基本事实（公理，考试必考） 基本事实 1：两点确定一条直线 文字表述：经过两点，有且只有一条直线。 关键词：有且只有—— 存在且唯一。 生活实例：钉木条至少钉 2 颗钉子、站队两点对齐、建筑放线。 几何语言：过点A、B有且仅有一条直线AB。 基本事实 2：两点之间，线段最短 文字表述：两点之间所有连线中，线段的长度最短。 衍生定义：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 ⚠️易错区分：距离是长度（数字），线段是图形，不能说 “两点之间的线段叫距离”。 生活实例：走路抄近道、修路尽量直。 知识点 03 点与直线的位置关系 平面内一个点和一条直线只有两种位置： 1.点在直线上（直线经过点） 几何语言：点A在直线l上 / 直线l经过点A 2.点在直线外（直线不经过点） 几何语言：点B在直线l外 / 直线l不经过点B 知识点 04 线段相关核心知识点 1. 线段的画法（尺规作图） （1）画一条射线AB； （2）圆规量取已知线段MN的长度； （3）圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； （4）线段AC即为所求。 2. 线段中点 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 几何等量关系： 若点M是线段AB中点， 则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB。 3. 线段的和与差 在线段一条延长线上取点，可构造线段和、差： 和：点C在线段AB延长线上，AB=AC+BC 差：点C在线段AB之间，AC=AB-BC 4. 线段延长线规范说法 延长线段AB：从A向B方向延伸； 反向延长线段AB：从B向A方向延伸； 射线只能反向延长，直线无需延长。 知识点 05：线段长短的比较 度量法：用尺子度量出线段的长度，再进行比较 叠合法：一端端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧。 知识点 06 计数类题型规律（数线段、射线、直线） 1. 直线上有n个点，数线段条数 公式：线段总条数 = 例：直线上 4 个点，线段数 ==6条。 2. 直线上 1 个点，射线数量：2 条（向左右各 1 条） 直线上n个点，射线总数：2n条。 3. 过点画直线 1）过 1 个点：可画无数条直线； 2）过 2 个点：只能画1 条直线； 3）平面内三点，分两种情况： ①三点共线：仅 1 条直线； ②三点不共线：可画 3 条直线。 1. 混淆线段、射线、直线的延伸属性 提醒：线段：2个端点，不能延伸；射线：1个端点，只向一端无限延伸；直线：没有端点，向两端无限延伸。 2. 误以为射线可以向两端无限延伸 提醒：射线只能从端点出发，朝没有端点的那一侧延伸；端点这一侧不能延伸。 3. 端点相同、方向不同，仍当成同一条射线 提醒：是同一条射线必须同时满足两个条件：①端点完全相同 ②延伸方向完全相同，缺一不可。 4. 不遵守字母书写顺序，表示射线时端点字母后置 提醒：直线：两个大写字母无顺序；线段：两个大写字母无顺序；射线：端点字母必须写在最前面。 5. 认为经过两点可以画出多条直线 提醒：直线公理：两点确定一条直线，经过两个点，有且只有一条直线。 6. 认为经过一点只能画出一条直线 提醒：经过同一个定点，可以画出无数条直线。 7. 把两点之间的线段等同于两点之间的距离 提醒：线段是图形；距离是这条线段的长度（是一个数），图形和长度不能等同。 8. 说成“两点之间，直线最短” 提醒：正确：两点之间，线段最短；直线没有长度，不能说“最短”。 9. 数射线上、直线上的射线时漏数或多数 提醒：直线上每一个点，分出两条方向相反的射线；射线上的端点，只对应1条射线，按点依次计数。 10. 对点与直线的位置关系判断不全 提醒：点和直线只有两种位置：点在直线上、点在直线外，不存在第三种。 11. 认为延长得到的图形依旧是线段 提醒：线段只在两个端点之间；向一端延长得到射线，向两端延长得到直线，不再是线段。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型二 直线相交的交点个数问题 ★★ 题型三 线段的应用 ★★ 题型四 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型五 画出直线、射线、线段 ★ 题型六 点与线的位置关系 ★ 题型七 两点确定一条直线 ★ 题型八 线段的和与差 ★★ 题型九 线段中点的有关计算 ★★ 题型十 线段 n 等分点的有关计算 ★★ 题型十一 线段之间的数量关系 ★★ 题型十二 与线段有关的动点问题 ★★★ 题型十三 两点之间线段最短 ★ 题型十四 两点间的距离 ★ 题型十五 最短路径问题 ★★★ 题型十六 作线段 ★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 直线、线段、射线的数量问题 1．如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 2．有6个点，每两个点之间连一条线段，6个点最多可以连成___________条不同的线段． 3．平面上有四个点，经过其中的两点画直线最少可画a条直线，最多可画b 条直线，那么的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型二 直线相交的交点个数问题 4．在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是______ 由图可知：同一平面内的三条直线，其交点个数为：0个；1个；2个；3个． 故答案是：0个或1个或2个或3个． 5．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则_________． 6．平面上的条直线恰有2011个交点，则的最小值为________． 题型三 线段的应用 7．由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（    ） A．6种 B．7种 C．21种 D．42种 8．如图（一），为一条拉直的细线，两点在上，且，．若先固定点，将折向，使得重叠在上，如图（二），再从图（二）的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为________． 9．如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽与相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ） A． B． C． D． 题型四 直线、射线、线段的联系与区别 10．线段有_________个端点，射线有________个端点（填“1”或“2”）． 11．关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线；③直线没有端点；④直线有无数个端点．其中正确的是__________．（填序号） 12．下列语句正确的是（   ） A．画直线厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到点C，使得 题型五 画出直线、射线、线段 13．如图，直线可以经过的点是（   ） A． B． C． D． 14．根据“点P是直线a外的一点，过P有一条直线b与直线a相交于点Q”画图，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 15．同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 题型六 点与线的位置关系 16．如图，用适当的语句表述点A、点B、点P分别与直线l的关系． 答：________；________；________． 17．如图，下列表述点与直线关系的语句：①点A在直线外；②直线m和n相交于点C；③点B既在直线l上又在直线m上．其中正确的是__________（直接填写序号）． 18．已知线段，则点C的位置可能会出现以下的（    ）种情况． ①在线段上； ②在线段的延长线上； ③在线段的延长线上； ④在直线外． A．0 B．1 C．2 D．3 题型七 两点确定一条直线 19．某班同学在操场上站成笔直的一排，只要确定两个同学的位置，这一排的位置就确定了，依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过不共线的三点可以确定三条直线 20．在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（   ）       A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有__________________条． 题型八 线段的和与差 22．图1中的线段，则图2中线段表示的线段长度是___________． 23．如图，点是线段上的一点，，，点是线段的中点，点是线段的中点，线段的长度________． 24．如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（     ） A．20 B．24 C．26 D．28 题型九 线段中点的有关计算 25．如图，点是线段的中点，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．已知线段，在直线上取一点，恰好使，点为的中点，则线段的长为（    ） A．35 B．50 C．35或50 D．不能确定 27．已知线段，直线上有一点C，且，点M是线段的中点，点N是线段的中点，则_______． 28．如图，点C是线段上一点，点分别是线段的中点．，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 题型十 线段 n 等分点的有关计算 29．线段的十一等分点共有_____________个． 30．点A、B、C、D是线段的五等分点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 31．已知直线经过四点，线段的长为6，点是线段的三等分点，若，则的长为________． 32．某快递运输车队从城到B城有一天的行程，计划上午比下午多行驶80千米到地吃午饭．由于路况不佳，中午才抵达一个村庄，仅行驶了原计划的四分之一，过了村庄后，货车行驶了360千米到地才停下休息．司机表示：“再走从地到这里路程的三分之一就抵达目的地了”．则城到城的路程为（   ） A．480千米 B．560千米 C．640千米 D．720千米 题型十一 线段之间的数量关系 33．如图，点、点在线段上，是线段的中点，，若，则的长为（   ）    A．3 B． C．2 D． 34．已知点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的中点．若线段，则______． 35．如图，将一根绳子对折后用线段MN表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中较短的一段为60cm，若，则这条绳子的原长为___________cm． 题型十二 与线段有关的动点问题 36．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 37．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为_______． 38．如图，点是线段上一定点，，，两点分别从点，出发以，的速度在线段上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上），若一个点到达终点时，运动停止．下列结论，错误的是（   ） A．若，当点，运动了，此时，； B．当点，运动了时，求的值为； C．若点，运动时，总有，则； D．若，是直线上一点，且，则． 题型十三 两点之间线段最短 39．从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 40．“如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______________原来正方形的周长，理由是______________”此题中横线上应填写的正确答案是（     ） A．大于，两点之间线段最短 B．小于，两点之间线段最短 C．大于，两点确定一条直线 D．小于，两点确定一条直线 41．在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 题型十四 两点间的距离 42．如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 43．已知的长为6，点M在线段上，E，F分别是和的中点，则的长为________． 44．如图，在某个城市中，、两地之间有南北街道条、东西街道条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从走到，则不同的走法共有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型十五 最短路径问题 45．如图，已知空间站与星球距离为，信号飞船在星球附近沿圆形轨道行驶，，之间的距离为数据表示飞船与空间站的实时距离，那么的最小值______． 46．从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第_______条路最短，另两条路的长短关系是_________． 47．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点P满足＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为（　　） A．10 B．8 C．8 D．8 题型十六 作线段 48．如图，已知线段．小明利用尺规作图画出线段，则线段___________． 49．如图，已知线段a，b，利用尺规作图的方法作一条线段，使它等于．可以通过以下步骤完成作图：①在线段的延长线上截取线段；②在射线上截取线段；③画一条射线；④在线段上截取线段， 正确的作图排序是：________ ．所求作的线段是线段________ ． 50．已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 解答题 1．如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图． (1)画射线相交于点F． (2)连接，并将其反向延长． (3)连接，并延长到点P，使得． (4)取一点Q，使点Q到A，B，C，D四点的距离之和最小． 2．已知，C，D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有 条线段； (2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，，C，D分别为，中点，求的长． 3．某摄制组从市到市有一天的路程，由于堵车中午才赶到一个小镇（），只行驶了原计划的三分之一（原计划行驶到地），过了小镇，汽车赶了千米，傍晚才停下来休息（休息处），司机说：再走从地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问：，两市相距多少千米． 4．如图，平面上有三个点． (1)根据下列语句画图：作出射线，直线；在射线上取一点（不与点重合），使． (2)在（1）的条件下，回答问题： ①用适当的语句表述点D与直线的关系：___________； ②若，则___________． (3)点以同样的速度同时从点向点运动，点沿线段运动，点沿的路线运动，请你判断谁先到达点C：___________（填“点P”或“点Q”），理由是___________． 5．如图，已知点为线段上一点，其中，点是的三等分点（靠近端），点是的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 6．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $