专题13一元一次方程的应用知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题13一元一次方程的应用知题通关讲义 知识点01：列一元一次方程解应用题通用标准步骤（必考书写模板） 共 6 步，每一步规范要求、易错点整理： 关键核心：等量关系寻找技巧 关键词法： 相等、等于、和、共、多、少、倍、几分之几、剩余、还差、比…… 大 / 小； 公式法：路程、价格、工程、浓度、周长面积固定公式； 不变量法：总量不变、路程不变、容器体积不变、年龄差不变。 知识点 02 两种设元方法对比 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 题型 1 和差倍分问题（基础必考） （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 题型 2 行程问题（重难点，细分 3 小类） 统一基础公式：路程=速度×时间 s=vt 辅助方法：线段示意图 标出起点、终点、相遇点、速度、时间，直观找路程等量。 题型 3 销售利润问题（生活应用题高频） 基础专用公式 单件利润 = 售价 − 进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 利润率 = ×100% 打折：售价 = 标价 × （打 8 折 = 标价 ×0.8） 等量思路 打折后售价−成本 = 利润；总销售额 = 单价 × 数量。 题型4 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 题型 5 等积变形问题（几何类） 核心不变量：物体体积 / 面积不变 圆柱形倒水：原水体积 = 新容器中水的体积 钢材锻造：锻造前体积 = 锻造后体积 长方形拉伸 / 切割：周长 / 面积固定等式 常用几何公式 长方体V=长×宽×高；圆柱V=r2h 题型 6 数字问题 两位数模型 十位数字a，个位数字b，则这个两位数表示为：10a+b 三位数模型 百位a、十位b、个位c：100a+10b+c 等量关系 新数字与原数字的和 / 差为定值、数字互换后大小变化。 易错 不能直接设两位数为ab，ab代表a×b，必须用数位加权表示。 题型 7 年龄问题 核心不变规律：两人年龄差永远不变 等量模板 n年前：各自年龄同时减n； n年后：各自年龄同时加n； 根据倍数、和差建立等式。 题型 8 配套 / 分配问题（生产、人员调配） 两类细分 人员调配：调出、调入后，两组人数倍数相等； 零件配套：一套产品需要甲m件、乙n件， 则 甲总数量\(:\)乙总数量=m:n，交叉相乘列方程。 例：1 个产品配 2 个螺丝，螺丝总数 = 2× 零件总数。 知识点 05 检验的两大要求 数学检验：将解代入原方程，左右两边相等，是方程的解； 实际检验：数值必须符合现实，不能出现负数人数、小数物品、负长度等。 知识点 06 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 1. 设未知数时单位不统一，书写格式错误 提醒：设未知数前统一题干单位；未知数本身不附带单位，最终作答再标注单位。 2. 等量关系判断错误，主观构造方程 提醒：依据题干文字提取等量关系列方程，不可凭空编造等式。 3. 设元后，无法用未知数表示其他相关量 提醒：选定未知数，结合题意将其余数量写成含该未知数的代数式。 4. 列方程时等式两边单位不一致 提醒：列方程前统一各项数量单位，单位不同不能直接列式。 5. 求得方程的解，未检验解的实际意义 提醒：方程的解需要符合实际背景，舍去不符合现实的解，如负数、非整数。 6. 行程问题混淆路程、速度、时间的数量关系 提醒：依据路程=速度时间，区分相遇、追及模型的等量关系。 7. 工程问题对总工作量设定错误 提醒：未给出具体工作总量时，常设总工作量为1；工作总量=工作效率×工作时间。 8. 利润问题混淆进价、售价、利润率的概念 提醒：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价，计算利润率不可用售价替代进价。 9. 配套问题，部件数量比例列式颠倒 提醒：根据配套比例建立等式，准确写出部件间倍数关系，防止比例写反。 10. 分段计费问题，未划分取值区间直接计算 提醒：分段计费需划分自变量取值区间，各区间对应独立计算规则。 11. 解题作答，遗漏答句或答句与题干设问不符 提醒：求出有效解后，书写完整答句，答句要对应题目所求量。 12. 间接设元，直接输出所设未知数的值作答 提醒：采用间接设未知数时，求出未知数后，继续计算题目要求的目标量再作答。 题型 考察方向 难度 题型一 工程问题 ★★ 题型二 销售盈亏 ★★ 题型三 比赛积分 ★★ 题型四 方案选择 ★★★ 题型五 数字问题 ★★ 题型六 几何问题 ★★ 题型七 动点问题 ★★★★ 题型八 电费和水费问题 ★★ 题型九 行程问题 ★★★ 题型十 比例分配 ★★★ 题型十一 日历问题 ★★★ 题型十二 古代问题 ★★★ 题型十三 其他问题 ★★★ 题型十四 配套问题 ★★ 题型十五 和差倍分问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 工程问题 1．挖一条长的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖，乙队每天挖，需要几天才能挖完？设需要天才能挖完，则由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，甲队和乙队同时施工，甲队每天挖150米，乙队每天挖90米，设天挖完，则两队挖的总长度为，等于水渠总长960米，由此即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设需要天才能挖完， 由题意可得：， 故选：A． 2．一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要___________天完成剩余工程 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握工程问题求解的基本思路是解题的关键． 设甲单独完成还需要x天，根据题意，列出一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：设甲单独完成还需要x天，根据题意，得， 解得， 故答案为：． 3．师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8小时，徒弟单独完成需要12小时．现在先由徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5小时． (1)求师徒两人合作检修的时间是多少小时？ (2)完成任务后共得劳动报酬1200元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多少元？ 【答案】(1)师徒两人合作检修的时间为3小时 (2)师傅应分得的报酬为元；徒弟应分得报酬为元 【分析】（1）设师徒两人合作检修的时间小时，则徒弟单独检修的时间为小时，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （2）分别求出师傅和徒弟的报酬即可． 【详解】（1）解：设师徒两人合作检修的时间为小时，则徒弟单独检修的时间为小时， 依题意，得 ， 解这个方程，得， 当时，， 答：师徒两人合作检修的时间为3小时． （2）解：师傅应分得的报酬为：（元） 徒弟应分得报酬为：（元） 4．列一元一次方程解决问题： 春联，俗称“门对”、“春贴”、“对联”、“对子”，雅称“楹联”，是中华民族传统民俗文化的重要组成部分，临近农历马年，某春联加工厂接到一项定制任务，要求12天完成．若由甲生产线单独生产，刚好按期完成：若由乙生产线单独生产，则将延期6天完成． (1)实际生产过程中，先安排甲生产线单独生产几天，再安排甲、乙生产线同时生产，最终提前2天完成任务，请问先安排甲生产线单独生产了几天？ (2)已知甲生产线原来每天的生产成本为2万元，乙生产线原来每天的生产成本为万元，后来加工厂对生产工艺进行了升级改造，甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元．升级后，按（1）中的实际生产安排，甲、乙生产线的总成本为万元，请求出的值． 【答案】(1)7天 (2)20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）先求出甲和乙的工作效率，设先安排甲单独生产了天，则甲生产了天，乙生产了天，根据效率乘以生产天数等于总量列方程求解即可； （2）由（1）知甲生产了10天，乙生产了天，根据甲的生产天数×成本+乙的生产天数×成本=总成本列方程求解即可． 【详解】（1）解：设总工作量为“1”， 根据题意，甲每天可完成总工作量的，乙每天可完成总工作量的 设先安排甲单独生产了天， 则甲生产了天，乙生产了天， ∴ 解得 答：先安排甲单独生产了7天； （2）解：由（1）知甲生产了10天，乙生产了天， ∵甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元， ∴ 解得 答：的值为20． 题型二 销售盈亏 5．泌阳花岗岩是长江以北最大花岗岩生产基地，号称“中部石都”．产自河南泌阳（伏牛山与大别山交汇处），核心矿区：春水、象河、黄山口等乡镇．探明储量超10亿立方米，可开采百年以上，有效地拉动了地方经济．为了促销，一件品种为“芝麻白”花岗岩，先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利260元．若设这件“芝麻白”花岗岩的成本是元，根据题意，可得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是根据成本依次表示出标价和实际售价，再结合“售价 = 成本 + 利润”的关系列出方程即可． 【详解】解：设这件花岗岩的成本是元， 先按成本提高标价， 标价为 ， 以标价的即8折出售， 实际售价为 ， 获利元，即实际售价比成本多元， ． 6．一家商店将某种服装按成本价提高后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ 如果设每件服装的成本价为x元，那么：每件服装的标价为：_____元； 每件服装的实际售价为：_____元； 每件服装的利润为：_____元； 由此，列出方程：_____；解方程，得_____． 因此每件服装的成本价是_____元． 【答案】 125 125 【详解】略 7．2026年1月1日起，江西接续实施消费品以旧换新政策，覆盖汽车、家电、数码等多类消费品．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买______价格更低；（填序号） ①售价12.8万元的新能源乘用车；②售价13万元的2.0L燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均在最高补贴范围内，且补贴后的实际花费相等，若A车的销售价格比B车高3千元，请你求出A车和B车的销售价格各是多少万元． 【答案】(1)① (2)A车的销售价格是13.5万元，B车的销售价格是13.2万元 【分析】（1）根据购买新车可享受的以旧换新补贴标准分别计算，比较后即可得到答案； （2）设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元．根据题意列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：万万，万， 万万，万． 万万， 按照以旧换新补贴标准，购买①价格更低． （2）解：设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元． 根据题意，可列方程为 ． 解得． （万元）． 答：A车的销售价格是13.5万元，B车的销售价格是13.2万元． 8．“元旦”期间，大润发超市各个区域都有促销活动，小文一家去逛该超市，准备购买牛奶，根据以下素材，完成任务． 生活中的数学问题 素材1 超市有品牌牛奶大瓶和小瓶两种型号，大瓶牛奶每瓶15元，小瓶牛奶每瓶10元 素材2 小文去超市购买了8瓶品牌牛奶，共花了89元 素材3 过了几天，小明去超市，发现原价每瓶15元的品牌牛奶正在进行“买二送一”的促销活动 品牌牛奶促销套装温馨提示：1．买两瓶，送一瓶同款品牌牛奶；2．套装不可拆开单卖 问题解决 (1)小文妈妈说：“按原价购买，不可能是89元！”请说明小文妈妈这样说的理由 任务2 (2)小文看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打6折限购1瓶”的大瓶牛奶，请问小文购买了大瓶牛奶和小瓶牛奶各多少瓶 任务3 (3)小明按原价购买品牌大、小瓶牛奶若干瓶，同时购买品牌促销套装若干套，一共花费210元．其中品牌大瓶牛奶占所有牛奶瓶数（包括促销套装中赠送牛奶）的．求小明买了多少瓶品牌大瓶牛奶 【答案】(1) 解：设买了x瓶大瓶牛奶，则买了瓶小瓶牛奶， 共计花费， 令， 解得， ∵x为正整数， ∴不可能是89元； (2)购买了3瓶大瓶牛奶，5瓶小瓶牛奶 (3)小明买了6瓶A品牌大瓶牛奶 【分析】根据题意，设买了x瓶大瓶牛奶，用含x的式子表示买了多少瓶小瓶牛奶和B品牌的牛奶瓶数，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得， 解得， ， ∴购买了3瓶大瓶牛奶，5瓶小瓶牛奶； （3）解：由题意，得小明买了瓶牛奶，设买了y套B品牌套装，则买了瓶小瓶牛奶， 由题意，得， 整理，得， 解得， ∴小明买了6瓶A品牌大瓶牛奶． 题型三 比赛积分 9．学校组织知识竞赛，共道选择题，答对题加分，答错或不答扣分，某学生得了分，他答对了几道题？设他答对了道题，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列一元一次方程，根据得分规则，答对x题得分，答错或不答题扣分，总得分方程为． 【详解】解：设答对题数为x，则答错或不答题数为， ∵ 答对得分，答错扣分， ∴ 总得分方程为， 故选：A． 10．为全面提升学生的安全防范意识与应急处置能力，筑牢校园安全防线，某中学组织安全意识知识竞赛，共20题，且全部作答，评分规则是答对一题得10分，答错一题扣5分，芳芳小组得了110分，他们答对了________题． 【答案】 14 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设答对题数为 ，则答错题数为 ，根据得分规则列方程求解． 【详解】解：设答对题数为 题，则答错题数为 题， 根据题意，得 ， 去括号，得 ， 合并同类项，得 ， 移项，得 ， 系数化为 1，得 ， 故答案为：14． 11．在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】 这支球队胜了9场 【分析】以总得分为等量关系，结合胜平场数的数量关系列方程求解胜场数即可． 【详解】解：设这支球队胜了场， ∵ 共参加15场比赛，负了4场， ∴ 平的场数为场， ∵ 胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分， ∴ ， 解得 ， 答：这支球队胜了9场． 12．下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 爱国 9 9 0 18 敬业 9 5 4 14 诚信 9 4 5 13 友善 9 2 7 11 备注：总积分胜场积分负场积分 (1)胜一场积________分，负一场积________分； (2)若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ (3)若某队比赛场数为9场，负场总积分是胜场总积分的n倍（n为正整数），n的值为________． 【答案】(1)2，1 (2)这支球队胜了3场 (3)1或4 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）首先根据爱国队的积分求出胜一场积2分，然后根据敬业队的积分求出负一场积1分； （2）设这支球队胜了x场，则负了场，根据题意列出一元一次方程求解即可； （3）设这支球队胜了y场，则负了场，根据题意得，得到，然后根据n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：∵爱国队胜9场，负0场，积分18分， ∴胜一场积（分）； ∵敬业队胜5场，负4场，积分14分， ∴负一场积（分）； 故答案为：2，1； （2）解：设这支球队胜了x场，则负了场， 根据题意得， 解得 ∴这支球队胜了3场； （3）解：设这支球队胜了y场，则负了场， 根据题意得， ∴ ∵y和n为正整数 ∴当时，；当时，； 综上所述，n的值为1或4． 故答案为：1或4． 题型四 方案选择 13．今年开学，由于疫情防控的需要，某学校统一购置口罩，其中给七年级（1）班全体学生配备了一定数量的口罩，若给每个学生发3个口罩，则多30个口罩，若给每个学生发5个口罩，则少50个口罩，请问该班有多少名学生？设该班有为x名学生，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知无论怎样发口罩，口罩的总数量是不变的，由此即可列出方程． 【详解】设该班有x名学生， 根据题意可列方程：， 故选B． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解答本题的关键． 14．国家发展改革委表示，今年国庆中秋小长假中，居民消费需求集中释放，进一步巩固了消费回升的好势头．小长假期间，某商场推出回馈消费者的打折活动，具体优惠情况如下表： 购物总金额（原价） 折扣 超过元且不超过元 全部商品打九折 超过元且不超过元 全部商品打八五折 超过元 全部商品打八折 某市民在该商场购买了一件原价元的商品和一件原价元的商品，实际付费元，则的值可能为________．（注：两件商品可以单独付款或一起付款）． 【答案】； 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是进行分类讨论，根据不同情况列式求出的值．分情况讨论，分两件商品一起付款或单独付款两种情况分别列方程即可； 【详解】解：当两件商品分别付款时，第二件商品实际付款为：（元）， ，，， 或 解得：或（不合题意，舍去）， 当两件商品一起付款时， 解得： 故答案为：； 15．一家游泳馆每年6月—8月出售夏季会员证每张会员证120元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张15元，不凭会员证购买入场券每张20元．若设李明计划购买入场券x张． (1)李明凭会员证需付的费用为______元，不凭会员证需付的费用为______元；（用含x的代数式表示） (2)如果李明计划购买入场券20张，凭会员证合算还是不凭会员证合算？ (3)在什么情况下，李明凭会员证与不凭会员证需付的费用一样？ 【答案】(1)； (2)不凭会员证合算． (3)当购买入场券24张时，凭会员证与不凭会员证需付的费用一样 【分析】本题属于一元一次方程的实际应用问题，第（1）问根据两种购票方式的费用组成列代数式，第（2）问通过代入具体数值计算费用后比较大小判断哪种合算，第（3）问通过列一元一次方程求解费用相等时的入场券数量，用到了代数式的构建与一元一次方程的求解方法 【详解】（1）凭会员证需支付的费用为会员证固定费用加上x张入场券的费用，即元；不凭会员证需支付的费用为x张入场券的总费用，即元． （2）解：当时 凭会员证的费用为（元） 不凭会员证的费用为（元） ， 答：不凭会员证合算． （3）解：根据题意列方程 解得 答：当购买入场券24张时，李明凭会员证与不凭会员证需付的费用一样． 16．某公园的门票是元/人，团体购票有如下优惠： 购票人数 1～人 ～人 人以上 票价 无折扣 超出人的部分，票价打八折 至人部分票价打八折，超出人的部分，票价打五折 某校七年级两个班到该公园秋游，其中甲班多于人，乙班不足人，如果以班为单位分别购票，两个班一共应付元；如果两个班作为一个团体购票，一共应付元． (1)甲、乙两个班一共多少人？（列一元一次方程解决问题） (2)甲班有多少人，乙班有多少人？（列一元一次方程解决问题） 【答案】(1)甲、乙两个班一共人； (2)甲班有人，乙班有人 【分析】（1）设甲、乙两个班一共人，根据题意列出方程，即可求解； （2）设乙班有y人，则甲班有人，由题意列出方程，然后即可求解； 【详解】（1）解：设甲、乙两个班一共人， 由题意得：， 解得：， 答：甲、乙两个班一共人； （2）解：由（1）知，甲、乙两个班一共人， 设乙班有y人，则甲班有人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：甲班有人，乙班有人． 题型五 数字问题 17．已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 【答案】33 【详解】解：设连续三个奇数按从小到大顺序为, 则由题意得， 解得， 故最大奇数为． 18．如图，在的方阵图中，填写了一些数和字母（其中字母表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中字母表示的数为（     ） 13 12 8 A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题利用三阶幻方中每行、每列、对角线的和相等的性质，通过列方程消元求解的值． 【详解】设幻和为，中心数为，第一行第三列的数为，第三行中间数为 如图所示， ∵ 左上到右下对角线和为， ∴ ① ∵ 右上到左下对角线和为， ∴ ② ∵ 第三列和为， ∴ ③ 由得：， ∴ ； 将和代入③得： ， ∴ ； ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得 ． 19．如下表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等 (1)填空：______； (2)若前个格子中所填整数之和为，则的最小值为______； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由任意三个相邻格子中所填整数之和相等，分别求出，的值；设后面的连续三个数为，，；根据题意，求出，再根据，解得，即可； （2）由（1）得序列为周期性变化，每3个格子重复、、，其和为，前个格子之和取决于除以的余数：当时，；当时，；当时，，令，解方程得或，取最小值，即可解答． 【详解】（1）解：由任意三个相邻格子中所填整数之和相等，得： ，解得 ，解得， 设后面的连续三个数为， 则，解得， 由，解得． （2）解：由得， 解得； 由得， 解得； 由得， 解得； ∴可知序列为、、周期性重复，每个格子之和为， 设前个格子之和： 若（为正整数），则； 若，则； 若，则， 设， 当时，，解得，； 当时，，解得，非整数，无解； 当时，，解得，； ，符合要求， 取最小值，则的值为． 20．阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： (1)①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； (2)若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 【答案】(1)①36；②3； (2)“灵动数”b为79 【分析】（1）①先明确“灵动数”判定条件：两位数的个位数字大于十位数字，用该条件逐个判断给出的数即可． ②计算时，先写出原“灵动数”的十位、个位数字，得到对调后的新两位数，计算两数差后除以9即可． （2）先将“灵动数”和对调后的新数用含的代数式表示，再根据的定义列出关于的方程，求解后代入即可得到． 【详解】（1）解：①三个数11，21，36中，“灵动数”为36；             ②； （2）解：依题意得：原两位数为，         新两位数为，             ，             ， ； ，             十位数字：，个位数字：， ∴“灵动数”b为79． 题型六 几何问题 21．如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是，长和宽的比为．求这枚纪念币的长和宽．设这枚纪念币的宽为，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．根据这枚纪念币的宽为，可得这枚纪念币的长为，再由“周长是，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设这枚纪念币的宽为， ∵长和宽的比为， ∴这枚纪念币的长为， ∵周长是， ∴． 故选：D 22．如图所示，在长方形中放入8个完全相同的小长方形，若，则图中阴影部分面积之和为________． 【答案】24 【分析】设小长方形的长为，则宽为，，根据图示1个小长方形的长个小长方形的宽，列出一元一次方程，解方程再计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则宽为，， 由题意得：， 解得：， ，， 图中阴影部分面积之和为：． 23．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？ 【答案】 【分析】设容器内水将升高，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设容器内水将升高，由题意，得： 解得， 答：容器内水将升高． 24．如图，、两点分别为数轴上的两个点，点对应的数为，点对应的数为28． (1)在数轴上有一点，若，求点对应的数； (2)现有一动点从出发沿数轴向左运动，速度为每秒4个单位长度；同时另一个动点恰好从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，当、两点重合时，同时停止运动．设两点运动时间为秒，求此时的值，并求出此时点在数轴上对应的数； (3)在（2）的条件下，为何值时，点到点的距离是点到点距离的？并求出此时点表示的数． 【答案】(1)对应的数为或30 (2)当t为20秒时，P、Q两点重合，此时点P在数轴上对应的数为 (3)当秒时，点P到点A的距离是点Q到点B距离的，此时点P在数轴上对应的数为或当秒时，点P到点A的距离是点Q到点B距离的，此时点P在数轴上对应的数为． 【分析】（1）求出， 不在之间，分两种情况求解即可； （2）当运动时间为t秒时，点P在数轴上对应的数为，点Q在数轴上对应的数为，由两点重合，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值，再将其代入中，即可得出此时点P在数轴上对应的数； （3）由点B，Q在数轴上对应的数可找出的长，分当P在A右侧及当P在A左侧两种情况考虑，由点P到点A的距离是点Q到点B距离的，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为28． ∴， ∵， ∴不在之间， 分两种情况： ①若在左侧，设为，， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②若在右侧，设为，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 综上，对应的数为或30； （2）解：根据题意得：当运动时间为t秒时，点P在数轴上对应的数为，点Q在数轴上对应的数为， 依题意得：， 解得：， ∴． ∴当t为20秒时，P、Q两点重合，此时点P在数轴上对应的数为； （3）解：． ①当P在A右侧时，，此时， 依题意得：， 解得：； ②当P在A左侧时，，此时， 依题意得：， 解得：． ∴当秒时，点P到点A的距离是点Q到点B距离的，此时点P在数轴上对应的数为或当秒时，点P到点A的距离是点Q到点B距离的，此时点P在数轴上对应的数为． 题型七 动点问题 25．如图，线段，动点 P 从A 出发，以的速度沿 运动，到达点 B即停止．已知M为的中点， N为的中点．以下说法正确的是（　　） ①运动后， ； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点， ， ∴，故①错误； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ， ∴的值随着运动时间的改变不发生变化，故②错误； ， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：C． 26．如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为t（，单位：秒）当时，的度数是________；在转动过程中，当________时． 【答案】 150° 10或26或46 【分析】由题意得，当时求出，再根据得出答案； 然后分三种情况：当在左侧时，根据求出解； 当在右侧时，根据解答； 当和在两侧时，根据求出解即可． 【详解】解：由题意，得， 当时，， ∴； 当在左侧时，此时， 即， 解得； 当在右侧时，此时， 即， 解得； 当和在两侧时，此时， 即， 解得， 在转动过程中，当或26,或46时，． 27．如图，已知数轴上点表示的数为，点是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时，另一点从原点出发，也沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)点B表示的数为___________． (2)数轴上点表示的数为___________，点表示的数为___________；（用含的代数式表示） (3)经过多少秒点恰为的中点？ (4)当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1) (2)， (3) (4)当点运动或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【分析】（1）根据数轴上两点间距离计算公式即可； （2）根据点、运动的方向及速度即可得出点、表示的数； （3）根据点恰为的中点列出方程计算即可求解； （4）分相遇前及相遇后两种情况，根据，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为， ∴点B表示的数为． （2）解：∵点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为， ∵点从原点出发，也沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为， （3）解：∵点运动到点的时间为秒，点运动到点的时间为秒， ∴点为的中点时，点在点右侧，点在点左侧， ∵点表示的数为，点表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∵点恰为的中点， ∴，即， 解得：． （4）解：①当点与点相遇之前，， ∵， ∴ 解得：， ②当点与点相遇之后，， ∵， ∴， 解得：， ∴当点运动或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 28．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点运动到点时又立即以原速度向点运动，点不停地以原速度往返于点与点之间．当运动到秒时，动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1) (2) ①秒； ②秒或秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）先得到点表示的数，再列式计算即可得到答案； （）①根据问题中的等量关系，正确列出方程，解方程即可； ②根据点与点间的距离为个单位长度，分四种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为， 点表示的数为：， 点运动到线段的中点时，它所表示的数是； （2）①根据题意得， 解得， 当点运动秒时，点追上点； ②点到所用的时间为：（秒）， 当时， 点在点的右侧，点与点之间的距离为个单位长度， 则， 解得：， 点在点的左侧，点与点之间的距离为个单位长度， 则， 解得：， 点从点往点所用时间为（秒）， 当时，， 解得：， （秒）， 当点运动（秒）时，点运动到点， 此时点运动到的点表示的数为， 当时， ， 解得或，均符合范围； 综上所述，点运动秒或秒或秒或秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 题型八 电费和水费问题 29．小红所在城市的居民用水实行“阶梯价格”收费，收费办法是：每户用水不超过，每立方米水费元；超过，每立方米加收1.05元，小红家今年3月份用水，缴纳水费89.6元，根据题意列出关于的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“阶梯价格”收费办法列出方程即可． 【详解】根据题意可得，． 故选：A． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 30．某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过吨，按每吨1元收费；若超过吨，则超过部分按每吨2元收费．如果某户居民五月份缴纳水费元，那么该居民这个月实际用水________吨． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 设该居民这个月实际用水吨，由题意可列方程，计算求解即可． 【详解】解：设该居民这个月实际用水吨， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 31．为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）： 收费方式 年用水量/ 单价（元/） 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 (1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元； (2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量． 【答案】(1)810；1170 (2) 【分析】（1）根据收费标准计算即可； （2）先判断丙户居民2025年用水量的范围，再设丙户居民2025年的用水量为，根据收费标准列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：甲户居民的水费为（元）， 乙户居民的水费为（元）． （2）解：由（1）可知，当用水量为时，水费为810元；当用水量为时，水费为1170元． 由于810元元元， 所以丙户居民2025年的用水量超过，且不足． 设丙户居民2025年的用水量为，根据题意，得 ， 解得， 答：丙户居民2025年的用水量为． 32．为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦·时的部分，电费价格0.6元/千瓦·时；超过120千瓦·时，但不超过300千瓦·时的部分，电费价格0.8元/千瓦·时；超过300千瓦·时的部分，电费价格1元/千瓦·时． (1)若小明家10月份用电350千瓦·时，求小明家10月份应缴纳的电费． (2)11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦·时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量． 【答案】(1)266元 (2)属于超过120千瓦·时但不超过300千瓦·时的阶梯，用电量为200千瓦·时 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）先求出用电300千瓦·时的平均电费，结合小明家的平均电费确定用电范围，设小明家11月份的用电量为千瓦·时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：（元）， 答：小明家10月份应缴纳的电费为266元； （2）解：当用电300千瓦·时，应缴纳电费为（元）， 此时平均电费为（元）， ∵小明家当月平均电费为0.68元/千瓦·时，且， ∴小明家11月份用电范围属于超过120千瓦·时但不超过300千瓦·时的阶梯； 设小明家11月份的用电量为千瓦·时， 根据题意，得， 解得， 答：小明家11月份的用电量为200千瓦·时． 题型九 行程问题 33．如图，跑道由两个半圆部分和两条直跑道组成，两个半圆跑道的长都是，两条直跑道的长都是．小斌站在处小强站在处，两人同时逆时针方向跑步，小斌每秒跑，小强每秒跑．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（    ） A．半圆跑道上 B．直跑道上 C．半圆跑道上 D．直跑道上 【答案】C 【分析】设小强第一次追上小斌的时间为x秒，根据小强的路程小斌的路程的长度，也就是85米，再进一步判断即可． 【详解】解：设小强第一次追上小斌的时间为x秒， 根据题意，得：， 解得， 则且， 所以他们的位置在半圆跑道上． 34．运动场环形跑道的周长为400米，小红在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为5米/秒，同时爷爷在小红后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向匀速跑步，已知爷爷的速度小于小红的速度．若两人第一次相遇所用的时间为80秒，则爷爷的速度为__________米/秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设爷爷的速度为米/秒，根据环形跑道同向追及问题，两人第一次相遇时小红比爷爷多跑的距离等于跑道周长减去初始两人相隔的距离，列出方程求解即可． 【详解】解：设爷爷的速度为米/秒， 由题意得，， 解得， 故爷爷的速度为米/秒． 故答案为：． 35．列方程解决实际问题：某条城际铁路线从西往东依次有A，B，C三个车站，每天上午均有两个车次的列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行时刻的相关信息如表所示．已知次列车的行驶速度为千米/时，求次列车的行驶速度． 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经B站，不停车 【答案】千米/时 【分析】设次列车的行驶速度为x千米/时，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：次列车的行驶时间为（小时）， 次列车的行驶时间为（小时）， 设次列车的行驶速度为x千米/时，根据题意得： ， 解得：， 答：次列车的行驶速度为288千米/时． 36．A、B两地相距1200千米，甲车和乙车均从A地开往B地，且知甲车的速度是每小时行90千米，是乙车速度的1.5倍． (1)乙车的速度是 千米/小时，甲车从A地到B地用 小时，乙车从A地到B地用 小时． (2)若两车同时出发从A地开往B地，问乙车开出多长时间两车相距100千米？ (3)若两车均从A地开往B地，且乙车先出发5小时，问乙车开出多长时间两车相距100千米？ 【答案】(1)60；；20 (2)在乙车开出小时或小时时两车相距100千米 (3)乙车开出小时或小时或小时时两车相距100千米 【分析】（1）根据甲车速度和乙车速度的倍数关系求出乙车速度，再分别利用总路程除以甲、乙两车速度，求行驶时间； （2）设乙车开出x小时时两车相距100千米，分情况根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （3）设乙车开出y小时时两车相距100千米，分情况根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：乙车的速度是： (千米/小时)； 甲车从A地到B地用的时间为：(小时)； 乙车从A地到B地用的时间为： (小时)； （2）解：设乙车开出x小时时两车相距100千米， 若甲车到达地之前与乙车相距千米，根据题意可得， 解得：． 若甲车到达地后与乙车相距千米，根据题意可得， 解得：． 答：在乙车开出小时或小时时两车相距100千米； （3）解：设乙车开出y小时时两车相距100千米． 若甲车未出发，根据题意得， 解得； 若甲车已出发，且乙车在甲车的前方，根据题意可得， 解得：， 若甲车已出发，且甲车在乙车的前方，根据题意可得， 解得：； 综上所述，乙车开出小时或小时或小时时两车相距100千米． 题型十 比例分配 37．参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（     ） A．82分 B．86分 C．87分 D．88分 【答案】D 【分析】根据题意，可找出数量间的相等关系:女生的平均成绩男生的平均成绩全班平均成绩，设女生的平均成绩是，列方程解答即可． 【详解】解：设女生的平均成绩是x，因为总成绩不变，根据题意列方程： 故答案为D． 【点睛】解答此题关键是先求出全班的总成绩和男生的总成绩，然后求出女生的总成绩，进而求出女生的平均成绩． 38．（浓度问题）实验室有甲、乙两种酒精溶液，现在某容器中装有甲溶液．若加入乙溶液．得到的酒精溶液浓度为；若加入乙溶液，得到的酒精溶液浓度为．那么加入乙溶液时，得到的酒精溶液浓度为( )%． 【答案】31 【分析】本题主要考查溶液的浓度问题，浓度，解题的关键是理解题意，掌握溶液浓度公式． 根据两种溶液先算出乙浓度再进行求解即可． 【详解】解：加入乙得到溶液A有： ，其中酒精有 ； 加入乙得到溶液 ，其中酒精有 ； 则溶液 A、B 相差 的乙溶液，酒精含量相差 ， 则乙溶液浓度为 ， 设甲溶液浓度为 则溶液A可知， ， 当加入乙时，浓度为 故答案为：31． 39．2025年红五月校园文化艺术节现场书法比赛即将开启，学校决定将综合实践活动教室布置为比赛场地，如图，这是该教室第一排5张课桌的布置示意图．布置说明：桌子与桌子、桌子与墙之间的距离均相等，课桌的桌宽均相等，且间距：桌宽，现测得该教室内南墙到北墙之间的距离是6米，请计算出该教室布置的间距与桌宽． 【答案】0.5米，0.6米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设间距为米，则桌宽为米，根据课桌的布置示意图列方程求解即可． 【详解】解：设间距为米，则桌宽为米， 由题意得：， 解得， ， 答：该教室布置的间距为0.5米，桌宽为0.6米． 40．如图，在长方形休闲广场的一组对角设计两块半径相同的四分之一圆形花坛，另一组对角设计两个大小一样的三角形草坪，圆形的半径、三角形与广场边重合的边长都为，广场长为，宽为． (1)列式表示广场空地的面积（结果保留） (2)若，，，现在广场中央修建一个周长为且长宽比例与广场相同的长方形水池，求广场空地的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用； （1）用长方形面积减去两个四分之一圆形花坛面积，再减去两个三角形面积，计算即可； （2）求出水池的长宽比例为，设长为，则宽为，根据周长为列方程求出x，可得水池的长为，宽为，然后根据（1）中广场空地的面积再减去水池的面积，计算即可． 【详解】（1）解：广场空地的面积为：； （2）因为，， 所以水池的长宽比例为， 设长为，则宽为， 由题意得：， 解得：， 所以水池的长为，宽为， 所以广场空地的面积为． 题型十一 日历问题 41．如图，在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期之和可能为（    ） 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．21 B．32 C．45 D．75 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 根据月历同一列日期的差值规律，设中间日期为，则三个日期之和为，即和必为3的倍数，结合月历日期的取值范围判断选项即可． 【详解】解：∵月历中同一列相邻两个日期相差7， ∴设相邻三行同一列的中间日期为，则上方日期为，下方日期为， ∴三个日期之和为，即和必为3的倍数， 又∵月历中日期为正整数，且，， ∴解得， 故． A．21不在范围内，不符合要求； B．32不是3的倍数，不符合要求； C．45是3的倍数，时，，，均为有效日期，符合； D．75不在范围内，不符合要求； 故选：C． 42．如图是一个按规律排列的数表的一部分，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，当时，_____________． 【答案】504 【分析】观察数表，可知，，，根据，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：观察数表，可知：，，， 根据题意得：， 解得：． 43．综合与实践 数学活动课上，数学老师展示了一张2025年10月的月历表，让同学们观察数字间的关系，发现数学规律． 【观察发现】如图，在表中用一个小方框画出“”形，任意圈出4个阿拉伯数字x，y，z，t．若被圈到的数恰好为时，发现有下列数量关系：，，． 【解决问题】 (1)请用含有x的式子表示y，z，t． (2)按照上述方法，所圈出的四个数的和能否等于100？请列出一元一次方程并解答． 【答案】(1)，， (2)所圈出的四个数的和能等于100， 由题意得：， 解得， 则，，， 经检验，在2025年10月的月历表中，可以圈出这四个数， 所以圈出的四个数的和能等于100． 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）观察图可得比大1，比大7，比大8，由此即可得； （2）参考（1）的结果，建立方程，解方程求出的值，则可得的值，再进行检验即可得． 【详解】（1）解：由图可知，，，． （2）略 44．月历常用于生活，它们有很多奥秘如图1是某月的月历图，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数字如图2所示，则____，____； (2)移动方框，若方框中的部分数字如图3所示． ①___（用含的代数式表示） ②中间竖列的和能为46吗？若能，求的值．若不能，通过计算说明理由． 【答案】(1)， (2)① ②中间竖列的和不能为46，理由如下： 设中间竖列的三个数分别为，，， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵应为正整数， ∴中间竖列的和不能为46． 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确地列出代数式和方程，是解题的关键； （1）观察月历图中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）①观察月历图中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可；②设中间竖列的三个数分别为，，，根据题意列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由月历图的特点可知，，， 故答案为：，； （2）解：①由月历图的特点可知，， 故答案为：； ②略 题型十二 古代问题 45．“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：鸡笼里有鸡也有兔，从上面看有35个头，从下面看有94只脚，请问笼中有多少只鸡？多少只兔？这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找准等量关系，正确表示兔子数量和总脚数即可． 【详解】解：∵设有只鸡，总头数为，每只动物只有个头， ∴兔子的数量为只， ∵每只鸡有只脚，每只兔有只脚，总脚数为，总脚数等于鸡的脚数加兔的脚数， ∴列方程得． 46．我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“假田”租赁的问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年亩收钱；第二年亩收钱；第三年亩收钱．三年共收得地租钱．问租赁田多少亩？若设租赁田亩，则可列方程为________． 【答案】 【分析】用含的代数式分别表示出第一年、第二年、第三年的地租，结合三年总地租为钱，即可列出方程 【详解】解：设租赁田亩，第一年亩收钱，可得亩的第一年地租为钱，第二年亩收钱，可得亩的第二年地租为钱，第三年亩收钱，可得亩的第三年地租为钱， 根据三年共收得地租钱，可得：． 47．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 【答案】长木长尺 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． 设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；列方程求解可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 答：长木长尺． 48．隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？ (1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答； 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)请你换一种方法解决这个问题． 【答案】(1)依题意， 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 ∴， ∴， 解得， ， ∴有个人，有两银子； (2)设有两银子， 根据题意得， ∴， ∴， ∴， 则， ∴有个人，有两银子． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先结合每人分9两，得出每人分银子总量，银子总量为，再列出方程，进行计算，即可作答． （2）理解题意，设有两银子，再列出方程，进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 题型十三 其他问题 49．某村通过电商平台推广山野菜．原计划用一批A型货车运输，若每辆货车装载3吨，恰好能一次性运完所有山野菜．实际运输时更换为载重量比A型货车少1吨的B型货车，且车辆数量比原计划增加了2辆，也恰好能一次性运完．这批山野菜的总重量为（   ） A．12吨 B．15吨 C．18吨 D．24吨 【答案】A 【分析】本题为一元一次方程应用题，利用山野菜总重量不变的关系，设原计划车辆数为未知数，列方程求解即可得到总重量． 【详解】解：设原计划使用A型货车辆，则山野菜总重量为吨， ∵ B型货车载重量比A型少1吨， ∴ B型货车每辆装载量为吨， ∵ 实际使用B型货车的数量比原计划多2辆， ∴ 实际车辆数为辆，总重量可表示为吨， ∵ 山野菜总重量不变， ∴ 列方程得：， 解得， ∴ 总重量为吨． 50．有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为、、，其中甲瓶糖水重千克．先把甲、乙两瓶中的糖水混合，浓度变为；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为的糖水．原来丙瓶中有________千克的糖水． 【答案】 【分析】根据混合前后糖的总质量不变，先求出乙瓶糖水的质量，再计算丙瓶糖水的质量即可． 【详解】解：设乙瓶糖水的质量为千克， 混合后糖的总质量等于甲、乙两瓶中糖的质量之和， ， 整理得： ， 解得：， 即乙瓶糖水质量为千克， 甲乙混合后总糖水质量为千克，其中糖的总质量为 千克， 设丙瓶糖水质量为千克， 加入丙后糖的总质量等于甲乙混合后的糖质量加上丙中糖的质量， ， 整理得：， 解得：． 51．龙门学校图书馆准备向某出版社邮购x（x是10的整数倍）本课外读物，每本书的单价为15元．出版社规定：邮购10本以下（包括10本）共需加邮费6元；邮购10本以上（不包括10本）需加的邮费为总书价的．在邮局汇款时，每100元汇款支付汇费1元．汇款不足100元时，按100元汇款收取汇费． (1)如果图书馆每次邮购10本，分次邮购，那么所需的费用为790元．求x的值． (2)如果邮购60本课外读物，通过计算比较，分6次邮购和一次性邮购这两种方式，哪种邮购方式费用少？ 【答案】(1)50 (2)分6次邮购费用少 【分析】（1）先求出每次邮购时的书费，邮费，支付的汇费，乘以邮购次数即可得到所需的费用，根据费用为790元，建立方程求解即可． （2）一次性邮购时，计算支付的书费，支付的邮费，总的汇款数，支付的汇费，一次性邮购支付的总费用，比较解答即可； 【详解】（1）解：图书馆每次邮购10本，每本书的单价为15元， 故每次支付的书费为（元）， 由邮购10本以下（包括10本）共需加邮费6元； 总的费用为（元）， 在邮局汇款时，每100元汇款支付汇费1元．汇款不足100元时，按100元汇款收取汇费， 故156元的汇款按200元收取汇费， 故图书馆每次邮购10本，总费用为（元）， 本次购买活动，共需要次， 根据题意，得， 解得． （2）解：图书馆每次邮购10本，总费用为158元， 分6次邮购需要支付的费用是：（元）， 一次性邮购时，支付的书费为（元）， 支付的邮费为：（元）， 故总的汇款数为：（元）， 在邮局汇款时，每100元汇款支付汇费1元．汇费不足100元时，按100元汇款收取汇费． 故支付的汇费为：（元）， 故一次性邮购支付的总费用为：（元）， 而， 故分6次邮购费用少； 52．为改善生态环境，植树节五、六年级的同学参加植树活动，学校买回的树苗按下列方法分配到各班，第一个班取走了100棵，又取走余下的，第二个班取走200棵，又取走余下的，第三个班取走300棵，又取走余下的，……，如此下去，最后全部的树苗被各班取完，而且各班所得到的树苗棵数相等，那么有多少树苗？有几个班参加植树活动？ 【答案】有8100棵树苗，有9个班参加植树活动 【分析】设有x棵树苗，第一个班取走了100棵，剩余棵，再取走余下的，由此列出第一个班取走树苗的算式并化简；从树苗总数中减掉第一个班取走的量，得到第二个班取走之前剩下的树苗，第二个班取走200棵，又取走余下的，据此列出第二个班取走树苗的算式并化简；题目已知各班分得树苗数量相等，因此将两个班级的分得算式左右相等，列出方程并解方程即可解答． 【详解】解：设有x棵树苗， 则第一个班取走树苗数量为（棵）， 取走后余下树苗数量为（棵）， 第二个班取走树苗数量为（棵）， 根据题意，得， ， ， 第一个班级取走树苗数量为（棵）， 即每个班取走树苗900棵， 班级数为（个）， 答：有8100棵树苗，有9个班参加植树活动． 题型十四 配套问题 53．某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送150件，则还剩60件无人派送；若每个快递员派送170件，则还差20件．设快递包裹有件，快递员有人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若设快递包裹有件，根据快递员人数不变列方程可判断B、D；若设快递员有人，根据包裹总数不变列方程可判断A、C． 【详解】解：若设快递包裹有件，根据快递员人数不变列方程： ∵每个快递员派送150件时剩60件，已派送件， ∴快递员人数为； ∵每个快递员派送170件时差20件，总共有件才能满足每人派送170件， ∴快递员人数为； ∵快递员人数相等， ∴，因此B正确，D错误． 若设快递员有人，根据包裹总数不变列方程： ∵每个快递员派送150件剩60件， ∴总包裹数为； ∵每个快递员派送170件差20件， ∴总包裹数为； 可得方程，因此A，C错误． 54．某车间共22名工人，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？设安排x名工人生产螺栓，可列出方程__________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程——配套问题的应用，根据题意找出数量关系式，进而列出方程是解决本题的关键． 设x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人数为名，根据螺母数量是螺栓数量的2倍建立方程． 【详解】解：x名工人生产螺栓的数量为个，名工人生产螺母的数量为个， 由于1个螺栓需要2个螺母，即螺母数量是螺栓数量的2倍， 因此， 故答案为：． 55．某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 【答案】(1)； (2)安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 【详解】（1）解：安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天， 那么x天共生产甲种零件个，天共生产乙种零件个； （2）解：根据题意得， 解得， ， 答：安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 56．如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为3米，另一边长为米，玻璃上方安装了两张半径为1米的相同的扇形遮光帘． (1)某厂家现有工人40人，平均每人每天可加工长方形玻璃10块或遮光帘5张，为使每天生产的玻璃数量：遮光帘数量，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的工人各多少名？ (2)在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下： 遮光帘（元） 玻璃（元） 甲厂家 80 不超过，200元；超过的部分，160元． 乙厂家 100 190元，且每购买的玻璃赠送遮光帘 若李明在甲、乙两厂安装此窗户所需的费用相同，求的值（取3）． 【答案】(1)应安排24名工人生产长方形玻璃，安排16名工人生产遮光帘 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用． （1）设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘，根据每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍列出方程求解即可； （2）先分别求出窗户的总面积和遮光帘的面积，再分别用含a的式子表示出甲、乙两个厂家所给方案的费用，再根据选择甲、乙两个厂家所需费用相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排24名工人生产长方形玻璃，安排16名工人生产遮光帘； （2）解：由题知，窗户的总面积为平方米，遮光帘的面积为（平方米）， ∵， ∴， ∵李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同， 当时，即， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，即， ∴， 解得 ∴的值为． 题型十五 和差倍分问题 57．甲、乙一起在收藏市场挑选纪念币，两人最终购买的纪念币总数为枚．若甲将枚纪念币送给乙，此时乙的纪念币数恰好是甲的倍，则甲购买的纪念币为___________枚． 【答案】30 【分析】设甲购买纪念币的数量为未知数，结合总数表示出乙的数量，再根据送币后的倍数关系找到等量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲购买的纪念币为枚，则乙购买的纪念币为枚， 甲将枚纪念币送给乙后，甲的纪念币数量为枚，乙的纪念币数量为枚， 根据题意列方程得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 即甲购买的纪念币为30枚． 58．小强根据方程编写了一道应用题：“我班美术社团的同学计划在教师节前做一批手工艺品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；________，请问我班美术社团的同学有多少人？”若设我班美术社团有x人，则“________”中的内容应为（   ） A．如果每人做6个，那么就比计划少7个 B．如果每人做6个，那么就比计划多7个 C．如果每人做7个，那么就比计划少6个 D．如果每人做7个，那么就比计划多6个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据方程补充完整题目即可． 【详解】解：根据方程可知， 若设我班美术社团有x人，则“________”中的内容应为“如果每人做6个，那么就比计划多7个”． 59．2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】单人独唱6组；双人合唱12组 【详解】本题可通过设未知数，设双人合唱的组数为x组，因为总组数是18组，所以单人独唱的组数就是组，再根据单人独唱每组1人，双人合唱每组2人，以及总共有30名学生参加比赛这一条件，列出方程求解． 【分析】解：设双人合唱有x组，则单人独唱有组，根据人数关系可列方程： ， ， ， 将代入，可得单人独唱的组数为（组） 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组． 60．为响应“乡村振兴·助农兴商”号召，某社区助农驿站第一次用元购进本地特色的甲、乙两种农产品进行线上线下销售，其中乙农产品的件数比甲农产品件数的倍多件，两种农产品的进价和售价如下表：（注：获利售价进价，农产品销售利润全部用于本地乡村公益建设） 农产品 甲（特色果蔬） 乙（手工杂粮） 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该助农驿站第一次购进甲、乙两种农产品各多少件？ (2)该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部售完后，所获利润可支持多少元的乡村公益建设？ (3)该助农驿站第二次以第一次的进价再次购进甲、乙两种农产品，其中甲农产品件数不变，乙农产品件数是第一次的倍；甲农产品按原售价销售，乙农产品因推出公益装，在原售价基础上进行打折销售，第二次全部售完后获得的总利润比第一次多元，求第二次乙产品是按原售价打几折销售？ 【答案】(1)甲种农产品件、乙种农产品件 (2)元 (3)折 【分析】（1）设未知数，根据总进价列一元一次方程，进而求出两种农产品的购进数量； （2）根据“每件利润数量”分别计算两种农产品的利润，再求和得到总利润； （3）根据第二次的利润变化列方程，进而求出乙农产品的折扣． 【详解】（1）解：设第一次购进甲种农产品件，则购进乙种农产品件， 可得， 解得，则， 故该助农驿站第一次购进甲种农产品件、乙种农产品件． （2）解：（元）． 故该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部卖完后一共可获得利润元． （3）解：设第二次乙种农产品是按原价打折销售， 可得， 解得， 故第二次乙农产品是按原价打折销售． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13一元一次方程的应用知题通关讲义 知识点01：列一元一次方程解应用题通用标准步骤（必考书写模板） 共 6 步，每一步规范要求、易错点整理： 关键核心：等量关系寻找技巧 关键词法： 相等、等于、和、共、多、少、倍、几分之几、剩余、还差、比…… 大 / 小； 公式法：路程、价格、工程、浓度、周长面积固定公式； 不变量法：总量不变、路程不变、容器体积不变、年龄差不变。 知识点 02 两种设元方法对比 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 题型 1 和差倍分问题（基础必考） （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 题型 2 行程问题（重难点，细分 3 小类） 统一基础公式：路程=速度×时间 s=vt 辅助方法：线段示意图 标出起点、终点、相遇点、速度、时间，直观找路程等量。 题型 3 销售利润问题（生活应用题高频） 基础专用公式 单件利润 = 售价 − 进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 利润率 = ×100% 打折：售价 = 标价 × （打 8 折 = 标价 ×0.8） 等量思路 打折后售价−成本 = 利润；总销售额 = 单价 × 数量。 题型4 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 题型 5 等积变形问题（几何类） 核心不变量：物体体积 / 面积不变 圆柱形倒水：原水体积 = 新容器中水的体积 钢材锻造：锻造前体积 = 锻造后体积 长方形拉伸 / 切割：周长 / 面积固定等式 常用几何公式 长方体V=长×宽×高；圆柱V=r2h 题型 6 数字问题 两位数模型 十位数字a，个位数字b，则这个两位数表示为：10a+b 三位数模型 百位a、十位b、个位c：100a+10b+c 等量关系 新数字与原数字的和 / 差为定值、数字互换后大小变化。 易错 不能直接设两位数为ab，ab代表a×b，必须用数位加权表示。 题型 7 年龄问题 核心不变规律：两人年龄差永远不变 等量模板 n年前：各自年龄同时减n； n年后：各自年龄同时加n； 根据倍数、和差建立等式。 题型 8 配套 / 分配问题（生产、人员调配） 两类细分 人员调配：调出、调入后，两组人数倍数相等； 零件配套：一套产品需要甲m件、乙n件， 则 甲总数量\(:\)乙总数量=m:n，交叉相乘列方程。 例：1 个产品配 2 个螺丝，螺丝总数 = 2× 零件总数。 知识点 05 检验的两大要求 数学检验：将解代入原方程，左右两边相等，是方程的解； 实际检验：数值必须符合现实，不能出现负数人数、小数物品、负长度等。 知识点 06 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 1. 设未知数时单位不统一，书写格式错误 提醒：设未知数前统一题干单位；未知数本身不附带单位，最终作答再标注单位。 2. 等量关系判断错误，主观构造方程 提醒：依据题干文字提取等量关系列方程，不可凭空编造等式。 3. 设元后，无法用未知数表示其他相关量 提醒：选定未知数，结合题意将其余数量写成含该未知数的代数式。 4. 列方程时等式两边单位不一致 提醒：列方程前统一各项数量单位，单位不同不能直接列式。 5. 求得方程的解，未检验解的实际意义 提醒：方程的解需要符合实际背景，舍去不符合现实的解，如负数、非整数。 6. 行程问题混淆路程、速度、时间的数量关系 提醒：依据路程=速度时间，区分相遇、追及模型的等量关系。 7. 工程问题对总工作量设定错误 提醒：未给出具体工作总量时，常设总工作量为1；工作总量=工作效率×工作时间。 8. 利润问题混淆进价、售价、利润率的概念 提醒：利润=售价-进价；利润率=利润÷进价，计算利润率不可用售价替代进价。 9. 配套问题，部件数量比例列式颠倒 提醒：根据配套比例建立等式，准确写出部件间倍数关系，防止比例写反。 10. 分段计费问题，未划分取值区间直接计算 提醒：分段计费需划分自变量取值区间，各区间对应独立计算规则。 11. 解题作答，遗漏答句或答句与题干设问不符 提醒：求出有效解后，书写完整答句，答句要对应题目所求量。 12. 间接设元，直接输出所设未知数的值作答 提醒：采用间接设未知数时，求出未知数后，继续计算题目要求的目标量再作答。 题型 考察方向 难度 题型一 工程问题 ★★ 题型二 销售盈亏 ★★ 题型三 比赛积分 ★★ 题型四 方案选择 ★★★ 题型五 数字问题 ★★ 题型六 几何问题 ★★ 题型七 动点问题 ★★★★ 题型八 电费和水费问题 ★★ 题型九 行程问题 ★★★ 题型十 比例分配 ★★★ 题型十一 日历问题 ★★★ 题型十二 古代问题 ★★★ 题型十三 其他问题 ★★★ 题型十四 配套问题 ★★ 题型十五 和差倍分问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 工程问题 1．挖一条长的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖，乙队每天挖，需要几天才能挖完？设需要天才能挖完，则由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要___________天完成剩余工程 3．师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8小时，徒弟单独完成需要12小时．现在先由徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5小时． (1)求师徒两人合作检修的时间是多少小时？ (2)完成任务后共得劳动报酬1200元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多少元？ 4．列一元一次方程解决问题： 春联，俗称“门对”、“春贴”、“对联”、“对子”，雅称“楹联”，是中华民族传统民俗文化的重要组成部分，临近农历马年，某春联加工厂接到一项定制任务，要求12天完成．若由甲生产线单独生产，刚好按期完成：若由乙生产线单独生产，则将延期6天完成． (1)实际生产过程中，先安排甲生产线单独生产几天，再安排甲、乙生产线同时生产，最终提前2天完成任务，请问先安排甲生产线单独生产了几天？ (2)已知甲生产线原来每天的生产成本为2万元，乙生产线原来每天的生产成本为万元，后来加工厂对生产工艺进行了升级改造，甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元．升级后，按（1）中的实际生产安排，甲、乙生产线的总成本为万元，请求出的值． 题型二 销售盈亏 5．泌阳花岗岩是长江以北最大花岗岩生产基地，号称“中部石都”．产自河南泌阳（伏牛山与大别山交汇处），核心矿区：春水、象河、黄山口等乡镇．探明储量超10亿立方米，可开采百年以上，有效地拉动了地方经济．为了促销，一件品种为“芝麻白”花岗岩，先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利260元．若设这件“芝麻白”花岗岩的成本是元，根据题意，可得到的方程是（   ） A． B． C． D． 6．一家商店将某种服装按成本价提高后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ 如果设每件服装的成本价为x元，那么：每件服装的标价为：_____元； 每件服装的实际售价为：_____元； 每件服装的利润为：_____元； 由此，列出方程：_____；解方程，得_____． 因此每件服装的成本价是_____元． 7．2026年1月1日起，江西接续实施消费品以旧换新政策，覆盖汽车、家电、数码等多类消费品．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买______价格更低；（填序号） ①售价12.8万元的新能源乘用车；②售价13万元的2.0L燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均在最高补贴范围内，且补贴后的实际花费相等，若A车的销售价格比B车高3千元，请你求出A车和B车的销售价格各是多少万元． 8．“元旦”期间，大润发超市各个区域都有促销活动，小文一家去逛该超市，准备购买牛奶，根据以下素材，完成任务． 生活中的数学问题 素材1 超市有品牌牛奶大瓶和小瓶两种型号，大瓶牛奶每瓶15元，小瓶牛奶每瓶10元 素材2 小文去超市购买了8瓶品牌牛奶，共花了89元 素材3 过了几天，小明去超市，发现原价每瓶15元的品牌牛奶正在进行“买二送一”的促销活动 品牌牛奶促销套装温馨提示：1．买两瓶，送一瓶同款品牌牛奶；2．套装不可拆开单卖 问题解决 (1)小文妈妈说：“按原价购买，不可能是89元！”请说明小文妈妈这样说的理由 任务2 (2)小文看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打6折限购1瓶”的大瓶牛奶，请问小文购买了大瓶牛奶和小瓶牛奶各多少瓶 任务3 (3)小明按原价购买品牌大、小瓶牛奶若干瓶，同时购买品牌促销套装若干套，一共花费210元．其中品牌大瓶牛奶占所有牛奶瓶数（包括促销套装中赠送牛奶）的．求小明买了多少瓶品牌大瓶牛奶 题型三 比赛积分 9．学校组织知识竞赛，共道选择题，答对题加分，答错或不答扣分，某学生得了分，他答对了几道题？设他答对了道题，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．为全面提升学生的安全防范意识与应急处置能力，筑牢校园安全防线，某中学组织安全意识知识竞赛，共20题，且全部作答，评分规则是答对一题得10分，答错一题扣5分，芳芳小组得了110分，他们答对了________题． 11．在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 12．下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 爱国 9 9 0 18 敬业 9 5 4 14 诚信 9 4 5 13 友善 9 2 7 11 备注：总积分胜场积分负场积分 (1)胜一场积________分，负一场积________分； (2)若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ (3)若某队比赛场数为9场，负场总积分是胜场总积分的n倍（n为正整数），n的值为________． 题型四 方案选择 13．今年开学，由于疫情防控的需要，某学校统一购置口罩，其中给七年级（1）班全体学生配备了一定数量的口罩，若给每个学生发3个口罩，则多30个口罩，若给每个学生发5个口罩，则少50个口罩，请问该班有多少名学生？设该班有为x名学生，可列方程（    ） A． B． C． D． 14．国家发展改革委表示，今年国庆中秋小长假中，居民消费需求集中释放，进一步巩固了消费回升的好势头．小长假期间，某商场推出回馈消费者的打折活动，具体优惠情况如下表： 购物总金额（原价） 折扣 超过元且不超过元 全部商品打九折 超过元且不超过元 全部商品打八五折 超过元 全部商品打八折 某市民在该商场购买了一件原价元的商品和一件原价元的商品，实际付费元，则的值可能为________．（注：两件商品可以单独付款或一起付款）． 15．一家游泳馆每年6月—8月出售夏季会员证每张会员证120元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张15元，不凭会员证购买入场券每张20元．若设李明计划购买入场券x张． (1)李明凭会员证需付的费用为______元，不凭会员证需付的费用为______元；（用含x的代数式表示） (2)如果李明计划购买入场券20张，凭会员证合算还是不凭会员证合算？ (3)在什么情况下，李明凭会员证与不凭会员证需付的费用一样？ 16．某公园的门票是元/人，团体购票有如下优惠： 购票人数 1～人 ～人 人以上 票价 无折扣 超出人的部分，票价打八折 至人部分票价打八折，超出人的部分，票价打五折 某校七年级两个班到该公园秋游，其中甲班多于人，乙班不足人，如果以班为单位分别购票，两个班一共应付元；如果两个班作为一个团体购票，一共应付元． (1)甲、乙两个班一共多少人？（列一元一次方程解决问题） (2)甲班有多少人，乙班有多少人？（列一元一次方程解决问题） 题型五 数字问题 17．已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 18．如图，在的方阵图中，填写了一些数和字母（其中字母表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中字母表示的数为（     ） 13 12 8 A．6 B．7 C．9 D．10 19．如下表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等 (1)填空：______； (2)若前个格子中所填整数之和为，则的最小值为______； 20．阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： (1)①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； (2)若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 题型六 几何问题 21．如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是，长和宽的比为．求这枚纪念币的长和宽．设这枚纪念币的宽为，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 22．如图所示，在长方形中放入8个完全相同的小长方形，若，则图中阴影部分面积之和为________． 23．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？ 24．如图，、两点分别为数轴上的两个点，点对应的数为，点对应的数为28． (1)在数轴上有一点，若，求点对应的数； (2)现有一动点从出发沿数轴向左运动，速度为每秒4个单位长度；同时另一个动点恰好从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，当、两点重合时，同时停止运动．设两点运动时间为秒，求此时的值，并求出此时点在数轴上对应的数； (3)在（2）的条件下，为何值时，点到点的距离是点到点距离的？并求出此时点表示的数． 题型七 动点问题 25．如图，线段，动点 P 从A 出发，以的速度沿 运动，到达点 B即停止．已知M为的中点， N为的中点．以下说法正确的是（　　） ①运动后， ； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 26．如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为t（，单位：秒）当时，的度数是________；在转动过程中，当________时． 27．如图，已知数轴上点表示的数为，点是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时，另一点从原点出发，也沿数轴以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)点B表示的数为___________． (2)数轴上点表示的数为___________，点表示的数为___________；（用含的代数式表示） (3)经过多少秒点恰为的中点？ (4)当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 28．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点运动到点时又立即以原速度向点运动，点不停地以原速度往返于点与点之间．当运动到秒时，动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 题型八 电费和水费问题 29．小红所在城市的居民用水实行“阶梯价格”收费，收费办法是：每户用水不超过，每立方米水费元；超过，每立方米加收1.05元，小红家今年3月份用水，缴纳水费89.6元，根据题意列出关于的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 30．某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过吨，按每吨1元收费；若超过吨，则超过部分按每吨2元收费．如果某户居民五月份缴纳水费元，那么该居民这个月实际用水________吨． 31．为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）： 收费方式 年用水量/ 单价（元/） 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 (1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元； (2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量． 32．为鼓励居民节约用电，M市根据国家发改委的有关文件，结合地方实际，决定对居民生活用电实施“阶梯电价”收费：用电量不超过120千瓦·时的部分，电费价格0.6元/千瓦·时；超过120千瓦·时，但不超过300千瓦·时的部分，电费价格0.8元/千瓦·时；超过300千瓦·时的部分，电费价格1元/千瓦·时． (1)若小明家10月份用电350千瓦·时，求小明家10月份应缴纳的电费． (2)11月缴费后，小明经过计算发现当月平均电费为0.68元/千瓦·时，请直接写出小明家11月份用电范围属于哪一个“阶梯电价”，并求小明家11月份的用电量． 题型九 行程问题 33．如图，跑道由两个半圆部分和两条直跑道组成，两个半圆跑道的长都是，两条直跑道的长都是．小斌站在处小强站在处，两人同时逆时针方向跑步，小斌每秒跑，小强每秒跑．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（    ） A．半圆跑道上 B．直跑道上 C．半圆跑道上 D．直跑道上 34．运动场环形跑道的周长为400米，小红在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为5米/秒，同时爷爷在小红后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向匀速跑步，已知爷爷的速度小于小红的速度．若两人第一次相遇所用的时间为80秒，则爷爷的速度为__________米/秒． 35．列方程解决实际问题：某条城际铁路线从西往东依次有A，B，C三个车站，每天上午均有两个车次的列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行时刻的相关信息如表所示．已知次列车的行驶速度为千米/时，求次列车的行驶速度． 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经B站，不停车 36．A、B两地相距1200千米，甲车和乙车均从A地开往B地，且知甲车的速度是每小时行90千米，是乙车速度的1.5倍． (1)乙车的速度是 千米/小时，甲车从A地到B地用 小时，乙车从A地到B地用 小时． (2)若两车同时出发从A地开往B地，问乙车开出多长时间两车相距100千米？ (3)若两车均从A地开往B地，且乙车先出发5小时，问乙车开出多长时间两车相距100千米？ 题型十 比例分配 37．参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（     ） A．82分 B．86分 C．87分 D．88分 38．（浓度问题）实验室有甲、乙两种酒精溶液，现在某容器中装有甲溶液．若加入乙溶液．得到的酒精溶液浓度为；若加入乙溶液，得到的酒精溶液浓度为．那么加入乙溶液时，得到的酒精溶液浓度为( )%． 39．2025年红五月校园文化艺术节现场书法比赛即将开启，学校决定将综合实践活动教室布置为比赛场地，如图，这是该教室第一排5张课桌的布置示意图．布置说明：桌子与桌子、桌子与墙之间的距离均相等，课桌的桌宽均相等，且间距：桌宽，现测得该教室内南墙到北墙之间的距离是6米，请计算出该教室布置的间距与桌宽． 40．如图，在长方形休闲广场的一组对角设计两块半径相同的四分之一圆形花坛，另一组对角设计两个大小一样的三角形草坪，圆形的半径、三角形与广场边重合的边长都为，广场长为，宽为． (1)列式表示广场空地的面积（结果保留） (2)若，，，现在广场中央修建一个周长为且长宽比例与广场相同的长方形水池，求广场空地的面积．（结果保留） 题型十一 日历问题 41．如图，在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期之和可能为（    ） 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．21 B．32 C．45 D．75 42．如图是一个按规律排列的数表的一部分，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，当时，_____________． 43．综合与实践 数学活动课上，数学老师展示了一张2025年10月的月历表，让同学们观察数字间的关系，发现数学规律． 【观察发现】如图，在表中用一个小方框画出“”形，任意圈出4个阿拉伯数字x，y，z，t．若被圈到的数恰好为时，发现有下列数量关系：，，． 【解决问题】 (1)请用含有x的式子表示y，z，t． (2)按照上述方法，所圈出的四个数的和能否等于100？请列出一元一次方程并解答． 44．月历常用于生活，它们有很多奥秘如图1是某月的月历图，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数字如图2所示，则____，____； (2)移动方框，若方框中的部分数字如图3所示． ①___（用含的代数式表示） ②中间竖列的和能为46吗？若能，求的值．若不能，通过计算说明理由． 题型十二 古代问题 45．“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：鸡笼里有鸡也有兔，从上面看有35个头，从下面看有94只脚，请问笼中有多少只鸡？多少只兔？这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 46．我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“假田”租赁的问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年亩收钱；第二年亩收钱；第三年亩收钱．三年共收得地租钱．问租赁田多少亩？若设租赁田亩，则可列方程为________． 47．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 48．隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？ (1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答； 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)请你换一种方法解决这个问题． 题型十三 其他问题 49．某村通过电商平台推广山野菜．原计划用一批A型货车运输，若每辆货车装载3吨，恰好能一次性运完所有山野菜．实际运输时更换为载重量比A型货车少1吨的B型货车，且车辆数量比原计划增加了2辆，也恰好能一次性运完．这批山野菜的总重量为（   ） A．12吨 B．15吨 C．18吨 D．24吨 50．有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为、、，其中甲瓶糖水重千克．先把甲、乙两瓶中的糖水混合，浓度变为；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为的糖水．原来丙瓶中有________千克的糖水． 51．龙门学校图书馆准备向某出版社邮购x（x是10的整数倍）本课外读物，每本书的单价为15元．出版社规定：邮购10本以下（包括10本）共需加邮费6元；邮购10本以上（不包括10本）需加的邮费为总书价的．在邮局汇款时，每100元汇款支付汇费1元．汇款不足100元时，按100元汇款收取汇费． (1)如果图书馆每次邮购10本，分次邮购，那么所需的费用为790元．求x的值． (2)如果邮购60本课外读物，通过计算比较，分6次邮购和一次性邮购这两种方式，哪种邮购方式费用少？ 52．为改善生态环境，植树节五、六年级的同学参加植树活动，学校买回的树苗按下列方法分配到各班，第一个班取走了100棵，又取走余下的，第二个班取走200棵，又取走余下的，第三个班取走300棵，又取走余下的，……，如此下去，最后全部的树苗被各班取完，而且各班所得到的树苗棵数相等，那么有多少树苗？有几个班参加植树活动？ 题型十四 配套问题 53．某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送150件，则还剩60件无人派送；若每个快递员派送170件，则还差20件．设快递包裹有件，快递员有人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 54．某车间共22名工人，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？设安排x名工人生产螺栓，可列出方程__________． 55．某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 56．如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为3米，另一边长为米，玻璃上方安装了两张半径为1米的相同的扇形遮光帘． (1)某厂家现有工人40人，平均每人每天可加工长方形玻璃10块或遮光帘5张，为使每天生产的玻璃数量：遮光帘数量，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的工人各多少名？ (2)在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下： 遮光帘（元） 玻璃（元） 甲厂家 80 不超过，200元；超过的部分，160元． 乙厂家 100 190元，且每购买的玻璃赠送遮光帘 若李明在甲、乙两厂安装此窗户所需的费用相同，求的值（取3）． 题型十五 和差倍分问题 57．甲、乙一起在收藏市场挑选纪念币，两人最终购买的纪念币总数为枚．若甲将枚纪念币送给乙，此时乙的纪念币数恰好是甲的倍，则甲购买的纪念币为___________枚． 58．小强根据方程编写了一道应用题：“我班美术社团的同学计划在教师节前做一批手工艺品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；________，请问我班美术社团的同学有多少人？”若设我班美术社团有x人，则“________”中的内容应为（   ） A．如果每人做6个，那么就比计划少7个 B．如果每人做6个，那么就比计划多7个 C．如果每人做7个，那么就比计划少6个 D．如果每人做7个，那么就比计划多6个 59．2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 60．为响应“乡村振兴·助农兴商”号召，某社区助农驿站第一次用元购进本地特色的甲、乙两种农产品进行线上线下销售，其中乙农产品的件数比甲农产品件数的倍多件，两种农产品的进价和售价如下表：（注：获利售价进价，农产品销售利润全部用于本地乡村公益建设） 农产品 甲（特色果蔬） 乙（手工杂粮） 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该助农驿站第一次购进甲、乙两种农产品各多少件？ (2)该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部售完后，所获利润可支持多少元的乡村公益建设？ (3)该助农驿站第二次以第一次的进价再次购进甲、乙两种农产品，其中甲农产品件数不变，乙农产品件数是第一次的倍；甲农产品按原售价销售，乙农产品因推出公益装，在原售价基础上进行打折销售，第二次全部售完后获得的总利润比第一次多元，求第二次乙产品是按原售价打几折销售？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $