专题06有理数的乘方及混合运算知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题06有理数的乘方及混合运算知题通关讲义 知识点01:乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 2.各部分名称 an整体称为幂；a是底数；n是指数。 读法：an读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 a2：平方；a3：立方； 指数为 1 时省略不写，即a1=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03:科学记数法 1.适用对象：大于 10 的大数 标准形式：a10n 硬性要求：1a<10，n为正整数。 2.指数n快速确定方法：原数整数位数-1 3.两类题型：大数改写科学记数法、科学记数法还原成原数。 4.易错点：a不能大于等于 10，也不能小于 1。 知识点04:有理数混合运算固定顺序（必背） 1.先算括号：从小括号→中括号→大括号，由内向外计算； 2.无括号层级：先乘方，再乘除，最后加减； 3.同级运算（只加减 / 只乘除）：从左往右依次计算。 知识点05:混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可漏乘。 知识点06:混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清(-a)n与-an； 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除； 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算； 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 运算技巧 小数统一化为分数，方便约分； 带分数拆成整数 + 分数再计算； 灵活使用加法交换律、结合律、乘法分配律简化计算； 乘除混合统一转化为乘法（除以一个数 = 乘它的倒数） 知识点07:近似数、精确位数（拓展配套知识点） 准确数：完全符合实际的精确数值； 近似数：通过四舍五入得到、与实际接近的数； 精确到哪一位判断：看最后一位有效数字对应的数位。 例：3.14精确到百分位；5.2103精确到百位。 1. 负数、分数作底数，忘记添加括号 提醒：没有括号时，指数仅作用于紧邻的数；负数与分数作为完整底数，必须加括号。 2. 混淆 -an 与 (-a)n 的意义 提醒：-an 是 an 的相反数；(-a)n 是 -a 的 n 次乘方，二者不相等。 3. 把乘方理解为底数乘指数 提醒：an 表示 n 个 a 相乘，不是 a×n。 4. 认为一个数的平方一定是正数 提醒：有理数的平方是非负数，0的平方等于0。 5. 认为所有偶次幂都是正数 提醒：非零数的偶次幂为正，0的正整数次幂等于0。 6. 判定奇次幂符号时，只看指数不看底数 提醒：奇次幂的符号由底数符号决定，指数只决定运算类型。 7. 记错1和‑1的乘方结果 提醒：1的任意正整数次幂为1；‑1的偶次幂为1，奇次幂为‑1。 8. 混合运算中，乘方与乘法的运算顺序颠倒 提醒：优先级：先乘方，再乘除，最后加减。 9. 同级运算不按从左到右依次计算 提醒：乘除为一级、加减为一级，同级运算必须从左向右运算，不能自行改变顺序。 10. 存在括号时，先算括号外的高优先级运算 提醒：有括号应优先计算括号内，再处理括号外。 11. 多重括号不按由内向外计算 提醒：多重括号顺序：先小括号，再中括号，最后大括号。 12. 错误对括号内各项分别套用乘方 提醒：乘方没有分配律，不能将指数直接分配给括号里每一项。 13. 多步运算中遗漏、写错符号 提醒：每完成一步，重新确认结果符号，不要直接沿用上一步的符号。 14. 遇到0、1、‑1的乘方，按普通乘法重复计算 提醒：0、1、‑1的乘方有固定结论，可直接判定，不必逐次相乘。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★ 题型五 乘方的应用 ★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型八 算 “24” 点 ★★ 题型九 含乘方的有理数混合运算 ★★ 题型十 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型十一 求一个数的近似数 ★ 题型十二 求近似数的精确度 ★★ 题型十三 近似数推断取值范围 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 有理数幂的概念理解 1．代数式可以表示成（    ） A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加 2．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 3．若a和b互为相反数，且a≠0，则下列各组中，不是互为相反数的一组是（    ） A．–2a3和–2b3 B．a2和b2 C．–a和–b D．3a和3b 题型二 有理数的乘方运算 4．______． 5．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 6．求______． 7．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，不同进位制的数字之间也能进行转换，例如二进制数可转化为十进制数（规定当时，）则二进制数转化为八进制数可以表示为（　　） A． B． C． D． 题型三 有理数乘方逆运算 8．立方等于64的数是_________． 9．，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 10．若，则__． 11．如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（　　） A．A1 B．B1 C．A2 D．B3 题型四 乘方运算的符号规律 12．若个相乘的结果小于，则的值可以为 _____________（写出一个即可）． 13．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 14．下列说法：①若，则；②若，则；③，则；④的最大值为5；⑤若三个有理数满足，则．其中正确的有______________．（填序号） 题型五 乘方的应用 15．《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 16．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示，一位母亲在从右到左一次排列的绳子上大街，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是________． 17．蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为是打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人．某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，则下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第10代的只数是（    ） A． B． C． D． 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 18．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．以节约一粒米的账来算：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 19．温州园博园2026年五一假期累计接待游客1161000人次，将1161000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 20．2026年3月27日江西省统计局发布，江西省2025年全年出生人口为万人，将万用科学记数法可表示为________． 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 21．人体中大约有个红细胞，用科学记数法表示的数，原数是__________ 22．2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 23．若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 题型八 算 “24” 点 24．有一种“24点”游戏，从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，将牌面上的数字进行运算（可使用加、减、乘、除、乘方或括号），每个数用且只用一次，使其结果为24．若抽取牌面数字为，，2，3，请写出一种运算等式：___________． 25．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 26．泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 题型九 含乘方的有理数混合运算 27．计算：________． 28．定义新运算：则 的值为 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．计算：_______． 30．定义新运算“”，规定（其中）．例如，．则的值为______． 题型十 程序流程图与有理数计算 31．根据下列运算程序，若输入，则输出的结果为（     ） A．4 B．2 C． D． 32．数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是_____； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则_____。 33．按图中的程序运算，如果第一次输入x的值是2，则第2025次输出的结果是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 题型十一 求一个数的近似数 34．用四舍五入法取近似数：__________．（精确到千分位） 35．三千九百零六万零四十写作______，省略万后面的尾数约是______． 36．按括号内的要求，用四舍五入法取近似数，其中正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．39.37亿亿（精确到个位） D．（精确到0.0001） 题型十二 求近似数的精确度 37．由四舍五入得到的近似数1.25万，精确到______位． 38．下列说法正确的是（   ）． A．保留了三位小数 B．万精确到个位 C．近似数千和精确度相同 D．精确到千分位 39．下列说法中正确的有（    ）个． 近似数与是一样的； 近似数精确到，有效数字是，； 近似数精确到个位，有效数字是，，，； 由四舍五入法得到的近似数精确到十分位，有个有效数字． A． B． C． D． 题型十三 近似数推断取值范围 40．一个三位小数四舍五入保留两位小数时，它的值约是7.40，这个三位小数最大是( )，最小是( )． 41．数四舍五入后的近似值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．下列说法中正确的有（    ） 近似数与表示的意义不同； 近似数是精确到十位； 近似数是精确到； 精确到百位； 近似数所表示的准确数是． A．个 B．个 C．个 D．个 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2) 4．经调查发现，六（1）班同学上、下学的出行方式有：家长开车接送、乘坐公交车、步行． (1)哪种出行方式最环保？ (2)琪琪每天由家长开车接送（一个往返），已知琪琪家汽车行驶的平均速度是40千米/时，单程用时15分钟，这辆汽车每千米排放160克二氧化碳． ①琪琪家离学校有多远？ ②琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放多少千克二氧化碳？ (3)一棵树每天大约吸收二氧化碳5000克，琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要几棵树才能在一天内吸收完？ 5．如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． (1)若表示2，输入的数为，求计算结果； (2)若计算结果为8，且输入的数字是4，则表示的数是_________． 6．请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06有理数的乘方及混合运算知题通关讲义 知识点01:乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 2.各部分名称 an整体称为幂；a是底数；n是指数。 读法：an读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 a2：平方；a3：立方； 指数为 1 时省略不写，即a1=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03:科学记数法 1.适用对象：大于 10 的大数 标准形式：a10n 硬性要求：1a<10，n为正整数。 2.指数n快速确定方法：原数整数位数-1 3.两类题型：大数改写科学记数法、科学记数法还原成原数。 4.易错点：a不能大于等于 10，也不能小于 1。 知识点04:有理数混合运算固定顺序（必背） 1.先算括号：从小括号→中括号→大括号，由内向外计算； 2.无括号层级：先乘方，再乘除，最后加减； 3.同级运算（只加减 / 只乘除）：从左往右依次计算。 知识点05:混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可漏乘。 知识点06:混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清(-a)n与-an； 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除； 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算； 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 运算技巧 小数统一化为分数，方便约分； 带分数拆成整数 + 分数再计算； 灵活使用加法交换律、结合律、乘法分配律简化计算； 乘除混合统一转化为乘法（除以一个数 = 乘它的倒数） 知识点07:近似数、精确位数（拓展配套知识点） 准确数：完全符合实际的精确数值； 近似数：通过四舍五入得到、与实际接近的数； 精确到哪一位判断：看最后一位有效数字对应的数位。 例：3.14精确到百分位；5.2103精确到百位。 1. 负数、分数作底数，忘记添加括号 提醒：没有括号时，指数仅作用于紧邻的数；负数与分数作为完整底数，必须加括号。 2. 混淆 -an 与 (-a)n 的意义 提醒：-an 是 an 的相反数；(-a)n 是 -a 的 n 次乘方，二者不相等。 3. 把乘方理解为底数乘指数 提醒：an 表示 n 个 a 相乘，不是 a×n。 4. 认为一个数的平方一定是正数 提醒：有理数的平方是非负数，0的平方等于0。 5. 认为所有偶次幂都是正数 提醒：非零数的偶次幂为正，0的正整数次幂等于0。 6. 判定奇次幂符号时，只看指数不看底数 提醒：奇次幂的符号由底数符号决定，指数只决定运算类型。 7. 记错1和‑1的乘方结果 提醒：1的任意正整数次幂为1；‑1的偶次幂为1，奇次幂为‑1。 8. 混合运算中，乘方与乘法的运算顺序颠倒 提醒：优先级：先乘方，再乘除，最后加减。 9. 同级运算不按从左到右依次计算 提醒：乘除为一级、加减为一级，同级运算必须从左向右运算，不能自行改变顺序。 10. 存在括号时，先算括号外的高优先级运算 提醒：有括号应优先计算括号内，再处理括号外。 11. 多重括号不按由内向外计算 提醒：多重括号顺序：先小括号，再中括号，最后大括号。 12. 错误对括号内各项分别套用乘方 提醒：乘方没有分配律，不能将指数直接分配给括号里每一项。 13. 多步运算中遗漏、写错符号 提醒：每完成一步，重新确认结果符号，不要直接沿用上一步的符号。 14. 遇到0、1、‑1的乘方，按普通乘法重复计算 提醒：0、1、‑1的乘方有固定结论，可直接判定，不必逐次相乘。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★ 题型五 乘方的应用 ★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型八 算 “24” 点 ★★ 题型九 含乘方的有理数混合运算 ★★ 题型十 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型十一 求一个数的近似数 ★ 题型十二 求近似数的精确度 ★★ 题型十三 近似数推断取值范围 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 有理数幂的概念理解 1．代数式可以表示成（    ） A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘方运算的概念．将化为，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴可以表示成3个相乘， 故选：A． 2．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数幂的定义和有理数的乘法的定义，进行求解即可． 【详解】解：． 故选D 3．若a和b互为相反数，且a≠0，则下列各组中，不是互为相反数的一组是（    ） A．–2a3和–2b3 B．a2和b2 C．–a和–b D．3a和3b 【答案】B 【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案． 【详解】A、∵a和b互为相反数，∴–2a3和–2b3，互为相反数，故此选项错误； B、∵a和b互为相反数，∴a2和b2，相等，故此选项正确； C、∵a和b互为相反数，∴–a和–b，互为相反数，故此选项错误； D、∵a和b互为相反数，∴3a和3b，互为相反数，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了互为相反数的定义，正确判断各数的符号是解题关键． 题型二 有理数的乘方运算 4．______． 【答案】 【详解】解：． 5．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘方的意义和分数的乘法法则即可判断正确选项． 【详解】A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D错误； 6．求______． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘方的运算，令，则，再由计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：令， ∴， 由可得，， ∴， 故答案为：． 7．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，不同进位制的数字之间也能进行转换，例如二进制数可转化为十进制数（规定当时，）则二进制数转化为八进制数可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，根据题意列得正确的算式是解题的关键． 先将展开计算得，再将根据题意写成八进制数． 【详解】解：对展开计算， ​ ， ， 故转化为八进制数可以表示为． 故选：B． 题型三 有理数乘方逆运算 8．立方等于64的数是_________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴立方等于64的数是4， 故答案为：4． 9．，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 10．若，则__． 【答案】 【分析】由可得，然后将之代入，然后运用有理数乘法运算得出规律，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则 ＝ ＝ ＝ ．．． ＝ ＝ ＝ ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值非负性的应用，根据有理数乘方逆运算得出算式的规律是解本题的关键． 11．如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（　　） A．A1 B．B1 C．A2 D．B3 【答案】B 【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断． 【详解】由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789， 整理得：2n＝260， 则n不是整数，故A1的值不可以等于789； A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789， 整理得：2n＝254， 则n不是整数，故A2的值不可以等于789； B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789， 整理得：2n＝256＝28， 则n是整数，故B1的值可以等于789； B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789， 整理得：2n＝252， 则n不是整数，故B3的值不可以等于789； 故选：B． 【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子． 题型四 乘方运算的符号规律 12．若个相乘的结果小于，则的值可以为 _____________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数乘法的符号规律，可得为奇数，结合任取一个满足条件的值即可． 【详解】解：∵个相乘的结果小于， 又∵负因数个数为奇数时乘积为负， ∴为奇数， ∵， ∴取即可． 13．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 14．下列说法：①若，则；②若，则；③，则；④的最大值为5；⑤若三个有理数满足，则．其中正确的有______________．（填序号） 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】根据绝对值的意义以及乘方的意义进行解答即可． 【详解】解：①若，则，原结论错误； ②若，则，原结论错误； ③，则；原结论正确； ④∵， ∴的最小值为5，原结论错误； ⑤若三个有理数满足， 则有一个负数或两个负数， 当有一个负数时，， 当有两个负数时，， ∴，故结论正确； 故答案为：③⑤． 【点睛】本题考查了绝对值的意义以及乘方的意义，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键． 题型五 乘方的应用 15．《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】初始木棍长1米，每天截去一半，即剩余长度为前一天的，由此可推出第天剩余长度为米，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵初始木棍长1米，第一天截去一半后，剩余长度为米； 第二天截去一半后，剩余长度为米； 第三天截去一半后，剩余长度为米； 以此类推，第天剩余长度为米． 当时，剩余长度为米． 16．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示，一位母亲在从右到左一次排列的绳子上大街，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是________． 【答案】165 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：． 故答案为：165． 17．蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为是打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人．某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，则下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第10代的只数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可； 【详解】∵第一代有11只，则下一代就会有121只， 以此类推，可知蟑螂第10代的只数是； 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，利用乘方的定义计算是解题的关键． 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 18．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．以节约一粒米的账来算：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：3240万． 19．温州园博园2026年五一假期累计接待游客1161000人次，将1161000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定． 【详解】解：． 20．2026年3月27日江西省统计局发布，江西省2025年全年出生人口为万人，将万用科学记数法可表示为________． 【答案】 【分析】先将带单位“万”的数改写为普通整数，再根据科学记数法的要求确定和的值，科学记数法形式为，满足，为整数． 【详解】解：万． 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 21．人体中大约有个红细胞，用科学记数法表示的数，原数是__________ 【答案】 【详解】解：对于，将的小数点向右移动位，得． 22．2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【详解】解：千米/小时米/小时． 23．若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 【答案】5 【分析】由题意得，求出，再结合科学记数法的规则计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴这个数中被覆盖的0有5个． 题型八 算 “24” 点 24．有一种“24点”游戏，从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，将牌面上的数字进行运算（可使用加、减、乘、除、乘方或括号），每个数用且只用一次，使其结果为24．若抽取牌面数字为，，2，3，请写出一种运算等式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则；根据题意列式计算即可得解． 【详解】解：由题意，得， 故答案为：（答案不唯一）． 25．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 26．泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 【答案】 30 ． 【分析】（1）根据乘积最大的就是找符号相同且绝对值最大的数，即可求解； （2）根据2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，应选择被除数为绝对值尽可能大、除数绝对值尽可能小； （3）用加减乘除只要得数是24即可． 【详解】解：（1）由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是； （2）由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，最小值是； （3）由题意可得， ① ②． 题型九 含乘方的有理数混合运算 27．计算：________． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算乘法，利用负数奇次幂的性质计算． 【详解】解：∵是奇数， ∴， ∵， ∴原式 ． 28．定义新运算：则 的值为 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，只需将对应数值代入给定的新运算公式进行计算即可． 【详解】解：∵定义新运算 ∴将，代入公式得 故选：A． 29．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序． 根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 30．定义新运算“”，规定（其中）．例如，．则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义运算直接计算即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 题型十 程序流程图与有理数计算 31．根据下列运算程序，若输入，则输出的结果为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解： . 32．数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是_____； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则_____。 【答案】 2 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据卡片顺序为，计算，即可求解； （2）根据题意得，，即可求解． 【详解】解：（1）依题意， ； （2）依题意，得， 解得：． 33．按图中的程序运算，如果第一次输入x的值是2，则第2025次输出的结果是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能够通过运算找出规律是解题关键．根据题意依次求出每次输入结果，发现规律为从第1次输入开始，结果按照1,6,3,8,4,2的顺序循环，据此即可求解． 【详解】解：当第1次输入x的值是2，输出的结果为； 第2次输入的x的值是1，输出的结果为； 当第3次输入x的值是6，输出的结果为； 第4次输入的x的值是3，输出的结果为； 当第5次输入x的值是8，输出的结果为； 第6次输入的x的值是4，输出的结果为； 第7次输入的x的值是2，输出的结果为； ……， 由此可得，从第1次输入开始，结果按照1,6,3,8,4,2的顺序循环， 因为， 所以第2025次输出的结果是3． 故选：A 题型十一 求一个数的近似数 34．用四舍五入法取近似数：__________．（精确到千分位） 【答案】 【分析】精确到千分位即小数点后保留三位小数，需看万分位上的数字，根据四舍五入法进行近似即可． 【详解】解：（精确到千分位）． 35．三千九百零六万零四十写作______，省略万后面的尾数约是______． 【答案】 39060040 3906万 【分析】按照整数的写法规则写出目标数，再利用四舍五入法省略万位后面的尾数得到结果 【详解】解：三千九百零六万零四十写作：， 千位上的数为，，舍去万位后的尾数，再加上计数单位“万”，因此：万 36．按括号内的要求，用四舍五入法取近似数，其中正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．39.37亿亿（精确到个位） D．（精确到0.0001） 【答案】B 【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：A．2.604≈2.6（精确到十分位），所以A选项不符合题意； B．（精确到0.1位），所以B选项符合题意； C．39.37亿37000000（精确到个位），所以C选项不符合题意； D．（精确到0.0001），所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 题型十二 求近似数的精确度 37．由四舍五入得到的近似数1.25万，精确到______位． 【答案】百 【分析】本题考查了近似数，解题的关键是掌握近似数． 近似数1.25万表示实际数值12500，数字部分1.25的最后一位5位于百分位，但由于单位是万，百分位对应实际数值的百位，因此精确到百位． 【详解】解：近似数1.25万是由四舍五入得到的，它表示精确到0.01万， 即100， ∴精确到百位．故答案为百． 38．下列说法正确的是（   ）． A．保留了三位小数 B．万精确到个位 C．近似数千和精确度相同 D．精确到千分位 【答案】D 【分析】本题考查近似数的精确度概念，需根据各选项的数字判断其保留的小数位数或精确到的数位． 【详解】解：A、保留了四位小数，故A错误； B、万，其中数字在千位上，它精确到千位，而非个位，故B错误； C、 近似数“千”表示，但精确到千位（误差范围），而“”作为近似数时通常精确到个位（误差范围）， 精确度不同，故C错误； D、精确到千分位，故D正确； 故选：D． 39．下列说法中正确的有（    ）个． 近似数与是一样的； 近似数精确到，有效数字是，； 近似数精确到个位，有效数字是，，，； 由四舍五入法得到的近似数精确到十分位，有个有效数字． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了近似数与有效数字，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法，掌握近似数与有效数字的概念是解答本题的关键． 根据近似数与有效数字的概念对各小题分析判断后即可得解． 【详解】解：近似数精确到，近似数精确到，故错误； 近似数精确到，有效数字是，，故正确； 近似数精确到个位，有效数字是，，，，故正确； 由四舍五入法得到的近似数精确到十分位，有、、、共个有效数字，故正确； 综上所述，正确的是共个， 故选：B． 题型十三 近似数推断取值范围 40．一个三位小数四舍五入保留两位小数时，它的值约是7.40，这个三位小数最大是( )，最小是( )． 【答案】 【分析】四舍五入保留两位小数得到，分“四舍”“五入”两种情况，“四舍”得到近似数时原数更大，可求出最大的三位小数；“五入”得到近似数时原数更小，可求出最小的三位小数． 【详解】解：分两种情况推导： 当原三位小数通过“四舍”得到时， ∵ 四舍规则要求千分位上的数小于，舍去后不改变前两位小数， ∴ 千分位最大取，这个三位小数最大是； 当原三位小数通过“五入”得到时， ∵ 五入规则要求千分位上的数大于或等于，进后得到， ∴ 进前原数的前两位小数为，千分位最小取，这个三位小数最小是． 41．数四舍五入后的近似值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似值是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于，则应进；若下一位小于，则应舍去． 【详解】解：根据取近似数的方法，则的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，注意：取近似数的时候，精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 42．下列说法中正确的有（    ） 近似数与表示的意义不同； 近似数是精确到十位； 近似数是精确到； 精确到百位； 近似数所表示的准确数是． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了指出一个近似数精确到哪一位，由近似数推断真值范围等知识点，熟练掌握近似数的相关知识是解题的关键． 根据精确度判断；根据系数中的位置确定精确度，从而判断；根据末位数字的位置确定精确度，从而判断；根据末位数字的位置确定精确度，从而判断；根据四舍五入方法判断． 【详解】解：近似数的精确度是，的精确度是，故正确； 近似数是精确到十位，故正确； 近似数是精确到的近似数，故正确； 精确到个位，故错误； 近似数所表示的准确数的范围是，故错误； 说法正确的有，共个， 故选：． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算以及有理数乘方逆运算，解题的关键是熟练运用运算律和乘方逆运算法则． （1）利用加法结合律，将同分母的分数结合起来进行计算； （2）利用有理数乘方逆运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．经调查发现，六（1）班同学上、下学的出行方式有：家长开车接送、乘坐公交车、步行． (1)哪种出行方式最环保？ (2)琪琪每天由家长开车接送（一个往返），已知琪琪家汽车行驶的平均速度是40千米/时，单程用时15分钟，这辆汽车每千米排放160克二氧化碳． ①琪琪家离学校有多远？ ②琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放多少千克二氧化碳？ (3)一棵树每天大约吸收二氧化碳5000克，琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要几棵树才能在一天内吸收完？ 【答案】(1)步行 (2)①10千米；②16千克 (3)4棵 【分析】（1）结合三种出行方式的碳排放特点，直接判断最环保的出行方式． （2）①先将单程用时的时间单位统一为小时，因为路程=速度×时间，所以代入平均速度和单程时间即可计算出单程距离．②先计算单日往返的总路程，再结合每千米二氧化碳排放量算出单日排放量，因为一周有5天，所以乘以5得到一周总排放量，再进行单位换算得到以千克为单位的结果． （3）因为需要的树的数量=一周排放的二氧化碳总质量÷一棵树一天吸收的二氧化碳质量，所以代入对应数值，结果根据实际情况取整即可． 【详解】（1）解：步行不产生尾气排放，能源消耗为零，因此步行最环保． （2）①15分钟小时 , （千米） 答：琪琪家离学校10千米． ②（克）千克 答：琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放16千克二氧化碳． （3）（棵） 答：琪琪家汽车接送琪琪一周（5天）排放出的二氧化碳至少需要4棵树才能在一天内吸收完． 【点睛】 5．如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“”表示一个有理数． (1)若表示2，输入的数为，求计算结果； (2)若计算结果为8，且输入的数字是4，则表示的数是_________． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查与流程图有关的有理数混合运算，依据流程图列出算式或方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）设表示的数是， ， 解得． 6．请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 【答案】(1)①13 ，②435 (2) (3)10101 (4)2D 【分析】（1）根据进制数的位值表示法，将每一位数字乘以对应基数的幂次后求和，即可转化为十进制． （2）分别将三进制数和二进制数转化为十进制数，再比较大小． （3） 采用“除二余法”将十进制数反复除以，记录余数，倒序排列即为二进制结果． (4) 先将二进制数按位值展开转化为十进制数，再用“除十六取余法”将十进制数转化为十六进制数． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：， ， ， ． （3）解：用除取余法， ， ， ， ， ， 将余数从下往上倒序排列，得． （4）解：第一步，将二进制数转化为十进制数： ． 第二步，用除16取余法将45转化为十六进制数： ， ， 将余数从下往上倒序排列，得， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $