专题12一元一次方程的认识及解法知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题12一元一次方程的认识及解法知题通关讲义 知识点 01 等式、代数式、方程区分 1 基础定义 代数式：只用运算符号连接数字、字母，不含等号、不等号。 例：3x、2a-5、y 等式：含有等号，表示左右两边相等的式子，分为两类： 恒等式：永远成立2+3=5 条件等式（方程）：含未知数，只有未知数取特定值才成立 方程：含有未知数的等式。 2.判定方程两个必要条件（同时满足） ① 必须有等号；② 必须含有未知数。 3.三类式子对比表 知识点 02 方程的解、解方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数）。 检验方法：把数值代入方程左右两边，若左边 = 右边，就是方程的解。 解方程：求方程解的全过程（是一个运算步骤）。 易错区分 方程的解：结果（数字）；解方程：动作、过程。 知识点 03 一元一次方程定义（本节核心） 一元一次方程四判定条件（全部满足） （1）只含一个未知数（一元）； （2）未知数的次数都是1 次（一次）； （3）等号两边都是整式（分母不含未知数，无根号、分式未知数）； （4）化简后未知数系数不为 0。 标准形式 ax+b=0(a≠0），(a、b为常数，x是未知数） 正反举例 ✅是一元一次方程：2x-6=0、5=3x ❌ 不是： x+y=3（两个未知数）、x2=4（次数 2）、+2=5（分母含未知数，分式） 知识点 04 列简易方程（从文字到等式） 1.列方程三步法 （1）审题，找出题目中的等量关系； （2）设未知数（直接设：求什么设什么；间接设）； （3）用含未知数的代数式表示等量关系，写出等式。 2.常见等量关系模板 和差：大数 ± 小数 = 和 / 差 倍数：几倍量 = 基数 × 倍数 公式类：路程 = 速度 × 时间，总价 = 单价 × 数量 知识点05:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a 均为等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 4.等式性质易错提醒： （1）等式两边运算必须完全相同，不能一边加、一边乘； （2）除法时分母不能为 0； （3）不能只对等式一侧变形。 知识点 06 解一元一次方程标准五大步骤（通用流程） 完整步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1 分步详细规则、易错点 步骤 1：去分母 操作：等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数； 关键：不含分母的常数项也要乘，不能漏乘； 易错：分子是多项式时，去分母后必须加括号。 例：+1=x，两边 ×2 得 (x-1)+2=2x，不能写成x-1+1=2x 步骤 2：去括号 依据乘法分配律 a(m+n)=am+an （1）括号前是正号：去括号，内部符号不变； （2）括号前是负号：去括号，括号内每一项全部变号； （3）数字乘数要乘括号内每一项，禁止漏乘。 例：-2(x-3)=-2x+6 步骤 3：移项（核心高频考点） 定义：把方程中某一项改变符号后，从等式一边移到另一边； 规则：移项必变号，不移不变号； 目的：含未知数项放左边，常数项放右边； 易错：只在同侧交换位置，不属于移项，不能变号。 例：3x+5=2x-1 移项得 3x-2x=-1-5 步骤 4：合并同类项 （1）同类：未知数相同、次数相同的项； （2）操作：未知数系数相加减，字母不变； 结果化为最简形式：ax=b(a≠0) 步骤 5：系数化为 1 操作：方程两边同时除以未知数系数a，或乘； 区分符号：正数除以正数结果为正，正负相除得负； 格式：x= 知识点 06 四种简化题型（不用完整五步） 1.无分母、无括号：直接移项、合并、系数化 1 例：4x-7=x+2 2.有括号无分母：先去括号，再移项合并 3.有分母无括号：先去分母，再移项合并 4.含小数分母：先利用分数基本性质化为整数分母，再去分母 知识点 07含参数的一元一次方程拓展 若(m-2)x+3=0是一元一次方程，则未知数系数m-2≠0，即m≠2； 已知方程的解，求参数：把解代入原方程，得到关于参数的新方程，求解参数。 例：已知x=3是2x+a=10的解，代入得6+a=10，a=4 1. 判定一元一次方程，忽略未知数次数要求 提醒：一元一次方程中未知数最高次数为1，未知数不能出现在分母中。 2. 判定一元一次方程，忽略未知数个数要求 提醒：一元一次方程只含一个未知数，两个及以上未知数的方程不是一元一次方程。 3. 误将代数式判定为方程 提醒：方程必须是含有未知数的等式，无等号的代数式不属于方程。 4. 利用等式性质变形，常数项漏乘 提醒：等式两边同乘一个数时，等式所有项均参与运算，常数项不可遗漏。 5. 移项运算不改变项的符号 提醒：项从等式一侧移到另一侧必须变号；等式同侧交换项的位置，无需变号。 6. 去括号，括号内部分项漏乘系数 提醒：括号外的系数要与括号内每一项相乘，不可仅乘第一项。 7. 括号前带负号，去括号时符号处理错误 提醒：括号前面为负号，去括号后括号内每一项均改变符号。 8. 去分母时，不含分母的常数项漏乘最小公倍数 提醒：去分母操作，等式全部项乘以分母最小公倍数，常数项不可漏乘。 9. 分母化为整数时混淆等式性质与分数基本性质 提醒：分母为小数，依据分数性质把分母化为整数；该变形只针对单个分数，等式其余各项不改动。 10. 系数化为1，颠倒分子分母位置 提醒：对于ax=b(a≠0)，解为x=，不可写为x=。 11. 检验方程的解，只代入等式单侧 提醒：检验方程的解，需将数值分别代入等式左右两侧，对比两侧计算结果。 12. 误认为含未知数的式子就是方程 提醒：含有未知数的等式才是方程，仅有未知数、不含等号的式子不是方程。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 列方程 ★ 题型三 判断是否是方程的解 ★ 题型四 已知方程的解，求参数 ★★ 题型五 判断是否是一元一次方程 ★ 题型六 判断是否是一元一次方程解 ★ 题型七 等式的性质 1 ★ 题型八 等式的性质 2 ★★ 题型九 合并同类项与移项 ★★ 题型十 去括号 ★★ 题型十一 去分母 ★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十四 绝对值方程 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 判断各式是否是方程 1．下列式子是方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中①，②，③，④，⑤，⑥．其中是方程的有（   ） A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 3．下列各式是方程的有_____ ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 题型二 列方程 4．根据“的倍与的和等于的倍与的差”所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为______． 6．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 题型三 判断是否是方程的解 7．___________（填“是”或“不是”）方程的解 8．当x取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于x的方程的解是________． x 0 1 2 3 14 10 6 2 9．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 题型四 已知方程的解，求参数 10．关于的方程的解是，则（     ） A．3 B． C．0 D．1 11．关于的方程的解是，则当时，整式的值是______． 12．整式mx＋2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为______． x －2 －1 0 1 2 mx＋2n 4 0 －4 －8 －12 题型五 判断是否是一元一次方程 13．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 14．若关于的方程是一元一次方程，则的值是（  ） A． B． C．或 D．不等于2即可 15．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六 判断是否是一元一次方程解 16．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 17．多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，上表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是（　　） 0 1 2 5 3 1 A． B． C． D． 18．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型七 等式的性质 1 19．若，则．其依据是______． 20．如下图，两个天平都处于平衡状态．推一推，“1个■”与“1个●”的质量大小关系是（     ） A．■=● B．■=2● C．2■=4● D．2■=● 21．如图．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图所示．若，该长方形区域的长为______． 题型八 等式的性质 2 22．小亮碰到这样一道解方程的题：，他在方程的两边都除以，竟然得到，请你说出他错在哪里_________． 23．有一元五次方程，则代数式的值为________． 24．在解方程，对该方程进行变形时，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型九 合并同类项与移项 25．在方程中，，则的值是_________． 26．已知数满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 27．已知是实数，当取不同值时，整式的值也不同，具体情况如下表所示，则的值为__________． 1 2 0 28．如果，，，那么的值是（ ） A．2或6或 B．或0 C．0或2或6 D．或 题型十 去括号 29．解方程：． 解：去括号，得________． 移项，得________． 合并同类项，得________， 系数化为1，得________． 30．已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为___________． 31．对于任意两个有理数a，b，规定：．若，则x的值为（　　） A．2 B． C． D． 题型十一 去分母 32．把一元一次方程 去分母，变形正确的是（     ） A． B． C． D． 33．定义新运算“”，其规则为，则方程的解为________． 34．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A． B． C． D． 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 35．整式的值随取值的不同而不同，表格是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） －3 －2 －1 0 1 2 8 6 4 2 0 －2 A． B． C． D． 36．若关于x的方程是一元一次方程，且关于y的方程的解为整数，则满足条件的整数k的值有______个． 37．在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，等号右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（　　） A． B． C． D． 题型十三 一元一次方程解的关系 38．当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（   ） 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．10 C．2 D．6 39．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为___________． 40．若关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则a的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 题型十四 绝对值方程 41．若，则的值是（） A．6 B． C． D．不存在 42．对于有理数，，，，给出如下定义：如果，那么称和关于的相对距离为，如果和4关于2的相对距离为6，那么的值为______． 43．若，求：_________． 44．若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．解下列方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 3．规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程．如一元一次方程的解是，的解是．是的倍，因此一元一次方程是的倍解方程． (1)写出一个方程：的倍解方程： ； (2)已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值． 4．已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 5．遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程： 实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干． 实验记录： 天平左边 天平右边 天平状态 记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡 记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡 根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题： (1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克； (2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12一元一次方程的认识及解法知题通关讲义 知识点 01 等式、代数式、方程区分 1 基础定义 代数式：只用运算符号连接数字、字母，不含等号、不等号。 例：3x、2a-5、y 等式：含有等号，表示左右两边相等的式子，分为两类： 恒等式：永远成立2+3=5 条件等式（方程）：含未知数，只有未知数取特定值才成立 方程：含有未知数的等式。 2.判定方程两个必要条件（同时满足） ① 必须有等号；② 必须含有未知数。 3.三类式子对比表 知识点 02 方程的解、解方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数）。 检验方法：把数值代入方程左右两边，若左边 = 右边，就是方程的解。 解方程：求方程解的全过程（是一个运算步骤）。 易错区分 方程的解：结果（数字）；解方程：动作、过程。 知识点 03 一元一次方程定义（本节核心） 一元一次方程四判定条件（全部满足） （1）只含一个未知数（一元）； （2）未知数的次数都是1 次（一次）； （3）等号两边都是整式（分母不含未知数，无根号、分式未知数）； （4）化简后未知数系数不为 0。 标准形式 ax+b=0(a≠0），(a、b为常数，x是未知数） 正反举例 ✅是一元一次方程：2x-6=0、5=3x ❌ 不是： x+y=3（两个未知数）、x2=4（次数 2）、+2=5（分母含未知数，分式） 知识点 04 列简易方程（从文字到等式） 1.列方程三步法 （1）审题，找出题目中的等量关系； （2）设未知数（直接设：求什么设什么；间接设）； （3）用含未知数的代数式表示等量关系，写出等式。 2.常见等量关系模板 和差：大数 ± 小数 = 和 / 差 倍数：几倍量 = 基数 × 倍数 公式类：路程 = 速度 × 时间，总价 = 单价 × 数量 知识点05:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a 均为等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 4.等式性质易错提醒： （1）等式两边运算必须完全相同，不能一边加、一边乘； （2）除法时分母不能为 0； （3）不能只对等式一侧变形。 知识点 06 解一元一次方程标准五大步骤（通用流程） 完整步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1 分步详细规则、易错点 步骤 1：去分母 操作：等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数； 关键：不含分母的常数项也要乘，不能漏乘； 易错：分子是多项式时，去分母后必须加括号。 例：+1=x，两边 ×2 得 (x-1)+2=2x，不能写成x-1+1=2x 步骤 2：去括号 依据乘法分配律 a(m+n)=am+an （1）括号前是正号：去括号，内部符号不变； （2）括号前是负号：去括号，括号内每一项全部变号； （3）数字乘数要乘括号内每一项，禁止漏乘。 例：-2(x-3)=-2x+6 步骤 3：移项（核心高频考点） 定义：把方程中某一项改变符号后，从等式一边移到另一边； 规则：移项必变号，不移不变号； 目的：含未知数项放左边，常数项放右边； 易错：只在同侧交换位置，不属于移项，不能变号。 例：3x+5=2x-1 移项得 3x-2x=-1-5 步骤 4：合并同类项 （1）同类：未知数相同、次数相同的项； （2）操作：未知数系数相加减，字母不变； 结果化为最简形式：ax=b(a≠0) 步骤 5：系数化为 1 操作：方程两边同时除以未知数系数a，或乘； 区分符号：正数除以正数结果为正，正负相除得负； 格式：x= 知识点 06 四种简化题型（不用完整五步） 1.无分母、无括号：直接移项、合并、系数化 1 例：4x-7=x+2 2.有括号无分母：先去括号，再移项合并 3.有分母无括号：先去分母，再移项合并 4.含小数分母：先利用分数基本性质化为整数分母，再去分母 知识点 07含参数的一元一次方程拓展 若(m-2)x+3=0是一元一次方程，则未知数系数m-2≠0，即m≠2； 已知方程的解，求参数：把解代入原方程，得到关于参数的新方程，求解参数。 例：已知x=3是2x+a=10的解，代入得6+a=10，a=4 1. 判定一元一次方程，忽略未知数次数要求 提醒：一元一次方程中未知数最高次数为1，未知数不能出现在分母中。 2. 判定一元一次方程，忽略未知数个数要求 提醒：一元一次方程只含一个未知数，两个及以上未知数的方程不是一元一次方程。 3. 误将代数式判定为方程 提醒：方程必须是含有未知数的等式，无等号的代数式不属于方程。 4. 利用等式性质变形，常数项漏乘 提醒：等式两边同乘一个数时，等式所有项均参与运算，常数项不可遗漏。 5. 移项运算不改变项的符号 提醒：项从等式一侧移到另一侧必须变号；等式同侧交换项的位置，无需变号。 6. 去括号，括号内部分项漏乘系数 提醒：括号外的系数要与括号内每一项相乘，不可仅乘第一项。 7. 括号前带负号，去括号时符号处理错误 提醒：括号前面为负号，去括号后括号内每一项均改变符号。 8. 去分母时，不含分母的常数项漏乘最小公倍数 提醒：去分母操作，等式全部项乘以分母最小公倍数，常数项不可漏乘。 9. 分母化为整数时混淆等式性质与分数基本性质 提醒：分母为小数，依据分数性质把分母化为整数；该变形只针对单个分数，等式其余各项不改动。 10. 系数化为1，颠倒分子分母位置 提醒：对于ax=b(a≠0)，解为x=，不可写为x=。 11. 检验方程的解，只代入等式单侧 提醒：检验方程的解，需将数值分别代入等式左右两侧，对比两侧计算结果。 12. 误认为含未知数的式子就是方程 提醒：含有未知数的等式才是方程，仅有未知数、不含等号的式子不是方程。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 列方程 ★ 题型三 判断是否是方程的解 ★ 题型四 已知方程的解，求参数 ★★ 题型五 判断是否是一元一次方程 ★ 题型六 判断是否是一元一次方程解 ★ 题型七 等式的性质 1 ★ 题型八 等式的性质 2 ★★ 题型九 合并同类项与移项 ★★ 题型十 去括号 ★★ 题型十一 去分母 ★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十四 绝对值方程 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 判断各式是否是方程 1．下列式子是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了方程的概念，解题的关键是熟练掌握方程的概念． 根据含有未知数的等式是方程求解即可． 【详解】解：A．，虽然含有未知数，但它不是等式，所以不是方程，故本选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，所以不是方程，故本选项不符合题意； C．，含有未知数，且是等式，所以是方程，故本选项符合题意； D．，虽然是等式，但它没含有未知数，所以不是方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．下列各式中①，②，③，④，⑤，⑥．其中是方程的有（   ） A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 【答案】D 【分析】本题考查了方程的识别，根据含有未知数的等式是方程逐一进行判断即可． 【详解】解：①是方程， ②是方程， ③，不是等式，故不是方程． ④不是方程， ⑤是方程， ⑥是方程． 综上：①②⑤⑥， 故选：D． 3．下列各式是方程的有_____ ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【答案】②③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断． 【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程； ②＋y＝5，是方程； ③x2﹣2x＝1，是方程； ④x2﹣2x＝x﹣y，是方程； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程； 故答案为：②③④． 【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键． 题型二 列方程 4．根据“的倍与的和等于的倍与的差”所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列方程，合理列出方程是解题的关键． 根据题意列出方程即可解答． 【详解】解：由题意列出方程可得：， 故选：A． 5．现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为______． 【答案】 【分析】本题考查方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据正方形的面积公式、等边三角形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得，所有正方形的面积为、所有等边三角形的面积为， 因此，列方程为：， 故答案为：． 6．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 题型三 判断是否是方程的解 7．___________（填“是”或“不是”）方程的解 【答案】不是 【分析】本题考查了方程的解的概念，熟练掌握方程的解的概念．把分别代入方程的左右两边计算，即可判断答案． 【详解】解：当时， 左边， 右边， 左边右边， 不是方程的解． 故答案为：不是． 8．当x取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于x的方程的解是________． x 0 1 2 3 14 10 6 2 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】解：根据表格可知当时，，即， 方程的解是． 故答案为：． 9．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 题型四 已知方程的解，求参数 10．关于的方程的解是，则（     ） A．3 B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】解：将代入，得 11．关于的方程的解是，则当时，整式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解、代数式的整体代入求值，根据方程的解求出的值，再利用整体代入法计算整式的值是解题的关键． 将方程的解代入求出的值，再代入求整式值即可． 【详解】∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴当时，整式 故答案为：． 12．整式mx＋2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为______． x －2 －1 0 1 2 mx＋2n 4 0 －4 －8 －12 【答案】 【分析】本题考查利用表格数据求代数式系数及解一元一次方程，解题的关键是通过表格数据列出方程组求出、的值，再代入方程求解． 先根据表格中与的对应值列出方程组，求出；再将代入方程，解出． 【详解】解：当时，，即， 当时，，即， 解得：， 方程为， 解得：． 故答案为：． 题型五 判断是否是一元一次方程 13．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元一次方程的定义判断即可，一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程． 【详解】解：∵选项A中，只含有一个未知数，且的次数为1，是整式方程，符合一元一次方程定义，∴A正确； ∵选项B中，未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义，∴B错误； ∵选项C中，含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，∴C错误； ∵选项D中，含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，∴D错误． 14．若关于的方程是一元一次方程，则的值是（  ） A． B． C．或 D．不等于2即可 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义，关键要牢记一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的次数为1；③一次项系数不为0这三个条件． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，可得：， 解，得或； 解，得， 不符合条件，舍去； 综上，． 故选：B． 15．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有是一元一次方程． 题型六 判断是否是一元一次方程解 16．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程定义，只含有一个未知数，且未知数的次数最高为一次的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义判定即可． 【详解】解：A. 含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；     B. 是一元一次方程，故此选项符合题意；     C. 分母中含量有字母，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；     D. 最高次数是二次不是一次，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 17．多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，上表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是（　　） 0 1 2 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程． 首先将方程变形为，观察表格可知，当时，，即可得出方程的解． 【详解】解：∵方程可以变形为， 而由表格中的对应值可知，当时，， ∴是方程的解， 故选：C． 18．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 题型七 等式的性质 1 19．若，则．其依据是______． 【答案】等式的基本性质1 【详解】由得到，变形过程为等式两边同时减去整式，符合等式的基本性质1的内容，即等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立． 20．如下图，两个天平都处于平衡状态．推一推，“1个■”与“1个●”的质量大小关系是（     ） A．■=● B．■=2● C．2■=4● D．2■=● 【答案】D 【详解】 解：由第一个天平知2■=2， 由第二个天平知2●=4， ∴4■=2●，即2■=●． 21．如图．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图所示．若，该长方形区域的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形列代数式、等式的性质．解决本题的关键是把长方形左、右两边的长度分别用含、、的代数式表示出来，根据长方形的宽相等可得等式，根据可得，整理可得，从图可知长方形的长即为． 【详解】解：如图所示，长方形的宽可表示为， 长方形的宽也可表示为, ， 整理得：， ， ， ， 整理得：， 由图可知：长方形的长为． 故答案为： ． 题型八 等式的性质 2 22．小亮碰到这样一道解方程的题：，他在方程的两边都除以，竟然得到，请你说出他错在哪里_________． 【答案】忽视了可能为 【分析】方程两边除以，没有考虑是否为． 【详解】解：小亮碰到一道解方程的题目：， 他在方程的两边都除以，竟然得到， 错误的原因是：忽视了可能为． 23．有一元五次方程，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式，由给定方程可得，两边乘以得，代入，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．在解方程，对该方程进行变形时，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分数的基本性质． 把方程左边的分子分母分别扩大10倍，的分子分母分别扩大100倍，方程右边的值不变，即可得到答案． 【详解】解：根据分数的基本性质，得：， 故选B． 题型九 合并同类项与移项 25．在方程中，，则的值是_________． 【答案】2 【详解】解：把代入原方程，可得， 解得． 26．已知数满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题通过代入消元法，将用含的式子表示，再代入含和的等式，从而推导出与的关系． 【详解】解：∵ ∴ 等式两边同乘2得，． 又∵ ∴ 将代入得，． 展开得，． 移项得，． 即 ． 故选：C. 27．已知是实数，当取不同值时，整式的值也不同，具体情况如下表所示，则的值为__________． 1 2 0 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值、解一元一次方程，根据表格中给出的与整式的对应值，取合适的对应值计算即可． 【详解】解：由表格，当时，， 即． 故答案为：． 28．如果，，，那么的值是（ ） A．2或6或 B．或0 C．0或2或6 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，解一元一次方程，绝对值和乘方运算，根据题意可得或，解方程求出x的值，根据乘方的逆运算求出y的值，根据绝对值的非负性得到，据此确定x、y的值，最后代入求值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或或， 故选：A． 题型十 去括号 29．解方程：． 解：去括号，得________． 移项，得________． 合并同类项，得________， 系数化为1，得________． 【答案】 11 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程在步骤即可解答． 【详解】解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：；；；11 30．已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为___________． 【答案】3或4或6 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于m的方程是解题关键． 根据方程的解是正整数，可得4的约数，根据4的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由，得， 因为关于x的方程的解是正整数， 得，或． 解得，或． 故答案为：3或4或6． 31．对于任意两个有理数a，b，规定：．若，则x的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，根据新运算的定义，得出方程是解题的关键． 根据新运算的定义，得到方程，再解这个方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ． 故选：A． 题型十一 去分母 32．把一元一次方程 去分母，变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原方程为 ， ∵方程分母为和，最小公倍数是， ∴给方程两边每一项同时乘以去分母，得， ， 化简得 . 33．定义新运算“”，其规则为，则方程的解为________． 【答案】55 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 整理得：， 解得：， 故答案为：55． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握运算法则． 34．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程及根据解的性质反推参数的取值．关键在于正确解方程，理解“非负整数解”的含义，结合分数形式分析分母与分子的关系，找出满足条件的整数，并验证每个解是否符合条件．最终求和得出结果． 【详解】解： 题目要求是非负整数，即且为整数． ，且为整数． ∴是的负因数，即或或， 解得或或， 所以的可能取值为： 整数的所有可能的取值的和为： 故选：A 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 35．整式的值随取值的不同而不同，表格是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（    ） －3 －2 －1 0 1 2 8 6 4 2 0 －2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解， 将方程变形为，再利用表格中时求得，从而 ，设其等于4得，最后从表格中查找使的值． 【详解】解：∵方程可变形为， 又由表格，当时， 即， ∴， 于是， 设，则， ∴， 从表格中，当时， ∴方程的解为． 故选：D． 36．若关于x的方程是一元一次方程，且关于y的方程的解为整数，则满足条件的整数k的值有______个． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解，先根据一元一次方程的定义求出m的值，再代入关于 y 的方程，根据解为整数求出k的所有可能整数值，并统计个数即可． 【详解】解： 是一元一次方程， ，， 解得：或，， ， 将代入方程，得， 整理得， ， y为整数， 则是8的因数，即， 解得：，共8个整数， 故答案为：8． 37．在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，等号右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据题意求出的值是解题关键． 把代入得的值，把的值代入原方程，按照解一元一次方程的步骤求出解． 【详解】解：把代入得， ， 解得， 原方程为：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 把系数化为1，得． 故选：B． 题型十三 一元一次方程解的关系 38．当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（   ） 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．10 C．2 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程．方程可化为，观察表即可求得方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 由表知，当时，的值为， 所以方程的解为， 故选：C． 39．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，设，则可把关于的一元一次方程可变形为关于的一元一次方程，根据题意可得关于的一元一次方程的解为，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ∴关于的一元一次方程可变形为关于的一元一次方程，即， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴，即关于的一元一次方程的解为 故答案为：． 40．若关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则a的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解以及相反数的定义，先分别求出两个方程的解，然后根据它们的解互为相反数，列出方程求解a即可． 【详解】解：解方程， 移项得， ∴； 解方程， 移项得， ∴， ∴； ∵两个解互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型十四 绝对值方程 41．若，则的值是（） A．6 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】依据绝对值的定义，求出绝对值等于6的数，选出正确选项． 【详解】解：∵， ∴． 42．对于有理数，，，，给出如下定义：如果，那么称和关于的相对距离为，如果和4关于2的相对距离为6，那么的值为______． 【答案】6或 【分析】本题考查了绝对值方程． 根据相对距离的定义列出方程，化简绝对值方程求解． 【详解】解：由题意，得， ∴， 即， 因此或， 解得或． 故答案为：6或． 43．若，求：_________． 【答案】 【分析】本题考查了解绝对值方程，求代数式的值，通过解绝对值方程，得到唯一解，代入表达式计算即可得解，得到唯一解是解此题的关键． 【详解】解：当，即时，方程化为， 解得，经检验满足条件， 当，即时，方程化为， 解得：，当，不满足条件，故舍去， ∴方程的解为， 将代入可得， 故答案为：． 44．若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 解答题 1．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】此题考查了解绝对值方程，根据绝对值的性质化简求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得或； （2）， ， 解得或． 2．解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解： 方程两边同乘12去分母得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为1得； （4）解： 将分母化为整数得， 方程两边同乘15去分母得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为1得． 3．规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程．如一元一次方程的解是，的解是．是的倍，因此一元一次方程是的倍解方程． (1)写出一个方程：的倍解方程： ； (2)已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解决本题的关键是根据倍解方程的定义找到数量之间的关系． (1)解方程可得：一元一次方程的解是，根据倍解方程的定义可知的倍解方程的解应为，写出一个符合要求的解即可； (2)分别求出两个方程的解，根据倍解方程的定义得到关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 根据倍解方程的定义，其倍解方程的解为， 一元一次方程的倍解方程是． 故答案为：(答案不唯一)； （2）解：解一元一次方程， 可得：， 解一元一次方程， 可得：， 一元一次方程是的倍解方程， ， 解得：． 4．已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 【答案】(1)① ， ；② (2)①；② (3)4或0或 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）根据题意，求出m和k的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意知， ， ②因为，，，，…， 所以 （2）解：①因为 则当时， ②当时，， 则原方程为， 整理得，， 因为此方程有无数个解， 所以 （3）解：由题意知， 原多项式为 因为n为大于3的正整数， 所以是一个二项式． 因为该多项式是关于x，y的五次三项式， 所以或 当，即时，要使该多项式为五次的， 则， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； 当，即时，要使该多项式为五次的， 则或， 由得，或， 经检验，都符合题意， 所以或0； 由得，或， 时，该多项式为九次三项式，故舍去； 当时，符合题意， 则， 综上所述，的值为4或0或 【点睛】能根据题意得出是解题的关键． 5．遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程： 实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干． 实验记录： 天平左边 天平右边 天平状态 记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡 记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡 根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题： (1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克； (2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克． 【答案】(1) (2)6克，5克 【分析】本题主要考查了等式的性质及列代数式，能根据题意用含x的代数式分别表示出两种记录中一支粉笔的质量是解题的关键． （1）根据题意，用含x的代数式分别表示出两种记录中一支粉笔的质量即可； （2）根据（1）中的结果建立方程，据此进行求解即可 【详解】（1）解：由记录1可知，7支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克， 由记录2可知，11支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，解得，， 一枚硬币的质量为克， 由（1）知，一支粉笔的质量为克， 一支粉笔的质量为克， 因此，一枚硬币和一支粉笔的质量分别是6克，5克． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $