第二十五～二十七章综合测试卷【培优卷】 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十五~二十七章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：第二十五章一元二次方程；第二十六章 二次函数； 第二十七章 反比例函数 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）设，是一元二次方程的两个根，则的值（    ） A． B． C． D．5 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）将抛物线（k为常数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知二次函数的图像与轴交点在轴上方，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 6．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河南南阳·一模）若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在平行四边形中，，点E是边上的动点，连接，过点A作于点F．设，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27九年级上·重庆万州·阶段检测）若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是___________． 12．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______． 13．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 14．（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为_____． 15．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 16．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分6分）（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）按要求解下列一元二次方程： （1）；（配方法） （2）．（公式法） 18.（本题满分8分）（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求，的值． （2）当时，求的最大值． （3）当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 19.（本题满分8分）（25-26八年级下·福建福州·期末）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． （1）写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 20.（本题满分8分）（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 21.（本题满分10分）（2026·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． （1）求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． （2）点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 22.（本题满分10分）（2026九年级上·全国·专题练习）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求a的值； （2）已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 23.（本题满分10分）（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 24.（本题满分12分）（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，请直接写出的解集； （3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五~二十七章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：第二十五章一元二次方程；第二十六章 二次函数； 第二十七章 反比例函数 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）设，是一元二次方程的两个根，则的值（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，灵活运用这些知识是解题的关键． 将代入方程可得，由根与系数的关系可得，将转化为后代入计算即可． 解：∵m是方程的根， ∴， ∴． 又∵m，n是方程的两个根， ∴由根与系数的关系，得， ∴． 故选：D． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）将抛物线（k为常数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用抛物线平移规律得到新抛物线解析式，再结合二次函数开口方向和顶点的性质，分析满足条件的顶点纵坐标范围，进而求出的取值范围． 解：∵原抛物线为，向左平移1个单位，向下平移2个单位， ∴新抛物线解析式为，整理得， ∵， ∴抛物线开口向上，函数最小值为顶点纵坐标， ∵新抛物线上点到轴的距离为1，即， ∴或， ∵抛物线开口向上，且与这两条直线总共有2个交点， 所以抛物线的顶点纵坐标必须在和之间， ∴， 解得． 3．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知二次函数的图像与轴交点在轴上方，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像与y轴交点，二次函数与y轴的交点相当于当时的函数值，根据题意该值大于0，解不等式即可． 解：∵二次函数图像与y轴交点在x轴上方， ∴当时，， ∴， ∴． 故选：B． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵点，，在的图象上， ∴，，. ∵， ∴． ∴，即． 5．（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 解：关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 6．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线开口向下， 当时，． 故选：C． 【点拨】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质以及图象法解一元二次方程． 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象性质可知点关于点O对称，由的面积是4，说明，再根据反比例函数比例系数的几何意义结合图象位置即可求解． 解：是反比例函数图象上的两点，且过原点O， 根据反比例函数的对称性得：点关于点O对称， ， 的边上的高与的边上的高相同，的面积是4， ， 轴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 该反比例函数的图象在第二、四象限， ． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件表示出2026年的增长率，再依次推导各年研发经费，最终根据2026年研发经费列出方程． 解：∵设2025年研发经费的增长率为，2026年研发经费的增长率比2025年高， ∴2026年研发经费的增长率为． ∵2024年研发经费为2000万元， ∴2025年研发经费为万元， ∴2026年研发经费为万元． 又∵2026年研发经费为2310万元， ∴列方程得． 9．（2024·河南南阳·一模）若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由反比例函数图象与性质得到，再根据选项中同一平面直角坐标系下一次函数和二次函数的图象，假设直线图象正确，判断二次函数图象是否正确即可得到答案． 解：由反比例函数的图象在二、四象限可知， A、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在正半轴上， 故选项正确，符合题意； B、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象与轴交点在正半轴上，故选项错，不符合题意； C、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在正半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴、与轴交点在负半轴上，故选项错，不符合题意； D、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴，故选项错，不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题考查反比例函数图象与性质、一次函数图象与性质、二次函数图象与性质等知识，熟练掌握此类题目的解法，先假设其中一个图象正确，再判断另一个图象是否正确是解决问题的关键． 10．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在平行四边形中，，点E是边上的动点，连接，过点A作于点F．设，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、根据面积等式求函数关系式等知识与方法，作于点H，则，由，求得，由平行四边形的性质得，所以，由于点F，，得，则y，于是得到问题的答案． 解：作于点H，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点E到的距离等于， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴y， 故选：C． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27九年级上·重庆万州·阶段检测）若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是___________． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数不为0；方程有实数解则根的判别式大于等于0，列出两个不等式求解，合并得到结果． 解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为，即 ，得 ， ∵原方程有实数解， ∴根的判别式， 解得， 综上可得的取值范围是且． 12．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为当，时，，所以将，代入解析式得，化简求得，进而对称轴可求，题目可解． 解：对于，，有， ， ， ， 对称轴为， ． 故答案为：1． 13．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 【答案】 【分析】设、的横坐标为、，利用结合根与系数的关系列方程求解即可. 解：设，，则，是方程的两个实数根， ∴，， ∵线段的长为4， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得. 14．（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为_____． 【答案】10 【分析】设，则可得到点B的纵坐标为，点B的横坐标为，据此求出的长，结合梯形的面积公式求解即可． 解：设， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴点B的横坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴． 15．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 【答案】 【分析】确定，，，，进一步确定直线的解析式为，直线的解析式为，如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，，根据轴对称的性质及等腰三角形的性质得，点为的中点，点是的中点，继而得，，确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立，得，确定，最后根据在直线：上，得，解方程即可． 解：∵抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为， 当时，得：或；当时，得：， ∴，，， ∴抛物线的对称轴为，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，， ∴垂直平分， ∴，点为的中点， ∵，，，， ∴，是边上的中线即点是的中点， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∵点为的中点，，， ∴， 解得：， ∴， ∵点关于直线的对称点恰好落在直线：上，即点在直线：上， ∴， 解得：， ∴点的横坐标是． 16．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分6分）（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）按要求解下列一元二次方程： （1）；（配方法） （2）．（公式法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，然后利用公式法，即可求解． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． （2）解：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 18.（本题满分8分）（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求，的值． （2）当时，求的最大值． （3）当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）6；（3） 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． （1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 19.（本题满分8分）（25-26八年级下·福建福州·期末）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． （1）写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】（1）；（2）当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【分析】（1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． （1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 20.（本题满分8分）（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【答案】（1）且.；（2）或. 【分析】（1）由是二次函数解析式可得，再由二次函数的图像与轴有两个交点可得，即可求出的取值范围； （2）设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（），由和根与系数的关系即可求解． （1）解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴，解得：， 综上：且． （2）解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（）， ∴，为（）的两个根， ∴，， ∵二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 21.（本题满分10分）（2026·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数与反比例函数的图像交于，B两点，x轴上的点C的坐标为． （1）求点A，B的坐标以及反比例函数的表达式． （2）点D在x轴上，当四边形为平行四边形时，点D的坐标为__________． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 ，反比例函数的表达式为；（2） 【分析】（1）将点 的横坐标代入正比例函数求出，从而得到点的坐标．利用对称性求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数求出 ． （2） 利用平行四边形的对角线互相平分的性质，结合点的坐标，推导出点的坐标即可． （1）解：点在正比例函数的图象上， ， 点的坐标为， 正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为 ， 将点 代入反比例函数 ， 可得，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：∵点，点，点， 点在轴上，设点的坐标为 ． 线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， 当四边形为平行四边形时， 可得，，解得， 点D的坐标为． 22.（本题满分10分）（2026九年级上·全国·专题练习）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求a的值； （2）已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 【答案】（1）6；（2）17 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）分类讨论：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根，②当7为腰长时，设，再进一步求解即可． （1）解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，且，， ， ∴ ， ∴， ∴， 或 ， ， 舍去． . （2）解：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根． ∴， 解得：， ∴方程化为：， ∴， ∴， ∵， ∴此时三角形不存在； ②当7为腰长时，设． 将代入方程， 得， ∴， 解得：或， 当时，方程变为， 解得或， ∵， ∴此时三角形不存在； 当时，方程变为， 解得：或， ∴的周长为17， 综上，的周长为17． 23.（本题满分10分）（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． （1）解：将点，代入得， ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：∵， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得， 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或． 24.（本题满分12分）（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，请直接写出的解集； （3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点距离计算公式建立方程求解即可． （1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”为． 二次函数的图象经过，． 解得 二次函数的解析式为． （2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或． （3）解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为． 点在抛物线对称轴上， ∴可设． 点的横坐标小于点的横坐标， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $