专题2.1 认识实数（5大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题2.1 认识实数 知识点1：无理数 　　1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 　　2.常见形式：①开方开不尽的数的相应方根，如、；②含的数，如、；③以无限不循环小数形式写出的数，如 0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）。 　　3.判断要点：无理数小数部分位数无限、不循环；无理数不能表示成分数（p、q 为整数且）的形式。 知识点2：实数的概念与分类 　　1.概念：有理数和无理数统称为实数。 　　2.按定义分类：实数分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数。 分类标准 类别 包含内容 按定义分类 有理数 整数、分数（含有限小数、无限循环小数） 无理数 无限不循环小数（开方开不尽、含 π 等） 按正负性分类 正实数 正有理数、正无理数 0 既不是正数也不是负数 负实数 负有理数、负无理数 知识点3：实数与数轴的关系 　　1.一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应。 　　2.应用：借助数轴可直观比较实数大小，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 知识点4：实数的性质 名称 性质 示例 相反数 若 a、b 互为相反数，则 a＋b＝0 的相反数是 倒数 若 a、b 互为倒数，则 a·b＝1 的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数；互为相反数的两个数绝对值相等 知识点5：实数的大小比较与运算 　　1.大小比较方法：正数大于 0，0 大于负数；正数大于一切负数；借助数轴定位比较。 　　2.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号里面。 　　3.运算性质：有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，加减、乘除（除数不为 0）、乘方、开立方及非负数的开平方均可进行。 【基础必考题型】 【题型1】无理数的概念辨析与识别 1.核心知识点 　　无理数的定义；无限不循环小数；常见无理数形式。 2.解题方法技巧 　　①抓住“无限且不循环”判断无理数； 　　②区分“无限小数”与“无限不循环小数”； ③举反例排除错误说法，如 0.333… 是循环小数属于有理数。 ④含 π 或开方开不尽的数，或特殊构造的无限不循环小数，是无理数。 【例题1】.（2026·江西赣州·模拟预测）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·江西宜春·期末）下列实数中，为无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·河南周口·开学考试）下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）给出下列实数：，，，，，其中无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2】实数的概念理解 1.核心知识点 　　实数＝有理数＋无理数；实数与数轴点一一对应。 2.解题方法技巧 　　①分清“实数、有理数、无理数、整数、分数”的包含关系； 　　②带根号的数不一定是无理数，不带根号的不一定是有理数； ③凡能判断为无限不循环小数的都是无理数，也一定是实数。 【例题2】.（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 【变式题2-1】.（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．正实数包括正有理数，正无理数和0； B．实数可以分为正实数和负实数； C．所有有理数都可以对应数轴上的点； D．数轴上的点都对应有理数． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 【题型3】实数的分类 1.核心知识点 　　实数按定义、按正负性两种分类标准；集合划分。 2.解题方法技巧 　　①先判断每个数是有理数还是无理数； 　　②再按正、0、负判断归属； ③注意 0 既不是正数也不是负数，负整数、负分数归入负有理数。 【例题3】.（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥20；⑦；⑧（相邻两个3之间依次多1个0） 负有理数：（                ）         正分数：（                ） 非负整数：（                ）         有理数：（                ） 【变式题3-1】.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 【变式题3-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河南开封·期中）把下列各数填在相应的集合中． 正整数集合{           ……} 非负数集合{           ……} 整数集合{           ……} 无理数集合{           ……} 【培优高频题型】 【题型4】实数的大小比较 1.核心知识点 　　正负性比较；数轴比较；无理数的估值。 2.解题方法技巧 　　①先定符号：正数大于 0，0 大于负数； 　　②把无理数估值到两个整数之间再比较； ③借助数轴位置或平方（取近似）比较两个正无理数。 【例题4】.（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【变式题4-1】.（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南·期中）下图是小明和小亮比较与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（   ） A．小明对，小亮错 B．小明错，小亮对 C．两人都错 D．两人都对 【变式题4-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）通过估算，比较两个数的大小． (1)和； (2)和． 【题型5】实数与数轴 1.核心知识点 　　实数与数轴上点一一对应；数轴定位与点的表示。 2.解题方法技巧 　　①数轴右边点表示的数大于左边； 　　②由点到原点的距离判断绝对值的相对大小； ③几何滚动、平移问题转化为数轴上点的坐标变化。 【例题5】.（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，，过点A作直线，点B在直线l上，，以点O为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点C，则点C表示的实数是（     ） A． B． C．7 D．29 【变式题5-3】.（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【题型6】实数的性质 1.核心知识点 　　实数的相反数、倒数、绝对值及其性质。 2.解题方法技巧 　　①相反数：只变符号；倒数：分子分母互换（含负号）； 　　②绝对值：正数和 0 的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数； ③结合 形式的实数，先化简再求性质值。 【例题6】.（25-26七年级下·天津津南·期末）的绝对值是_________；的相反数是_________． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【变式题6-2】.（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知实数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·上海·课后作业）若互为相反数，互为倒数，的绝对值为，则______． 【题型7】实数运算 1.核心知识点 　　实数混合运算顺序；开方、乘方与四则运算结合。 2.解题方法技巧 　　①先算乘方、开方，再乘除后加减； 　　②有理数的运算律（交换、结合、分配）在实数中仍适用； ③结果保留无理数形式，必要时按需取近似值。 【例题7】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题 (1)； (2)． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【压轴素养题型】 【题型8】实数运算的实际应用 1.核心知识点 　　把现实情境抽象为实数运算；方案选择与最值。 2.解题方法技巧 　　①提取题目数量关系，列出含根式、π 的算式； 　　②按运算顺序计算，比较各方案结果； ③结合实际选择最优（最省、最大等）方案。 【例题8】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，为了加固一个高、宽的大门，需在相对角的顶点间加一根木条．求木条的长度．（精确到） 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． (1)如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是 ； (2)如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·四川自贡·阶段检测）如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为，由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点． (1)图中点表示的数为________，点表示的数为________． (2)某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，此长度为 ． (3)若，，均为实数，且满足，，为图中拼成的正方形的边长的小数部分，请计算的值． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 【题型9】数轴上的几何情境 1.核心知识点 　　几何滚动、旋转与数轴结合；无理数在数轴上的表示。 2.解题方法技巧 　　①计算圆滚动一周的路程（周长）转化为点的位移； 　　②确定起点、滚动方向（向右加、向左减）； 　　③结合 或 表示终点坐标。 【例题9】.（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 【变式题9-1】.（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·山西大同·阶段检测）综合与实践 问题情境： 造纸厂只生产面积为的长方形纸张，称为纸，其他纸张都在纸的基础上裁剪获得，这是全球最广泛使用的纸张规格体系，叫标准．如图1，我们把纸沿其长边的中点所在直线进行裁剪，得到新的纸张，把纸沿其长边的中点所在直线再次裁剪，得到新的纸张，依此类推，我们可以得到A系列纸张、、、……    (1)查阅资料可知A系列纸张的规格如下表，请计算，纸的长与宽之比（结果保留两位小数），并填在表格横线中； 规格 长 1189 841 594 420 297 宽 841 594 420 297 210 长与宽的比值 1.41 1.41 1.41 ______________ ______________ (2)拓展延伸：查阅资料可知，A系列纸的长与宽的比值均为．如图2，已知长方形是一张A系列纸，点E，F分别为边，的中点，请判断的形状，并说明理由． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料，回答问题． 材 料 1 数形结合是重要的数学思想．将边长为1的两个小正方形按如图1所示的方法进行剪拼成一个大的正方形，小正方形的对角线的长就是大正方形的边长．（选自课本P42页） 材 料 2 实数与数轴上的点一一对应．如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与数轴分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．（选自课本P54页） (1)材料中，数是___________；点与之间的距离为___________； 类比探究： (2)由以上材料，小连同学受到启发，若把长为2、宽为1的两个长方形沿对角线剪开（对角线的长记为），得到四个形状大小一样的直角三角形，然后将它们拼成如图3所示的大正方形，中间恰好形成一个边长为的小正方形，求出的值； (3)若要得到无理数，可选择长与宽均为正整数的两个适当的长方形，参照图3的剪拼方法得到一个中间小正方形边长为的大正方形．请在图4的正方形网格图中用实线画出这个拼接成的大正方形和小正方形，且该大正方形一条边与数轴重合，小正方形的一个顶点与原点重合，并用圆规在数轴上画出表示的点．（保留作图痕迹，并标注点） 易错点 1、误把带根号的数都当作无理数，开得尽的数如 是有理数。 2、把无限循环小数当成无理数，其实无限循环小数是有理数。 3、忽略 0 的特殊性，把 0 归入正数或负数。 4、混淆实数的相反数、倒数、绝对值，符号处理出错。 5、实数混合运算顺序混乱，先加减后乘除。 6、比较实数大小时未估值，直接比较带根号数的大小出错。 重点 1、理解无理数的概念，能准确识别无理数。 2、掌握实数的两种分类标准，正确完成分类。 3、理解实数与数轴上的点一一对应，会借助数轴比较大小。 4、掌握实数的相反数、倒数、绝对值性质及混合运算。 难点 1、无理数的概念辨析，区分开方开不尽与含 π 等不同形式。 2、实数的大小比较，对带根号数进行准确估值。 3、实数与几何、情境的综合应用，含根式的运算与建模。 4、规律探究与迁移，从运算中发现并应用一般规律。 【对应练习题】 一、单选题 1．（26-27八年级上·山西·期中）的绝对值是（     ） A．2 B． C． D． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为2，则点A与点B之间的距离为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（26-27七年级上·云南·期中）比较大小： ______（填“”、“”或“”）． 5．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 6．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，以1个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点．点对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为________． 三、解答题 7．（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛ ……｝ (2)无理数集合｛ ……｝ (3)正实数集合｛ ……｝ (4)负实数集合｛ ……｝ 8．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）如图所示，数轴上有正方形，点A、B表示的数分别为和0，在数轴上找到点P，使得． (1)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)写出P点表示的数为________． 9．（2026·江苏常州·二模）【阅读材料】 我们利用完全平方公式可以计算无理数的近似值． 例如：求的近似值．     ∵，∴．∴可以表示成以下两种形式： ①，其中；②，其中． 用形式①求的近似值的过程如下： 设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则． ∴． ∴． (1)方法理解：请用形式②求的近似值； (2)比较分析：你认为用哪一种形式得出的近似值的误差更小，请简要说明理由（参考数据：） (3)灵活运用：从形式①或②中，选择恰当的形式，计算的近似值（保留两位小数），要求误差更小． 10．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 认识实数 知识点1：无理数 　　1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 　　2.常见形式：①开方开不尽的数的相应方根，如、；②含的数，如、；③以无限不循环小数形式写出的数，如 0.1010010001…（两个 1 之间依次多一个 0）。 　　3.判断要点：无理数小数部分位数无限、不循环；无理数不能表示成分数（p、q 为整数且）的形式。 知识点2：实数的概念与分类 　　1.概念：有理数和无理数统称为实数。 　　2.按定义分类：实数分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数。 分类标准 类别 包含内容 按定义分类 有理数 整数、分数（含有限小数、无限循环小数） 无理数 无限不循环小数（开方开不尽、含 π 等） 按正负性分类 正实数 正有理数、正无理数 0 既不是正数也不是负数 负实数 负有理数、负无理数 知识点3：实数与数轴的关系 　　1.一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应。 　　2.应用：借助数轴可直观比较实数大小，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 知识点4：实数的性质 名称 性质 示例 相反数 若 a、b 互为相反数，则 a＋b＝0 的相反数是 倒数 若 a、b 互为倒数，则 a·b＝1 的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数；互为相反数的两个数绝对值相等 知识点5：实数的大小比较与运算 　　1.大小比较方法：正数大于 0，0 大于负数；正数大于一切负数；借助数轴定位比较。 　　2.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号里面。 　　3.运算性质：有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，加减、乘除（除数不为 0）、乘方、开立方及非负数的开平方均可进行。 【基础必考题型】 【题型1】无理数的概念辨析与识别 1.核心知识点 　　无理数的定义；无限不循环小数；常见无理数形式。 2.解题方法技巧 　　①抓住“无限且不循环”判断无理数； 　　②区分“无限小数”与“无限不循环小数”； ③举反例排除错误说法，如 0.333… 是循环小数属于有理数。 ④含 π 或开方开不尽的数，或特殊构造的无限不循环小数，是无理数。 【例题1】.（2026·江西赣州·模拟预测）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无限不循环小数是无理数，为判断提供依据．逐一分析每个选项对应的数的类型：因为整数和分数统称为有理数，所以先判断选项是否属于整数或分数范畴．针对含开方运算的选项，判断被开方数是否为完全平方数，如果被开方数不是完全平方数，那么开方结果是无限不循环小数，属于无理数． 【详解】解：我们把无限不循环小数叫做无理数，而整数和分数都属于有理数： 选项A的0是整数，属于有理数； 选项B的是负整数，属于有理数； 选项C的是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 选项D的是分数，属于有理数． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·江西宜春·期末）下列实数中，为无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据无理数和有理数的定义解答，即有理数包含整数和分数，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：∵是分数，属于有理数，开方开不尽，为无限不循环小数，属于无理数，和都是整数，属于有理数． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·河南周口·开学考试）下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，常用的无理数表达方式有：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如（每相邻的两个之间依次增加一个）. 【详解】解：是无限不循环小数，因此是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； ，，，是无理数，共有4个． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）给出下列实数：，，，，，其中无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据实数的分类，无理数的定义解答即可． 【详解】解：，，为有理数， ，为无理数； 故无理数共2个． 【题型2】实数的概念理解 1.核心知识点 　　实数＝有理数＋无理数；实数与数轴点一一对应。 2.解题方法技巧 　　①分清“实数、有理数、无理数、整数、分数”的包含关系； 　　②带根号的数不一定是无理数，不带根号的不一定是有理数； ③凡能判断为无限不循环小数的都是无理数，也一定是实数。 【例题2】.（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．任何实数都有倒数 B．任何实数不是有理数就是无理数 C．任何实数都有平方根 D．任何实数不是正实数就是负实数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的定义性质，根据实数的定义和性质，判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A、0没有倒数，故A错误； B、实数由有理数和无理数组成，故B正确； C、负数没有平方根，故C错误； D、0既不是正实数也不是负实数，故D错误， 故选：B． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．正实数包括正有理数，正无理数和0； B．实数可以分为正实数和负实数； C．所有有理数都可以对应数轴上的点； D．数轴上的点都对应有理数． 【答案】C 【分析】本题考查实数的分类和数轴的性质.通过分析每个选项的定义和性质判断正误． 【详解】解：∵ 正实数是指大于0的实数，不包括0， ∴ A错误； ∵ 实数包括正实数、负实数和0，不能仅分为正实数和负实数， ∴ B错误； ∵ 有理数是实数的子集，数轴上的点与实数一一对应，因此所有有理数都可以对应数轴上的点， ∴ C正确； ∵ 数轴上的点对应所有实数，包括无理数，而并非只对应有理数， ∴ D错误． 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 【答案】C 【分析】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案． 【详解】解：圆周率是一个实数，是无理数，不能表示成分数形式，在数轴上有表示它的点， ∴关于圆周率说法正确的是C选项， 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周率的性质、数轴和有理数、无理数、实数的定义等，熟练掌握圆周率是无理数，属于实数是解题的关键． 【详解】选项A：圆周率是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，不符合题意； 选项B：实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而圆周率是实数，所以数轴上能找到表示它的点，不符合题意； 选项C：实数包含有理数和无理数，圆周率是无理数，也是实数，符合题意； 选项D：圆周率，小于，不符合题意； 故选：C． 【题型3】实数的分类 1.核心知识点 　　实数按定义、按正负性两种分类标准；集合划分。 2.解题方法技巧 　　①先判断每个数是有理数还是无理数； 　　②再按正、0、负判断归属； ③注意 0 既不是正数也不是负数，负整数、负分数归入负有理数。 【例题3】.（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥20；⑦；⑧（相邻两个3之间依次多1个0） 负有理数：（                ）         正分数：（                ） 非负整数：（                ）         有理数：（                ） 【答案】；；； 【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，有理数也可分为正有理数，零和负有理数；无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． 【详解】解：． 负有理数：（） 正分数：（） 非负整数：（） 有理数：（） 【变式题3-1】.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 【答案】 ，， ， ， 【分析】先化简题目中的算术平方根，再根据整数、分数、无理数的定义对各数进行分类即可. 【详解】解：， 整数是正整数、零、负整数的统称， 整数有：，，； 分数包括有限小数与无限循环小数， 分数有：，； 无理数是无限不循环小数， 无理数有：，. 【变式题3-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 【答案】 首先化简：，；是无理数，因为不是完全立方数；是循环小数，属于有理数；（相邻的两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数； 有理数集合： {，，，，，}； 无理数集合： {，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 正实数集合： {，，，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 负实数集合： {，，}． 【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、正实数、负实数的定义是解题的关键． 先化简表达式如和，再根据数的特性分类：有理数包括整数、有限小数和循环小数；无理数包括无限不循环小数和不能表示为分数的数；正实数为大于的实数；负实数为小于的实数。既不是正数也不是负数，可得答案． 【详解】 略 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河南开封·期中）把下列各数填在相应的集合中． 正整数集合{           ……} 非负数集合{           ……} 整数集合{           ……} 无理数集合{           ……} 【答案】；，，，171，0，，π；，，171，0；，π 【分析】本题考查实数的分类，需明确以下概念：正整数指大于0的整数，如1，2，3，．．．．非负数指大于或等于0的数，包括正数和0．整数指不含小数部分的数，包括正整数、负整数和0．无理数指不能表示为分数的实数，通常是无限不循环小数，如、π．根据实数的分类解答即可． 【详解】解：正整数集合{，……} 非负数集合{，，，171，0，，π，……} 整数集合{，，171，0……} 无理数集合{，π……} 【培优高频题型】 【题型4】实数的大小比较 1.核心知识点 　　正负性比较；数轴比较；无理数的估值。 2.解题方法技巧 　　①先定符号：正数大于 0，0 大于负数； 　　②把无理数估值到两个整数之间再比较； ③借助数轴位置或平方（取近似）比较两个正无理数。 【例题4】.（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据，，，确定绝对值的大小，根据实数的大小比较，求解即可． 【详解】解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先化简两个数，再根据实数大小比较规则判断大小即可． 【详解】解：，， ∵正数大于一切负数， ∴． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南·期中）下图是小明和小亮比较与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（   ） A．小明对，小亮错 B．小明错，小亮对 C．两人都错 D．两人都对 【答案】D 【分析】本题考查了实数比较大小，勾股定理，三角形三边关系，根据两个正数比较大小，平方数越大，则这个正数就越大，则小明的思路进行判断，再根据勾股定理和三角形的三边关系对小亮的思路进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，， ∵， ∴，故小明思路正确； 设直角三角形的两直角边为，， ∴斜边为， ∴根据三角形的三边关系得，，故小亮思路正确； 综上可得：两人都对， 故选：． 【变式题4-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）通过估算，比较两个数的大小． (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数比大小，熟练掌握比较无理数的大小的方法是解题的关键， （1）根据 ，即可判断和的大小； （2）先估算的范围，再判断和的大小，进而得到答案． 【详解】（1）解：∵ ，， ∵ ， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴． 【题型5】实数与数轴 1.核心知识点 　　实数与数轴上点一一对应；数轴定位与点的表示。 2.解题方法技巧 　　①数轴右边点表示的数大于左边； 　　②由点到原点的距离判断绝对值的相对大小； ③几何滚动、平移问题转化为数轴上点的坐标变化。 【例题5】.（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 【答案】/ 【分析】由勾股定理可得的长，再根据作图得出的长，即可求解． 【详解】解：由图可得，， 在中，， 在中，， ∵以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E， ∴， ∴点E表示的数为． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再根据中点的定义求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵数轴上表示2，的点分别为点C，点B， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数为． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，，过点A作直线，点B在直线l上，，以点O为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点C，则点C表示的实数是（     ） A． B． C．7 D．29 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得， ∴ ，故点C表示的实数是． 【变式题5-3】.（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【答案】/ 【分析】通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，， ∴． 【题型6】实数的性质 1.核心知识点 　　实数的相反数、倒数、绝对值及其性质。 2.解题方法技巧 　　①相反数：只变符号；倒数：分子分母互换（含负号）； 　　②绝对值：正数和 0 的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数； ③结合 形式的实数，先化简再求性质值。 【例题6】.（25-26七年级下·天津津南·期末）的绝对值是_________；的相反数是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和相反数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，的绝对值为； 的相反数为． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 【变式题6-2】.（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知实数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，倒数的定义，相反数的定义和绝对值的定义，互为倒数的两个数的乘积为1，互为相反数的两个数的和为0，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可求出，再代值计算即可． 【详解】解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2， ∴， ∴， ∴． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·上海·课后作业）若互为相反数，互为倒数，的绝对值为，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值的性质，掌握以上知识的计算是关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：互为相反数，互为倒数，的绝对值为， ∴， ∴当时， ； 当时， ； 故答案为：． 【题型7】实数运算 1.核心知识点 　　实数混合运算顺序；开方、乘方与四则运算结合。 2.解题方法技巧 　　①先算乘方、开方，再乘除后加减； 　　②有理数的运算律（交换、结合、分配）在实数中仍适用； ③结果保留无理数形式，必要时按需取近似值。 【例题7】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算算术平方根、，再由有理数加法运算计算即可； （2）先去括号，再由实数加减运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可； （2）先计算积的乘方和同底数幂乘法，再合并同类项即可； （3）把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可； （4）利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式和同底数幂除法，最后合并同类项即可； （3）根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可； （4）根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【压轴素养题型】 【题型8】实数运算的实际应用 1.核心知识点 　　把现实情境抽象为实数运算；方案选择与最值。 2.解题方法技巧 　　①提取题目数量关系，列出含根式、π 的算式； 　　②按运算顺序计算，比较各方案结果； ③结合实际选择最优（最省、最大等）方案。 【例题8】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，为了加固一个高、宽的大门，需在相对角的顶点间加一根木条．求木条的长度．（精确到） 【答案】木条的长度约为 【分析】先利用勾股定理计算木条的长度，再进行无理数估算即可得． 【详解】解：由题意得：木条的长度为， ∵，，， ∴， ∴当精确到时，， 答：木条的长度约为． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． (1)如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是 ； (2)如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 【答案】(1) (2)竹竿长尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，实数与数轴，理解题意，熟练掌握勾股定理是解答的关键． 1）根据勾股定理求得，根据实数与数轴关系解答； （2）竹竿长x尺，则门高尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 在中，， ， 点表示的数为， 故答案为：； （2）解：设竹竿长尺， 由题意得，竹竿，门高尺，门宽尺， 在中，， ， ， 解得， 答：竹竿长尺． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·四川自贡·阶段检测）如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为，由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点． (1)图中点表示的数为________，点表示的数为________． (2)某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，此长度为 ． (3)若，，均为实数，且满足，，为图中拼成的正方形的边长的小数部分，请计算的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了运用数轴上的点表示无理数，平方根，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先由题意得该半圆的半径为，再运用数轴知识进行求解即可； （2）先求出大正方形的面积为，再减去两个长方形的面积求得中心小正方形的面积，最后运用平方根知识进行求解即可； （3）先利用平方根的以及二次根式的性质等知识求得、、，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积为， 小正方形的对角线为， ， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，大正方形面积为，两个小长方形面积为， 小正方形的面积为， 小正方形的边长为，即小长方形的对角线的长度为； （3）解：，，均为实数，且满足，， ，， 为图中拼成的正方形的边长的小数部分， ， 当，，时，； 当，，时，； 综上所述，的值为或． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 【答案】这条河的宽度为米 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：米，米，米， ， 为直角三角形，且， 在中，米，米， 米， 米， 即这条河的宽度为米． 【题型9】数轴上的几何情境 1.核心知识点 　　几何滚动、旋转与数轴结合；无理数在数轴上的表示。 2.解题方法技巧 　　①计算圆滚动一周的路程（周长）转化为点的位移； 　　②确定起点、滚动方向（向右加、向左减）； 　　③结合 或 表示终点坐标。 【例题9】.（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） (1)若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： (2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①第四次滚动距离原点最近，第三次滚动距离原点最远； ②点运动的路程共有，此时点所表示的数是 【分析】（1）将的值代入，计算算术平方根即可得； （2）①分别求出第次滚动后，点距离原点的距离，由此即可得； ②先将滚动记录的数字的绝对值相加，再乘以即可得点运动的总路程；先将滚动记录的数字相加，再乘以即可得此时点所表示的数． 【详解】（1）解：该圆片滚动一周的距离为， ∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点， ∴点表示的数； （2）解：①第1次滚动后，，点距离原点2周， 第2次滚动后，，点距离原点1周， 第3次滚动后，，点距离原点4周， 第4次滚动后，，点在原点处， 第5次滚动后，，点距离原点3周， 由此可知，第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远； ②∵， ∴当圆片结束运动时，点运动的路程共有； ∵， ∴当圆片结束运动时，此时点所表示的数是． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 【答案】(1)2，； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】（1）两个边长为1的小正方形面积和等于大正方形面积；由勾股定理求小正方形对角线； （2）圆半径为，原点右侧A为正数、左侧B为负数； （3）是圆的半径；用计算； （4）折叠后是、中点，利用中点公式求对应的数． 【详解】（1）解：小正方形面积：，两个小正方形总面积，因此拼成的大正方形面积为． 小正方形边长为，由勾股定理，对角线长． （2）解：圆半径等于小正方形对角线长． 点在原点右侧，故表示的数为； 点在原点左侧，故表示的数为． （3）解：是圆的半径，因此； 表示数字，即， ． （4）解：纸条沿对折，说明是线段的中点． ， 则点表示的数为． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·山西大同·阶段检测）综合与实践 问题情境： 造纸厂只生产面积为的长方形纸张，称为纸，其他纸张都在纸的基础上裁剪获得，这是全球最广泛使用的纸张规格体系，叫标准．如图1，我们把纸沿其长边的中点所在直线进行裁剪，得到新的纸张，把纸沿其长边的中点所在直线再次裁剪，得到新的纸张，依此类推，我们可以得到A系列纸张、、、……    (1)查阅资料可知A系列纸张的规格如下表，请计算，纸的长与宽之比（结果保留两位小数），并填在表格横线中； 规格 长 1189 841 594 420 297 宽 841 594 420 297 210 长与宽的比值 1.41 1.41 1.41 ______________ ______________ (2)拓展延伸：查阅资料可知，A系列纸的长与宽的比值均为．如图2，已知长方形是一张A系列纸，点E，F分别为边，的中点，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)1.41，1.41 (2)是直角三角形，理由如下： ∵长方形是一张A系列纸， ． 系列纸的长与宽的比值均为， 设，则， ∵点E，F分别为边，的中点， ， ，，． ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）利用长除以宽即可求解； （2）设，则，利用勾股定理及其逆定理即可判断直角三角形． 【详解】（1）解：纸的长与宽之比为：， 纸的长与宽之比为：； （2）略 【变式题9-3】.（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料，回答问题． 材 料 1 数形结合是重要的数学思想．将边长为1的两个小正方形按如图1所示的方法进行剪拼成一个大的正方形，小正方形的对角线的长就是大正方形的边长．（选自课本P42页） 材 料 2 实数与数轴上的点一一对应．如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与数轴分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．（选自课本P54页） (1)材料中，数是___________；点与之间的距离为___________； 类比探究： (2)由以上材料，小连同学受到启发，若把长为2、宽为1的两个长方形沿对角线剪开（对角线的长记为），得到四个形状大小一样的直角三角形，然后将它们拼成如图3所示的大正方形，中间恰好形成一个边长为的小正方形，求出的值； (3)若要得到无理数，可选择长与宽均为正整数的两个适当的长方形，参照图3的剪拼方法得到一个中间小正方形边长为的大正方形．请在图4的正方形网格图中用实线画出这个拼接成的大正方形和小正方形，且该大正方形一条边与数轴重合，小正方形的一个顶点与原点重合，并用圆规在数轴上画出表示的点．（保留作图痕迹，并标注点） 【答案】(1)； (2)的值为 (3) 中间小正方形边长为的大正方形和点为所求： 【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案；②根据即可求出答案； （2）根据面积列方程并解方程即可； （3）根据网格的特点和勾股定理作图即可． 【详解】（1）解：①∵,点对应的数为， ∴； ②∵ ∴点与之间的距离为． （2）根据题意可列方程：    解得（取正数） 所以的值为 （3）略 易错点 1、误把带根号的数都当作无理数，开得尽的数如 是有理数。 2、把无限循环小数当成无理数，其实无限循环小数是有理数。 3、忽略 0 的特殊性，把 0 归入正数或负数。 4、混淆实数的相反数、倒数、绝对值，符号处理出错。 5、实数混合运算顺序混乱，先加减后乘除。 6、比较实数大小时未估值，直接比较带根号数的大小出错。 重点 1、理解无理数的概念，能准确识别无理数。 2、掌握实数的两种分类标准，正确完成分类。 3、理解实数与数轴上的点一一对应，会借助数轴比较大小。 4、掌握实数的相反数、倒数、绝对值性质及混合运算。 难点 1、无理数的概念辨析，区分开方开不尽与含 π 等不同形式。 2、实数的大小比较，对带根号数进行准确估值。 3、实数与几何、情境的综合应用，含根式的运算与建模。 4、规律探究与迁移，从运算中发现并应用一般规律。 【对应练习题】 一、单选题 1．（26-27八年级上·山西·期中）的绝对值是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的绝对值是． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正数大于0，0大于负数比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个实数中，最大的数是． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为2，则点A与点B之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点距离的计算，利用数轴上两点距离等于对应两数差的绝对值，先比较两数大小，再去绝对值得到结果． 【详解】解：∵ 数轴上两点之间的距离等于两点对应数差的绝对值，点对应数为，点对应数为， 又∵ ， ∴ 与之间的距离为． 二、填空题 4．（26-27七年级上·云南·期中）比较大小： ______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】对于非负数，如果，那么，据此判断两个绝对值的大小关系，根据两个负数比较大小的规则，结合绝对值的大小关系，得出两个负数的大小关系即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 【答案】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可得到无理数的个数． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 无理数有，，（每两个1之间的0依次加1），共个． 6．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，以1个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点．点对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为________． 【答案】 【分析】利用圆的周长公式计算滚动距离，确定点表示的实数，再根据无理数小数部分的定义（原数减去整数部分）进行计算即可． 【详解】 解： 圆的直径为 ， 圆的周长为， 圆从原点开始沿数轴向右滚动一周， 点对应的数为 ， ， 的整数部分为， 这个无理数的小数部分为． 三、解答题 7．（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛ ……｝ (2)无理数集合｛ ……｝ (3)正实数集合｛ ……｝ (4)负实数集合｛ ……｝ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】有理数包括整数和分数(有限小数、无限循环小数)；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含的数等；正实数是大于0的实数；负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数． （1）筛选出所有整数和分数，即可得到有理数集合； （2）筛选出所有无限不循环的数，即可得到无理数集合； （3）筛选出所有大于0的实数，即可得到正实数集合； （4）筛选出所有小于0的实数，即可得到负实数集合． 【详解】（1）解：∵有理数是整数和分数的统称，是整数，是整数，是分数，它们都符合有理数的定义， ∴有理数集合． （2）解：∵无理数是无限不循环小数，是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数的相反数，也属于无限不循环小数， ∴无理数集合． （3）解：∵正实数是大于0的实数，，， ∴正实数集合． （4）解：∵负实数是小于0的实数，，， ∴负实数集合． 8．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）如图所示，数轴上有正方形，点A、B表示的数分别为和0，在数轴上找到点P，使得． (1)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)写出P点表示的数为________． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)或. 【分析】（1）连接，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点即可； （2）根据两点间的距离即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：点表示的数为或. 9．（2026·江苏常州·二模）【阅读材料】 我们利用完全平方公式可以计算无理数的近似值． 例如：求的近似值．     ∵，∴．∴可以表示成以下两种形式： ①，其中；②，其中． 用形式①求的近似值的过程如下： 设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则． ∴． ∴． (1)方法理解：请用形式②求的近似值； (2)比较分析：你认为用哪一种形式得出的近似值的误差更小，请简要说明理由（参考数据：） (3)灵活运用：从形式①或②中，选择恰当的形式，计算的近似值（保留两位小数），要求误差更小． 【答案】(1)的近似值为4.2 (2)解：我认为用形式①得出的近似值误差更小，理由如下： 用形式①得到，则误差为． ∵， ∴． 用形式②得到，则误差为． ∵， ∴． ∵， ∴用形式①得出的近似值误差更小， 即，且17距离16更近，所以更接近于，因此用形式①误差更小． (3)的近似值为8.89 【分析】阅读材料，理解材料中计算无理数近似值的两种方法． （1）按照材料中形式②的方法进行计算； （2）考虑到题干提及“比较分析”，按照材料中形式①和形式②的方法分别进行计算，再进行比较，最后得出结论，但要归纳总结：因为17距离16更近，所以用形式①误差更小； （3）结合（2）归纳的结论，考虑到79距离81更近，所以用形式②误差更小．随后采用形式②进行计算即可． 【详解】（1）解：设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则， ∴， 解得：． ∴． ∴的近似值为4.2． （2）略 （3）解： ∵， ∴． ∵79距离81更近，所以用形式②误差更小． 选择形式②，设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则， ∴， 解得：． ∴． ∴的近似值为8.89． 10．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】(1) 方式一得出的近似值精确度更高 (2) 选择方式一：，选择方式二： 【分析】（1）比较与6、7的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解； （2）先确定的取值范围，再根据材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴更接近6， ∴在方式一中用6代替所产生的误差更小， ∴方式一得出的近似值精确度更高； （2）解：∵， ∴， 方式一：∵， ∴，即， ∴； 方式二：∵， ∴，即， ∴； ∴选择方式一：，选择方式二：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $