专题03 立方根重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测）-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦立方根这一核心知识点，系统梳理立方根的概念及性质，通过对比平方根与立方根的区别联系构建知识支架，助力学生从概念理解逐步过渡到性质应用。 资料以“基础+提高”分层题型设计为特色，融入华罗庚速算立方根等实际案例与规律探究题，培养学生抽象能力、推理意识和模型意识。课中辅助教师突破重难点，课后通过自我检测帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题03 立方根重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、立方根概念理解 1 题型二、求一个数的立方根 2 题型三、已知一个数的立方根，求这个数 3 题型四、与立方根有关的规律探索 4 题型五、立方根的实际应用 5 题型六、算术平方根和立方根的综合应用 6 题型七、计算器——平方根和立方根 7 第二部分·练提高题型 题型一、解立方根方程问题 1 题型二、立方根的规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东广州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆云阳·期中）计算__________． 知识点02 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 2．（25-26七年级下·重庆渝北·阶段检测）立方根等于本身的非负数是____． 【基础题型一 立方根概念理解】 【例1】（25-26七年级下·安徽亳州·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【例2】（25-26八年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川德阳·期末）我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙． 解：∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是， ∴的末位数字是9； 又∵划去的后面三位319得到59，而， ∴的十位数字是； ∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为______． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 【基础题型二 求一个数的立方根】 【例1】（25-26七年级下·河南开封·期末）下列说法正确的是（     ） A．9的平方根是3 B．的立方根是5 C．25的平方根是 D． 【例2】（26-27八年级上·陕西西安·期中）在，2.12345……（小数部分为连续的正整数），3.14，这些数中，无理数有______个． 1．（25-26七年级下·吉林·期末）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）8的立方根是 ___，16的平方根是____，的算术平方根是_____． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列说法正确吗？为什么？ (1)的平方根是； (2)； (3)0没有立方根； (4)1的立方根是． 【基础题型三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 【例2】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若一个数的立方根是，则这个数是__________． 1．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如果，则（    ） A．4 B． C．8 D． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）填空： （1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________； （2）的立方根是________，即________； （3）的立方根是________； （4）的立方根是________； （5）________的立方根是0； （6）9的立方根是________． 3．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 【基础题型四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【基础题型五 立方根的实际应用】 【例1】（26-27八年级·上海·期中）已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【例2】（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体，已知它的体积为，那么它的棱长为_____． 1．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）受《曹冲称象》的故事启发，小明利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 3．（24-25七年级下·广东江门·阶段检测）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【基础题型六 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【例2】（25-26七年级下·山西朔州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，则___________． mn 1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 2．（25-26七年级下·安徽安庆·阶段检测）已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 3．（25-26七年级下·山东滨州·阶段检测）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【基础题型七 计算器——平方根和立方根】 【例1】（25-26七年级下·广东珠海·期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·山东淄博·一模）运用科学计算器进行计算，按键顺序如下：    则计算器显示的结果是__________． 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．    若一开始输入的数据为10，那么第2019步之后，显示的结果是（　　） A． B．100 C． D． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 【提高题型一 解立方根方程问题】 【例1】（25-26八年级下·上海浦东新·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·北京·期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有． 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知，则下列选项中不是方程的解的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知a是的立方根，b是方程的解，则的值为________． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知某正数的两个平方根分别是和，64的立方根为，关于x的方程满足 (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 【提高题型二 立方根的规律探究问题】 【例1】（2026八年级上·湖南邵阳·模拟预测）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【例2】（24-25七年级下·全国·期中）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 1．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________．  2．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 3．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 1．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列说法中正确的是（    ） 的立方根是；的立方根是；无立方根；互为相反数的数的立方根也互为相反数． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 4．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）＝_____，＝_____． 7．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为___________ 8．（25-26七年级下·重庆·期中）已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则＝___． 9．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为______· 11．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）计算与求值： (1)计算：； (2)求中x的值． 12．（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）已知的平方根是的算术平方根是4，求的立方根． 13．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知的平方根是，的算术平方根是1，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的立方根． 14．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 15．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）【情境导入】据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，并很快给出了正确答案． 【知识储备】开立方和立方互为逆运算．请补全下面表格： 整数 [应用]根据以下步骤尝试求出的立方根： 步骤一：根据，，得到的立方根是 位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是 ； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是 ，因此的立方根是 ． （1）将上述过程补充完整； （2）请用同样的方法求的立方根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 立方根重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、立方根概念理解 1 题型二、求一个数的立方根 2 题型三、已知一个数的立方根，求这个数 3 题型四、与立方根有关的规律探索 4 题型五、立方根的实际应用 5 题型六、算术平方根和立方根的综合应用 6 题型七、计算器——平方根和立方根 7 第二部分·练提高题型 题型一、解立方根方程问题 1 题型二、立方根的规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东广州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根、立方根的定义，以及二次根式的加法运算逐个判断即可． 【详解】对选项A：∵ ，∴ A错误； 对选项B：∵ 算术平方根的结果为非负数，，∴ B错误； 对选项C：∵ ，∴ ，C正确； 对选项D：∵ ，∴ D错误． 2．（25-26七年级下·重庆云阳·期中）计算__________． 【答案】4 【分析】根据立方根的定义求出的值，再根据有理数的符号运算法则计算，即可得到最终结果． 【详解】解：． 知识点02 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 【答案】D 【详解】解：A：∵，∴1的平方根是±1，A错误； B：∵负数没有算术平方根，是负数，∴不存在算术平方根，B错误； C：∵，∴0的立方根是0，C错误； D：先计算，∵，∴4的平方根是，即的平方根是，D正确． 2．（25-26七年级下·重庆渝北·阶段检测）立方根等于本身的非负数是____． 【答案】0和1 【分析】此题考查了立方根，根据立方根的意义进行解答即可． 【详解】解：立方根等于本身的非负数是0和1， 故答案为：0和1 【基础题型一 立方根概念理解】 【例1】（25-26七年级下·安徽亳州·期中）下列关于立方根的说法，正确的是（   ） A．负数没有立方根 B．的立方根是4 C．立方根等于它本身的数只有0和1 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】根据立方根的定义与性质，逐一判断各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，∴ 选项A错误； ∵，4的立方根是，不是4，∴选项B错误； ∵立方根等于它本身的数有，，，∴选项C错误； ∵对任意实数，都有，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，∴D正确． 【例2】（25-26八年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方根、立方根的性质，再结合不等式的性质求解即可． 【详解】解：A：∵，∴，A正确； B：∵，∴， 不等式两边同除以2得，， 所以B选项的不等式错误； C：∵，∴， 不等式两边同除以2得，C正确； D：∵，∴，D正确． 2．（25-26七年级下·四川德阳·期末）我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙． 解：∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是， ∴的末位数字是9； 又∵划去的后面三位319得到59，而， ∴的十位数字是； ∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可． 【详解】解∵， ∴， ∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是3，而整数0至的立方中，只有的末位数字是3， ∴的末位数字是7； 又∵划去的后面三位得到19， 而， ∴的十位数字是2； ∴； ∴， 解得， 故答案为： 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】本题类比已学的二次方根、三次方根、四次方根的定义，探究五次方根的相关知识，整体解题思路为：先根据已知定义类比得到五次方根的概念，再结合非负数的性质、一元方程的求解方法，利用乘方与开方互逆运算计算各小题的结果． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2． （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，． 【基础题型二 求一个数的立方根】 【例1】（25-26七年级下·河南开封·期末）下列说法正确的是（     ） A．9的平方根是3 B．的立方根是5 C．25的平方根是 D． 【答案】C 【分析】根据平方根，算术平方根，及立方根的概念解答即可． 【详解】解：A选项：∵，∴9的平方根是，A错误； B选项：∵，，∴的立方根不是5，B错误； C选项：∵，∴25的平方根是，C正确； D选项：∵，∴D错误． 【例2】（26-27八年级上·陕西西安·期中）在，2.12345……（小数部分为连续的正整数），3.14，这些数中，无理数有______个． 【答案】 3 【分析】先化简可计算的数，再根据无理数的定义逐个判断，统计无理数的个数． 【详解】解：逐个判断各数：，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； 2.12345……（小数部分为连续正整数）是无限不循环小数，属于无理数； 3.14是有限小数，属于有理数； 是无理数，因此仍是无理数； 统计可得，无理数共有3个． 1．（25-26七年级下·吉林·期末）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由算术平方根的非负性排除选项A、B，再立方根验证选项C；最后根据算术平方根的非负性判断选项D即可． 【详解】解：，，故A、B均错误． ，故，C错误． ，D正确． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）8的立方根是 ___，16的平方根是____，的算术平方根是_____． 【答案】 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义求解，计算的算术平方根时，需先化简，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：， 的立方根是， ， 的平方根是， ，，且算术平方根为非负数， 的算术平方根是． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列说法正确吗？为什么？ (1)的平方根是； (2)； (3)0没有立方根； (4)1的立方根是． 【答案】(1)解：， 的平方根是， 故原题说法错误． (2)解：， 故原题说法错误． (3)解：0的立方根是0， 故原题说法错误． (4)解：1的立方根是1， 故原题说法错误． 【分析】（1）根据平方根的定义，解答即可； （2）根据，解答即可； （3）根据0的立方根是0，求解即可； （4）根据1的立方根是1，求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． （4）解：略． 【基础题型三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查立方根的性质．根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴或0， ∴a的值为或或0， ∴的值不可能是2． 故选：D 【例2】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若一个数的立方根是，则这个数是__________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义，若一个数的立方根是，则这个数是的立方． 【详解】解：， 的立方根是， 这个数是． 1．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如果，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查已知一个数的立方根求这个数．根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：， ∴； 故选C． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）填空： （1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________； （2）的立方根是________，即________； （3）的立方根是________； （4）的立方根是________； （5）________的立方根是0； （6）9的立方根是________． 【答案】 2 3 3 / / 0 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解决问题的关键．如果一个数的立方是a，则这个数的立方根是， 根据立方根的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴8的立方根是2； ， 的立方根是； （2）， 的立方根是3，即； （3）∵，∴的立方根是； （4）∵，∴的立方根是； （5）∵，∴0的立方根是0； （6）∵，∴9的立方根是 ． 故答案为：2，，3，3，，，0，． 3．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根，立方根的定义解答，再根据确定答案； （2）先求出，再求出算术平方根，小数部分：，然后求出差即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， 解得； ∵， ∴整数部分； （2）解：，算术平方根为4， 小数部分：， 差值：． 【基础题型四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 2．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 【答案】2.872 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：， ． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 【基础题型五 立方根的实际应用】 【例1】（26-27八年级·上海·期中）已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 【例2】（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体，已知它的体积为，那么它的棱长为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了立方根的应用，理解正方体的体积公式以及求一个数的立方根是解题的关键．根据正方体的体积等于棱长的立方，即求的立方根即可． 【详解】解：正方体的体积为， 它的棱长为， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）受《曹冲称象》的故事启发，小明利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得正方体的棱长为， ∵， ∴， 即正方体物块的棱长位于3和4之间． 2．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 3．（24-25七年级下·广东江门·阶段检测）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】(1)0.1；10 (2) (3)①6.694； 0.3107②需要大约1248平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对算式进行变形分析即可； ②设正方体的棱长为a米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得： ；； 故答案为：0.1；10； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：①； ； 故：6.694；0.3107； ②设正方体的棱长为a米，则， ∴， ∴（平方米）， 答：需要大约1248平方米的铁皮． 【基础题型六 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可． 【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根， ∴m-n=2， ∵B=是m-2n+3的立方根， ∴m-2n+3=3， ∴     解得 ∴A==3，B= ∴B-A=2-3=-1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念． 【例2】（25-26七年级下·山西朔州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，则___________． 【答案】5 【分析】根据算术平方根、立方根的意义求出m和n的值，然后代入即可求解． 【详解】解：的算术平方根是3， ， ， 解得． 的立方根是， ， ， 解得． ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根的计算，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． 1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 2．（25-26七年级下·安徽安庆·阶段检测）已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查立方根、算术平方根和平方根的定义，无理数的估算．掌握其基本知识点是解题的关键． （1）利用立方根的定义、算术平方根的定义求出a、b的值，利用无理数的估算方法求出c的值． （2）将a、b、c的值代入代数式求值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴， 解得， ∵，即，c是的整数部分， ∴． （2）由（1）可知，，， ∴， ∴的平方根是． 3．（25-26七年级下·山东滨州·阶段检测）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【答案】(1)倍 (2)； (3)； (4)能直接说出，不能直接说出的值 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； （4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍, 故答案为：倍． （2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；， 故答案为：；． （3）∵ ∴； （4）解：∵， ∴，不能直接说出的值 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 【基础题型七 计算器——平方根和立方根】 【例1】（25-26七年级下·广东珠海·期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数的规律，以及用计算器的计算开方，得出让第十位的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键． 因为计算器只能显示9位（包括小数点），要想知道第十位的数字是什么，必须想办法让第十位的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让第十位的数据出现． 【详解】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意； C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（2026·山东淄博·一模）运用科学计算器进行计算，按键顺序如下：    则计算器显示的结果是__________． 【答案】19 【分析】根据计算器的按键代表的运算可得答案． 【详解】解：根据题意可知计算式为， 解得， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了用计算器计算的知识点，掌握计算器的各个按键所表示的意义是解决本题的关键． 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．    若一开始输入的数据为10，那么第2019步之后，显示的结果是（　　） A． B．100 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的规律问题，理解开方，平方及倒数的含义是解题的关键．分别求出第1，2，3，4，5，6步的结果，进而得出规律，根据规律确定答案即可． 【详解】解：第1步的结果是； 第2步的结果是； 第3步的结果是； 第4步的结果是； 第5步的结果是； 第6步的结果是， ； 可知6步一循环，， ∴第2019步之后显示的结果是即． 故选：D． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 【答案】 【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【详解】解：由题意知第1步结果为x2， 第2步结果为， 第3步结果为=， 第4步结果为， 第5步结果为x2， 第6步计算结果为x， 第7步计算结果为x2， …… ∴运算的结果以x2，，，，x2，x六个数为周期循环， ∵2021÷6=336……5， ∴第2021步之后显示的结果为4，即x2=4， ∴输入的数x是±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了计算器，通过列举发现：答案按照x2，，，，x2，x六个数循环，这是解题的关键． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题关键．求出，则可得两种情况：①这三个连续整数为，②这三个连续整数为，分别计算每个整数的平方，由此即可得． 【详解】解：∵是三个连续整数的平方，且，，，， ∴， 又∵是三个连续整数的平方， ∴①当这三个连续整数为时，，舍去； ②当这三个连续整数为时，，，符合题意； 则． 【提高题型一 解立方根方程问题】 【例1】（25-26八年级下·上海浦东新·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，把方程化为，再解方程即可. 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选C 【点睛】本题考查的是利用立方根的含义解方程，掌握立方根的含义是解本题的关键. 【例2】（25-26七年级下·北京·期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有． 【答案】①② 【分析】根据立方根、平方根的定义可判断①②；利用开平方法解方程后可判断③的解的情况；利用特殊值法可判断④． 【详解】①，则， 即， ∴，在实数范围内有解，故选项①正确； ②，则， ∴在实数范围内的解有两个，故选项②正确； ③，整理得：， 配方得：， 开方得：或(舍去)， ∴， ∴原方程在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误； ④当时，； 当时，； 当时，；故选项④错误； 综上，①②正确， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了完全平方公式，开平方解方程，是信息给予题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知，则下列选项中不是方程的解的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将的值逐个代入判断即可． 【详解】解：A．当时，，符合题意； B．当时，，不符合题意； C．当时，，不符合题意； D．当时，，不符合题意． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知a是的立方根，b是方程的解，则的值为________． 【答案】1或5 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据立方根、平方根的性质求出、，再代入中求值即可． 【详解】因为是的立方根，是方程的解，所以． 因为， 所以或． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知某正数的两个平方根分别是和，64的立方根为，关于x的方程满足 (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的概念，是解题的关键： （1）根据平方根的性质，立方根的定义，进行求解，利用平方根解方程即可； （2）根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴当时， 当时，， ∴的算术平方根为或． 【提高题型二 立方根的规律探究问题】 【例1】（2026八年级上·湖南邵阳·模拟预测）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·全国·期中）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ② 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． （1）利用立方根的性质求解即可； （2）①利用立方根的性质求解即可； ②利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：（1）； ； ； ； ； 故答案为：，，1 ，10 ，100； （2）①； ； 故答案为：，； ② 故答案为：． 1．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________． 【答案】 （1） 填表如下：                          0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 （2）被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍； （3）14.42，0.03107，31.07，0.1442 【分析】本题考查立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可求解； （2）由于被开方数的小数点每移动三位，相应的立方根的小数点移动一位，由此即可解决问题； （3）被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点就按同方向移动1位．利用此规律即可求解． 【详解】解：（1）略 （2） 由上可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍．        （3） 根据你发现的规律填空： 已知，， 则， ， ， ， 故答案为：14.42，0.03107，31.07，0.1442． 2．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 3．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 【答案】（1）一；（2）；大约需要平方米的铁皮． 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）根据解析（1）中规律进行解答即可；先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】（1）解：根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； 故答案为：一； （2）解：， ； 故答案为：； 正方体的体积为立方米， 正方体的棱长为：（米）， 需要铁皮的面积为： （平方米）， 答：大约需要平方米的铁皮． 1．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故不正确； B．，，根式无意义，故不正确；     C． 故正确；     D．∵，∴，故不正确． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列说法中正确的是（    ） 的立方根是；的立方根是；无立方根；互为相反数的数的立方根也互为相反数． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解答本题的关键． 根据立方根的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：的立方根是，故正确； 的立方根是故错误； 有立方根，故错误； 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故正确； 所以正确的说法有：， 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【答案】C 【分析】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 5．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 6．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）＝_____，＝_____． 【答案】 / 【分析】用立方根的定义和性质解答，立方根的定义是如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，立方根的性质有和． 【详解】解：，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了求立方根，解决问题的关键是熟练掌握立方根的定义和性质． 7．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为___________ 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则＝___． 【答案】4 【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】由题意可得：，， 解得：，， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根，．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根． 9．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 【答案】 【详解】解：由表格可得，被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位；被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位， ∴，， ∴． 10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为______· 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，先根据康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积求出边长，进而求出表面积. 【详解】解：康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长， 所以这个表面积为 11．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）计算与求值： (1)计算：； (2)求中x的值． 【答案】(1)6； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根，再计算加法即可得解； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）已知的平方根是的算术平方根是4，求的立方根． 【答案】2 【分析】先根据题意求出与的值，再代入求解即可． 【详解】解：的平方根是的算术平方根是4， ， 解得， ， 的立方根为2． 13．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知的平方根是，的算术平方根是1，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2)4 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，平方根的定义，无理数大小的估算，熟记概念是解答本题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义，可列式求出a和b的值，对的估算，即可求得c的值； （2）将a，b，c的值代入即可得出答案． 【详解】（1）的平方根是， ， 解得， 的算术平方根是1， ， ， 解得， 是的整数部分，， ． （2），，， ， 所以的立方根是4． 14．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 15．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）【情境导入】据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，并很快给出了正确答案． 【知识储备】开立方和立方互为逆运算．请补全下面表格： 整数 [应用]根据以下步骤尝试求出的立方根： 步骤一：根据，，得到的立方根是 位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是 ； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是 ，因此的立方根是 ． （1）将上述过程补充完整； （2）请用同样的方法求的立方根． 【答案】[知识储备]，，，，，；[应用]（）两，，，；（）． 【分析】本题考查了有理数乘方，立方根及尾数特征，理解题干中求一个数的立方根的步骤是解题的关键． [知识储备]根据有理数乘方即可求解； [应用]根据有理数乘方，立方根即可求解； （）根据有理数乘方，立方根即可求解； （）根据有理数乘方，立方根即可求解． 【详解】解：[知识储备] ∵，，，，，； 补全表格如下： 整数 故答案为：，，，，，； [应用]（）步骤一：根据，，得到的立方根是两位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是，因此的立方根是； 故答案为：两，，，， （）因为，， 所以的立方根是两位数， 因为的个位上的数是，， 所以的立方根个位上的数是， 如果划去后面的三位数，得到数， 而，， 所以的立方根十位上的数是， 所以的立方根为． 学科网（北京）股份有限公司 $