专题01 探索勾股定理重难点题型讲义（2个知识点+9大题型+自我检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学勾股定理专题复习讲义通过知识框架图系统梳理了两大核心知识点，包括勾股定理的定义、变式及三类证明方法，明确使用前提和分类讨论等重难点，构建“知识点-题型-应用”的递进知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，基础涵盖解三角形、弦图计算等9类基础题型，提高聚焦面积、最值等综合问题，如“折叠问题”培养几何直观，“实际情境题”强化应用意识，配套自我检测和即时训练，助力学生自主复习，教师可实施分层教学提升复习效率。

专题01 探索勾股定理重难点题型专训（2个知识点+9大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、用勾股定理解三角形 1 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 2 题型三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 3 题型四、利用勾股定理证明线段平方关系 4 题型五、勾股定理的证明方法 5 题型六、以弦图为背景的计算题 6 题型七、用勾股定理构造图形解决问题 7 题型八、勾股定理与网格问题 8 题型九、勾股定理与折叠问题 9 第二部分·练提高题型 题型一、勾股定理中的面积问题 1 题型二、利用勾股定理求长度 2 题型三、勾股定理中的最值问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得，． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 【答案】或/8或10 【分析】分类讨论，分是直角边和是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可得到斜边长. 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ① 当为直角边时，也为直角边，由勾股定理得，斜边长为： ， ② 当为斜边时，斜边长即为，满足直角三角形三边关系，符合题意. 知识点02 勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北保定·期末）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是读懂图形信息．根据图形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：∵将右半部分翻转，大小不变， ∴，故C正确； ∵，故D不正确， ，故B正确， ∴， ∴，故A正确． 故选：D． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是，整个图形连同空白部分的面积是，则大正方形的边长是______． 【答案】5 【分析】设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，根据题意列出方程组，即可求得． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， 根据题意得， 解得：， 解得：或舍去， 故大正方形的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 【基础题型一 用勾股定理解三角形】 【例1】（25-26八年级下·广东广州·期末）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，已知直角三角形的两条直角边长，直接利用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：在中，，为斜边， 根据勾股定理得， ∵，， ∴， ∵边长为正数， ∴． 【例2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，于点D，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，先根据勾股定理算出，得到，再利用等面积法求即可． 【详解】解：，，， ，， 于点， ， ． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为打造以“的城市”为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为（   ） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出，再计算起重臂顶端离地面的高度即可． 【详解】解：∵米，米，， 米， ∵点到地面的竖直距离为2米， 米， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 2．（25-26八年级下·江西南昌·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．则__________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，根据题意可得，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴． 3．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性、数形结合来简化解决一些复杂数学问题．如图公路上两点（看作直线上的两点）相距分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）．点是公路上的一个中转站．已知，垂足分别为． (1)求村庄到中转站的距离； (2)求村庄到公路上点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据已知条件求出，再根据勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：， ， ，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ，， ， ． 【基础题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定．先证明图中的三角形为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出正方形边长的平方即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵阴影部分是正方形，所以， ∴， ∴， 又，∴， ∴， ∴正方形的面积． 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图两个正方形的面积分别是289、225，则字母A所代表的正方形的边长为______． 【答案】8 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 字母A代表的正方形的面积， ∴字母A所代表的正方形的边长为8． 1．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，斜边的长为，分别以的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰直角三角形的性质，用斜边长表示出三个阴影三角形的面积，再利用勾股定理将阴影部分面积转化为与有关的式子，最后代入计算即可求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，且， ∴，即， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵在 中，， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当，时，则阴影部分的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理，求不规则图形的面积，勾股定理求出的长，根据阴影部分的面积等于两个小半圆的面积加上直角三角形的面积，再减去大半圆的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：4． 3．（25-26八年级下·广西崇左·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： 在中，根据勾股定理得，， 又∵，， ∴； (2) 解：，理由如下： 设，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； (3) (4) 解：，理由如下： 如图，与的交点记为点， ∵， ∴ ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （4）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， 设，，，则，，， ，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （4）略 【基础题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案． 【详解】解：∵在中，且， ∴AB为的斜边， ∴根据勾股定理得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2． 【答案】 证明：∵ BD⊥AC， ∴ ∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠DEC＝90°， ∴ 在Rt△ AED中，AD2＝AE2+DE2， 在Rt△ AEB中，AB2＝AE2+BE2， 在Rt△ BEC中，BC2＝BE2+CE2， 在Rt△ CED中，CD2＝CE2+DE2， ∴ AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2， ∴ AD2+BC2＝AB2+CD2． 【分析】由BD⊥AC，利用勾股定理即可求得：在Rt△ AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△ AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△ BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△ CED中，CD2＝CE2+DE2，继而证得结论 【详解】略 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用． 【基础题型四 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 【答案】B 【分析】连接BD，根据勾股定理可得，，即，即可求解． 【详解】解：连接BD， 根据勾股定理可得，， 即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，根据直角的信息提示，作出辅助线，构造出直角三角形，是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【详解】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 1．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 2．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知和中，，，，连接．交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接，，求证 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据证明即可． （2）设交于点．利用全等三角形的性质解决问题即可． （3）连接，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】（1）解：证明：， ， ，， ． （2）设交于点． ， ， ，， ， ， ． （3）证明：连接． ， ，， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【基础题型五 勾股定理的证明方法】 【例1】（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“赵爽弦图”是： 【例2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，那么为______ ．    【答案】1 【分析】结合图形，求出的值，再利用完全平方公式计算即可得出． 【详解】解：根据题意得：，，即， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，采用数形结合的方法是解题的关键． 1．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，解题的关键是数形结合．分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解． 【详解】解：根据图1可得该几何图形的面积为：， 根据图2可得该几何图形的面积为：， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__． 【答案】a2+b2＝c2 【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系． 【详解】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2． 还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2， 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 故答案为：a2+b2＝c2． 【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）用个如图所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理． (1)图中大正方形的边长为 ，里面小正方形的边长为 ； (2)大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ； (3)对比这两种表示方法，可得出 ，整理，得 ． 【答案】(1)；； (2)；； (3)；． 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键． （1）通过观察图，确定大、小正方形的边长； （2）分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积； （3）根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理． 【详解】（1）解：图中大正方形的边长为，里面小正方形的边长为； 故答案为：，； （2）解：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为； 故答案为：，； （3）解：对比这两种表示方法，可得出，整理，得． 故答案为：，． 【基础题型六 以弦图为背景的计算题】 【例1】（25-26八年级上·陕西安康·期中）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是小辰用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若，，则正方形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求得，进而可得，根据正方形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 依题意， ∴ ∴正方形的面积为， 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 【答案】13 【分析】根据正方形面积公式求出阴影部分边长为7，结合图形得出与的数量关系，求出的长，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：阴影部分的面积是49， 中间小正方形的边长为， 由图可知，中间小正方形的边长等于， ， ， ， 在中，，由勾股定理得：， 大正方形的边长是13． 1．（24-25八年级下·广西河池·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是．如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，由题意可知，大正方形的面积为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出，即可求出小正方形的面积． 【详解】解：∵大正方形的面积是25， ∴， 又∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：A． 2．（24-25八年级下·山西大同·期末）“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形（）中的较长直角边（）向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 根据题意得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵风车的外围周长（虚线部分）为76， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河北沧州·阶段检测）（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理； （2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【答案】 （1）证明：， 即 则； （2）该飞镖状图案的面积是24 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 【详解】解：（1）略 （2） 设 依题意有 解得 ． 故该飞镖状图案的面积是24． 【基础题型七 用勾股定理构造图形解决问题 】 【例1】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，一文物C（看作一点）被探明位于地面A点垂直往下36米处，由于A点下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A点15米的B处斜着挖掘，已知障碍物不在线段BC上，则要取出文物C至少要挖（     ）    A．39米 B．米 C．42米 D．51米 【答案】A 【分析】根据题意可知：，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将实际问题抽象成勾股定理是解题的关键． 【例2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是长、宽、高分别是，，的长方体木箱，一根长的木棒______（填“能”或“不能”）完全放进这个长方体木箱． 【答案】不能 【分析】根据勾股定理求出这个长方体木箱能容纳的最大长度，即可解答． 【详解】解：这个长方体木箱能容纳的最大长度为， ∵，， ∴， ∴一根长的木棒不能完全放进这个长方体木箱． 1．（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 2．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A爬到另一顶点M，已知AB＝AD＝2，BF＝3．这只蚂蚁爬行的最短距离_____． 【答案】5 【分析】把这个长方体表面分别沿CB、ND、DC展开，将点A和点M放在同一平面内，在同一平面内A、M两点间线段最短，根据勾股定理计算，找出最短距离即可． 【详解】解：如图1，将长方体沿CB展开， 当蚂蚁经图中长方体右侧表面爬到M点，则， 如图2，将长方体沿ND展开， 当蚂蚁经图中长方体左侧面爬到M点，则， 如图3，将长方体沿DC展开， 当蚂蚁经图中长方体上侧面爬到M点，则， 比较以上三种情况，一只蚂蚁从顶点A爬到顶点M，那么这只蚂蚁爬行的最短距离是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查最短路径问题，用勾股定理构造图形解决问题，学会分析从不同方向展开长方体表面，灵活运用勾股定理进行计算是解题关键． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，某小区在相邻两楼之间修建了一个上方是以为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，其中米，米，现有一辆装满家具的卡车高米，宽米，请问这辆送家具的卡车能否顺利通过这个通道？请说明你的理由． 【答案】 卡车能通过，理由如下， 如图，设点O为半圆的圆心，则的中点为点O，为半圆的半径， 米， ，米， 在中，， 米， 米， ， 卡车能通过． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，如图，卡车能否通过，关键是车高米与的比较，为米，只需求，在直角三角形中，半径为1米，车宽的一半为米，运用勾股定理求出即可． 【详解】略 【基础题型八 勾股定理与网格问题】 【例1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出每条线段的长即可判断． 【详解】解：由勾股定理可得：，， 故长度为无理数的线段是， 故选：D． 【例2】（2026·山东济南·二模）一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率是__________． 【答案】 【分析】设地砖的边长为1，根据勾股定理求出阴影区域的边长，求出总面积及阴影区域的面积，进而根据概率公式计算即可． 【详解】解：设地砖的边长为1，则阴影区域的边长为， ∴总面积，阴影区域的面积， ∴小球停留在阴影区域的概率是． 1．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在边长为的正方形网格中，点，，，，均在格点上，则下列线段中长度为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用网格结合勾股定理，计算出每个线段的长度即可． 【详解】由网格可知，，， 由勾股定理可得，，， ∴只有线段长为． 2．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，的顶点是正方形网格的格点，则点到的距离为_____． 【答案】 【详解】解：设点到的距离为， ∵，， ∴， ∴，即点到的距离为． 3．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)解：是直角三角形，理由如下； 由（1）得，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）可证明，则可得到是直角三角形． 【详解】（1）解：由题意得，， ， （2）略 【基础题型九 勾股定理与折叠问题】 【例1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，货车高，卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，则弯折点与地面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即弯折点与地面的距离为． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 【答案】 【分析】利用折叠的性质，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即． 3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 【答案】的长为 【分析】根据长方形以及折叠的性质可得，，，，设，则，，然后对和运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，将边沿直线折叠， ，，，， 设，则． ， 在中，， ． 在中，由勾股定理得：，即：， 解得． 的长为． 【提高题型一 勾股定理中的面积问题】 【例1】（2026·江苏泰州·一模）用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（    ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】本题考查图形的面积．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，直角三角形的长直角边为m，短直角边为n，分别求出组成阴影部分的两个三角形的面积，进而表示出阴影部分的面积，即可判断出与阴影部分面积相同的图形在哪个选项中． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，直角三角形的长直角边为m，短直角边为n， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·山东·期末）如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________． 【答案】 【分析】证明，得到，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，得到，同理得到，，，再计算即可． 【详解】解：如图， 图中的四边形为正方形， ，， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， ，，， ， 同理可得，，...，， ． 1．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形，的面积分别是，，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形A、B、C的边长为、、，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长为、、， 由题意可得，，， 由勾股定理可得，， ∴正方形C的面积为． 2．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：______； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东威海·期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗? 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积：大正方形面积=________ (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，求空白部分的面积． (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，则__________． 【答案】(1) (2)28 (3)该风车状图案的面积是24． (4) 【分析】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可． （2）根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可． （3）可设，根据勾股定理列出方程可求，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意：，， ∴小正方形的面积为，大正方形的面积为， 小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：． （2）解：由题意得： 空白部分的面积为． （3）解：， 设，依题意有 ， 解得， ． 故该风车状图案的面积是24． （4）解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（4）中考查了图形面积关系，根据已知用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键． 【提高题型二 利用勾股定理求长度】 【例1】（25-26八年级下·辽宁大连·阶段检测）如图，一块矩形门框的长，宽，下面四块矩形薄木板（厚度忽略不计）能从该门框内通过的是（    ） A．长为，宽为 B．长为，宽为 C．长为，宽为 D．长为，宽为 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，计算矩形的对角线，与木板的宽进行比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】由一块矩形门框的长，宽，则其对角线长为， 、由题意得：，不能通过，不符合题意； 、由题意得：，不能通过，不符合题意； 、由题意得：，不能通过，不符合题意； 、由题意得：，能通过，符合题意； 故选：． 【例2】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）如图，已知线段长为2，过点B作，使；连接，以点C为圆心，长为半径作弧，交线段于点D，再以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于点E，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据已知易得，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·河南焦作·阶段检测）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，若的长为，求的长．设的长为，则以下所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列方程解应用题，勾股定理，找到等量关系是解决问题的关键．在和 中分别表示，列方程即可． 【详解】解：由题意：在，， 在 中，， ∴可列方程． 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺． 【答案】14.5 【分析】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果． 【详解】解：延长到地面于，过作地面于，如图所示： 设绳索有x尺长， 根据题意及所作辅助线，四边形是矩形，则， 在中，，，，则102＋（x＋1−5）2＝x2，解得：x＝14.5，即绳索长14.5尺， 故答案为：14.5． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 3．（24-25八年级下·广西百色·期中）【综合实践】如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止．设点的运动时间为秒． 【尝试运用】 （1）求的长； （2）求斜边上的高； 【拓展运用】 （3）①当点在上时，求的长；（用含的代数式表示）②若点在的角平分线上，求的值． 【答案】（1）8（2）斜边上的高为（3）①② 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，列代数式，勾股定理在动点问题中的应用，数形结合并熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的值， （2）设斜边高为h，由面积法可求得答案； （3）①根据P在上时，P的运动长度为可得； ②当点P在的角平分线上，过点P作，可证，再在中由勾股定理得到关于t的方程，进而可以求解． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴， （2）设边上的高为h， 则， ∴， ∴，即斜边上的高为； （3）①当点P在上时，点P的运动长度为， ∴， 故答案为：； ②若点P在的角平分线上时，过点P作， 如图： ∵平分，，， ∴， 由①知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 【提高题型三 勾股定理中的最值问题】 【例1】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，以为边作，，点与点A在的两侧，则下列结论中正确的是（   ） A．有最小值，也有最大值 B．没有最小值，也没有最大值 C．若，，则的最小值为8 D．若，，则的最大值为8 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，由勾股定理可得，再证明可得，然后再根据三角形的三边关系确定的最大值即可解答． 【详解】解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 当A，D，E三点共线时，有最大值， 的最大值，故选项D正确． 故选D． 【例2】（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在矩形中，，，P是边上的一点，，Q是边上的动点，沿将折叠，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，最短距离等知识点，熟练掌握其性质并能找到的运动轨迹是解决此题的关键．根据确定点的运动轨迹是在以点P为圆心，的长为半径的圆弧上运动，再由Q是边上的动点和最短距离即可得解． 【详解】解：，P是边上的一点，，Q是边上的动点，沿将折叠， 是在以点P为圆心，的长为半径的圆弧上运动，如图所示， 当Q与C重合时，有最大值， 根据“两点之间线段最短”知， 当在与圆弧的交点处时，最小， 故答案为：，3． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和4的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短等知识，根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和的的斜边长，可以看作两直角边分别是和的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当， ，共线时，的最小值为，再利用勾股定理计算出即可，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 【详解】解：如图： 可以看作两直角边分别是和的的斜边长，可以看作两直角边分别是和的的斜边长，故问题转化为求的最小值， 连接，当， ，共线时，的最小值为， ∵， ∴的最小值为 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，．若线段在边上左右滑动，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，先根据轴对称找出最短路径，再根据勾股定理求解． 【详解】解：如图：作交于，作关于的对称点F，连接， 在矩形中，有， ∴四边形为平行四边形， ∴， 则， ∵， 即：的最小值为：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·北京房山·期末）对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：点为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“劣距”，记作；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“优距”，记作． 如图，中，，，． (1)_____，_____； (2)点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且]是[点，线段]的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点作．若点在直线上，，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题主要考查新定义，勾股定理的运用，理解数量关系，掌握勾股定理的计算是关键． （1）如图所示，过点作于点，则即为点到线段的“劣距”，即为点到线段的“优距”，可得是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解； （2）如图所示，点关于直线的对称点为，连接，，得到，，结合题意列式求解即可； （3）根据题意，分类讨论，结合图形，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴即为点到线段的“劣距”，即为点到线段的“优距”， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1，； （2）解：如图所示，点关于直线的对称点为，连接，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）； （3）解：如图所示， ①取线段的中点，当时，， ∴， ∴； ②由点与线段的“劣距”，则点在点处，取， ∴，， ∴； ③同理，点在点处，取， ∴， ∴； 综上所述，，． 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 2．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 结合勾股定理找到规律，即可解题． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴， 同理：， ∴按照此规律继续下去，． 故选：B ． 4．（24-25八年级上·重庆·期末）在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换、三角形的面积， 根据沿着折叠，点落在线段上的点处，可得，，，根据沿折叠，点与点重合，可得，，，在和中，根据勾股定理求得，即可得解．解决本题的关键是掌握翻折变换的性质． 【详解】解：∵沿着折叠，点落在线段上的点处，，， ∴，，， ∵沿折叠，点与点重合， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在和，， ∴， 解得：， ∴， ， ∴， ∴纸片的面积是． 故选：B． 5．（2025·宁夏银川·一模）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．下图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】设每一个直角三角形的面积为，根据图形得到，，即可得到答案． 【详解】解：设每一个直角三角形的面积为， ，， ， ， ， 解得． 6．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为9、5．则的长为________．    【答案】2 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．根据勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． 7．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，，则正方形的边长是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股弦图、全等三角形的性质，勾股定理的知识点，掌握勾股弦图的结构是解题关键． 根据三角形全等性质得出，，再根据勾股定理求出的值，然后线段的和差即可解答． 【详解】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成， ,, , , 正方形的边长是, 故答案为：． 8．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图是的正方形网格，已知小正方形的边长为1．则格点边上的高是____． 【答案】/ 【分析】首先利用网格结构和勾股定理计算出边的长度，然后利用割补法（即矩形面积减去周围三个直角三角形面积）计算出的面积，最后根据三角形面积公式求出边上的高． 【详解】解：由图可知，点A、B、C均在格点上，设边上的高为， 根据勾股定理得：， ， ， ， 解得：， 即边上的高是． 9．（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索_____m． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，线段的和差，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 设，表示出相关线段的长度，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， , ∴， 由勾股定理得 即， 解得， ∴， 故答案为：10． 11．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设    ，则，根据求出得到的长，再根据三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ 图中阴影部分的面积是． 12．（25-26八年级下·四川广安·期末）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)求线段与的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）利用割补法解答即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：四边形的面积 ． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． (1)请判断，，的关系，并证明； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)， 证明如下： ，， ． (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：； （2）根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1） 略 （2）由（1）可知，阴影部分的面积． 14．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2) 若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）略． 15．（2026·安徽芜湖·二模）【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________； (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． ①当，时，如图4，___________；当，___________时，； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 【答案】(1) 解：有三个直角三角形，其面积分别为，和， 直角梯形的面积为， 由图形可知：， ， ， ． 直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形中，； (2) (3)①6；3； ②； 验证：把n边形剪成y个三角形，内角和为， 在n边形内画m个点，内角和为n边形内角和与m个周角的和， 即， 可得， 故． 【分析】（1）此等腰梯形的面积由三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程求解即可； （2）由图可知行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，将n行n列的棋子分割为图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，，故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答； （3）①根据条件画图即可解答； ②根据多边形的内角和以及分割后的所有三角形的内角和分别计算，即可得出方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为， 将n行n列的棋子分割为如图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，， 则； （3）解： ①如图，当，时，； 如图，当，时，； ②略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 探索勾股定理重难点题型专训（2个知识点+9大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、用勾股定理解三角形 1 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 2 题型三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 3 题型四、利用勾股定理证明线段平方关系 4 题型五、勾股定理的证明方法 5 题型六、以弦图为背景的计算题 6 题型七、用勾股定理构造图形解决问题 7 题型八、勾股定理与网格问题 8 题型九、勾股定理与折叠问题 9 第二部分·练提高题型 题型一、勾股定理中的面积问题 1 题型二、利用勾股定理求长度 2 题型三、勾股定理中的最值问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 知识点02 勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北保定·期末）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是，整个图形连同空白部分的面积是，则大正方形的边长是______． 【基础题型一 用勾股定理解三角形】 【例1】（25-26八年级下·广东广州·期末）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【例2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，于点D，若，，则的长为_____． 1．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为打造以“的城市”为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为（   ） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 2．（25-26八年级下·江西南昌·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．则__________． 3．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性、数形结合来简化解决一些复杂数学问题．如图公路上两点（看作直线上的两点）相距分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）．点是公路上的一个中转站．已知，垂足分别为． (1)求村庄到中转站的距离； (2)求村庄到公路上点的距离． 【基础题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【例2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图两个正方形的面积分别是289、225，则字母A所代表的正方形的边长为______． 1．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，斜边的长为，分别以的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当，时，则阴影部分的面积为______． 3．（25-26八年级下·广西崇左·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 【基础题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，则（    ）． A．100 B．200 C．300 D．400 【例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．    1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2． 【基础题型四 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 【例2】（25-26八年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____． 1．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知和中，，，，连接．交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接，，求证 【基础题型五 勾股定理的证明方法】 【例1】（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，那么为______ ．    1．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）用个如图所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理． (1)图中大正方形的边长为 ，里面小正方形的边长为 ； (2)大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ； (3)对比这两种表示方法，可得出 ，整理，得 ． 【基础题型六 以弦图为背景的计算题】 【例1】（25-26八年级上·陕西安康·期中）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是小辰用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若，，则正方形的面积为（  ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 1．（24-25八年级下·广西河池·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是．如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·山西大同·期末）“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形（）中的较长直角边（）向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则______． 3．（24-25八年级下·河北沧州·阶段检测）（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理； （2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【基础题型七 用勾股定理构造图形解决问题 】 【例1】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，一文物C（看作一点）被探明位于地面A点垂直往下36米处，由于A点下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A点15米的B处斜着挖掘，已知障碍物不在线段BC上，则要取出文物C至少要挖（     ）    A．39米 B．米 C．42米 D．51米 【例2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是长、宽、高分别是，，的长方体木箱，一根长的木棒______（填“能”或“不能”）完全放进这个长方体木箱． 1．（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 2．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A爬到另一顶点M，已知AB＝AD＝2，BF＝3．这只蚂蚁爬行的最短距离_____． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，某小区在相邻两楼之间修建了一个上方是以为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，其中米，米，现有一辆装满家具的卡车高米，宽米，请问这辆送家具的卡车能否顺利通过这个通道？请说明你的理由． 【基础题型八 勾股定理与网格问题】 【例1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（  ） A． B． C． D． 【例2】（2026·山东济南·二模）一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率是__________． 1．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在边长为的正方形网格中，点，，，，均在格点上，则下列线段中长度为的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，的顶点是正方形网格的格点，则点到的距离为_____． 3．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【基础题型九 勾股定理与折叠问题】 【例1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，货车高，卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，则弯折点与地面的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 【提高题型一 勾股定理中的面积问题】 【例1】（2026·江苏泰州·一模）用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（    ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 【例2】（25-26八年级下·山东·期末）如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________． 1．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形，的面积分别是，，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为：______； 3．（25-26八年级上·山东威海·期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗? 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积：大正方形面积=________ (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，求空白部分的面积． (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，则__________． 【提高题型二 利用勾股定理求长度】 【例1】（25-26八年级下·辽宁大连·阶段检测）如图，一块矩形门框的长，宽，下面四块矩形薄木板（厚度忽略不计）能从该门框内通过的是（    ） A．长为，宽为 B．长为，宽为 C．长为，宽为 D．长为，宽为 【例2】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）如图，已知线段长为2，过点B作，使；连接，以点C为圆心，长为半径作弧，交线段于点D，再以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于点E，则的长为_____． 1．（25-26八年级上·河南焦作·阶段检测）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，若的长为，求的长．设的长为，则以下所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺． 3．（24-25八年级下·广西百色·期中）【综合实践】如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止．设点的运动时间为秒． 【尝试运用】 （1）求的长； （2）求斜边上的高； 【拓展运用】 （3）①当点在上时，求的长；（用含的代数式表示）②若点在的角平分线上，求的值． 【提高题型三 勾股定理中的最值问题】 【例1】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，以为边作，，点与点A在的两侧，则下列结论中正确的是（   ） A．有最小值，也有最大值 B．没有最小值，也没有最大值 C．若，，则的最小值为8 D．若，，则的最大值为8 【例2】（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在矩形中，，，P是边上的一点，，Q是边上的动点，沿将折叠，则的最大值为________，最小值为________． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和4的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（） A． B． C． D．6 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，．若线段在边上左右滑动，则的最小值为______． 3．（25-26八年级上·北京房山·期末）对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：点为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“劣距”，记作；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“优距”，记作． 如图，中，，，． (1)_____，_____； (2)点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且]是[点，线段]的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点作．若点在直线上，，直接写出的取值范围． 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 2．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·重庆·期末）在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·宁夏银川·一模）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．下图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 6．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为9、5．则的长为________．    7．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，，则正方形的边长是__________． 8．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图是的正方形网格，已知小正方形的边长为1．则格点边上的高是____． 9．（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    10．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索_____m． 11．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积      12．（25-26八年级下·四川广安·期末）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)求线段与的长； (2)求四边形的面积． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． (1)请判断，，的关系，并证明； (2)若，，求阴影部分的面积． 14．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 15．（2026·安徽芜湖·二模）【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________； (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． ①当，时，如图4，___________；当，___________时，； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 学科网（北京）股份有限公司 $