第三章 函数的概念与性质单元检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版2019高中数学必修一 第三章　函数的概念与性质 单元测试卷 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数 的定义域为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A． 与 　　 B． 与 C． 与 　　D． 与 3．已知函数 则 （　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 4．函数 的大致图象是（　　） 5．已知 是定义在 上的减函数，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 6．已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 7．下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 8．已知函数 的图象如图 1 所示，若关于 的方程 恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（　　） A．　 　B．　　 C．　　 D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列各图象中，能作为函数 图象的是（　　） 10．已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增，则下列说法正确的是（　　） A．　　 B． 在 上单调递增 C．　　 D．若 ，则 11．已知函数 的图象如图 2 所示，则下列说法正确的是（　　） A． 的定义域为 　　 B． 的值域为 C． 的单调递增区间为 　　 D． 是奇函数 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为____． 13．已知函数 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围是__________． 14．已知定义在 上的奇函数 ，当 时，，则不等式 的解集为__________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知函数 的图象由三条曲线段组成，如图 3 所示． （1）写出 的解析式； （2）求 的值； （3）若 ，求实数 的值． 16．（15 分）已知函数 ． （1）用函数单调性的定义证明： 在区间 上单调递减； （2）求 在区间 上的最大值； （3）求 在区间 上的值域． 17．（15 分）已知 是定义在 上的奇函数，当 时，． （1）求 的解析式； （2）在如图 4 所示的平面直角坐标系中画出 的图象，并写出 的单调递增区间； （3）求 在区间 上的最大值与最小值． 18．（17 分）某公司生产一种电子产品，每件产品的成本为 元．经市场调查发现，当售价为 元/件（）时，日销售量为 件．设该公司销售该产品的日销售利润为 元（日销售利润 日销售额 日成本）． （1）求 关于 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （2）当售价为多少元时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ （3）若日销售利润不低于 元，求售价 的取值范围． 19．（17 分）已知函数 ，． （1）当 时，求 的最大值与最小值； （2）求 的最小值 的表达式； （3）若 的最小值为 ，求实数 的值． 参考答案与解析 一、单项选择题 1．A　　2．B　　3．A　　4．B　　5．A　　6．A　　7．C　　8．A 【解析】 1．要使 有意义，需满足 即 且 ． 所以定义域为 ．故选 A． 2．判断两函数是否相同，需定义域与对应关系都相同． A 中 的定义域为 ，与 不同；B 中 ，两函数定义域均为 且对应关系相同；C 中 的定义域为 ，不同；D 中 的定义域为 ，不同．故选 B． 3．因为 ，所以 ；又 ，所以 ．故选 A． 4．因为 ，所以 是偶函数，其图象关于 轴对称； 又当 时，，故 时图象是顶点为 的抛物线弧．由对称性，图象应为”中间凸起、两侧过 “的形状，即图 B．故选 B． 5．因为 是 上的减函数，且 ， 所以 ，解得 ，即 ．故选 A． 6．因为幂函数 的图象经过点 ，所以 ，即 ，解得 ． 所以 ，故 ．故选 A． 7．A 中 是奇函数，但在 上单调递减；B 中 的定义域为 ，是非奇非偶函数；C 中 是奇函数，且在 上单调递增；D 中 是偶函数．故选 C． 8．作出 的图象（图 1）．当 时，，最大值为 ；当 或 时，． 由图象可知，当 时，直线 与 的图象恰有四个不同的交点，即方程 恰有四个不相等的实数根．故 ．故选 A． 二、多项选择题 9．BD　　10．ABD　　11．ABC 【解析】 9．由函数定义知，对定义域内任意一个 ，都有唯一的 与之对应，故任一垂直于 轴的直线与图象至多有一个交点． A 中的圆、C 中开口向右的抛物线与某些垂直于 轴的直线有两个交点，不能作为函数图象；B 中的曲线、D 中的分段图象均满足题意．故选 BD． 10．A 对：因为 是 上的奇函数，所以 ，即 ； B 对：因为 在 上单调递增， 时 ． 设 ，则 ，所以 ，即 ，得 ， 所以 在 上单调递增．又 时 （），故 在 上单调递增； C 错：因为 在 上单调递增，，所以 ； D 对：由 得 ，由单调性得 ，即 ．故选 ABD． 11．由图象可知： A 对：图象上点的横坐标取遍 ，故定义域为 ； B 对：图象上点的纵坐标取遍 ，故值域为 ； C 对：在 上图象下降，在 上图象为水平线段（不增不减），在 上图象上升，在 上图象为水平线段，故单调递增区间为 ； D 错：定义域 不关于原点对称，所以 不是奇函数．故选 ABC． 三、填空题 12．　　　　13．　　　　14． 【解析】 12．因为 的定义域为 ，所以要使 有意义，需 ， 解得 ，故 的定义域为 ． 13．因为 ，其图象开口向上，对称轴为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，． 要使 在 上的值域为 ，需 （保证取到最小值 ）且 （保证最大值不超过 ）， 故 ． 14．因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，不满足 ． 当 时，，解得 ； 当 时，，则 ，所以 ， 即 ，解得 或 ，结合 得 ． 综上，解集为 ． 四、解答题 15．解： （1）由图 3 可知， 的图象由三段组成： 当 时，图象是过点 、 的直线的一部分，其解析式为 ； 当 时，图象是以原点为顶点、过点 、 的抛物线的一部分，其解析式为 ； 当 时，图象是过点 、 的直线的一部分，其解析式为 ． 所以 （2）因为 ，所以 ； 又 ，所以 ． （3）若 ，分三种情形讨论： ① 当 时，由 得 ，不满足 ，舍去； ② 当 时，由 得 ．因为 不符合，舍去，故 ； ③ 当 时，由 得 ，不满足 ，舍去． 综上，． 16．解： （1）证明：任取 ，且 ，则 因为 ，所以 ，，即 ，又 ， 所以 ，即 ． 故 在区间 上单调递减． （2）由（1）知 在 上单调递减，所以当 时 取得最大值， 即 在 上的最大值为 ． （3）先判断 在 上的单调性．任取 ，由（1）中已得的表达式 可知 ，，即 ，所以 ，即 ， 故 在 上单调递增． 所以 在 上单调递增，在 上单调递减． 又 ，，， 且 ，所以 在 上的最大值为 ，最小值为 ． 故 在区间 上的值域为 ． 17．解： （1）因为 是定义在 上的奇函数，所以 ． 当 时，，由题设得 ， 所以 ． 综上， （上式也可统一写成 ．） （2）当 时，，其图象是顶点为 、开口向下的抛物线弧； 当 时，，其图象是顶点为 、开口向上的抛物线弧． 由奇函数的图象关于原点对称，作出 的图象（图 4）． 由图可知， 的单调递增区间为 ． （3）由（2）中图象知： 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减． 又 ，，，， 所以在区间 上， 的最大值为 ，最小值为 ． 18．解： （1）因为每件产品成本为 元，售价为 元/件，日销售量为 件， 所以日销售利润为 因为 ，所以函数 的定义域为 ． （2）因为 其图象开口向下，对称轴为 ，且 ， 所以当 时， 取得最大值 （图 5）． 故当售价为 元/件时，日销售利润最大，最大日销售利润为 元． （3）由题意得 ， 整理得 ，即 ，解得 ． 又 ，所以售价 的取值范围是 ． 19．解： 因为 ，其图象开口向上，对称轴为 ，． （1）当 时，，对称轴 ， 所以当 时， 取得最小值 ； 又 ，，所以 的最大值为 ． 故 的最大值为 ，最小值为 ． （2）按对称轴 与区间 的位置关系分类讨论（图 6）： ① 当 时， 在 上单调递增， 所以 ； ② 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ； ③ 当 时， 在 上单调递减， 所以 ． 综上， （3）若 ，分三种情形讨论： ① 当 时，由 得 ，满足 ； ② 当 时，由 得 ，即 ．因为 不符合， 舍去，故 ； ③ 当 时，由 得 ，不满足 ，舍去． 综上， 或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学必修一 第三章　函数的概念与性质 单元测试卷 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数 的定义域为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A． 与 　　 B． 与 C． 与 　　D． 与 3．已知函数 则 （　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 4．函数 的大致图象是（　　） 5．已知 是定义在 上的减函数，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 6．已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 7．下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 8．已知函数 的图象如图 1 所示，若关于 的方程 恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（　　） A．　 　B．　　 C．　　 D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列各图象中，能作为函数 图象的是（　　） 10．已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增，则下列说法正确的是（　　） A．　　 B． 在 上单调递增 C．　　 D．若 ，则 11．已知函数 的图象如图 2 所示，则下列说法正确的是（　　） A． 的定义域为 　　 B． 的值域为 C． 的单调递增区间为 　　 D． 是奇函数 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为____． 13．已知函数 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围是__________． 14．已知定义在 上的奇函数 ，当 时，，则不等式 的解集为__________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知函数 的图象由三条曲线段组成，如图 3 所示． （1）写出 的解析式； （2）求 的值； （3）若 ，求实数 的值． 16．（15 分）已知函数 ． （1）用函数单调性的定义证明： 在区间 上单调递减； （2）求 在区间 上的最大值； （3）求 在区间 上的值域． 17．（15 分）已知 是定义在 上的奇函数，当 时，． （1）求 的解析式； （2）在如图 4 所示的平面直角坐标系中画出 的图象，并写出 的单调递增区间； （3）求 在区间 上的最大值与最小值． 18．（17 分）某公司生产一种电子产品，每件产品的成本为 元．经市场调查发现，当售价为 元/件（）时，日销售量为 件．设该公司销售该产品的日销售利润为 元（日销售利润 日销售额 日成本）． （1）求 关于 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （2）当售价为多少元时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ （3）若日销售利润不低于 元，求售价 的取值范围． 19．（17 分）已知函数 ，． （1）当 时，求 的最大值与最小值； （2）求 的最小值 的表达式； （3）若 的最小值为 ，求实数 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $