第三章 函数的概念与性质 单元过关卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 单元过关卷 细目表 考试时间：120分钟 满分：150分 预估难度系数：0.62 题号 题型 分值 考查内容 能力层次 预估难度 1 单项选择题 5 函数定义域（根式、分式） 理解 0.85 2 单项选择题 5 分段函数求值 理解 0.80 3 单项选择题 5 同一函数（定义域、对应关系） 理解 0.75 4 单项选择题 5 二次函数单调区间 掌握 0.85 5 单项选择题 5 奇偶性与单调性综合判断 掌握 0.80 6 单项选择题 5 含参二次函数单调性 掌握 0.70 7 单项选择题 5 奇函数、单调性与解不等式（高考真题） 综合运用 0.55 8 单项选择题 5 分段函数在 R 上单调递增求参（改编 2024ⅠT6） 综合运用 0.60 9 多项选择题 6 对勾函数的定义域、奇偶性、单调性 掌握 0.60 10 多项选择题 6 奇函数的性质、单调性与解不等式 综合运用 0.55 11 多项选择题 6 二次函数在区间上的最值与单调性 掌握 0.60 12 填空题 5 奇函数性质与整体代入 掌握 0.70 13 填空题 5 二次函数区间值域 掌握 0.75 14 填空题 5 偶函数、单调性与抽象不等式 综合运用 0.55 15 解答题 13 二次函数单调性、最值、方程根的分布 掌握 0.65 16 解答题 15 奇函数求参、定义法证单调性、解不等式 掌握 0.60 17 解答题 15 含参二次函数在区间上的最小值分类讨论 综合运用 0.55 18 解答题 17 抽象函数求值、奇偶性、单调性、不等式 综合运用 0.55 19 解答题 17 抽象函数单调性证明、解不等式、恒成立求参 综合运用 0.50 说明：预估难度系数为全卷按分值加权平均值；能力层次按《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》划分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 单元过关卷（教师版） （人教A版必修第一册） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________ 得分：____________ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。） 1. 函数 的定义域为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 且 ，得 且 ，故定义域为 ，选 A。 2. 已知函数 ，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，，故 ，选 B。 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A 中 的定义域为 ，与 定义域不同；C、D 对应关系不同。B 中 ，定义域均为 ，表示同一个函数，选 B。 4. 函数 的单调递减区间是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，图象开口向上，对称轴为 ，故单调递减区间为 ，选 A。 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 为奇函数； 为偶函数但在 上递减； 为奇函数。 为偶函数且在 上单调递增，选 B。 6. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 的图象开口向上，对称轴为 ，在 上单调递增需 ，选 A。 7. （2020·新高考Ⅰ卷）若定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，则满足 的 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 是奇函数得 ，；且 在 上也单调递减。①当 时，，因 在 上单调递减且 ，故 ，即 ；又 时 ，不等式成立，故 。②当 时，，因 在 上单调递减且 ，故 ，即 ，结合 得 。③当 时，左边为 ，不等式成立。综上， 的取值范围为 ，选 D。 8. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 时 单调递增。 时 开口向下，在 上单调递增需对称轴 ，即 ；且 ，即 。综上 ，选 B。 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。） 9. 已知函数 ，则下列说法正确的是 A. 的定义域为 B. 是奇函数 C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递减 【答案】ABC 【解析】定义域为 ，A 正确；，B 正确；任取 ，，故在 上单调递减，C 正确；在 上 单调递增，D 错误。选 ABC。 10. 已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，，则 A. B. 的解集为 C. 在 上单调递减 D. 不等式 的解集为 【答案】ABD 【解析】由奇函数得 ，A 正确； 在 上递增且 ，故 时 ，结合奇偶性， 时 ，B 正确；由奇函数图象关于原点对称， 在 上单调递增，C 错误； 或 ，即 或 ，D 正确。选 ABD。 11. 已知函数 ，，则 A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 在 上单调递增 D. 在 上单调递增 【答案】ABC 【解析】，对称轴为 。 时，最小值为 ，最大值为 ，A、B 正确； 在 上单调递增，在 上单调递减，C 正确，D 错误。选 ABC。 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。） 12. 已知 是定义在 上的奇函数，。若 ，则 ______. 【答案】 【解析】由 得 。 为奇函数，故 ，。 13. 函数 ， 的值域为______. 【答案】 【解析】， 时最小值为 ，最大值为 ，故值域为 。 14. 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，，则不等式 的解集为______. 【答案】 【解析】 为偶函数且 ，在 上单调递减，故 的解集为 。由 得 或 ，即 或 ，解集为 。 四、解答题（本大题共5小题，共77分。） 15. 已知函数 ，。（本小题满分13分） (1) 判断函数 的单调性，并指出其单调区间； (2) 求函数 在 上的最大值与最小值； (3) 若关于 的方程 在 上有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围。 【答案】见解析 【解析】 (1) ，图象开口向上，对称轴为 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增。 (2) 由 (1) 知 ；又 ，，故 。所以最大值为 ，最小值为 。 (3) 方程 在 上有两个不等实根，即直线 与 （）的图象有两个交点。，，，结合 的图象可知 ，故 的取值范围为 。 16. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 。（本小题满分15分） (1) 求实数 ， 的值； (2) 判断函数 在 上的单调性，并用定义证明； (3) 解不等式 。 【答案】见解析 【解析】 (1) 因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 。又 ，解得 。故 。 (2) 在 上单调递增。证明：任取 ，则 。因为 ，所以 ，，，故 ，即 ，所以 在 上单调递增。 (3) 由 (2) 及奇函数的对称性知 在 上单调递增。不等式即 ，故 ，解得 。所以不等式的解集为 。 17. 已知函数 ，。（本小题满分15分） (1) 当 时，求 的最小值； (2) 求 的最小值 的解析式； (3) 若 的最小值为 ，求 的值。 【答案】见解析 【解析】 (1) 当 时，，，故 。 (2) ，对称轴为 。当 时， 在 上单调递增，；当 时，；当 时， 在 上单调递减，。故 。 (3) 令 。当 时 ；当 时， 得 ；当 时， 得 ，不合题意。故 。 18. 已知函数 对任意 ，都有 ，且当 时，，。（本小题满分17分） (1) 求 的值，并判断函数 的奇偶性； (2) 证明： 在 上是减函数； (3) 解不等式 。 【答案】见解析 【解析】 (1) 令 ，则 ，得 。令 ，则 ，即 ，所以 是奇函数。 (2) 任取 ，则 ，由题意 。而 ，即 ，所以 在 上是减函数。 (3) 。由 得 ，，故 。不等式化为 ，由 是减函数得 ，解得 。所以不等式的解集为 。 19. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 。若对任意 ，，都有 。（本小题满分17分） (1) 判断函数 在 上的单调性，并证明； (2) 解不等式 ； (3) 若 对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】见解析 【解析】 (1) 在 上单调递增。证明：任取 ，令 ，，则 ，且 。由 为奇函数得 与 同号，即 ，故 在 上单调递增。 (2) 由 (1) 知 在 上单调递增，故 ，解得 。所以不等式的解集为 。 (3) 由 及单调性知 ，故 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立。若 ，需 恒成立，则 ；若 ，需 恒成立，则 ；若 ，满足题意。故 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 单元过关卷 （人教A版必修第一册） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________ 得分：____________ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 函数 的定义域为 A. B. C. D. 2. 已知函数 ，则 A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是 A. B. C. D. 4. 函数 的单调递减区间是 A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是 A. B. C. D. 6. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 7. （2020·新高考Ⅰ卷）若定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，则满足 的 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9. 已知函数 ，则下列说法正确的是 A. 的定义域为 B. 是奇函数 C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递减 10. 已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，，则 A. B. 的解集为 C. 在 上单调递减 D. 不等式 的解集为 11. 已知函数 ，，则 A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 在 上单调递增 D. 在 上单调递增 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。） 12. 已知 是定义在 上的奇函数，。若 ，则 ______. 13. 函数 ， 的值域为______. 14. 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，，则不等式 的解集为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15. 已知函数 ，。（本小题满分13分） (1) 判断函数 的单调性，并指出其单调区间； (2) 求函数 在 上的最大值与最小值； (3) 若关于 的方程 在 上有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围。 16. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 。（本小题满分15分） (1) 求实数 ， 的值； (2) 判断函数 在 上的单调性，并用定义证明； (3) 解不等式 。 17. 已知函数 ，。（本小题满分15分） (1) 当 时，求 的最小值； (2) 求 的最小值 的解析式； (3) 若 的最小值为 ，求 的值。 18. 已知函数 对任意 ，都有 ，且当 时，，。（本小题满分17分） (1) 求 的值，并判断函数 的奇偶性； (2) 证明： 在 上是减函数； (3) 解不等式 。 19. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 。若对任意 ，，都有 。（本小题满分17分） (1) 判断函数 在 上的单调性，并证明； (2) 解不等式 ； (3) 若 对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $