第一章 集合与常用逻辑用语单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版2019高中数学必修一 第一章 集合与常用逻辑用语 单元检测卷 满分 150 分　考试时间 120 分钟 学校＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿＿　 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡（卷）指定位置。 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸上无效。 4．非选择题的作答：用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡（卷）上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。 5．本卷所有图形均为示意图，不按比例绘制。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合 ，若 ，则实数 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值集合为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．已知 ，，则 是 的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 4．命题“，”的否定是（　　） A．，　　B．，　　 C．，　　D．， 5．定义集合 ： 当且仅当 且 。已知 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．已知 ，，其中 ，。若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．已知命题 ：，。若 是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．已知全集 ，、 是 的子集，且 ，，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．如图 1，已知全集 ，集合 ，，则下列结论正确的是（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 图 1 10．下列各选项中， 是 的充分不必要条件的是（　　） A．，　　 B．，　　 C．：两个三角形全等，：这两个三角形的面积相等　　 D．， 11．下列说法正确的是（　　） A．命题“，”的否定是“，”　　 B．“”是“”的充分不必要条件　　 C．命题“，”是真命题　　 D．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．如图 2，某班 40 名同学参加课外兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有 25 人，参加物理兴趣小组的有 20 人，两个小组都不参加的有 3 人，则图中 的值为＿＿＿＿＿． 图 2 13．已知 ，。若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿． 14．定义集合的一种运算：。若 ，，则 ＿＿＿＿＿． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）如图 3，已知集合 ，。 图 3 （1）当 时，求 、 及 。 （2）若 ，求实数 的取值范围。 （3）若 ，求实数 的取值范围。 16．（15 分）已知 ，其中 ；，其中 ，。 （1）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 （2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 （3）是否存在实数 ，使得 是 的充要条件？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 17．（15 分）设全集 ，集合 由 中所有偶数组成，集合 由 中所有 的倍数组成，集合 由 中所有质数组成。 （1）求 、。 （2）求 与 ，由此猜想一个一般性的结论，并对该结论加以证明。 （3）记 ，求 及集合 的子集的个数。 18．（17 分）如图 4，已知全集 ，集合 ，。 图 4 （1）求 。 （2）若 中恰有两个整数，求实数 的取值集合。 （3）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 19．（17 分）对于一个含有有限个元素的非空数集 ，用 表示 中元素的个数，用 表示 中所有元素的和。已知全集 。 （1）设 ，，求 、，并求 。 （2）设 ，，求 ，并判断“”是“”的什么条件，说明理由。 （3）记 。是否存在 的子集 ，满足：① ；② ；③ ？若存在，求出所有满足条件的集合 ；若不存在，请说明理由。 参考答案与详细解析 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1．【答案】C　【解析】因为 ，所以 、、 中恰有一个等于 ，分三种情况讨论。 若 ，则 ，此时 ，，得 ，其中 重复出现，与集合中元素的互异性矛盾，舍去。 若 ，则 或 。当 时，，，得 ，元素互异，符合题意；当 时，，，得 ，与互异性矛盾，舍去。 若 ，则 ，解得 或 ，由上面的讨论知这两种情形均不合题意。 综上，，故选 C。 2．【答案】A　【解析】由 得 ，所以 。 当 时，方程 无解，，而空集是任何集合的子集，故 成立。 当 时，，由 得 或 ，解得 或 。 综上， 的取值集合为 ，故选 A。 3．【答案】A　【解析】由 得 ，即 ，所以 或 。记 对应的范围为 或 。 一方面，若 ，则 或 成立，即 ；另一方面，取 ，它满足 但不满足 ，即 。 所以 是 的充分不必要条件，故选 A。 4．【答案】C　【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，否定时须同时改变量词并否定结论，即“，”的否定是“，”，故选 C。 5．【答案】C　【解析】由定义， 由所有“属于 但不属于 ”的元素组成。 因为 ，，所以 ，故选 C。 6．【答案】B　【解析】 是 的充分不必要条件，等价于 是 的真子集。 因为 ，，所以需 且 ，解得 。 而当 时， 的长为 、 的长为 ，两者长度不等，故 ， 确为 的真子集。 所以 的取值范围是 ，故选 B。 7．【答案】A　【解析】 为真命题，即关于 的方程 有实数解，所以判别式 ，解得 。 所以 的取值范围是 ，故选 A。 8．【答案】B　【解析】把全集 按“是否属于 、是否属于 ”分成四个互不相交的部分。 已给出 ，，，即 已分别归入上述三部分。 还剩元素 未归属，只能属于 ，故 。 所以 ，故选 B。 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分） 9．【答案】ABC　【解析】由数轴（图 1）可知 ，。 A 中：，正确。 B 中：，正确。 C 中：由 A 知 ，其在 中的补集为 ，正确。 D 中：，取 ，则 但 ，所以 不成立，错误。 故选 ABC。 10．【答案】ACD　【解析】 A 中：由 能推出 ；反之 时 ，推不出 ，所以 是 的充分不必要条件，符合。 B 中：取 ，，有 但 ，即 ；取 ，，有 但 ，即 。所以 是 的既不充分也不必要条件，不符合。 C 中：两三角形全等则面积相等；反之面积相等的两个三角形不一定全等，所以 是 的充分不必要条件，符合。 D 中：；取 ，满足 但不满足 ，所以 是 的充分不必要条件，符合。 故选 ACD。 11．【答案】ABD　【解析】 A 中：全称量词命题的否定是存在量词命题，且结论取反，故 A 正确。 B 中：若 ，则 ，所以“”“”；取 ，则 但 不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，B 正确。 C 中：因为 对任意 恒成立，所以不存在 使 ，该命题是假命题，C 错误。 D 中：因为 ，当 时 ，即 ，此时满足 ；当 时，，且需 且 ，解得 。综上 ，即 的取值范围是 ，D 正确。 故选 ABD。 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．【答案】　【解析】设参加数学兴趣小组的同学组成集合 ，参加物理兴趣小组的同学组成集合 ，则 ，，两个小组都不参加的有 人。 由题意，全班 人分为“至少参加一个小组”与“两个都不参加”两类，所以 。 又 ，即 ，解得 。 13．【答案】　【解析】 是 的充分不必要条件，等价于 是 的真子集，即 且 。 由 得 ；若 ，则两个范围完全相同， 与 互为充要条件，不符合“不必要”。 所以 ，即 的取值范围是 。 14．【答案】　【解析】按定义逐一计算 的所有取值，并注意集合元素的互异性与无序性。 ，，，，，。 所以 。 四、解答题（共 77 分） 15．（13 分）如图 3。 （1）当 时，。……（1 分） 因为 ，所以 ，。……（2 分） 又 。……（1 分） （2）若 ，需分 与 两种情况讨论。 当 时，，解得 ，此时满足 。……（2 分） 当 时，，即 ，此时需 ，解得 ，故 。……（2 分） 综上， 的取值范围是 。……（1 分） （3）若 ，同样分两种情况。 当 时，，此时 成立。……（2 分） 当 时，，要使 与 无公共元素，只能 整体在 的右侧，即 ，解得 。……（1 分） 综上， 的取值范围是 。……（1 分） 16．（15 分） （1） 是 的充分不必要条件，等价于 是 的真子集，其中 ，。 需 ，解得 。……（4 分） 当 时， 的长为 （ 的长），故 ， 确为 的真子集。 所以 的取值范围是 。……（1 分） （2） 是 的必要不充分条件，等价于 是 的真子集。 需 ，解得 ，又 ，所以 。……（4 分） 当 时， 的长为 ，故 ， 确为 的真子集。 所以 的取值范围是 。……（1 分） （3）不存在。……（1 分） 理由：若 是 的充要条件，则 ，于是 ，即 且 ，这是不可能的。……（4 分） 所以不存在实数 ，使得 是 的充要条件。 17．（15 分） 因为 ，所以 ，，。 （1），。……（4 分） （2）因为 ，所以 。……（2 分） 又 ，，所以 。……（2 分） 由此猜想一般性结论：。……（1 分） 证明：任取 ，则 。 所以 。……（2 分） （3）， 所以 。……（2 分） 中共有 个元素，其子集的个数为 。……（2 分） 18．（17 分）如图 4。 （1）。……（4 分） （2）记 。当 时， 与 无公共元素，此时 中整数个数为 ，不符合题意。……（1 分） 当 时，，按端点位置讨论如下。 ① 若 ，则 ，其中只有整数 （因为 ），不符合题意；而 时 ，恰含整数 两个，符合。……（2 分） ② 若 ，则 ，其长度为 ，恰含两个整数当且仅当端点 为整数，此时 可取 。……（3 分） ③ 若 ，则 ，其含有的整数只有 （因为 ），不符合题意。……（1 分） 综上， 的取值集合为 。 （3）“”是“”的必要不充分条件，等价于 是 的真子集，其中 ，。……（2 分） 因为区间 是连通的，而 由互不相连的两部分组成，所以 必须整体落在其中一部分内。 若 ，则 ，解得 ；……（2 分） 若 ，则 。……（1 分） 又因为 是无界集合、 是有界区间，所以 自动成立。 综上， 的取值范围是 。……（1 分） 19．（17 分） （1）由 且 得 ；由 且 得 。……（1 分） 所以 ，。……（2 分） 于是 ，。……（2 分） （2）由 且 得 ；由 且 得 。……（2 分） 所以 ，。……（2 分） 因为 中的元素都属于 ，即 ，所以“”是“”的必要条件； 取 ，则 但 ，所以“”不是“”的充分条件。 故“”是“”的必要不充分条件。……（2 分） （3）由（1）知 ，所以 只能是 中 个不同元素组成的集合，且这 个元素之和为 。……（2 分） 按从小到大的顺序对 中的元素作有序枚举：含有 的四元组中，，，其余四元组的和不是 就是大于 或小于 ；不含 的四元组中最小的 ，更不必考虑。……（3 分） 所以存在满足条件的集合 ，且所有满足条件的集合为 或 。……（1 分） 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学必修一 第一章 集合与常用逻辑用语 单元检测卷 满分 150 分　考试时间 120 分钟 学校＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿＿　 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡（卷）指定位置。 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸上无效。 4．非选择题的作答：用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡（卷）上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。 5．本卷所有图形均为示意图，不按比例绘制。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合 ，若 ，则实数 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值集合为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．已知 ，，则 是 的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 4．命题“，”的否定是（　　） A．，　　B．，　　 C．，　　D．， 5．定义集合 ： 当且仅当 且 。已知 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．已知 ，，其中 ，。若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．已知命题 ：，。若 是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．已知全集 ，、 是 的子集，且 ，，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．如图 1，已知全集 ，集合 ，，则下列结论正确的是（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 图 1 10．下列各选项中， 是 的充分不必要条件的是（　　） A．，　　 B．，　　 C．：两个三角形全等，：这两个三角形的面积相等　　 D．， 11．下列说法正确的是（　　） A．命题“，”的否定是“，”　　 B．“”是“”的充分不必要条件　　 C．命题“，”是真命题　　 D．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．如图 2，某班 40 名同学参加课外兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有 25 人，参加物理兴趣小组的有 20 人，两个小组都不参加的有 3 人，则图中 的值为＿＿＿＿＿． 图 2 13．已知 ，。若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿． 14．定义集合的一种运算：。若 ，，则 ＿＿＿＿＿． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）如图 3，已知集合 ，。 图 3 （1）当 时，求 、 及 。 （2）若 ，求实数 的取值范围。 （3）若 ，求实数 的取值范围。 16．（15 分）已知 ，其中 ；，其中 ，。 （1）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 （2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 （3）是否存在实数 ，使得 是 的充要条件？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 17．（15 分）设全集 ，集合 由 中所有偶数组成，集合 由 中所有 的倍数组成，集合 由 中所有质数组成。 （1）求 、。 （2）求 与 ，由此猜想一个一般性的结论，并对该结论加以证明。 （3）记 ，求 及集合 的子集的个数。 18．（17 分）如图 4，已知全集 ，集合 ，。 图 4 （1）求 。 （2）若 中恰有两个整数，求实数 的取值集合。 （3）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 19．（17 分）对于一个含有有限个元素的非空数集 ，用 表示 中元素的个数，用 表示 中所有元素的和。已知全集 。 （1）设 ，，求 、，并求 。 （2）设 ，，求 ，并判断“”是“”的什么条件，说明理由。 （3）记 。是否存在 的子集 ，满足：① ；② ；③ ？若存在，求出所有满足条件的集合 ；若不存在，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $