第一章集合与常见逻辑用语单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章《集合与常见逻辑用语》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．下列命题正确的序号是（    ） ①与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．①④ B．② C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【详解】由于“0”是元素，而“”表示含一个元素0的集合，而不含任何元素，所以①不正确； 根据集合中元素的无序性可知②正确； 根据集合元素的互异性可知③错误； 对于④，由于该集合为无限集且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确． 综上可得只有②正确． 故选B． 2．命题“，．”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】命题“，．”的否定是，， 故选：D. 3．条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 4．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系、集合间的基本关系逐一判断即可. 【详解】①作为一个元素，集合没有元素，①正确； ②集合与集合相等，满足子集定义，②正确； ③空集是任何集合的子集，③正确； ④空集中不含任何元素，集合中有一个元素，空集与集合不相等，④错误； ⑤集合中有两个元素，集合中有一个元素，元素形式不一致，⑤错误； ⑥是元素，是集合，元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为，⑥错误. 故选：C. 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，根据交集和并集的定义求，由此确定结论. 【详解】不等式的解集为， 不等式，所以不等式的解集为， 所以，， 所以，， 故选：C. 6．已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 7．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则，解得， 因此当时，的取值范围为 8．若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 【答案】B 【分析】对原方程进行变形，判断方程有解时代数式是奇数还是偶数，根据指数运算，判断有多少种情况. 【详解】由题可得，变形为，得， 令，则，， 因为，所以为偶数，则为奇数，与一奇一偶， 由得， 可得， 当为奇数，则，，此时为偶数，有2027种情况； 当为偶数，则，，此时为奇数，有2027种情况； 所以共有4054种情况，即集合的元素个数为4054. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中不正确的是（    ） A．集合{x|x＜1，xN}为无限集 B．方程(x-1)2(x-2)=0的解集的所有子集共有四个 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用集合元素的特点，集合间的子集、交集运算逐一判断即可. 【详解】因为集合{x|x＜1，xN}，不是无限集，故A不正确； 因为方程(x-1)2(x-2)=0的解集为，所有子集为，共四个，故B正确； 因为元素是点，元素是数，故它们的交集是空集，C不正确； 因为， 而，所以，故D不正确. 故选：ACD. 10．已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以等价于即， 对比选项，、均为的充分不必要条件. 故选：AD. 11．对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ACD 【分析】根据定义可得，对于A，B，结合集合运算法则求，，再求即可判断，对于C，由可得，，由此可得，，由此证明，即可判断，对于D，由可得，，结合集合关系推出即可判断. 【详解】根据定义， 对于A，因为，， 所以，， 所以，A正确， 对于B，因为，， 所以，， 所以，B错误， 对于C，若，则，， ， ， ∴，C正确； 对于D，若，则，， 由可得，由可得， 所以，D正确； 故选：ACD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题意得，解出即可. 【详解】若“”是真命题，则的最小值大于0， 又且，可知，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．已知集合，集合，则集合的子集个数为__________. 【答案】2 【分析】先代入检验，得到，，，从而，求出子集个数. 【详解】当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 因此，所以集合的子集个数为. 故答案为：2. 14．已知集合，若且，则满足条件的正整数的个数为__________. 【答案】 【详解】解：注意到，集合表示的是4位7进制数的集合， 在4位7进制数中，最小的4位7进制数为，即， 最大的4位7进制数为，即， 所以，集合 因为且， 所以， 所以，满足条件的正整数的个数为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合或，集合． (1)若，求和； (2)若或，求． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）直接根据交集和并集求解即可； （2）由并集结果求出，再求即可. 【详解】（1）（1）当时，，则，或； （2）（2）若或，则，解得，，，则. 16．已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以命题是真命题，可知， 因为，，或， 或 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件，得是的真子集，， 则，解得，此时是的真子集， 故的取值范围是. 17．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. (4)命题：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由求解即可； （2）由题意得到，构造不等式求解即可； （3）根据充分不必要条件转化为，即可根据包含关系求解， （4）先通过求得，进而可求解. 【详解】（1）由，可得， 解得， 即实数m的取值范围是； （2）由题意知，， 可得：，得. 所以实数的取值范围为. （3）由是的充分不必要条件，所以， 即且等号不同时成立，得， ∴实数的取值范围为. （4）由“，使得”是真命题， 可得：, 先求， ， 当时，由（1）知， 当时，则或， 解集为：， 综上可知时，， 所以时，， 即“，使得”是真命题时实数m的取值范围是. 18．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以；因为，所以； 综上可得，. (2)证明：先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； (3)证明：因为， 所以， 因为，所以，都是有理数， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 19．已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： . (3) 证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章《集合与常见逻辑用语》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．下列命题正确的序号是（    ） ①与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．①④ B．② C．②③ D．①②③④ 2．命题“，．”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中不正确的是（    ） A．集合{x|x＜1，xN}为无限集 B．方程(x-1)2(x-2)=0的解集的所有子集共有四个 C． D． 10．已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若且，则 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 13．已知集合，集合，则集合的子集个数为__________. 14．已知集合，若且，则满足条件的正整数的个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合或，集合． (1)若，求和； (2)若或，求． 16．已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. (4)命题：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 18．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 19．已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 2 学科网（北京）股份有限公司 $