第一章集合与常用逻辑用语单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学《集合与常用逻辑用语》单元复习卷，覆盖集合运算、逻辑用语等核心知识点，通过基础题与创新题梯度设计，培养抽象能力、推理能力及应用意识，适配单元巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合关系、命题否定、充分必要条件|基础巩固，如集合交并补运算| |多选|3/18|集合元素性质、充要条件判断|能力辨析，如多条件充要关系分析| |填空|3/15|集合运算、参数范围、新定义“长度”|情境应用，如集合长度最小值问题| |解答|5/77|集合关系证明、参数求解、新定义“积集”|综合探究，如积集元素个数与性质证明，体现创新意识与逻辑推理|

第一章《集合与常用逻辑用语》章末综合质量检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B B C B C A ABD BC ABD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C 集合表示不大于的数构成的集合，而，元素、. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A.， B. ， C. ， D. ， 【解析】D 命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 3. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【解析】B 因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 4. 设,则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【解析】B 因为，且能推出 ； 不能推出且，（如）， 所以，“”是“且”的必要不充分条件， 5. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，即. 6. 若且则称非空集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】B根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素； 当时，；当时，；当时，； 所以是“和谐集”中的一组元素； 当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素； 综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即. 7. 某校向1班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，有33人赞成B，且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（    ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【解析】C 设对A，B都赞成的学生人数为，则对A，B都不赞成的学生人数为. 作出文氏图如下： 由，解得. 所以对A，B都赞成的学生人数为21. 8. 设全集，集合、是的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为（ ） A. 27 B. 30 C. 32 D. 36 【解析】A 由题意可知，，，分以下几种情况讨论： （1），则，只有种情况； （2）当有个元素，有种情况，如时， 因为为“好集”，有种情况：，；、. 此时，共有种情况； （3）当有个元素时，则或或 ， 如，因为为“好集”，有以下种情况： ，；，； ，；，. 此时，共有种情况； （4）当有个元素时，则， 因为为“好集”，有以下种情况： ，；，； ，；，； ，；，； ，；，. 综上所述，所有“好集”的个数为. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 0 【解析】ABD 因为，且， 当时，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或， 综上，或或. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“集合中只有一个元素”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【解析】BC 可得出，所以“”是“”的充分条件， ，满足，但得不出，所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 当时，方程为，，解得，所以集合只有一个元素， 所以是集合只有一个元素的充分条件， 当，方程只有一个解，集合只有一个元素， 当，因为只有一个元素，所以，解得， 所以只有一个元素，可得或， 所以“”是“集合中只有一个元素”的充分不必要条件，故B正确； 如“，但推不出， 所以“”是“”的不充分条件， 显然能得出，所以“”是“”的必要条件，故C正确； 由，可得且， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 11. 若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图.下列四个图为偶图的是（    ） A. B．   C．   D．   【解析】ABD    对于选项A，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，A正确. 对于选项B，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，B正确. 对于选项C，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点在一个子集内，这显然不符合偶图的定义，C错误. 对于选项D，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，D正确. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若集合，则的值为______． 【解析】由可知， ，，即， ， ，解得或， 当时，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，，， 则． 13. 已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【解析】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 14. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 【解析】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合. (1)若，求和； (2)若⫋，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 所以. （2）若，即即，此时⫋； 若，由⫋得且两个“”不能同时成立. 解得. 综上可得，实数的取值范围是. 16. 已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）由题意，，所以， 集合，所以或， 所以或， 所以或. 故实数m的取值范围为或. 17. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由，可得， 因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得， 综上所述，．故实数a的取值范围为． （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又，， 则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是． 18. 设集合 ，集合 . （1）若 且，求的值： （2）若 求的取值范围. 【解析】（1） 由，则，又可知， 所以，解得． （2）当，则，解得； 当，则方程有两个非正根， 则，解得. 综上所述. 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【解析】（1），故， ， 故； （2）是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； （3）由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章《集合与常用逻辑用语》章末综合质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 4. 设,则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 6. 若且则称非空集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 某校向1班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，有33人赞成B，且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（    ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 8. 设全集，集合、是的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为（ ） A. B. C. D. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 0 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“集合中只有一个元素”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 11. 若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图.下列四个图为偶图的是（    ） A. B．   C．   D．   第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若集合，则的值为______． 13. 已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 14. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合. (1)若，求和； (2)若⫋，求实数的取值范围. 16. 已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 17. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 18. 设集合 ，集合 . （1）若 且，求的值： （2）若 求的取值范围. 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 学科网（北京）股份有限公司 $