第二章一元二次函数方程和不等式单元检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版2019高中数学必修一 第二章一元二次函数、方程和不等式 单元检测卷 满分 150 分　考试时间 120 分钟 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设 均为实数，则下列命题中正确的是（　　） A．若 ，则 　 B．若 ，，则 C．若 ，，则 　 D．若 ，则 2．对于任意实数 ，下列不等式一定成立的是（　　） A．　 B．　 C．　 D．以上都不对 3．下列函数中，最小值为 的是（　　） A．（）　 B．（） C．　 D．（） 4．不等式 的解集为（　　） A．　 B．　 C．　 D． 5．如图是二次函数 的图象，则不等式 的解集为（　　） 图1 A．　 B．　 C．　 D． 6．若关于 的方程 的两个实根分别落在区间 与 内，则实数 的取值范围是（　　）（示意图见图2） 图2 A．　 B．　 C．　 D． 7．已知 ，则函数 的最大值为（　　） A．　 B．　 C．　 D． 8．已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（　　） A．　 B． C．　 D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（　　） A．　 B．　 C．　 D． 10．下列结论正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 的最大值为 C．若 ， 且 ，则 的最小值为 D．若 ，则 的最小值为 11．如图3，二次函数 的图象与 轴交于点 、，与 轴交于点 ，顶点为 ，则下列结论正确的是（　　） 图3 A．不等式 的解集为 B． 的最小值为 C．当 时，方程 有两个不相等的实根 D．函数 的图象关于直线 对称 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．不等式 的解集为 ______． 13．若关于 的不等式 的解集为全体实数，则实数 的取值范围是 ______． 14．已知 ，，且 ，则 的最小值为 ______． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）解下列关于 的不等式： （1）； （2）； （3）（）． 16．（15 分）已知 ，，且 ． （1）求 的最大值； （2）求 的最小值； （3）求 的最小值． 17．（15 分）某公司生产一种电子产品，每件成本为 40 元．经市场调查，当每件售价为 元（）时，该产品每月的销售量为 件，且每月生产的产品当月全部售出． （1）求该公司每月的利润 （元）关于每件售价 （元）的函数解析式； （2）当每件售价为多少元时，该公司每月的利润最大？最大月利润是多少元？ （3）若该公司要求月利润不低于 3200 元，求每件售价 的取值范围． 18．（17 分）已知函数 （ 为实数）． （1）若 对任意实数 恒成立，求 的取值范围； （2）若方程 的两个实根 ， 满足 ，求 的值； （3）若不等式 的解集为 （），且 ， 都在区间 内，求 的取值范围． 19．（17 分）已知二次函数 （）满足 ，且 ． （1）求 的解析式； （2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （3）设 为实数，求函数 在区间 上的最小值 ． 参考答案与解析 一、单项选择题 1．【答案】C 【解析】A 错误：当 时 ；B 错误：取 ，，，，则 ；C 正确：由 、 得 、，即 ，又 ，两边同除以正数 得 ；D 错误：取 ，，则 ．故选 C． 2．【答案】A 【解析】作差比较： 对任意实数 恒成立，所以 一定成立．故选 A． 3．【答案】B 【解析】A 错误：当 时 可以无限减小，无最小值；B 正确：由基本不等式， 时 ，当且仅当 时取等号；C 错误：令 ，则 ， 在 上单调递增，最小值为 ；D 错误：令 ，则 ，最小值为 ．故选 B． 4．【答案】A 【解析】不等式两边同乘 得 ，即 ，解得 ．故选 A． 5．【答案】A 【解析】由图知抛物线开口向下（），与 轴交于 、 两点． 对应图象位于 轴上方的部分（含两个交点），故解集为 ．故选 A． 6．【答案】A 【解析】设 ，其图象开口向上．方程 的两根分别落在 与 内，等价于 ，，，即 ，，，解得 ．故选 A． 7．【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，于是 ，当且仅当 ，即 时取等号．故选 A． 8．【答案】A 【解析】由题知 ，且 、 是方程 的两根，由根与系数的关系得 ，，即 ，．代入 得 ，因为 ，两边同除以 并改变不等号方向，得 ，即 ，分解得 ，解得 或 ．故选 A． 二、多项选择题 9．【答案】ABD 【解析】因为解集为 ，所以抛物线开口向下，，A 正确；两根之和 ，得 ，B 正确；两根之积 ，得 ，C 错误；因为 ，即 时函数值大于 ，所以 ，D 正确．故选 ABD． 10．【答案】ABD 【解析】A 正确： 时 ，当 时取等号；B 正确：由基本不等式 ，当 时取等号；C 错误： 时 ，即 的最大值为 ，而当 无限接近于 时 无限接近于 ， 没有最小值；D 正确：令 ，则 ，当 （即 ）时取等号．故选 ABD． 11．【答案】ABC 【解析】由 、 知 、 是方程 的两根，由根与系数的关系得 ，，即 ．A 正确： 即 ，解集为 ；B 正确：当 时 取最小值 ；C 正确： 即 ，当 即 时方程有两个不相等的实根；D 错误：图象的对称轴为直线 ．故选 ABC． 三、填空题 12．【答案】 【解析】原不等式等价于 且 ，解得 ． 13．【答案】 【解析】不等式 的解集为全体实数，等价于二次函数 的图象始终在 轴上方，即判别式 ，解得 ． 14．【答案】 【解析】令 ，由基本不等式 ，结合 得 ，即 ，因式分解得 ，结合 得 ．当 时 ，等号可以取到，故 的最小值为 ． 四、解答题 15．【答案】（1） 或 ；（2）；（3）当 时解集为 ，当 时解集为 ，当 时解集为 ． 【解析】 （1）因式分解得 ，故 或 ，即解集为 ． （2）两边同乘 （不等号方向改变）得 ，因式分解得 ，故 ，即解集为 ． （3）因式分解得 ，对应方程的两根为 与 ．因为 ，所以 ：当 时 ，解集为 ；当 时两根相等， 无解，解集为 ；当 时 ，解集为 ． 【评分建议】每小题 4 分、4 分、5 分；（3）中因式分解正确得 2 分，分类讨论完整得 3 分，只写一种情形不给满分． 16．【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 （1），当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，所以 的最大值为 ． （2）因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以最小值为 ． （3），当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以 的最小值为 ． 【评分建议】每小题 5 分，其中取等条件验证占 1—2 分，不写取等条件酌扣． 17．【答案】（1）（）；（2）每件售价 70 元时月利润最大，最大月利润为 3600 元；（3）． 【解析】 （1）每月销售量为 件，每件利润为 元，故 ，定义域为 ． （2），因为 ，所以当 时 取最大值 ．即每件售价 70 元时月利润最大，最大月利润为 3600 元． （3）由 得 ，整理得 ，即 ，解得 ，符合 ，故每件售价的取值范围为 ． 【评分建议】（1）4 分（解析式 3 分、定义域 1 分）；（2）5 分；（3）6 分． 18．【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 （1） 的图象开口向上， 对任意实数 恒成立等价于判别式 ，解得 ，即 的取值范围为 ． （2）由根与系数的关系得 ，，于是 ，解得 ，即 ．此时 ，方程确有两个实根，故 符合题意． （3） 的解集为 说明方程 有两个不相等的实根，故 ，即 或 ；又 （两根均为正数），故 ．此时两根为 ，较大的根需小于 ，即 ，等价于 ，需 且 ，即 且 ，得 ．又两根均为正数已由 保证（）．综上， 的取值范围为 ． 【评分建议】（1）5 分；（2）6 分（根与系数的关系 3 分、求值并验证 3 分）；（3）6 分（判别式 2 分、根为正 2 分、较大根小于 3 及取交集 2 分）．第（3）问若从二次函数图象入手，需写出“对称轴在 内、、、”等条件，答对同样给分． 19．【答案】（1）；（2）；（3）当 时 ，当 时 ，当 时 ． 【解析】 （1）由 得 ，对照 得 ，，即 ，；又 ．所以 ． （2）当 时， 等价于 ，即 ．由基本 不等式，（当 时取等号），所以 的最小值为 ，故 ，即 的取值范围为 ． （3），图象开口向上，对称轴为 ． 当 ，即 时， 在 上单调递减，故 ； 当 ，即 时，最小值在顶点处取得，； 当 时， 在 上单调递增，故 ． 综上，（），（），（）． 【评分建议】（1）5 分；（2）6 分（转化 3 分、基本不等式求最小值 2 分、取等验证 1 分）；（3）6 分（三种情形各 2 分）；分类讨论不完整或端点归属错误酌情扣分． 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学必修一 第二章一元二次函数、方程和不等式 单元检测卷 满分 150 分　考试时间 120 分钟 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设 均为实数，则下列命题中正确的是（　　） A．若 ，则 　 B．若 ，，则 C．若 ，，则 　 D．若 ，则 2．对于任意实数 ，下列不等式一定成立的是（　　） A．　 B．　 C．　 D．以上都不对 3．下列函数中，最小值为 的是（　　） A．（）　 B．（） C．　 D．（） 4．不等式 的解集为（　　） A．　 B．　 C．　 D． 5．如图是二次函数 的图象，则不等式 的解集为（　　） 图1 A．　 B．　 C．　 D． 6．若关于 的方程 的两个实根分别落在区间 与 内，则实数 的取值范围是（　　）（示意图见图2） 图2 A．　 B．　 C．　 D． 7．已知 ，则函数 的最大值为（　　） A．　 B．　 C．　 D． 8．已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（　　） A．　 B． C．　 D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（　　） A．　 B．　 C．　 D． 10．下列结论正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 的最大值为 C．若 ， 且 ，则 的最小值为 D．若 ，则 的最小值为 11．如图3，二次函数 的图象与 轴交于点 、，与 轴交于点 ，顶点为 ，则下列结论正确的是（　　） 图3 A．不等式 的解集为 B． 的最小值为 C．当 时，方程 有两个不相等的实根 D．函数 的图象关于直线 对称 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．不等式 的解集为 ______． 13．若关于 的不等式 的解集为全体实数，则实数 的取值范围是 ______． 14．已知 ，，且 ，则 的最小值为 ______． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）解下列关于 的不等式： （1）； （2）； （3）（）． 16．（15 分）已知 ，，且 ． （1）求 的最大值； （2）求 的最小值； （3）求 的最小值． 17．（15 分）某公司生产一种电子产品，每件成本为 40 元．经市场调查，当每件售价为 元（）时，该产品每月的销售量为 件，且每月生产的产品当月全部售出． （1）求该公司每月的利润 （元）关于每件售价 （元）的函数解析式； （2）当每件售价为多少元时，该公司每月的利润最大？最大月利润是多少元？ （3）若该公司要求月利润不低于 3200 元，求每件售价 的取值范围． 18．（17 分）已知函数 （ 为实数）． （1）若 对任意实数 恒成立，求 的取值范围； （2）若方程 的两个实根 ， 满足 ，求 的值； （3）若不等式 的解集为 （），且 ， 都在区间 内，求 的取值范围． 19．（17 分）已知二次函数 （）满足 ，且 ． （1）求 的解析式； （2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （3）设 为实数，求函数 在区间 上的最小值 ． 学科网（北京）股份有限公司 $