第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 3．的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．无最小值 5．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．3或－1 B．3 C．－1 D．－3或1 7．若，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于不等关系的说法正确的是（　　） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为 C．不等式的含义是指x不小于2 D．若或之中有一个成立，则成立 10．已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（     ） A． B． C． D． 11．已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 13．已知，则的最小值为______． 14．设实数x，y满足：，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）解不等式. （2）若不等式的解集是，求不等式的解集. 16．（15分） 根据题意，求解下列问题： (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少？ (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少？ (3)已知，且，求的最大值，并求出取最大值时，的值是多少？ 17．（15分） 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． (1)问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． (2)求的最小值． 18．（17分） 已知二次函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A：由可得，即. 当时，，即，A错误. 选项B：当时，，此时，不满足，B错误. 选项C：因为，所以，C正确. 选项D：由，得，因此，D错误. 2．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为不等式满足，所以，所以，即， 所以或， 故或，即， 所以该不等式的解集为. 3．的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，解得，即为集合， 则选项C是充要条件，故C错误； 与和均无交集，故A，B错误； 集合是的真子集， 则成立，一定满足，但成立，不一定满足， 故D是的一个必要不充分条件，故D正确． 4．已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．无最小值 【答案】B 【解析】因为， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 则代数式 的最小值为4. 5．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 6．已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．3或－1 B．3 C．－1 D．－3或1 【答案】B 【解析】由题设分式有意义，得. 将题设等式两边同乘，得. 由韦达定理得，，所以， 即，解得或. 又因为方程有两个不相等的实数根，所以. 当时条件成立；当时，不符合题意，因此. 7．若，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，其中为实数， 所以，故，解得， 所以， 因为，所以， 又，则， 所以，即. 8．，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，即， 而， 则， 即，得，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于不等关系的说法正确的是（　　） A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h（米）满足 B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为 C．不等式的含义是指x不小于2 D．若或之中有一个成立，则成立 【答案】ACD 【解析】A选项，“限高4.5米”，即车载货物高度h（米）满足，A正确； B选项，用不等式表示“a与b的差是非负数”为，B错误； C选项，不等式的含义是指x大于2或等于2，即x不小于2，C正确； D选项，若或之中有一个成立，则成立，D正确 10．已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】可化为， 解得，， 由题意可知，解得， 所以实数的可能取值为. 11．已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【解析】因为正数 ，满足 ， 对于A，由 ，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为 ，所以A正确； 对于B，由， 因为 且 ，所以 ， 即，所以，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，因为 ，可得 ， 则， 当且仅当时，取得最小值 ，所以D不正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 【答案】 ≤ <1 【解析】，当且仅当 时等号成立， 所以 ，所以 13．已知，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 14．设实数x，y满足：，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】化简 （①）， 其中， 设，，则，， 代入①式得 （②）， 即， 所以的最小值即为的最小值， 令， 由，代入②得： ， 因为，故，即0，结合解不等式得 ， 故 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）解不等式. （2）若不等式的解集是，求不等式的解集. 【解析】（1），即，解得或， 即不等式的解集为或. （2）因为不等式的解集是， 所以，解得， 所以即，得，解得. 即解集为. 16．（15分） 根据题意，求解下列问题： (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少？ (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少？ (3)已知，且，求的最大值，并求出取最大值时，的值是多少？ 【解析】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故当时，的最大值为，此时. （2）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当时，的最小值为6，此时. （3）因为，，所以，即， 所以，即，当且仅当，时，等号成立. 故的最大值为，此时，. 17．（15分） 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． (1)问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． (2)求的最小值． 【解析】（1）由题意，，即，，， 所以，即， 解得，当且仅当，即，时等号成立， 因为，所以． 即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米． （2）由得 所以 当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值是 法二：由得， ，当且仅当 即时，等号成立． 所以的最小值是 18．（17分） 已知二次函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 当时，，此时不等式的解集为或， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； （2）当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或 （3）当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 19．（17分） 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 【解析】（1）证明：由题意可知要证明， 只需证明， 左边， 右边， 所以左边右边，当且仅当，即时等号成立； （2）3维柯西分式型不等式为：若均为正实数，则，当且仅当时等号成立； 由3维柯西分式型不等式可知， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （3）证明：由柯西分式不等式可知， 当且仅当时，即时取等号； 由可得， 即， 可得， 当且仅当时，即时取等号. 令， 则等价于，， 即证，即证， 因为恒成立，且时取等号，故原命题得证. 第10页，共11页 第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $