精品解析：安徽省六安市汇文中学2026-2027学年九年级上学期第一次阶段性测试数学试题

2026-2027学年度第一学期九年级阶段性素质评估一 数学试题卷 一、单选题 1. 若反比例函数的图象经过点，则该图象必经过另一点（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 5. 已知点是线段的黄金分割点，且，若线段，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 7. 如图，是的中线，点F在上，延长交于点D，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的是二次函数的部分图像，图像过点且对称轴为直线．下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数都成立，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点．设，则t值的变化范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 12. 已知a、b、c均为非零实数，满足，则______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，轴于点B，点C在x轴负半轴上，且，连接、，若的面积为3，则k的值为______． 14. 已知函数，，函数与组成一个新函数，图象记为． （1）若点在图象上，则的值_____________； （2）点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象有三个不同的交点时，设这三个交点的横坐标分别为，，，令，则的取值范围是__________． 三、解答题 15. 已知． （1）求代数式的值． （2）若，求，，的值． 16. 已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)． （1）求a，b的值； （2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值． 17. 如图，，直线、与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若，，求的长； （2）若，，，求的长． 18. 定义：若直线（是常数）经过抛物线的顶点，则称直线是该抛物线的“最美直线”． （1）若直线是抛物线的“最美直线”，求的值； （2）平移抛物线得到抛物线，若直线是抛物线的“最美直线”，直线与轴的交点为，抛物线与轴的交点为，点与点关于原点对称，求抛物线对应的函数表达式． 19. 如图，在中，是斜边上的高，点M在上，且与的延长线交于点E．求证： （1）； （2）． 20. 为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用棚栏围成．已知栅栏的总长度为，设矩形场地中垂直于墙的一边长为（如图）． （1）若矩形种植场地的总面积为，求此时的值； （2）当为多少时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？ 21. 如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象分别交于点A（2，4）和点B（4，n），与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求y1＜y2时，自变量x的取值范围； （3）若点P是x轴上一动点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标． 22. 如图，已知正方形中，平分且交边于点E，将绕点C顺时针旋转到的位置，并延长交于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 23. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级阶段性素质评估一 数学试题卷 一、单选题 1. 若反比例函数的图象经过点，则该图象必经过另一点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入即可求出k的值，再根据解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， B选项中，． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据若，则即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3. 将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”，求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位， 得到的抛物线为：． 故选：D． 4. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 5. 已知点是线段的黄金分割点，且，若线段，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的含义． 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，根据概念列比例式即可求解． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴， 而， ∴． 故选：A． 6. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，当时，函数的最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，函数的最大值为2， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7. 如图，是的中线，点F在上，延长交于点D，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 过点E作交于G，先利用三角形的中线的定义得到，再根据相似三角形的性质得到，由得到，最后由相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：过点E作交于G， ∵是的中线， ∴， 如图：过点E作交于G， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图所示的是二次函数的部分图像，图像过点且对称轴为直线．下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数都成立，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，由二次函数图象得到：二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点，与y轴交于负半轴，由此得到系数之间的关系，逐一判定即可． 【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点，与y轴交于负半轴， ∴，对称轴直线， ∴， ∴，故①正确； ∵图像过点且对称轴为直线， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，，即，故②错误； 当时，，即， 又， ∴，故③错误； ∵二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，二次函数有最小值，即， ∴对于任意实数，都成立， ∴对于任意实数，都成立，故④正确； 综上所述，正确的有①④，共2个， 故选：B ． 9. 已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 10. 二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点．设，则t值的变化范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的解析式可知，当时，，根据图象的顶点在第一象限，且过点画出草图，求a，b的范围，问题得以解决． 【详解】解：∵二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点，如图： ， ∴由，得到，结合， ，① 由，得到，结合上面， ，② ∴由得， 在不等式两边同时加1，得， 代入得， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要结合二次函数的图象和系数，对称轴，特殊点，属于基础题． 二、填空题 11. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与轴交点问题．抛物线与轴有两个交点，即对应二次方程有两个不相等的实数根，判别式需大于零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵抛物线 与轴有两个交点， ∴二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： ． 12. 已知a、b、c均为非零实数，满足，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质以及分式的化简求值，分类讨论是解题的关键． 先对的值进行分类讨论①设，进而得出，再进行化简求值；②，得到，满足，最后进行化简即可． 【详解】解：①若， 设， ， ， ， ， ； ②若， ， 则， ， 综上，或． 故答案为：或． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，轴于点B，点C在x轴负半轴上，且，连接、，若的面积为3，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】考查了反比例函数与几何图形的关系，解题的关键是利用线段的长度表示出关键点的坐标． 设点P的坐标并表示相关线段长度，根据三角形面积公式求出的值，根据反比例函数性质求出k的值即可； 【详解】设， ∵轴于点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵的面积为， ∴． 即， 化简得， ． ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ∴． 故答案为：4． 14. 已知函数，，函数与组成一个新函数，图象记为． （1）若点在图象上，则的值_____________； （2）点为轴上一动点，过点作轴的垂线，当直线与图象有三个不同的交点时，设这三个交点的横坐标分别为，，，令，则的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据点的横坐标判断对应分段函数，代入计算即可； （2）先确定直线与图象有三个交点时的范围，利用二次函数对称性得两个交点横坐标和，再表示出第三个交点横坐标，进而得到关于的表达式，求出的范围． 【详解】解：（1）∵点在图象上，且， ∴将代入，得； （2）设直线的解析式为， ∵直线与图象有三个不同的交点， ∴直线与有两个交点，与有一个交点， ∵，开口向上，顶点坐标为， 当时，， ∴当时，与有两个交点， 设这两个交点的横坐标为，， ∵二次函数的对称轴为， ∴根据二次函数的对称性，， 对于，令，得，即， ∵， ∴， 解得， 又∵，该条件成立， ∴， ∵， ∴，即． 三、解答题 15. 已知． （1）求代数式的值． （2）若，求，，的值． 【答案】（1）1； （2），，． 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力． （1）令，，，把，，，代入，即可计算； （2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 令，，， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， ，，． 16. 已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)． （1）求a，b的值； （2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标分别代入解析式即可求得a，b的值； （2）将(5，)，(m，)代入解析式，联立即可求得m的值. 【详解】（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13）， ∴，解得， ∴a的值为1，b的值为-4； （2）∵(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点， ∴，解得或（舍去） ∴m的值为-1. 【点睛】本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题的关键. 17. 如图，，直线、与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若，，求的长； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例； （2）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【小问1详解】 解：， ， 又，， ， ； 【小问2详解】 ， ， 又，，， ， ； ． 18. 定义：若直线（是常数）经过抛物线的顶点，则称直线是该抛物线的“最美直线”． （1）若直线是抛物线的“最美直线”，求的值； （2）平移抛物线得到抛物线，若直线是抛物线的“最美直线”，直线与轴的交点为，抛物线与轴的交点为，点与点关于原点对称，求抛物线对应的函数表达式． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（）求出抛物线的顶点坐标，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）求出点坐标，设抛物线的顶点坐标为， 则抛物线的解析式为，可得，，进而得到，求出的值即可求解； 本题考查了求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，理解新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵直线是抛物线的“最美直线”， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：把代入直线，得， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， 设抛物线的顶点坐标为， 则抛物线的解析式为， ∵直线是抛物线的“最美直线”， ∴直线经过点， ∴， ∵抛物线与轴的交点为， ∴， ∴， 将代入，得， 即， 解得或， 当时，； 当时，； ∴抛物线的函数表达式为或，即或． 19. 如图，在中，是斜边上的高，点M在上，且与的延长线交于点E．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：如图， ∵是直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形，是上的高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可得，即，然后可知，则有，进而问题可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用棚栏围成．已知栅栏的总长度为，设矩形场地中垂直于墙的一边长为（如图）． （1）若矩形种植场地的总面积为，求此时的值； （2）当为多少时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）6 （2），矩形种植场地的面积最大为 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和二次函数的性质， 根据矩形面积列出关于x的一元二次方程，结合靠墙的长度排除不符合的解即可； 首先求得x的取值范围，再根据二次函数得性质求得在范围内的最值即可． 【小问1详解】 解：矩形场地中垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∵矩形种植场地的总面积为， ∴，解得，， ∵墙的长度为， 若，则，不符合题意， 则． 【小问2详解】 解：矩形种植场地的面积， ∵， ∴， ∵，， ∴时，， 则时，矩形种植场地的面积最大为． 21. 如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象分别交于点A（2，4）和点B（4，n），与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求y1＜y2时，自变量x的取值范围； （3）若点P是x轴上一动点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1）y2＝，y1＝﹣x+6；（2）0＜x＜2或x＞4；（3）P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）． 【解析】 【分析】（1）先把A点坐标代入y2＝中求出m得到反比例函数解析式为y2＝，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）在第一象限内，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可； （3）设P（t，0），利用两点间的距离公式得到PA2＝（t﹣2）2+42，PB2＝（t﹣4）2+22，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2，讨论：根据勾股定理，当∠PAB＝90°时，t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20；当∠PBA＝90°时，t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20；当∠APB＝90°时，t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，然后分别解关于t的方程可得到P点坐标． 【详解】解：（1）把A（2，4）代入y2＝得m＝2×4＝8， ∴反比例函数解析式为y2＝， 把B（4，n）代入y2＝得4n＝8，解得n＝2，则B（4，2）， 把A（2，4）和B（4，2）代入y1＝kx+b得， 解得， ∴一次函数解析式为y1＝﹣x+6； （2）根据函数图象可得：当0＜x＜2或x＞4时，y1＜y2； （3）设P（t，0）， ∵A（2，4），B（4，2） ∴PA2＝（t﹣2）2+42＝t2﹣4t+20，PB2＝（t﹣4）2+22＝t2﹣8t+20，AB2＝（4﹣2）2+（2﹣4）2＝8， 当∠PAB＝90°时，PA2+AB2＝PB2，即t2﹣4t+20+8＝t2﹣8t+20，解得t＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）， 当∠PBA＝90°时，PB2+AB2＝PA2，即t2﹣8t+20+8＝t2﹣4t+20，解得t＝2，此时P点坐标为（2，0）， 当∠APB＝90°时，PA2+PB2＝AB2，即t2﹣4t+20+t2﹣8t+20＝8，整理得t2﹣6t+16＝0，方程没有实数解， 综上所述，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质． 22. 如图，已知正方形中，平分且交边于点E，将绕点C顺时针旋转到的位置，并延长交于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明：由旋转可知： ， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】（1）由旋转性质推出，结合角平分线定义得到，再根据相似三角形判定定理即可证明； （2）利用三角形内角和定理推出，进而证明，结合全等三角形性质即可证明； （3）利用相似三角形性质推出，进而求出，再结合旋转性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵由（1）可知：， ∴， ∴， ， 即， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴． 23. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，位置如下图所示： 【小问3详解】 解：中， 抛物线开口向下， 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 综上可知，或， 的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $