安徽宿城第一初级中学2026-2027学年九年级第一学期综合素养一数学试卷

安徽省宿州市埇桥区宿城第一初级中学2026-2027学年九年级第一学期综合素养一 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1．下列说法正确的是（     ） A．平行四边形是轴对称图形 B．矩形的四条边都相等 C．菱形的四个内角都相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 2．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是(     ) A．112.5度 B．120度 C．115度 D．135度 4．对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 10．如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点，连接．若正方形的边长为，下列结论：①；②；③；④始终是等腰直角三角形．其中正确的为（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 12．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是______．（填一个条件即可） 13．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为______． 14．如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F．    （1）_____________； （2）若点E是的中点，则的长为_____________． 三、本小题共2题，每小题8分，共16分 15．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 16．如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、．求证：四边形是矩形； 四、本小题共2题，每小题8分，共16分 17．如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接．求证：四边形是菱形； 18．如图，在一块长35m，宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m²，道路的宽应为多少？ 五、本小题共2题，每小题10分，共20分 19．已知关于的方程． (1)如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 20．如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，且，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的边长． 六、本小题12分 21．为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得， 当时，时，． 综上，原方程的解为． 这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)解方程：； (2)已知实数满足：，求的值； (3)若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数． 七、本小题12分 22．如图，在矩形中，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点的运动时间为． (1)求当为何值时，四边形是正方形； (2)求当为何值时，； 八、本小题14分 23．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过点B作于G，延长BG至点F使． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求AB的长．    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省宿州市埇桥区宿城第一初级中学2026-2027学年九年级第一学期综合素养一 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1．下列说法正确的是（     ） A．平行四边形是轴对称图形 B．矩形的四条边都相等 C．菱形的四个内角都相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、矩形性质理解、正方形性质理解、轴对称图形的识别 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故A错误； B．矩形仅对边相等，四条边不一定都相等，故B错误； C．菱形仅对角相等，四个内角不一定都相等，故C错误； D．正方形的对角线互相垂直平分且相等，故D正确． 2．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式分解因式、解一元二次方程——配方法 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 3．如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是(     ) A．112.5度 B．120度 C．115度 D．135度 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据正方形的性质求角度 【分析】根据正方形的性质求得，从而根据三角形外角的性质得到，根据等边对等角求出，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 5．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】过点作轴于点，证明，根据全等的性质得到边的关系，从而求出点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 过点作轴于点， ， ∴， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6．如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分得到，再由勾股定理得到，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，为的中点， ∴． 7．如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题、根据矩形的性质求线段长、根据矩形的性质求面积、矩形与折叠问题 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的性质得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 8．如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长 【分析】利用正方形的性质得出，，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据的周长为，求出，利用勾股定理求出，进而求出，根据三角形中位线的性质即可求出的长． 【详解】解：∵正方形中，对角线与相交于点， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 9．如图，任意四边形中，E，F，G，H分别是上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当E，F，G，H是各边中点时，四边形可以不为平行四边形 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、中点四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形和矩形的判定．连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到四边形为平行四边形，再根据菱形和矩形的判定定理，解答即可． 【详解】解：如图，连接， 若E，F，G，H分别是上的点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故D选项错误，符合题意； 当时， ∴四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意； 当时，， ∴四边形为矩形，故B选项正确，不符合题意； 若E，F，G，H不是各边中点， 当时，四边形为平行四边形，故C选项正确，不符合题意； 故选：D 10．如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点，连接．若正方形的边长为，下列结论：①；②；③；④始终是等腰直角三角形．其中正确的为（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】①，四边形是正方形，则有，，证明，则可以得到，那么． ②可以得到，因此． ③可以得到，正方形可知，，因此． ④已知，要证明始终是等腰直角三角形，则只需要得到． 【详解】①解：四边形是正方形，且正方形的边长为， ，，， ，，， ， ． ， ， ， ，，， ，故①正确． ②解：由①可知，， ， ，故②正确． ③解：， ， 又四边形是正方形， ，， ， ，故③正确． ④解：， ， 又， ， 因此始终是等腰直角三角形，故④正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③④． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】3 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【详解】解：若关于x的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得m-1=2 解得m=3，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 12．如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是______．（填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、添一条件使四边形是矩形、证明四边形是矩形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记平行四边形的判定与性质、矩形的判定是解决问题的关键．先由平行四边形性质，结合题意得到，，进而判定四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形；②有一个内角是的平行四边形是矩形；分别考虑添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则，， ， ， 在四边形中，，，则四边形是平行四边形， ①当时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或者，均可使四边形是矩形； ②当或或或时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或或或，均可使四边形是矩形； 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、，    ，， ． 四边形是矩形， ． 四边形为矩形． ． 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ． 的长度最小为：． 故选：． 14．如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F．    （1）_____________； （2）若点E是的中点，则的长为_____________． 【答案】 /90度 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】（1）由翻折可得，，则，根据，可得，即． （2）根据题意可得点与点重合，且点，，三点在同一条直线上．过点作，交的延长线于点．由，，可得，，则，，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理列出方程，解得，进而可得出答案． 【详解】解：（1）由翻折可得，， ， ， ， 即． 故答案为：． （2）四边形为菱形， ， ， 由翻折可得，，，， 点是的中点， ， ， 即点与点重合． ， 点，，三点在同一条直线上． 过点作，交的延长线于点．   ，， ，， ，， 由翻折可得，， 设， 则，， 由勾股定理可得， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 三、本小题共2题，每小题8分，共16分 15．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】按照配方的方法步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，． （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 16．如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、．求证：四边形是矩形； 【分析】先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； 【详解】证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 四、本小题共2题，每小题8分，共16分 17．如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接．求证：四边形是菱形； 【分析】根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证； 【详解】证明： ∵D、E分别是、的中点， ，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 18．如图，在一块长35m，宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m²，道路的宽应为多少？ 【答案】道路宽应为1m 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【详解】试题分析：把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植园地是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 试题解析：设道路的宽应为x米，由题意有 （35-x）（26-x）=850， 整理，得x2-61x+60=0， 解得x1=1，x2=60（不合题意，舍去）． 答：道路的宽应为1米. 五、本小题共2题，每小题10分，共20分 19．已知关于的方程． (1)如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)，方程的另一根为 (2) 证明：是一元二次方程， ， 无论取何实数，总有， ， 方程总有两个不相等的实数根． 【知识点】一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解，熟记当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键； （1）把代入方程即可求得k，然后解这个方程即可； （2）根据进行判断； 【详解】（1）解：把代入方程，得， 解得， 此时方程可化为， 解得，． 方程的另一根为； （2）略 20．如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，且，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的边长． 【答案】(1) 证明：四边形为正方形， ， ， ，即， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形，可证得，即可得证； （2）求得，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， 菱形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，熟知对角线互相垂直平分的四边形是菱形是解题的关键． 六、本小题12分 21．为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得， 当时，时，． 综上，原方程的解为． 这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)解方程：； (2)已知实数满足：，求的值； (3)若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数． 【答案】(1) (2) (3)四个正整数解为：9，10，11，12 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了新定义下的解一元二次方程的运算，解题的关键是掌握“换元法”． （1）利用“换元法”进行求解即可； （2）利用“换元法”进行求解即可； （3）假设这四个正整数中最小的为，根据题意列出方程，然后利用“换元法”进行求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴原方程为， 解得，， 当时，，此时无解； 当时，， ∴， ∴； （2）解：令， ∴原方程为， 解得，， 当时，， ∴； 当时，，此时无解； ∴的值为； （3）解：假设这四个正整数中最小的为，根据题意得， ， 令， ∴原方程为 解得，， 当时，， ∵， ∴该方程无解； 当时，， 解得，， 当时，不符合题意，舍去； 当时，四个正整数解为：9，10，11，12． 七、本小题12分 22．如图，在矩形中，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点的运动时间为． (1)求当为何值时，四边形是正方形； (2)求当为何值时，； 【答案】(1)8 (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】（1）由已知可得，由菱形的性质得出，根据正方形的判定可得出答案； （2）由矩形的性质得，，进而证明四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定及勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：由已知可得， ∴， 若，四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴时，四边形是正方形； （2）解：∵在矩形中，， ∴，， 由已知可得，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∵， ∴， ∴时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形， 即当时，． 八、本小题14分 23．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过点B作于G，延长BG至点F使． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求AB的长．    【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明； （2）过C点作CH⊥BF于H点，根据已知条件可证明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因为BH=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，进而证明AG=FG； （3）在Rt△ABG中，分别求出BG、AG即可解决问题； 【详解】（1）证明：因为ABCD是正方形 所以 在三角形BGA中， 因为 （2）过点C作， 因为ABCD是正方形， 所以AB=BC， 由（1） 所以 在三角形CHF中， ， 所以． （3）在三角形CHF中， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，对学生的解题要求能力很高． 1 学科网（北京）股份有限公司 $