精品解析：宁夏中卫市海原县某校2025-2026学年高三上学期第二次阶段质量检测数学试卷

2025—2026学年第一学期第二次阶段性质量检测 高三数学试题 （试卷满分：150分 答卷时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（非选择题） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，由复数的几何意义求解即可. 【详解】因为， 所以其在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 3. 已知函数，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数性质代入求出，再代入计算即可求得结果. 【详解】由函数可知， 所以. 故选：A. 4. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律即可求解. 【详解】由得，解得， 故选：B 5. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）条件 A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求参数关系，结合充分、必要性的定义即可得. 【详解】若为奇函数，则， 所以，即恒成立， 所以. 综上，“”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C 6. 已知，且是第二象限的角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的象限，求得和的值，然后利用二倍角公式化简代数式，即可求得答案. 【详解】因为，且是第二象限的角，则． 所以. 故选： B． 7. 已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，可得，，根据条件，可得，根据的单调性，分析即可得答案. 【详解】因为在上单调递增， 所以，即， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以， 因为函数在区间单调递增， 所以，即. 故选：D 8. 已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得出，再根据的单调性以及极值即可得出. 【详解】由，得， 因为是的一个极值点，所以， 所以，，， 在上有得或，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因， 由函数在上有且仅有一个零点， 则，，解得， 所以实数b的取值范围为． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AB，利用基本不等式判断CD. 【详解】对于A，当时，有，故A正确； 对于B，当时，有，故B错误； 对于C，若，则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的定义域为 C. 函数的对称中心为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查正切函数的性质，包括最小正周期，定义域，对称中心以及函数值的计算,根据正切函数的基本性质逐一分析各选项. 【详解】对于正切函数中，，所以,故选项A正确； 令，解得，所以的定义域为，故选项B正确； 令，解得，所以函数的对称中心为，故选项C错误； 已知，则， ，已知，则，所以，故选项D正确； 故答案为：ABD 11. 已知定义域为的函数满足，且是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的最小正周期是4 B. 时， C. D. 方程恰有10个不同的实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求函数的对称性和周期性，可判断A的正误，根据对称性求出上的函数解析式后可判断B的正误，求出后根据周期性可求，从而可判断C的正误，利用导数刻画函数在上的单调性后可得的图象，数形结合后可判断D的正误. 【详解】因为函数满足， 所以函数为奇函数，图象关于点对称， 因为函数是偶函数， 所以，即函数图象关于对称； 所以， 所以，， 所以函数是周期函数，最小正周期是4，故A选项正确； 由得 当时，时，，故B选项错误； 由题知， 由可得，， ，故， 故，故C选项正确； 当，，故在为增函数， 结合的周期性和对称性可得函数的图象如图所示： 而的解的个数可以看成两个图象交点的个数， 而，结合图像可得两个图像在轴右侧交点的个数为5个， 因，由图可得两个函数在轴左侧交点的个数为5个，故共个交点， 故恰有10个不同的解，故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得，而， 则，解得. 故答案为：1 13. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】将平移后的图象解析式写出来，利用图象关于轴对称，从而当时函数取最值，得到，化简为，即可求出的最小值． 【详解】记曲线C对应的函数为， 则. 因为函数的图象关于y轴对称，所以，得. 因为，所以的最小值为． 故答案为：． 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的短轴长为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于两点，求弦长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，进而利用弦长公式求得弦长. 【小问1详解】 由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由已知可得椭圆的右焦点为，直线的方程为， 联立椭圆方程，得， 设，所以， 则. 16. 已知等差数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依次得，，即可求解； （2）由等差数列求和公式、裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 由可得， 由可得，，公差， 故. 【小问2详解】 由（1）得， 故 则. 17. 如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定定理证明平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）令，，分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直求出参数，即可得答案. 【小问1详解】 因为，即, 又，，平面， 所以平面，又平面，所以. 又，，平面，所以平面， 在直角三角形中，，， 所以. 【小问2详解】 因为平面，，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 假设存在线段上存在一点，使得平面平面，设点，，则，所以， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 设平面的法向量， 则，令，则，，所以， 若平面平面，则，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）函数，若在定义域内有解，求的范围． 【答案】（1） （2）函数的极大值为，极小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导研究函数得单调区间，进而根据单调区间确定函数的极值； （3）根据题意转化为在内有解，进而构造函数求解最大值即可. 【小问1详解】 解：由题知， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为：. 【小问2详解】 解：由（1）知，定义域为， 令得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数有极大值； 当时，函数有极小值. 综上，函数的极大值为，极小值为 【小问3详解】 解：函数，在定义域内有解， 故在内有解， 即在内有解， 所以在内有解， 所以 令 令，，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以在上的值域为， 令，则， 显然当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以有最大值， 所以，即的取值范围为 19. 记的内角的对边分别为，已知，． （1）若，求的面积； （2）求的值； （3）已知分别为边上一点，点在线段上，若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，及，求出角，由正弦定理求出边，利用面积公式可求出面积. （2）由（1）知，,由余弦定理得即可求解. （3）设，由，得.由基本不等式得到，从而求出的最小值，四边形面积的最大值. 【小问1详解】 又，所以. 由正弦定理得，又，所以， 所以. 【小问2详解】 依题意，， 由余弦定理得， 【小问3详解】 由（2）知，又，又 ，， 设， 由，得，化简得. 因为，即， 当且仅当时，即取等号，所以， 即的最小值为，而， 所以当的面积最小时，四边形面积的最大，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期第二次阶段性质量检测 高三数学试题 （试卷满分：150分 答卷时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（非选择题） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知函数，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 4. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）条件 A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 6. 已知，且是第二象限的角，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的定义域为 C. 函数的对称中心为 D. 11. 已知定义域为的函数满足，且是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数的最小正周期是4 B. 时， C. D. 方程恰有10个不同的实数根 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则__________. 13. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是__________ 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的短轴长为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于两点，求弦长． 16. 已知等差数列的前项和满足. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 17. 如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）函数，若在定义域内有解，求的范围． 19. 记的内角的对边分别为，已知，． （1）若，求的面积； （2）求的值； （3）已知分别为边上一点，点在线段上，若，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $