宁夏银川市景博中学2026-2027学年高三上学期第一次检测数学试卷

检索一数学答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D B A D 二、 多选题 9 10 11 ACD AB ABD 三、填空题 12. 0.3413 15V26 13 26 8V2 14 3 四、解答题 15.(1) :平面AACC⊥平面ABC,平面AACC∩平面ABC=AC, BCC平面ABC,.BC⊥平面AACC :BCc平面ABC,.平面ABC⊥平面AACC, 四边形AACC是菱形，∴.AC⊥AC 又ACc平面AACC,平面ABC∩平面AACC=AC .AC⊥平面ABC. (2) 取棱AB,的中点F,连接DF,EF 'D,E分别是棱BB,AC的中点， .DF∥AB,EF∥BC BC∥BC,.EF∥BC, ·:EFd平面ABC,BCC平面ABC, .EF∥平面ABC; 同理由DF∥AB,得DF∥平面ABC ·DF OEF=F,DF,EFC平面DEF ∴.平面DEF∥平面ABC; 又DEc平面DEF,∴.DE∥平面ABC, 16.(1)因为小长方形面积和为1 所以10×(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)=1,解得a=0.010 则平均数为0.010×10×45+0.015×10×55+0.025×10×65 +0.035×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=68.5 (2)由题意得10×(0.010+0.015+0.025+0.035)>0.8， 则分数线在70,80)内，且设分数线为x, 可得10×(0.010+0.015+0.025)+0.035×(x-70)=0.8 解得x≈78.6，即获奖分数线为78.6 (3)由题意得两组的频率之比为1：2， 现从两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则分别抽取2人，4人，记为a,b,1,2,3,4 所有可能的情况为(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(1,2), (1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共15种 其中至少有1人的年龄在[90,100]的情况有(a,b),(a,1),(a,2),(a,3), (a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),共9种 故所求概率P=9-3 155 17.(1)证明：连结EC,过C作CF⊥BE,垂足为F,DH⊥BE于H. EH=BF=1,RtAEFC中，CF=√5，EC=2V5. :△AEC中，AC=2√7，(27)2=28=42+(25)2，即AC2=AE2+EC2, 所以AE⊥EC,又AE⊥EB,EB∩CE=E,ECC平面EBC,EBC平面EBC ∴.AE⊥平面BCDE,又因为AEC平面ABE, 平面ABE⊥平面BCDE· (2)因为AE⊥平面BCDE,如图所示以E为原点，过E点与BE垂直的直线 为x轴，EB,EA为y,z轴建立坐标系，由(1)知E(0,0,0),B(0,4,0) A(0,0,4).D(31,0,C33,0). 所以ED=（N51,0）.EA=(0,0,4).设平面EAD法向量m=(:,,) B方 由m-ED=0,mEA=0: 小3x+%=0,取x=1,得=3.有m=,-5,0 4z1=0 又CB=（-V51,0）,BA=(0,4,4,设平面CAB法向量i=(x,2,2) 由n.CB=0,i.BA=0 -√3x2+y2=0 -4y2+422=0 取为=1，得为=2=5，有 i=(,v5,5) 设平面ADE与平面ABC的夹角为0，则cos0=m:月-1-3-万 mn2x√万7 所以sin0=V-cos'0=y42 7 18.(1)解：根据题中信息可得如下2×2列联表： A地 B地 总计 长纤维 25 35 60 短纤维 15 5 20 总计 40 40 80 可得K2= 80×(25×5-15x35)2 ≈6.667>6.635 60×20×40×40 因此，在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系” (2)解：由题意，80根棉花纤维中短纤维”共20根，其中，B地的短纤维”共5根， 所以随机变量Y的可能取值有0,1,2， 可得P(Y=0)= C-21 3038 P(r=1)-cich_15 C2.38 Pw-是5 所以，随机变量Y的分布列如下表所示 上 0 1 2 21 15 38 38 19 所以.E(y)=0x2+1 38 +2x11 1 38 192 (3)解：从B地棉花（大量的棉花）中任意抽取1根是长纤维的频率是 8 所以随机变量X-83) 7121 可得D(X)=3××二= 8864 19.因为平面ABC/1平面AB,C, 平面ABC∩平面PBQ=B2,平面AB,C∩平面PBQ=1, 所以IIIB2,BQc平面ABC,I文平面ABC,所以III平面ABC; (2)AB=AC2-BC2=23. 如图，以点B为原点，以BC,BA,BB为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设BP=m,g1,V5,0）.P(m,0,6),P=(m-l,-V5,6) 平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1) 设PQ与平面ABC的夹角为O OP.n 则sin0=cos(oP, 6 2V39 op V(m-1)2+3+36 13 解得：m=1, 所以BP=1: (3)直线1与AC交于点M,连接MQ 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面为梯形BQMP, B(0,0,0).根据(2)可知，B0=1,V5,0.BP=(m,0,6) 则点P到BQ的距离d= B2 BP.BO m2+36 BO 4 由MP∥BO,且an∠ACB=5,所以∠ACR= 3 所以△MPC是等边三角形，则MP=2-m, 3m㎡2+36 听以平面P8Q裁直三棱柱所得的载面QMP的面职S=2+2-m) 0≤m≤2 S=-3mr+14+24-m）6m= -6(m2-2m+24）3(m-12+2 2√3m2+1444V3m2+1442V3m2+144 <0恒成 立 所以函数S在区间0,2上单调递减，所以S的最大值为S(0)=12. 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值为12.景博中学2026-2027学年第一学期第一次检索 高三数学试题 班级： 姓名： 考号 时间：150分钟 分值：150分 (I卷) 一、单选题：本题共8小题，每小题题5分，共40分 1.己知集合A={0,1,2},B={xx2=x,则A∩B=() A.{1,2 B.{} c.{0,1} D.{01,2 2.在复平面内，复数2对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知a,beR,则a>b”是“a>b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.对于两个不共线向量g,e2,已知a=4e+3e2,b=me-2e,,若2a-b与b共线，则m的值为() A B. D.3 5.己知函数f(x)=2x,函数y=g(x)的图象如图所示，则f几g(4)]=() =g(x) A.3 B.3 0.5 0124 C.1 D.4 1.2 6.在△MBC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若AF=2xAB+yAC(x>0,y>0),则-+二的最小值为() x V A.1 B.8 C.2 D.4 7.设ax、B为两个平面，m、n为两条直线，且a∩B=m.下述四个命题： ①若m/1n,则n/1或n/1B ②若m⊥n,则n⊥a或n⊥B ③若n/1a且n/1B,则m/1n ④若n与a,B所成的角相等，则m⊥n 其中所有真命题的编号是() A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 8.已知正方体ABCD-AB,CD,棱BC,CC靠近C的三等分点分别为M,N,平面DMW截正方体得两个几何体， =(） 体积分别记为，乃（化<），则云 第1页 C. 3 D.4 二、多选题：本题共3小题，每小题题6分，共18分 9.已知向量a,6满足a-26=v7,a==1,则() A.a与b的夹角为 B.a与6的夹角为5知 c.2a-36=19 D.a1(a+2b) 10.下列结论正确的有() A.x∈R,x2+4>2x B.“3x∈R,x-1川+1<0”是假命题 C.“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D.x∈R,x+4x4≥0”的否定是xR,x+4x4<0” 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，P为线段AC上的动点（包括端点），则下列说法正确的是() A.三棱锥A-DPC的体积为定值 A B B.正方体的外接球球心到平面DAG的距离为V5 C.存在点P,使得CD⊥BP D.点P到直线4D的距离的最小值为25 D P. B (Ⅱ卷) 三、填空题：本题共3小题，每小题题5分，共15分 12.已知随机变量X服从正态分布N(1,4),若P（X≤1)=0.3413，则P(1≤X≤3)= 13.若正三棱锥P-ABC的侧棱长为√29，且AB=23,则点A到侧面PBC的距离为 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为PC的中点，AB=PA=2,直线AE与 BC所成角的大小为子则四枝锥P-ABCD的体积为 E B 共2页 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或者验算步骤 15.(本题13分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C中，平面AACC⊥平面ABC,四边形AACC是菱形，AC⊥BC,D,E分别是棱BB,AC 的中点 (1)证明：AC⊥平面ABC. (2)证明：DE/1平面ABC. 16.(本题15分) 塞上江南，神奇宁夏！宁夏不仅历史文化底蕴厚重，红色文化资源丰富。基于此，景博中学积极响应，举行了一次红 色文化知识竞赛.学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 0.035 0.025 0.015 0.005 0405060708090100分数 (1)求a的值，以及样本的平均数： (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的20%，试估计获奖分数线（精确到0.1）： (3)若将频率视为概率，现在要从[80,90)和[90,100两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进 行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在[90,100]这一组的概率. 17.(本题15分) 如图在四棱锥A一BCDE中，AE=EB=4,AE⊥EB,AC=2√7，CDIIBE,DE=CD=BC=2 (I)证明：平面ABE⊥平面BCDE; (2)求平面ADE与平面ABC的夹角的正弦值. 18.(本题17分) 新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求.评 价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的A、B两块实验地分别种植某品种的 棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从A、B两地的棉花中各随机抽取40根棉花纤维进行统计， 第2页 结果如下表：（记纤维长度不低于300m的为“长纤维”，其余为“短纤维”). 纤维长度 (0,100) [100,200) [200,300) [300,400) [400,500] A地（根数） 4 9 2 17 8 B地（根数） 2 1 2 20 15 (1)由以上统计数据，填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境 有关系”(K2的观测值精确到0.01) 附：K2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) A地 B地 总计 长纤维 短纤维 总计 临界值表： P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ko 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)现从抽取的80根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取2根做进一步研究，记B地“短纤维”的根数为Y,求Y的分布列 和数学期望： (3)根据上述B地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将B地“长纤维的频率视为概率，现从B地棉花（大量的棉花)中 任意抽取3根棉花，记抽取的“长纤维的根数为X,求X的方差. 19.(本题17分) 如图，在直三棱柱ABC-ABC中，∠ABC=90°，AC=4,BC=2,A4=6,点P在线段B,C上运动（包含端点），点Q 为AC的中点，设平面PBQ与平面AB,C的交线为l. A (1)证明：I/平面ABC: (②若直线PQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BP, 13 (3)求平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值. 共2页