5.3.2 课时2 函数的最大（小）值 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2 课时2 函数的最大（小）值 【基础巩固】 1．已知，则有（ ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 2．已知函数，则当时，的最大值为（ ） 3．函数在其定义域上（ ） A．有最小值，有最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．无最小值，无最大值 4．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）设函数的导函数为，则（ ） A． B．是函数的极值点 C．有且仅有两个零点 D．在上的最小值为 6．函数，的最小值是________. 7．在上的最小值为，最大值为，则_____. 8．已知函数. (1)求单调区间及极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【能力拓展】 9．已知，则函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 10．已知某圆锥放置于半径为的球内，当该圆锥的体积取得最大值时，该圆锥的高为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，则的最小值为___________. 【素养提升】 12．如图，某地计划在海中建设一风力发电站，其离岸距离，与垂直的海岸线上有一升压站，且．现要铺设一条电缆将站的电力传输到站，点为海岸线上一点，线段分别表示在海中、海岸线上铺设电缆的路线．假设海中铺设电缆的费用为万元/千米（为给定正数），海岸线上铺设电缆的费用为万元/千米，的长度为千米． (1)求铺设电缆总费用关于的函数关系式； (2)当的长度为何值时，铺设电缆总费用最小？求出最小费用． 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.2 课时2 函数的最大（小）值 【基础巩固】 1．已知，则有（ ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】A 【解析】设，求导得：， 当时，，所以函数在区间内单调递减． 因此，函数在处取得最大值为. 故选：A． 2．已知函数，则当时，的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：B. 3．函数在其定义域上（ ） A．有最小值，有最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．无最小值，无最大值 【答案】B 【解析】令真数，则，所以函数的定义域为， ，令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有最小值，无最大值. 故选：B. 4．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故，即实数的最小值是， 故选：A. 5．（多选）设函数的导函数为，则（ ） A． B．是函数的极值点 C．有且仅有两个零点 D．在上的最小值为 【答案】ABD 【解析】. A：因为，所以A正确； B：因为当时，单调递增， 当时，单调递减，且， 所以是函数的极值点，因此B正确； C：，或， 由，因此有且仅有三个零点，所以C不正确； D：当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为，所以在上的最小值为，因此D正确， 故选：ABD. 6．函数，的最小值是________. 【答案】 【解析】因为，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， 所以. 故答案为： 7．在上的最小值为，最大值为，则_____. 【答案】 【解析】由题设， 当，，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 且，，， 而，即， 所以，，则. 故答案为： 8．已知函数. (1)求单调区间及极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)函数的定义域为，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. (2)由(1)知，函数在上单调递增，在上单调递减，而， 因此，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 【能力拓展】 9．已知，则函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，又，所以， 则，因此，则，令得，令得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故时，函数取到最大值为． 故选：D. 10．已知某圆锥放置于半径为的球内，当该圆锥的体积取得最大值时，该圆锥的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，要使圆锥体积最大，则圆锥外接球为球， 设圆锥的高为，半径为，故，则， 由圆锥的体积为，且， 所以，故时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，最大. 故选：A. 11．已知函数，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】由 ， 所以， 令，则， 所以，当时，当或时， 所以在上单调递减，在、上单调递增， 由，故的最小值为. 故答案为：. 【素养提升】 12．如图，某地计划在海中建设一风力发电站，其离岸距离，与垂直的海岸线上有一升压站，且．现要铺设一条电缆将站的电力传输到站，点为海岸线上一点，线段分别表示在海中、海岸线上铺设电缆的路线．假设海中铺设电缆的费用为万元/千米（为给定正数），海岸线上铺设电缆的费用为万元/千米，的长度为千米． (1)求铺设电缆总费用关于的函数关系式； (2)当的长度为何值时，铺设电缆总费用最小？求出最小费用． 【答案】见解析 【解析】(1)由已知，， 所以，其中． (2)，令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取最小值．此时． 答：当的长度为公里时，铺设电缆的费用最低，最低费用为万元． 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $