课时作业(20) 函数的最大(小)值及实际应用问题（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(二十) [基础达标练] 1．函数f(x)＝x＋2cos x在区间上的最小值是(　　 ) A．－　　　　　　 B．2 C．＋ ．＋1 解析：选A　f′(x)＝1－2sin x， ∵x∈， ∴sin x∈[－1，0]，∴－2sin x∈[0，2]． ∴f′(x)＝1－2sin x>0在上恒成立， ∴f(x)在上单调递增． ∴f(x)min＝－＋2cos＝－． 2．若函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a等于(　　) A．3 B．1 C．2 D．－1 解析：选B　f′(x)＝3x2－2x－1， 令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1， 又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2， 则f(2)最大，即a＋2＝3， 所以a＝1． 3．(多选)下列结论不正确的是(　　 ) A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得 D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 解析：选ABC　函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值． 4．若函数f(x)＝x3－3x在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________． 解析：f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)． 又因为x∈[0，1)时，f′(x)<0，x∈(1，3]时，f′(x)>0， 所以当x＝1时， f(x)取得极小值f(1)＝－2． 又f(0)＝0，f(3)＝18， 所以m＝18，n＝－2， 所以m－n＝18－(－2)＝20． 答案：20 5．设函数f(x)＝，x∈[1，4]，则f(x)的最大值为__________，最小值为________． 解析：由f(x)＝得f′(x)＝， 令f′(x)>0，则1－ln x>0，解得0<x<e； 令f′(x)<0，则1－ln x<0，解得x>e． ∴函数f(x)在[1，e]上单调递增，在(e，4]上单调递减， 且f(1)＝0，f(4)＝>0， ∴f(x)的最大值为f(e)＝＝， f(x)的最小值为f(1)＝0． 答案：　0 6．某工厂需要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________． 解析：设长、宽分别为a、b，则ab＝512，且l＝a＋2b， ∴l＝2b＋，∴l′＝2－， 令l′＝0得b2＝256，∴b＝16，a＝32． 即当长、宽分别为32 m、16 m时最省材料． 答案：32 m，16 m 7．求下列函数的最值． (1)f(x)＝sin x＋cos x，x∈； (2)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈ [－2，＋∞)． 解析：(1)f′(x)＝cos x－sin x． 令f′(x)＝0，即tan x＝1， 且x∈， 所以x＝． 又因为f＝，f＝－1， f＝1， 所以当x∈时，函数的最大值为f＝，最小值为f＝－1． (2)f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0， 得x1＝－2，x2＝． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －2 f′(x) 0 － 0 ＋ f(x) 57 单调递减 极小值－ 单调递增 由于当x>时，f′(x)>0， 所以f(x)在上单调递增． 因此，函数f(x)在[－2，＋∞]上只有最小值－，无最大值． 8．已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切． (1)求a，b的值； (2)求f(x)在上的最大值． 解：(1)f′(x)＝－2bx(x>0)． 由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切， 得，即 解得 (2)由(1)，得f(x)＝ln x－x2，定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝－x＝． 令f′(x)>0，得0<x<1， 令f′(x)<0，得x>1， 所以f(x)在上单调递增，在(1，e ] 上单调递减， 所以f(x)在上的最大值为f(1)＝－． [能力提升练] 9．(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(　　) A．f(x)>0的解集是{x|0<x<2} B．f(－)是极小值，f()是极大值 C．f(x)没有最小值，也没有最大值 D．f(x)有最大值无最小值 解析：选ABD　由f(x)>0得0<x<2，故A正确． f′(x)＝(2－x2)ex， 令f′(x)＝0，得x＝±， 当x<－或x>时，f′(x)<0， 当－<x<时，f′(x)>0， ∴当x＝－时，f(x)取得极小值， 当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确． 当x→－∞时，f(x)<0， 当x→＋∞时，f(x)<0，且f()>0， 结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确． 10．已知e是自然对数的底数，若函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 解析：选A　因为函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，所以f(x)＝ex－x＋a>0对一切实数x恒成立，即f(x)min>0．f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0，当x<0时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x＝0时，f(x)取得极小值即最小值，最小值为f(0)＝1＋a，所以1＋a>0，即a>－1，故实数a的取值范围为(－1，＋∞)． 11．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________． 解析：函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可． 答案：(－∞，2ln 2－2] 12．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：由f(x)＝＋2ln x， 得f′(x)＝， 又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)且a>0， 当0<x<时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0， 故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1，要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2，则a≥e． 答案：[e，＋∞) 13．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解：(1)由题设，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x)＝， 再由C(0)＝8，得k＝40， 因此C(x)＝． 而建造费用为C1(x)＝6x． 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－， 令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5，x＝－(舍去)． 当0≤x<5时，f′(x)<0， 当5<x≤10时，f′(x)>0， 故x＝5是f(x)的最小值点， 对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70． 所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． [素养拓展练] 14．设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)． (1)求g(x)的单调区间和最小值； (2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立． 解：(1)由题设知f′(x)＝，g(x)＝ln x＋， 所以g′(x)＝．令g′(x)＝0，得x＝1． 当x∈(0，1)时，g′(x)<0，故(0，1)是g(x)的单调递减区间； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间． 因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1． (2)由(1)知g(x)的最小值为1， 所以g(a)－g(x)<，对任意x>0成立 ⇔g(a)－1<，即ln a<1，得0<a<e， 所以实数a的取值范围为(0，e)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$