3.2.1 双曲线及其标准方程同步练（能力提升）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 1.设，是双曲线的两个焦点，O为原点，点P在C上且，则的面积为( ) A.7 B.3 C. D.2 2.已知双曲线的左、右焦点分别为，M为C的右支上一点，N为的中点，P为线段上一点，若（O为坐标原点），则( ) A.4 B.2 C.1 D. 3.如图是椭圆与双曲线的公共焦点，A，B分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则椭圆的长轴长是( ) A. B. C. D. 4.过椭圆右焦点F的圆C与圆外切，则圆C直径FQ的端点Q的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 5.已知双曲线的上、下焦点分别为，，过的直线l与双曲线C的上支交于A，B两点，若，则的周长为( ) A.14 B.12 C.10 D.8 6.过双曲线的右支上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为( ) A.10 B.11 C.12 D.15 7.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为( ) A.3 B. C. D. 8.已知F是双曲线的上焦点，点P是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为( ) A.11 B.9 C. D.5 9.（多选）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限内的一点，且，则( ) A. B. C. D.的面积为8 10.（多选）设方程，则下列说法正确的是( ) A.当时，方程C表示一条直线 B.当时，方程C表示圆 C.当时，方程C表示椭圆 D.当或时，方程C表示双曲线 11.（多选）已知点P在双曲线C：上，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则( ) A. B. C.点P到x轴的距离为4 D. 12.已知双曲线的右焦点为F，右支上有一动点P，若，则周长的最小值为______. 13.很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，可得方程的解为__________. 14.设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为__________. 15.如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且千米，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒（注：信号每秒传播千米）. （1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； （2）若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点的坐标，以及与监测中心O的距离； （3）若监测点C信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？ 答案以及解析 1.答案：B 解析：解法一：如图，由题意知，双曲线C的半焦距，则，因为，所以，从而，故. 解法二：因为，所以①，又点P在双曲线C上，所以②，由①②得，又双曲线C的半焦距，所以. 2.答案：C 解析：如图，连接，由双曲线方程可知.因为O为坐标原点，N为的中点，所以，，则. 3.答案：D 解析：方法一：设椭圆，由题意知，，所以解得若四边形为矩形，则，所以，则. 方法二：设椭圆的方程为，则，由题知，则在双曲线中，，在椭圆中，，所以，，即，所以椭圆的长轴长为. 4.答案：C 解析：由椭圆，得椭圆半焦距为，即有，则椭圆的左焦点为.如图，连接，由圆O与圆C外切，得，又，，则，因此Q的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，其中，，所以双曲线方程为. 5.答案：B 解析：如图，由题意可得，则，的周长为，由双曲线的定义可得，又，所以，所以的周长为12.故选B. 6.答案：B 解析：如图所示，双曲线的两焦点分别为，，连接，则.因为，，所以，当且仅当三点共线时等号成立，故选B. 7.答案：C 解析：设，则，.由双曲线的定义知，，，，解得.在和中，，由余弦定理得，解得，可得双曲线的焦距为.故选C. 8.答案：B 解析：由，得，，所以，所以上焦点，设下焦点为，则.连接，又，由双曲线的定义得， 由图知，当A，P，三点共线（P在线段上）时，取得最小值9.故选B. 9.答案：ABC 解析：由题意，知点P是双曲线与以为直径的圆在第一象限内的交点（如图所示），且，，，则，则，A，B正确；由得，C正确，，D错误. 10.答案：ABD 解析：选项A：当时，方程C化为，即，表示x轴，故正确. 选项B：当时，方程C化为1，表示以原点为圆心、1为半径的圆，故B正确. 选项C：当时，方程C化为，当时，方程表示圆，并非椭圆，故C错误. 选项D：当时，，，方程C化为，表示焦点在x轴上的双曲线； 当时，，，方程C化为，表示焦点在y轴上的双曲线，故D正确.故选ABD. 11.答案：BC 解析：由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则右焦点的横坐标为，由双曲线的定义可知，，故A错误； 设点，则，所以，故C正确； 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得，由双曲线的定义，得，所以，故B正确； 由余弦定理，得，所以，故D错误.故选：BC. 12.答案： 解析：由题知.设双曲线C的左焦点为，则.连接，因为点P在双曲线C的右支上，所以，即.因为，所以的周长为.当且仅当三点共线时，取得最小值，最小值为，所以周长的最小值为. 13.答案： 解析：由，可得，其几何意义为平面内一点与两定点，距离之差的绝对值为6，而平面内与两定点，距离之差的绝对值为6的点的轨迹是双曲线，设该双曲线的方程为（，），则，，，该双曲线的方程是.令，解得.故答案为. 14.答案：3 解析：由题意得双曲线中，，，则其焦点坐标，，不妨假设点P在第一象限，设，，其中，因为，则，根据勾股定理知，即，解得（负值已舍去），则，则的面积为.故答案为3. 15.答案：（1）（） （2）观察员遇险地点的坐标为，与监测中心O的距离为千米 （3）千米 解析：（1）设观察员可能出现的位置的所在点为. 因为A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒， 故， 故点P的坐标满足双曲线的定义. 设双曲线方程为，由题可知，， 解得，，， 故点P的轨迹方程为（）. （2）因为，，设AC的垂直平分线方程为， 则，则AC的垂直平分线方程为， 与（）联立可得，故，， 故观察员遇险地点的坐标为， 与监测中心O的距离为（千米）. （3）设轨迹上一点为，则. 又因为，可得， 代入可得， 当且仅当时，取得最小值. 故扫描半径r至少是千米. 学科网（北京）股份有限公司 $