3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 以“概念巩固-基础应用-综合拓展”分层设计，覆盖双曲线定义、标准方程及应用，通过北京同步考题强化知识迁移与数学思维，适配新授课“基础+适度提升”需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|单一概念（定义、标准方程）|填空/判断正误强化定义辨析（如定义条件分类填空）| |中档应用层|基础应用（焦点计算、参数范围）|单选聚焦方程应用（如焦点坐标求解、参数取值范围）| |综合提升层|综合拓展（轨迹推导、实际建模）|解答题结合轨迹讨论与实际问题（如铜斧双曲线建模）|

3.2.1双曲线及其标准方程同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫双曲线．其数学表达式：集合，，其中，为常数且，． （1）若______，则集合为双曲线； （2）若，则集合为______； （3）若______，则集合为空集． 【答案】 两条射线 2．双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 ________ ________ 焦点 ________ ________ 的关系 ______ 【答案】 ， ， 3．判断正误 （1）在双曲线标准方程中，，且．( ) （2）方程表示焦点在y轴上的双曲线．( ) （3）方程表示双曲线．( ) 【答案】 × × √ 【详解】（1）a，b可以相等，错误； （2）表示焦点在x轴上的双曲线，错误； （3）该方程为双曲线的一般式，正确. 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，据此可得答案. 【详解】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，其中实轴长为， 焦距长为，则虚轴长为：，则轨迹方程为： 2．（2025·北京·模拟预测）双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【答案】A 【分析】根据双曲线焦距可求出a的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线：，焦距为10， 故，则， 由，，得或， 结合，则M在双曲线左支上， 由于，故， 故选：A 3．（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合双曲线的标准方程，直接判断命题的充分性和必要性即可. 【详解】若，则， 所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 4．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示的双曲线特征，列相应不等式，即可求解. 【详解】由双曲线的焦点在x轴上， 可得，即m的范围为， 故选：D 5．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 6．（2026·北京通州·一模）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义及标准方程求解即可. 【详解】根据双曲线的定义可得，，，且焦点在轴上， 方程可化为. 此时，，则， 所以该双曲线的焦点为. 7．（2026高三·北京·阶段测试）已知动圆M与两圆和都外切，则动圆M的圆心轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．前三个答案都不对 【答案】B 【分析】根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可求圆心轨迹. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 设动圆圆心为，半径为r，则，且， 可得为定值，且， 所以动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支. 故选：B. 8．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（    ） A．1或9 B．3或7 C．9 D．7 【答案】C 【分析】由题知点在双曲线靠近的那支上，进而根据双曲线的定义求解即可； 【详解】解：由题知，， 因为在双曲线上，且， 所以，点在双曲线靠近的那支上，由双曲线定义知，故； 所以， 故选：C 9．（2026·北京·期末）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线定理及余弦定理可求. 【详解】由题设，双曲线的实半轴长，且， 因为，故在右支上且， 而，故， 由余弦定理可得：， 故选：C. 10．（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆和双曲线的定义和标准方程，结合余弦定理即可求解. 【详解】椭圆中，所以共同焦点，, 由椭圆的定义，得, 双曲线中，由双曲线的定义得， 不妨设，得， 在中，由余弦定理得. 故选：D. 二、填空题 11．（2026·北京海淀·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 【答案】7 【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，则， 由双曲线定义可得，即， 解得或（舍去）， 且，符合题意， 所以. 12．（25-26高二上·北京·期末）已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 【答案】/ 【分析】根据双曲线焦点在轴上，将双曲线方程转化为标准方程，再根据焦距为4，列式求解即可得到答案. 【详解】因为双曲线焦点在轴上， 将双曲线方程化为标准方程得， 又因为双曲线焦距为4， 则，解得. 故答案为：. 13．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，______. 【答案】 【分析】根据给定条件，确定点在双曲线上的位置，再利用双曲线的定义求解. 【详解】点在双曲线上，而，则点在该双曲线的左支上， 又，分别为该双曲线的左、右焦点，因此， 所以. 故答案为： 14．（24-25高二上·北京西城·期末）某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为_____cm. 【答案】 【分析】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求得双曲线方程，令，可求结论. 【详解】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意，，所以， 因双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 所以双曲线方程为，因为斧高12cm， 令，得，所以，解得， 所以，所以. 故答案为：. 三、解答题 15．（25-26高二上·北京·作业）如果过点的直线与过点的直线相交于点M，而且两直线斜率的乘积为a，其中． (1)求点M的轨迹方程； (2)讨论M的轨迹是何种曲线． 【答案】(1) (2) 当时，点M的轨迹方程为焦点在x轴，实轴为12，虚轴为的双曲线，且； 当时，点M的轨迹方程为焦点在x轴，长轴为12，短轴为的椭圆，且； 当时，点M的轨迹方程为焦点在y轴，长轴为12，短轴为的椭圆，且； 当时，点M的轨迹方程为以原点为圆心，半径为6的圆，且. 【分析】（1）设，根据题意，列出方程，化简即可得答案. （2）分别分析、、和时方程的性质，分析即可得答案. 【详解】（1）由题意得两直线斜率存在，且都不为0， 设点，则， 整理得：点M的轨迹方程为 （2）由（1）可得点M的轨迹方程为， 当时，点M的轨迹方程为焦点在x轴，实轴为12，虚轴为的双曲线，且； 当时，点M的轨迹方程为焦点在x轴，长轴为12，短轴为的椭圆，且； 当时，点M的轨迹方程为焦点在y轴，长轴为12，短轴为的椭圆，且； 当时，点M的轨迹方程为以原点为圆心，半径为6的圆，且. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $3.2.1双曲线及其标准方程同步练（北京专用) 教材知识梳理 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F,:F,的距离差的绝对值等于非零常数（小于F,F,》的点的轨迹叫双 曲线.其数学表达式：集合P=MMF-MF,=2aF,F2=2c,其中a:c为常 数且a>0,c>0. (1)若， 则集合P为双曲线： (2)若a=c,则集合P为： (3)若 ,则集合P为空集 2.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在X轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点 a,b,c的关 b2= 系 3.判断正误 （1)在双曲线标准方程艾-二-1中，a>0,b>0且a≠6（) 试卷第1页，共3页 (2)方程号兰=1表示焦点在轴上的双面线：() 23 (3)方程mX+ny=1mn<0)表示双曲线.（) 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(25:26高二下北京延庆期中)已知F,0,3?F,0,-3动点p满足 |PF1-PF2=4:则动点p的轨迹方程为() B.-=1y<0l 45 -=1x<0 c.45 D苦答1y0 2.(2025北京模拟预测)双曲线E:米-上=1Q>0焦距为10，左右焦点分别为F a-16 F,:M为B上一点满足MF,=7?则MF,=（） A.13 B.1或13 C.10 D.4或10 3.(2025北京朝阳一模)已知曲线C:mx-ny=1,则“n>m>0”是“C为焦点在x 轴上的双曲线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既 不充分也不必要条件 4.（24-25商二上北京大兴·期末)已知双曲线 y =1的焦点在x轴上，则实数 m-12-m 的取值范围是() A.（-00,1) B.(1,2 C.（1,+∞】 D.(2,+0） 5.(2026北京丰台一模)已知双曲线C的焦点为-22,0利22,0：虚半轴长为2 则C的标准方程为() 试卷第2页，共3页 A. xy- x2- 44 B241 C. -=1 y_x=1 44 D.124 6.(2026·北京通州一模)双曲线 m+3m+6 =1的焦点坐标为() A.±3,0 B.±3,0 C.0,±3 D.0,±3 7.(2026高三·北京阶段测试)已知动圆M与两圆x2+y=1和x+y2-6x+7=0都外切， 则动圆M的圆心轨迹是() A.双曲线 B.双曲线的一支C.抛物线 D.前三个答案都不对 8.(25-26高二上北京丰台期末)己知F1,F2是双曲线4-气=1的两个焦点，点P在双 曲线上，若PF=5则|PF,=（） A.1或9 B.3或7 C.9 D.7 9.(2026北京期末)已知F1,F2是双曲线x2-y2=1的左，右焦点，点P在双曲线上， |PF1=2PF2则cos∠F1PE,=() B. C. D. 4-5 0(25:26高三上：北京：期末)已知椭圆C:6+ -1与双线c:兰-1有共同 a220 的焦点EF,F,'p是C,与C,的-个公共点，则os∠F,PF,=（） A.2 B 二、填空题 1.(2026北京海淀一模)已知双曲线C:-上-1的左、右焦点分别为F1,下，若C 45 试卷第3页，共3页 上一点P满足|PF1=3:则|PF2= 12.(25-26高二上北京期末)已知双曲线 +y a-32-a =1，焦点在y轴上，若焦距为 4,则a等于 13.(25-26高二上·北京海淀·阶段检测)己知双曲线 -上=1的左、右焦点分别为F1, 45 F,:点p-3,m在双曲线上，PF1-PE2= 14.(24-25高二上·北京西城期末)某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边 呈双曲线形状.由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB 宽4cm,底部CD宽5cm,AB/∥CD,底部离最窄处垂直高度为3cm,斧高12cm.请利用所 学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为c cm D 三、解答题 15.(25-26高二上·北京作业)如果过点(6,0)的直线与过点(-6,0)的直线相交于点4， 而且两直线斜率的乘积为a,其中a≠0. (1)求点M的轨迹方程： (2)讨论M的轨迹是何种曲线. 试卷第4页，共3页