3.2.2 双曲线的简单几何性质 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 聚焦双曲线几何性质，以“概念梳理-性质应用-综合拓展”分层设计，通过北京同步考题巩固知识，培养数学抽象与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念梳理|标准方程、轴长、焦点等核心概念|表格填空与判断正误结合，强化抽象能力| |性质应用|焦距、离心率、渐近线等性质计算|北京区域考题（如海淀阶段检测），适配新授课基础目标| |综合拓展|等轴双曲线、实际情境（曲线狭缝玩具、3D打印塔筒）|结合空间几何与生活情境，培养模型观念与推理能力|

3.2.2双曲线的简单几何性质同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．双曲线的性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ______ ______ 轴长 实轴长______，虚轴长______ 焦点 ______ ______ 焦距 范围 或， ，或 对称性 对称轴为______，对称中心为______ 顶点 ______ ______ 渐近线 ______ ______ 离心率 ______ 【答案】 轴，轴 坐标原点 2．弦长公式 已知直线与双曲线交于两点，则_________ 【答案】 3．判断正误 （1）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( ) （2）以为渐近线的双曲线有2条．( ) （3）双曲线的离心率（其中）．( ) 【答案】 √ × × 【详解】（1）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔，正确； （2）以为渐近线的双曲线方程为，故有无数条，错误； （3）双曲线的离心率，错误. 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）双曲线的焦距为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】D 【分析】由双曲线方程明确，再利用求出，即可求出焦距. 【详解】由双曲线方程可知， 所以，即， 所以双曲线的焦距为. 故选：D 2．（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质判断即可. 【详解】因为为双曲线，所以，解得. 此时，双曲线方程可改写为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于A，第一个双曲线顶点为，第二个双曲线顶点为，只有当时，顶点相同，A错误. 对于B，两者焦点均为，B正确. 对于C，第一个双曲线虚轴长为，第二个双曲线虚轴长为2，只有当时，虚轴长相等，C错误. 对于D，第一个双曲线离心率为，第二个双曲线离心率为，只有当时，离心率相等，D错误. 3．（2026·北京顺义·一模）若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】对椭圆，因为，且，所以椭圆的焦点坐标为. 对双曲线： ，其中，所以，. 又椭圆与双曲线焦点相同，所以. 所以双曲线的离心率为：.故选项C正确. 4．（24-25高二上·北京怀柔·期末）双曲线：的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】首先求出右焦点坐标与渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算可得. 【详解】双曲线：的右焦点, 渐近线方程为，即， 所以右焦点到其渐近线的距离. 故选：B 5．（2026·北京朝阳·一模）设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图所示，由双曲线方程可知，， 则其右焦点的坐标为，渐近线方程为， 取其中一条渐近线，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为， 则右焦点到该渐近线的距离为，且为直角三角形，， 所以， 因此. 6．（2026·北京房山·二模）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点轨迹是以、为焦点的双曲线的右支， 由题意得：且，即得，， 所以双曲线为，其中， 设直线的方程为，联立，消去得， 因，则，即得，则，解得：. 7．（2026·北京西城·二模）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到右顶点为，及其中一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算． 【详解】解：双曲线，则右顶点为， 由对称性，不妨取其中一条渐近线，方程为，即， 则右顶点到其渐近线的距离为． 8．（25-26高三上·北京海淀·期末）双曲线的实轴长为2，且双曲线经过点，则该双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，进而分焦点在轴上、焦点在轴上两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，双曲线的实轴长为2，则，即， 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 因为双曲线经过点，所以，无解； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 因为双曲线经过点，所以，解得， 则双曲线的方程为. 故选：D 9．（25-26高二上·北京·期中）已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出双曲线的半焦距，再求出渐近线，即可推导出是等腰直角三角形，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】因为等轴双曲线的实轴长为， 则双曲线的半焦距， 所以双曲线方程为，则渐近线方程为， 则，所以， 由，即为的中点，又为的中点， 所以，则，， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：C 10．（24-25高二上·北京·期末）如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过斜杆与圆盘所成角以及斜杆与特定边的距离，求出渐近线与某一坐标轴的夹角，从而得到渐近线斜率，再根据双曲线标准方程中渐近线斜率与参数的关系，确定合适的双曲线方程. 【详解】已知斜杆与圆盘所成角为，那么斜杆与竖屏（即与竖屏所在平面）所成角为. 则渐近线与轴正方向夹角为，所以渐近线斜率， 双曲线的标准方程为：，可知，所以. 所以双曲线的方程为， 观察选项，只有满足. 故选：B. 二、填空题 11．（25-26高三上·北京·开学考试）已知双曲线的一条渐近线经过点，则______，的离心率为______． 【答案】 0 【分析】将点代入双曲线的渐近线方程求得，即可求解和离心率. 【详解】已知双曲线的一条渐近线经过点， 则点在渐近线上，所以，即， 所以，. 故答案为：0； 12．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）设双曲线的左右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为________；C的渐近线方程为________． 【答案】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率及渐近线方程. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以，渐近线方程为. 故答案为：；. 13．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）双曲线的离心率为2，且过点，则双曲线的方程为______． 【答案】 【分析】根据双曲线上的点和离心率列式求的值，确定双曲线的方程. 【详解】因为双曲线过点， 则有①， 又离心率为2，则②， 由①②可得，，， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 14．（25-26高三下·北京通州·开学考试）已知双曲线的离心率为，则双曲线两条渐近线的夹角的大小为________． 【答案】 【分析】通过双曲线的离心率，求得渐近线斜率，即可求解. 【详解】由离心率定义 ，平方得 ， 又，代入得 ，解得 即双曲线的渐近线为 ，两条渐近线的倾斜角分别为和， 又直线夹角定义为不大于的角， 因此夹角为 . 15．（24-25高二上·河北沧州·阶段检测）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为__________cm. 【答案】/ 【分析】根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系.由题意该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，所以双曲线过点和，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径. 【详解】 以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 设双曲线方程为，由已知可得，且， 所以，即，所以双曲线方程为. 由题知该塔筒的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm， 所以双曲线过点 和，代入双曲线方程得： ，解得：. 所以，即喉部（最细处）的直径为 cm. 故答案为：. 三、解答题 16．（24-25高二上·北京·阶段检测）曲线且 (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当，点在曲线上，且点在第一象限，，求点的横坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用双曲线方程的特征，列式求解即得. （2）把代入，设出点的坐标，利用给定条件建立方程组求解. 【详解】（1）由曲线表示双曲线，得，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，双曲线：，设点， 由，且，得， 则，整理得，又， 联立消去得，解得， 所以点的横坐标为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $3.2.2双曲线的简单几何性质同步练（北京专用) 教材知识梳理 1.双曲线的性质 焦 点 的 焦点在x轴上 焦点在y轴上 位 置 y 图 形 B B2主 A F 标 准 方 程 轴 实轴长A,A一，虚轴长B,B, 长 焦 点 焦 FF2=2c 距 范 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 围 对 对称轴为 对称中心为 试卷第1页，共3页 称 性 顶 点 渐 近 线 离 心 e= 率 2.弦长公式 己知直线y=+m与双曲线E:-兰=1a>0,b>0交于AK1,MBK,y两点，则 AB= 3.判断正误 (1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔.( (2)以y=±2x为渐近线的双曲线有2条.( (3)双曲线x2y2 b2 =1a>0,b>0)的离心率e=8(其中。=a+62),( a 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.（25-26高二上北京海淀阶段粒测)双曲线式- =1的焦距为() 2016 A.2 B.4 C.6 D.12 2《2026北京大兴模双陶线 +广=1与双曲线x2-y=1的（） 试卷第2页，共3页 A.顶点相同 B.焦点相同 C.虚轴长相等 D.离心率相等 3.(2026北京顺义一模)若双曲线C:X-y=15与稀圆丈+片=1的焦点相同，则 259 双曲线C的离心率为（) 4 A.15 B.4 c.4/15 D.4 15 4.（24-25高二上北京怀柔期末)双曲线C:×- -=1的右焦点F到其渐近线的距离为 169 () 4V7 B.3 D. 3V7 A.4 5 5.(2026北京朝阳一模)设点0为坐标原点，过双曲线-y=1的右焦点下作其一条 渐近线的垂线，垂足为点D,则tan∠DFO=() A.3 B. 3 C.2 3 6.(2026北京房山二模)已知M(-2,0),N(2,0),点P满足PM-PN=2,O 为坐标原点，则直线PO的斜率的取值范围是() A.-o,-1U1,+0 B.-1,1 C.-0,-1U1,+∞ D.-1,1 。(2026北京西城，二模)双曲线X-号=1的右顶点到其新近线的距离为() 3 A.1 B.V2 3 2 C. 2 D.2 8.(25-26高三上·北京海淀·期末)双曲线的实轴长为2，且双曲线经过点1,2，则该双曲 线的方程可以为() A.x2-y2=1 B.5x2-y2=1 c首号1 D.y2-3x2=1 9.(25-26高二上·北京期中)已知等轴双曲线的实轴长为2aa>0,左、右焦点分别为 F1,F2,过点F1的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于A,B两点，且 试卷第3页，共3页 |F1A=AB:则|BF,=(） C.a D.V2a 10.(24-25高二上·北京·期末)如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏 垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转 动.当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以 这个玩具被称为曲线狭缝玩具.若斜杆与圆盘所成角的大小为60°，斜杆与过底面圆心且 与底面垂直的边的距离为1cm,则合适孔隙的曲线方程可能是() A.X2-义=kk>0 B.X-兰=kk>0 3 C号-保0 二、填空题 1,(25-26高三上北京开学考试)已知双曲线W:X-少=1的一条渐近线经过点 a2 b 1,1,则a2-b2=,W的离心率为 22s26高北京西玻阶段孩D设双践c。10>0.6>0的左右生点 分别为F,?F,过F,作平行于y轴的直线交C于A,B两点，若F,A=13:AB=10' 则C的离心率为 ；C的渐近线方程为 区2526商上家东城阶玫检》双段C名的离心率为2，过安 试卷第4页，共3页 2,3 则双曲线的方程为 14.(25-26高三下北京通州开学考试)已知双曲线父-上=1(a>0,b>0)的离心率为 a2 b2 23 3 则双曲线两条渐近线的夹角的大小为 15.(24-25高二上·河北沧州·阶段检测)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数 字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物 体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为10的双曲 线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，己知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表 面计算)的上底直径为4cm,下底直径为6cm,高为9cm,则喉部（最细处）的直径为 cm. 三、解答题 16.(24-25高二上·北京·阶段检测)曲线C: x2+y2 =1(m≠-3且m≠1) 3+mm-1 (1)若曲线C表示双曲线，求m的取值范围： (②)当m=0点p在曲线C上，且点p在第-象限，F,-2,0,F,2,0l,PE1⊥PF,:求点 P的横坐标 试卷第5页，共3页