3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档综合、拓展应用三层设计，实现抛物线几何性质从单一知识点到跨模块综合应用的递进，强化数学思维与逻辑推理，培养应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线定义、焦点、准线|如第2题直接考查焦点坐标，强化概念理解| |中档层|抛物线与圆、中点坐标综合|如第3题结合圆的切线长，提升运算能力| |综合层|抛物线与双曲线、实际问题|如第7题隧道截面问题，体现数学眼光观察现实世界|

3.3.2 抛物线的简单几何性质课后同步练习 1．（25-26高二下·重庆·期末）点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2026·陕西渭南·三模）已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 3．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．4 B．6 C．5 D．4 4．（25-26高二下·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知双曲线，抛物线.若与在第一象限内有唯一交点，则点的轨迹是（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 6．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 8．（2026·重庆·模拟预测）（多选）若，则方程表示的图形可能为（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 9．（2026·安徽·模拟预测）（多选）在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于底面），则下列说法正确的是（   ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为 D．双曲线的离心率为 10．（2026·山东烟台·二模）（多选）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为和的一个公共点，则（   ） A． B．的离心率为2 C． D．点到的两条渐近线的距离之和为 11．（26-27高三上·福建福州·开学考试）若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 12．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 13．（2026·吉林长春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 14．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形． 15．（2026·山东·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为 上一点，当 轴时， . (1)求 的方程: (2)当 在 上运动时，直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值，求 的值. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质课后同步练习 1．（25-26高二下·重庆·期末）点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】焦点，准线方程为， 分别过作轴的垂线，垂足为， 则， 等号成立时三点共线， 故到轴的最短距离为 2．（2026·陕西渭南·三模）已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据已知条件求出点A、F的坐标，代入两点间的距离公式即可得解. 【详解】点在抛物线上，，则， 又抛物线：的焦点，故． 3．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．4 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】易知是抛物线的焦点，根据切线长求得 ，结合抛物线的定义可得点P到M的准线的距离. 【详解】抛物线的焦点为，即为圆心. 设切点为Q，则， 则. 由抛物线的定义知，点P到M的准线的距离为4. 4．（25-26高二下·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 5．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知双曲线，抛物线.若与在第一象限内有唯一交点，则点的轨迹是（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】A 【分析】联立双曲线与抛物线方程得0，利用求出点的横坐标即可得答案. 【详解】因为与在第一象限内存在交点，所以， 又，所以.联立得0， 由对称性可知与在第四象限的交点的横坐标与点的横坐标相等， 故仅有一解，所以，得， 所以.将代入得， 所以点的横坐标为，纵坐标为， 则，轨迹是圆的一部分. 故选：A. 6．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 7．（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【答案】B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线方程，然后计算两车相邻行驶时，最左侧车身对应的抛物线上点的纵坐标，由此可得结论. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    8．（2026·重庆·模拟预测）（多选）若，则方程表示的图形可能为（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【答案】CD 【分析】根据的范围分类讨论，注意结合抛物线的定义判断． 【详解】表示动点到定点的距离，记为. 根据点到直线的距离公式，表示动点到定直线，记为. 因此. 当定点不在定直线上，即，也就是，根据抛物线的定义，轨迹是抛物线. 当定点在定直线上，即，此时满足条件的点的轨迹是过且垂直于的直线. 9．（2026·安徽·模拟预测）（多选）在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于底面），则下列说法正确的是（   ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为 D．双曲线的离心率为 【答案】ABC 【分析】利用平面几何知识可判断AB，建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】对于A，底面半径为，圆锥高．为的中点，所以截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，故A正确； 对于B，如图1，在圆锥的轴截面中，作于点，则，， 所以椭圆的长轴长，故B正确； 对于C，如图2，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为原点，为轴，在平面中建立平面直角坐标系如图2， 则，，所以，设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的焦点到准线的距离为，故C正确； 对于D，如图3，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等， 且在轴上，则，双曲线与底面圆的一个交点为， 设双曲线方程为，则，将代入双曲线方程得，解得，所以， 故双曲线的离心率为，故D错误． 10．（2026·山东烟台·二模）（多选）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为和的一个公共点，则（   ） A． B．的离心率为2 C． D．点到的两条渐近线的距离之和为 【答案】BCD 【分析】先根据双曲线的性质求出其右焦点坐标，进而得到抛物线的p值，再根据抛物线和双曲线的定义及性质逐一分析选项即可. 【详解】因为双曲线 为标准形式 ， 其中 ，，则，所以，则 双曲线的右焦点坐标为. 选项A，由 的焦点为 ，由题意，，解得，故A错误； 选项B，由上分析，的离心率为，故B 正确； 选项C，联立，解得 或（不合题意舍去）， 即，则 ，故C 正确； 选项D，由上分析，易得双曲线 的渐近线方程为 ， 由对称性，可取点Q 为 ，该点到两条渐近线的距离分别为，， 所以，故D 正确. 11．（26-27高三上·福建福州·开学考试）若圆与抛物线：（）的准线相切，则抛物线的方程为_________． 【答案】或 【分析】求出抛物线的准线方程，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质列方程求解参数，即可得到抛物线方程. 【详解】圆的圆心为，半径. 抛物线（）的准线方程为. 由题意知，圆心到抛物线准线的距离等于圆的半径，即，化简得， 解得或. 所以抛物线的方程为或. 12．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据题意，写出坐标，分别根据和列出两个等式，联立两个等式直接求出． 【详解】 设，则，， 由，得①， 由，得， 即②， 联立①②，解得，． 13．（2026·吉林长春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】由题设得，作抛物线的准线于，结合抛物线的定义确定三角形周长的最小值. 【详解】由抛物线的焦点为，则，即， 作抛物线的准线于，则，且， 所以周长为， 结合图知，当且仅当共线，即时周长最小， 所以. 14．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)设，分两类情况： 第一种：直线垂直于轴，其方程为， 联立，解得，     此时， 所以，是直角三角形； 第二种：直线不垂直于轴， 设直线，联立得， ， 由韦达定理得， ， 即， 因为， 所以，所以为直角三角形． 【分析】（1）利用抛物线的定义，将动点到定点与定直线距离相等的关系直接转化为抛物线的轨迹方程. （2）分类讨论直线的斜率，通过联立直线与抛物线方程并借助韦达定理得到向量数量积为零，以此证明即可. 【详解】（1）由抛物线定义可知，点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 设的方程为：，则，即， 所以动点的轨迹的方程为. （2）略 15．（2026·山东·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为 上一点，当 轴时， . (1)求 的方程: (2)当 在 上运动时，直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值，求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求点坐标，利用抛物线的定义即可求解； （2）设，进而得以为直径的圆的圆心为的坐标，求弦长，进而求解. 【详解】（1）当 轴时，，所以， 所以点坐标为 ， 因为，所以， 所以的方程为； （2）设，而,则以为直径的圆的圆心为， 设圆心到直线的距离为，圆的半径为， 则， ， 设直线被以为直径的圆所截得的弦长为， 则 ， 因为当 在 上运动时，直线 被以 为直径的圆所截得的弦长为定值， 所以 ，得 ，此时即， 即此时弦长为定值 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $