广东深圳外国语学校高中部2026-2027学年高三“校长杯”第三届数学能力大赛

深圳外国语学校高中部“校长杯”第三届数学能力大赛 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 集合的子集共有（ ）个. A. 4 B. 16 C. 64 D. 256 2. 直线和交于点，则过点、的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为两个随机事件，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若独立，则 C. 若独立，则 D. 若互斥，则 5. 已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（ ） A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 设直线系，对于下列四个命题，正确的是（ ） A. M中所有直线均经过一个定点 B. 不存在定点P不在M中的任一条直线上 C. 对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 的面积为12 C. 当最小时， D. 点P到直线距离的最大值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 B. 若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D. 过两点的直线方程为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点，使得直线与所成的角为 B. 存在点，使得平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 存在点，使得直线平面 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知在棱长为3的正方体中，点是底面ABCD内的动点，点为棱BC上的动点，且，则的最小值为______. 13. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________. 14. 已知以为圆心的圆及其上一点，设满足：存在圆上的两点和，使得，则实数的取值范围为___________． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 16. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）若每位面试者都必须回答全部3道题，求甲答对3道题目的概率． （2）若每位面试者都必须回答全部3道题，求乙恰好答对2道题目的概率． （3）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 18. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 19. 蔓叶线是古希腊数学家Diocles在公元前180年为了解决倍立方问题发现的曲线．蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如下图所示．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，圆，点M是直线上在第一象限内的任一点，直线OM交圆A于点N（N与O不重合），第一象限内的点P在直线OM上，且满足，如下图所示．已知一蔓叶线C的方程为． （1）求蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围； （2）证明：点P在蔓叶线C上； （3）设直线与蔓叶线C交于不同的三点R，S，T，且直线的斜率之和为2025，证明：直线g过定点． 参考公式：法国数学家弗朗索瓦·韦达提出了三次方程的韦达定理：若是关于x的一元三次方程的三个根，则． 深圳外国语学校高中部“校长杯”第三届数学能力大赛 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】BCD 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）或 （2）， 【16题答案】 【答案】（1）； （2）. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 【18题答案】 【答案】（1）因为，，，易得，所以，即， 又因为平面，平面，所以， ，平面，平面，所以平面. （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：设，已知直线OM的方程为，联立圆A的方程， 整理得 设，由，及，得 将代入右端，右端； 将代入左端，左端 方程左端等于右端．所以点P的坐标满足蔓叶线方程，点P在蔓叶线C上． （3）证明：，消y，得， 设，则 ， 所以，所以，即直线恒过. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $