第五章 二次函数（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材北师大版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第五章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 2．将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法，将二次函数的一般式转化为的形式，对比选项得到结果． 【详解】解：． 3．二次函数的图像不经过（     ） A． 第一象限 B． 第二象限       C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】C 【分析】先求得抛物线的对称轴为，顶点坐标为，即必经过第四象限；再求出与y轴的交点坐标为，则必经过第一、二象限，从而完成解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴抛物线必经过在第四象限， 当时，，即抛物线与y轴的交点坐标为， ∴抛物线必经过在第一、二象限， ∴二次函数的图像不经过第三象限． 4．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线对称轴，结合开口方向，通过比较三点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线． ∵，抛物线开口向上， ∴点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； ∵， ∴． 5．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．与轴有两个不同的交点 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合二次函数图象性质判断各选项. 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； ∴A、B选项错误； 令，则，解得， ∴抛物线与轴只有一个交点，C选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项正确. 6．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 7．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 8．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 9．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入抛物线解析式，得到，则，又，则可知杯子高度． 【详解】解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 10．如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，下列结论错误的是（     ） A．菱形的边长为 B．自变量的取值范围为 C．与之间的函数图象是抛物线的一部分 D．的最小值为 【答案】C 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理建立与的数量关系，结合函数图象读取关键点坐标逐一判断． 【详解】解：A、设菱形边长为，由菱形对角线互相垂直平分可知， 即． 由图3可知，当时，， 代入得， 解得， 故A正确． B、由图3可知，的取值范围为， 故B正确． C、由可知，，图象不是抛物线， 故C错误． D、当时，取得最小值， ， 解得， 故D正确． 故答案为C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 【答案】 【分析】根据二次函数中自变量的最高次项次数为2且二次项系数不能为0来分析即可． 【详解】解：∵，计算得， ∴； 又∵，即， ∴． 12．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】二 【分析】根据二次函数的图象开口方向判断的正负，根据对称轴的“左同右异”判断的正负，根据的图象与轴的交点判断的正负，从而可以判断一次函数的图象经过哪几个象限，进而可得答案． 【详解】解：由二次函数的图象可得， ，，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 13．当时，函数有最大值______． 【答案】4 【分析】对二次函数配方得到对称轴和顶点坐标，判断顶点横坐标在给定自变量区间内，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值． 【详解】解：先对函数配方得 ∵ 二次项系数 ∴ 二次函数图象开口向下，函数在顶点处取得最大值 ∵ 顶点横坐标为， 满足，即顶点横坐标在给定自变量范围内， ∴ 函数的最大值为． 14．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 【答案】 4 【分析】将给定二次函数配方为顶点式，二次项系数小于0，开口向下，顶点横坐标即为所求引爆时间． 【详解】解：， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为18， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 15．已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 【答案】 【分析】将、两点坐标代入二次函数解析式，求出和的值得到完整解析式，再求函数与轴的交点坐标，最后计算的长度． 【详解】解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得，， ∵点坐标为， ∴另一个交点坐标为， ∴的长为． 16．直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上，若三角形的面积为，求点的坐标____________． 【答案】或或 【分析】作出图象，首先求得线段的长，然后利用面积求得点P的纵坐标，从而求得点P的坐标． 【详解】解：如图， 令， 解得：， ∴， ∴， 设点 ∴， 解得：或4， ∴或， ∴P点的坐标为或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知抛物线的对称轴是直线． (1)求的值； (2)求出抛物线上纵坐标为6的点的坐标． 【答案】(1) (2)纵坐标为6的点的坐标为和 【分析】（1）把代入抛物线的对称轴公式即可求出的值； （2）由（1）知，可得抛物线的解析式为，把代入即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线 ， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， 纵坐标为6的点的坐标为和． 18．已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 【答案】(1) 证明：令，得方程， ∵ ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与轴必有两个交点． (2) 的值为或． 【分析】（1）计算抛物线对应一元二次方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用y轴上点的横坐标为0的性质，代入两个函数解析式令函数值相等，列方程求解m． 【详解】（1）略 （2）解：∵抛物线与直线的一个交点在轴上， ∴该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ∴， 整理得， 解得，， 综上所述，的值为或． 19．如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． (1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 【答案】(1) (2)乒乓球发球器此次发出的球无效， 由题意可知点A的横坐标为1.4， 当时，， ， 乒乓球越过了球网． 令，则， 解得（舍去），． ， 乒乓球没有落在球台上． 综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效． 【分析】（1）由乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，设抛物线的函数表达式为，由发球点的高度为，得点C的坐标为，代入解方程求出a值即可． （2）先求得时的y值，可判断是不是越过球网；再求得时的x值，可判断是否落在球台上，进而可判断是否有效． 【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点C的坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）略． 20．已知二次函数． (1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象回答： ①当时，求的取值范围． ②当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）先对二次函数配方，再求出顶点、坐标轴交点，最后描点画出抛物线； （2）利用二次函数图像，观察图像在轴上方对应的自变量范围，再在指定自变量区间找到顶点处最大值，看区间端点的函数值，判断能否取到，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，与轴交点为，，与轴交点为， 图象略 （2）由图象可知，抛物线在轴上方的部分对应， ∴当时，； ∵当时，取最大值1， 当时，， 当时，， ∴结合图象可知：当时，． 21．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 22．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 23．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为，面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)矩形场地的总面积为，求出的值． (3)当为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)的值为12 (3)当时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64 【分析】（1）先表示出矩形的宽，再根据矩形的面积公式列式化简即可； （2）把代入表达式，得到一元二次方程，解方程，注意舍去不合题意的解； （3）把表达式先配方，写成顶点式，根据二次函数的性质，解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，垂直于墙的篱笆共有4段，总长为，所以矩形的宽为， 则S关于x的函数表达式为：； （2）当时，， 解这个方程得：， ， 不合题意，舍去， 的值为12； （3）由（1）得， 配方得：， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，S有最大值，最大值为64． 24．如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形停车场的最大面积为 【分析】（1）容易判断与都是等腰直角三角形，则，结合矩形的性质可得； （2）结合图形容易判断，解不等式即可； （3）利用矩形面积公式可得关于的二次函数，再结合二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，, ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． 25．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第五章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 3．二次函数的图像不经过（     ） A． 第一象限 B． 第二象限       C． 第三象限 D． 第四象限 4．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．与轴有两个不同的交点 D．当时，随的增大而增大 6．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 7．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 8．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 9．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 10．如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，下列结论错误的是（     ） A．菱形的边长为 B．自变量的取值范围为 C．与之间的函数图象是抛物线的一部分 D．的最小值为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 12．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 13．当时，函数有最大值______． 14．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 15．已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 16．直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上，若三角形的面积为，求点的坐标____________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知抛物线的对称轴是直线． (1)求的值； (2)求出抛物线上纵坐标为6的点的坐标． 18．已知抛物线． (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值． 19．如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． (1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 20．已知二次函数． (1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象回答： ①当时，求的取值范围． ②当时，的取值范围是________． 21．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 22．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 23．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为，面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)矩形场地的总面积为，求出的值． (3)当为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 24．如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 25．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第五章 二次函数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D D C C C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．二 13．4 14．4 15． 16．或或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线 ， 解得；..............3分 （2）解：由（1）得， 抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， 纵坐标为6的点的坐标为和．..............6分 18． (1)证明：令，得方程， ∵ ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴此抛物线与轴必有两个交点．..............3分 （2）解：∵抛物线与直线的一个交点在轴上， ∴该交点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线解析式，得， ∴， 整理得， 解得，， 综上所述，的值为或．..............6分 19． 【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点C的坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为（或）．.......3分 (2)乒乓球发球器此次发出的球无效， 由题意可知点A的横坐标为1.4， 当时，， ， 乒乓球越过了球网． 令，则， 解得（舍去），． ， 乒乓球没有落在球台上． 综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效．..............6分 20． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，与轴交点为，，与轴交点为， 图象..............3分 （2）由图象可知，抛物线在轴上方的部分对应， ∴当时，； ∵当时，取最大值1， 当时，， 当时，， ∴结合图象可知：当时，．..............6分 21． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为；.............3分 （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． ..............8分 22． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得；..............2分 （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6；..............5分 （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意．..............8分 23． 【详解】（1）解：由题意得，垂直于墙的篱笆共有4段，总长为，所以矩形的宽为， 则S关于x的函数表达式为：；..............2分 （2）当时，， 解这个方程得：， ， 不合题意，舍去， 的值为12；..............5分 （3）由（1）得， 配方得：， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，S有最大值，最大值为64．..............8分 24． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴；..............4分 （2）解：由图可知，, ∴， 解得；..............8分 （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为．..............12分 25． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y；..............3分 （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值；..............8分 （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或．..............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第五章二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数中，是二次函数的是() A.y=2x+1 B.y=- x2 C.y=x2-2 D.y=(x-1)2-x2 2.将二次函数y=r-4x+5化成y=a(x-h+k的形式为《) A.y=(x-2)}2-1 B.y=(x-2)}2+1 C.y=(x+2)}+1 D.y=(x+2)-1 3.二次函数少=r-3x+2 的图像不经过() A.第一象限 B.第二象限 。 C.第三象限 D.第四象限 4.已知 4(-）B(-2,为），C(-4,）在抛物线y=2r+8x-1上，则4，乃，为的大小关系是 () A.片<片<⅓ B.乃<乃<片 C.为<为< D.片<h<为 5.关于抛物线'=r-6r+9 下列说法正确的是() 9,0) A.顶点坐标为 B.对称轴是直线x=6 C.与x轴有两个不同的交点 D.当x>3时，y随x的增大而增大 6。若面数”=+2x+1“为带数)的图象与轴有交点，则“的取值范国是() A.a<1 B.a<1且a≠0 C.a≤1 D.a≤1且a≠0 117 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-x+bx+c 7.已知二次函数 的图象如图.其中b,c的值可能是() A.b=-3,c=1 B.b=1,c=-3 C.b=3,c=3 D.b=-3,c=-3 &,已知函数大-x-2与函数%：+的图家如图所示.若<乃，则自变量x的取值范围盟 A.-3<x<2 B.x>2或x<-3 C.-2<x<3 D.x<-2或x>3 9,小明以二次函数y=2r-4x+ 的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4, DE=3,则杯子的高CE为() A.14 B.11 C.6 D.3 10.如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形ABCD是菱形，边长固定不变，可通过调节 AC的长度改变千斤顶的高度BD.设AC的长度为xcm,千斤顶的高BD为心m,y与x之间的函数关系 如图3所示，下列结论错误的是() 217 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y/cm D 20 B 16 x/cm 图1 图2 图3 A.菱形的边长为l10cm B.自变量x的取值范围为0≤x≤16 C.y与x之间的函数图象是抛物线的一部分 D.BD的最小值为l2cm 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1,若y=(m-2)r2+3x-1是关于x的二次函数，则m的值为 12二次眉数++“白图家如图所示，则一次后敏=血+ 的图象不经过第象限. 13.当2≤x≤3 时，函数y=-2-2x+3 有最大值 14.一种礼炮的升空高度 (m)与飞行时间 (s) 的关系式是h=-+81+2.若这种礼炮在升空到最高点时 引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 15.已知二次画数)=++C的图象经过点4(-2,0)，B(,2) 该图象与x轴的另一个交点为C,则 AC的长为， y=-2 16.直线 与抛物线 交于、8两点，点厂在抛物线"=-心上，若三角形PB的面积为25 =-x2 求点P的坐标 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 317 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 共9小题，共72分) y=x2-bx+ 17.已知抛物线 的对称轴是直线x=2 (1)求b的值： (2)求出抛物线上纵坐标为6的点的坐标. 18,已知搅物线y=r-(2m-)x+m2-m (1)求证：此抛物线与x轴必有两个交点： (2)若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上，求m的值. 19.如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台OD的长约为2.8m,球网AB在球台OD 的中点处（点A是OD的中点），球网AB的高度约为0.15m,发球点的高度OC为0.5m,当乒乓球到OC 的距离为lm时，乒乓球离球台OD的最大高度是0.6m,BA⊥OD,CO⊥OD,设乒乓球距离发球点C的 x(m 水平距离为 ,乒乓球距离球台OD的竖直高度为(m),以OD所在直线为x轴，OC所在直线为y轴 建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线. C B D A 2.8 (I)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式： (②)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网AB并落在球台BD上），并说明理由」 =-x2+4x-3 20.已知二次函数 (1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象： 417 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 +-+-1-1-6 ---------- 1----- -3 -8-76-5.-4-3219123.4.5.6.78x 5 (2)根据图象回答： ①当y>0时，求x的取值范围。 ②当1≤x<4时，y的取值范围是 21.如图，在直角坐标系中，二次函数y=+2+4经过A(-4,0),B(0,4),C(4,4)三个点. (1)求该二次函数的解析式： (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D,求当点D坐标为何值时，△ABD的周长最小. 2.已知函数=-++c(山，c为常数)的图象经过点0-3)，（-6-3) (I)求b,c的值. (2)当-4≤x≤0时，求y的最大值 (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之差为9，求m的取值范围. 23.如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙 517 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (墙的长度为18m)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的 家禽，计划购买篱笆的总长度为32m,设矩形场地的长为m,面积为Sm2, 18m -xm (1)求S关于x的函数表达式. (2)矩形场地的总面积为60m,求出x的值. (3)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 24.如图，某酒店后面有一块梯形空地ABCD,其中AB=40m,CD=200m,∠C=∠D=45°，为缓解车 位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场E℉GH，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出， 矩形停车场的一边GH和空地的最长边CD重合，E、F分别在边AD、BC上，设EH=m,矩形停车场 EFGH的面积为Sm D H G (I)用含x的式子表示EF的长为_m: (2)EH的长x的取值范围是_： (3)求修建的矩形停车场EFGH的面积S的最大值， 25.如图，二次函数)=r+c+C的图象交x轴于点 (-3,0).B(1,0),交y轴于点C,点 (m,0)是x轴 上的一动点，PMLx轴，交直线AC于点M,交抛物线于点N. VA 备用图 617 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段AO上运动，如图，求四边形ANCB面积的最大值： (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形为菱形.若存在， 请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由 717