专题2.3 实数（6大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题2.3 实数 知识点1 无理数 　　1. 定义：无限不循环小数叫做无理数。必须同时满足“无限”和“不循环”两个条件的小数才是无理数。 　　2. 常见形式：一是开方开不尽的数的方根，如、；二是π及化简后含π的数，如π、、π+1；三是具有特殊结构的小数，如0.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）。 　　3. 易错提醒：带根号的数不一定都是无理数，如、是有理数；判断时应“一化简、二辨析、三判断”。 知识点2 实数的概念与分类 　　1. 定义：有理数和无理数统称为实数。一个实数不是有理数就是无理数。 　　2. 按定义分类 　　 　　3. 按性质符号分类 　　 　　分类要点：分类须遵循同一标准，做到不重不漏；0既不是正实数也不是负实数。 知识点3 实数的相关概念与性质 名称 表示 性质 相反数 实数a的相反数是-a 若a、b互为相反数，则；互为相反数的两个数绝对值相等 绝对值 |a| (a＞0)、0(a=0)、(a＜0)；任何实数绝对值都是非负数 倒数 a与互为倒数(a≠0) 若a、b互为倒数，则ab=1；正数倒数是正数，负数倒数是负数，0没有倒数 知识点4 实数与数轴上的点 　　1. 一一对应：实数与数轴上的点一一对应。每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都表示一个实数。 　　2. 表示无理数：利用正方形对角线长等几何构造，可在数轴上表示等无理数。 　　3. 大小比较：数轴上右边的点表示的数总比左边的大；正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数。 知识点5 实数的大小比较 　　1. 估算法：估算无理数的近似值后比较。 　　2. 平方（或立方）法：两个正数同时平方（或立方），比较结果。 　　3. 作差法：若，则a＞b；若，则a＜b；若，则a=b。 　　4. 作商法：适用于两个正数，若＞1，则a＞b；若＜1，则a＜b。 知识点6 实数的运算 　　1. 运算范围：实数范围内可进行加、减、乘、除、乘方及开方（含开立方和非负数的开平方）运算。 　　2. 运算法则：有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用；运算顺序与有理数相同，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 【基础必考题型】 【题型1】无理数的概念辨析与判断 1.核心知识点 　　无理数的定义与常见形式；区分有理数与无理数；化简后判断。 2.解题方法技巧 　　①按“一化简、二辨析、三判断”三步进行； 　　②化简后开方开不尽、含π、特殊结构小数为无理数； ③带根号不一定无理数，循环小数、有限小数是有理数。 【例题1】.（26-27八年级上·山东·期中）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）下列各数中，不是有理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式题1-3】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列说法正确的是（     ） A．无理数一定是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数一定是无理数 D．实数分为正实数和负实数 【题型2】实数的分类与概念理解 1.核心知识点 　　实数的两种分类标准；有理数、无理数、正实数、负实数的辨析。 2.解题方法技巧 　　①先化简成最简形式再分类； 　　②分清按定义分类和按性质符号分类； ③0既不是正实数也不是负实数，分类时不重不漏。 【例题2】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛               ｝ (2)无理数集合：｛               ｝ (3)正实数集合：｛               ｝ (4)负实数集合：｛               ｝ 【变式题2-2】.（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，， (1)有理数集合：{　　　　　　　　…}； (2)无理数集合：{　　　　　　　　…}； (3)分数集合：{　　　　　　　　…}； 【变式题2-3】.（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ， ， ， ， ， ， ， ， ， （相邻两个之间的逐次加） （1）整数集合：{ }； （2）正实数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 【题型3】求实数的相反数、倒数与绝对值 1.核心知识点 　　实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与计算。 2.解题方法技巧 　　①求相反数直接加负号，对和差形式先整体加括号再加负号； 　　②求绝对值先判断符号，负的取其相反数； ③求倒数分子分母互换，注意0没有倒数。 【例题3】.（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果，那么的相反数是__________，绝对值是__________． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·广东云浮·阶段检测）计算下列各题： (1)若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值； (2)若的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知的算术平方根是3，的立方根是，c是的倒数，求的平方根和立方根． 【题型4】估算无理数的大小范围 1.核心知识点 　　用夹逼法确定无理数所在范围；估算意识。 2.解题方法技巧 　　①找相邻整数使n²＜a＜(n+1)²，确定范围； 　　②对立方根用相邻立方数夹逼； ③结合运算判断最接近的整数。 【例题4】.（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）估计的值在哪两个整数之间（     ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．4与6之间 【变式题4-1】.（2026·江苏南通·中考真题）实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（     ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【变式题4-2】.（25-26八年级下·湖南湘西·期中）若，则有（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）估计的值（     ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 【培优高频题型】 【题型5】求无理数的整数部分与小数部分 1.核心知识点 　　整数部分与小数部分的概念；夹逼法求整数部分，相减得小数部分。 2.解题方法技巧 　　①先确定所在范围，得到整数部分n； 　　②小数部分等于； ③对含加减的式子，先算整体再分离整数与小数部分。 【例题5】.（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·贵州安顺·期末）阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·山东济宁·期末）阅读下列信息材料： 信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确； 信息：的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成得来的； 信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为； 根据上述信息，回答下列问题： (1)若的整数部分为m，小数部分为n，则________，________________； (2)已知，若x是整数，且，求y的值； (3)一张长方形信封的周长为，且长、宽之比为，小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，你认为小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【题型6】实数的大小比较 1.核心知识点 　　估算、平方（立方）、作差、作商等比较方法；正负实数比较规律。 2.解题方法技巧 　　①两个正数含根号可平方比较，负实数注意绝对值大的反而小； 　　②作差法判断差的符号； ③多个实数比较可在数轴上表示，右大左小。 【例题6】.（26-27八年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【变式题6-1】.（26-27八年级上·江苏·期中）完成下列各题 (1)填空：______；______； (2)当时，______（用“”填空）； (3)当时，求证：． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知、、是正实数． (1)若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． (2)若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·湖北武汉·期末）【理解】小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若，则；若，则；若，则． 下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较与的大小． 解： ， ． 【运用】 (1)比较与的大小； (2)比较与的大小． 【拓展】 (3)比较与的大小． 【压轴素养题型】 【题型7】实数与数轴的综合应用 1.核心知识点 　　实数与数轴一一对应；利用数轴表示无理数；数轴上点位置判断符号。 2.解题方法技巧 　　①由数轴点位置确定字母大小、正负及差的正负； 　　②、用于化简； 　　③结合正方形边长、弧长等几何构造表示无理数。 【例题7】.（25-26七年级下·广东肇庆·期末）探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【变式题7-1】.（25-26七年级下·河北邢台·期末）[综合与实践]实数与数轴上的点是一一对应的． 素材1：用面积为1的两个小正方形按如图1所示的方式可以拼成一个面积为2的大正方形； 素材2：如图2，以单位长度为边长画正方形，以点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，若点是原点，与正半轴的交点为，与负半轴的交点为． 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点! 已知网格中的小正方形的边长为1个单位长度，类比上面解决问题的思路，回答下列问题． (1)如图2，若点表示的数为，求点表示的数，并说明点在哪两个连续的整数之间？ (2)如图3，甲、乙两位同学通过剪拼得到了正方形，分别求出他们剪拼出的正方形的边长，并借鉴素材中的方法在如图4所示的数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不必写作法） 【变式题7-2】.（25-26七年级下·广东惠州·期末）阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式题7-3】.（25-26七年级下·山东滨州·期末）【教材再现】 如图，教材有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为________，它的边长为________； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________； 【纵向探变】 (3)如图，把个边长为的正方形排成一个长方形，将图的长方形进行剪裁，拼成一个大正方形．直接写出大正方形边长的值，在图中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙）． (4)若点表示实数，借助问题（3）作图，在数轴上，用圆规和无刻度直尺确定点（保留作图痕迹，不写作法）． 【横向应用】 (5)小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．他能否直接裁出这样的纸片？如果能，画出示意图，如果不能，说明理由． 【题型8】新定义型实数探究题 1.核心知识点 　　阅读理解新定义（如取整、完美方根数对、青一区间等）；迁移应用。 2.解题方法技巧 　　①读懂新定义，提取判定规则； 　　②把新定义转化为熟悉的实数、根式条件； 　　③逐项代入验证，判断正误并推理。 【例题8】.（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．若满足关系式：，求的“共同体区间”是（　　） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义：对任意实数表示不超过的最大整数，如，，．对数字227进行如下运算： ； ； ，这样对数字227运算3次后的值就为1，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为1，则数字1234经过（   ）次运算后的结果为1． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题8-2】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为__________；的相邻值为__________； (2)若实数x，y满足关系式：，求的相邻值． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·广东珠海·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数，则称无理数T的“知行区间”为，如，所以的知行区间为． (1)无理数的“知行区间”是______； (2)若其中一个无理数的“知行区间”为且满足，其中是关于x、y的方程的一组正整数解，求C值； (3)实数x、y、m满足关系式：，求m的算术平方根的“知行区间”． 易错点 　　1、误认为带根号的数都是无理数，或无限小数都是无理数，忽略化简和“不循环”条件。 　　2、实数分类标准混乱，把0同时归入正实数与负实数，造成重漏。 　　3、求绝对值时不判断符号，对负数直接去掉绝对值，未取相反数。 　　4、比较两个负实数大小时，误用“绝对值大的大”，应“绝对值大的反而小”。 　　5、化简直接写成a，忽略应写为|a|。 　　6、求无理数小数部分时，直接写小数形式的近似值，未用“无理数减整数部分”表达。 重点 　　1、掌握无理数的定义与常见形式，能准确判断一个数是有理数还是无理数。 　　2、掌握实数的两种分类方法，明确实数、有理数、无理数的关系。 　　3、理解实数与数轴上的点一一对应，会用数轴表示、比较实数。 　　4、掌握实数的相反数、绝对值、倒数的意义及实数运算的法则。 　　5、会用估算、平方、作差等方法比较实数大小。 难点 　　1、实数与数轴综合化简，结合去绝对值。 　　2、求无理数的整数部分与小数部分，解决含根式的复杂计算。 　　3、规律探究、新定义、跨学科情境题，把实际问题抽象为实数模型并综合运用。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 实数 知识点1 无理数 　　1. 定义：无限不循环小数叫做无理数。必须同时满足“无限”和“不循环”两个条件的小数才是无理数。 　　2. 常见形式：一是开方开不尽的数的方根，如、；二是π及化简后含π的数，如π、、π+1；三是具有特殊结构的小数，如0.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）。 　　3. 易错提醒：带根号的数不一定都是无理数，如、是有理数；判断时应“一化简、二辨析、三判断”。 知识点2 实数的概念与分类 　　1. 定义：有理数和无理数统称为实数。一个实数不是有理数就是无理数。 　　2. 按定义分类 　　 　　3. 按性质符号分类 　　 　　分类要点：分类须遵循同一标准，做到不重不漏；0既不是正实数也不是负实数。 知识点3 实数的相关概念与性质 名称 表示 性质 相反数 实数a的相反数是-a 若a、b互为相反数，则；互为相反数的两个数绝对值相等 绝对值 |a| (a＞0)、0(a=0)、(a＜0)；任何实数绝对值都是非负数 倒数 a与互为倒数(a≠0) 若a、b互为倒数，则ab=1；正数倒数是正数，负数倒数是负数，0没有倒数 知识点4 实数与数轴上的点 　　1. 一一对应：实数与数轴上的点一一对应。每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都表示一个实数。 　　2. 表示无理数：利用正方形对角线长等几何构造，可在数轴上表示等无理数。 　　3. 大小比较：数轴上右边的点表示的数总比左边的大；正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数。 知识点5 实数的大小比较 　　1. 估算法：估算无理数的近似值后比较。 　　2. 平方（或立方）法：两个正数同时平方（或立方），比较结果。 　　3. 作差法：若，则a＞b；若，则a＜b；若，则a=b。 　　4. 作商法：适用于两个正数，若＞1，则a＞b；若＜1，则a＜b。 知识点6 实数的运算 　　1. 运算范围：实数范围内可进行加、减、乘、除、乘方及开方（含开立方和非负数的开平方）运算。 　　2. 运算法则：有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用；运算顺序与有理数相同，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 【基础必考题型】 【题型1】无理数的概念辨析与判断 1.核心知识点 　　无理数的定义与常见形式；区分有理数与无理数；化简后判断。 2.解题方法技巧 　　①按“一化简、二辨析、三判断”三步进行； 　　②化简后开方开不尽、含π、特殊结构小数为无理数； ③带根号不一定无理数，循环小数、有限小数是有理数。 【例题1】.（26-27八年级上·山东·期中）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是无理数，故本选项错误； B、不是无理数，故本选项错误； C、是无理数，故本选项正确； D、，不是无理数，故本选项错误； 【变式题1-1】.（26-27八年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）下列各数中，不是有理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都属于有理数，进行解答，即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是无限不循环小数，不是有理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】先化简可化简的开方数，再逐一判断各数类型，统计无理数个数． 【详解】解：计算得，有理数有，0.257，，共3个； 无理数有，，，（每两个1之间0的个数依次加1），共4个． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列说法正确的是（     ） A．无理数一定是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数一定是无理数 D．实数分为正实数和负实数 【答案】A 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， ∴A选项说法正确； ∵无限小数包含无限循环小数与无限不循环小数，无限循环小数是有理数， ∴B选项说法错误； ∵举例，是有理数， ∴C选项说法错误； ∵实数分为正实数、0、负实数， ∴D选项说法错误 【题型2】实数的分类与概念理解 1.核心知识点 　　实数的两种分类标准；有理数、无理数、正实数、负实数的辨析。 2.解题方法技巧 　　①先化简成最简形式再分类； 　　②分清按定义分类和按性质符号分类； ③0既不是正实数也不是负实数，分类时不重不漏。 【例题2】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 【答案】(1)，，，（两个1之间依次增加一个7） (2)， (3)，， (4)，，（两个1之间依次增加一个7） 【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数； （2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数； （3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数； （4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数． 【详解】（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛               ｝ (2)无理数集合：｛               ｝ (3)正实数集合：｛               ｝ (4)负实数集合：｛               ｝ 【答案】(1)，， ， ，， (2)，； (3)， ， ，，； (4)， ，． 【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，负实数是小于0的所有实数；结合，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴有理数集合：｛，，，，，｝ （2）解：无理数集合：｛，｝ （3）解：正实数集合：｛，，，，｝ （4）解：负实数集合：｛，，｝ 【变式题2-2】.（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，， (1)有理数集合：{　　　　　　　　…}； (2)无理数集合：{　　　　　　　　…}； (3)分数集合：{　　　　　　　　…}； 【答案】(1)，，，， (2)， (3)，， 【分析】先化简，再根据有理数，无理数，分数的定义对各数逐一判断，即可完成分类． 【详解】（1）解： 有理数集合：{，，，，…}； （2）解：无理数集合：{，…}； （3）解：分数集合：{，，…}． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ， ， ， ， ， ， ， ， ， （相邻两个之间的逐次加） （1）整数集合：{ }； （2）正实数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 【答案】（）；（）；（）；（）；（） 【详解】解：先化简各数：，， （）整数包括正整数，零，负整数，符合条件的数为； （）大于的实数是正实数，符合条件的数为； （）小于的有理数是负有理数，符合条件的数为； （）无限不循环小数是无理数，符合条件的数为； （）大于等于的整数是非负整数，符合条件的数为． 【题型3】求实数的相反数、倒数与绝对值 1.核心知识点 　　实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与计算。 2.解题方法技巧 　　①求相反数直接加负号，对和差形式先整体加括号再加负号； 　　②求绝对值先判断符号，负的取其相反数； ③求倒数分子分母互换，注意0没有倒数。 【例题3】.（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性． （1）根据数轴上点的移动规律：左减右加的性质，进行计算即可； （2）根据互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性，列出关于，得到方程，求出，，从而求出答案． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x， ∵点A表示的数为，， ， ∴点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ， ∴，， 解得：，， ∴ ， ∴的平方根是． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果，那么的相反数是__________，绝对值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和相反数．根据相反数的定义即可求出；根据绝对值的性质判断出该数的正负即可求出答案． 【详解】解：的相反数是； ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·广东云浮·阶段检测）计算下列各题： (1)若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，求的值； (2)若的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知的算术平方根是3，的立方根是，c是的倒数，求的平方根和立方根． 【答案】(1)当时，原式；当时，原式 (2) (3)的平方根为，立方根为 【分析】（1）由题意可得，，，再分两种情况讨论得出答案； （2）先求出，，再求出代数式的值； （3）先根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，然后根据倒数的定义求出，最后求出立方根和平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， 原式， 当时，原式；         当时，原式； （2）解：∵， ∴， ∴整数部分为4，    ∴小数部分． ∵， ∴， ∴整数部分为3，          ∴， ∴； （3）解：的算术平方根是， ，即， ； 的立方根是， ． 把代入得：，即， ． c是的倒数， ， ． ∵8的平方根是，立方根是2， ∴的平方根是，立方根是2． 【题型4】估算无理数的大小范围 1.核心知识点 　　用夹逼法确定无理数所在范围；估算意识。 2.解题方法技巧 　　①找相邻整数使n²＜a＜(n+1)²，确定范围； 　　②对立方根用相邻立方数夹逼； ③结合运算判断最接近的整数。 【例题4】.（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）估计的值在哪两个整数之间（     ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．4与6之间 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（2026·江苏南通·中考真题）实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（     ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】通过比较13与相邻完全平方数的大小，确定的范围． 【详解】解: ∵ ，，， ∴ ， 即 ． ∴介于3和4之间． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·湖南湘西·期中）若，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ． 【变式题4-3】.（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）估计的值（     ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【培优高频题型】 【题型5】求无理数的整数部分与小数部分 1.核心知识点 　　整数部分与小数部分的概念；夹逼法求整数部分，相减得小数部分。 2.解题方法技巧 　　①先确定所在范围，得到整数部分n； 　　②小数部分等于； ③对含加减的式子，先算整体再分离整数与小数部分。 【例题5】.（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)４ 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b,然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：，； ∵，是的整数部分， ∴； （2）解：当，，时，． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根，立方根的定义解答，再根据确定答案； （2）先求出，再求出算术平方根，小数部分：，然后求出差即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， 解得； ∵， ∴整数部分； （2）解：，算术平方根为4， 小数部分：， 差值：． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·贵州安顺·期末）阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2)取无理数（答案不唯一），理由如下： ，，， ， ，的小数部分为， 的整数部分为，的小数部分为， 二者小数部分相等，符合要求． (3) 【分析】（1）通过平方数估算无理数取值范围，确定整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）利用“无理数加整数后小数部分不变”构造同小数部分的无理数； （3）分别表示出两个代数式的小数部分再相加，最后计算和的平方根． 【详解】（1）解：，，， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为； （2）略 （3）解：， ，， 的整数部分为，的整数部分为， ，， ， 的平方根为． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·山东济宁·期末）阅读下列信息材料： 信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确； 信息：的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成得来的； 信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为； 根据上述信息，回答下列问题： (1)若的整数部分为m，小数部分为n，则________，________________； (2)已知，若x是整数，且，求y的值； (3)一张长方形信封的周长为，且长、宽之比为，小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，你认为小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)4； (2) (3)小明不能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 理由如下：设长方形信封的宽为，则长为， 由周长公式得：，解得， ，即信封的宽小于正方形贺卡的边长， ∴贺卡无法不折叠放入． 【详解】（1）解：， ， （2）解：， ， 是整数，且， ，． （3）略 【题型6】实数的大小比较 1.核心知识点 　　估算、平方（立方）、作差、作商等比较方法；正负实数比较规律。 2.解题方法技巧 　　①两个正数含根号可平方比较，负实数注意绝对值大的反而小； 　　②作差法判断差的符号； ③多个实数比较可在数轴上表示，右大左小。 【例题6】.（26-27八年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对两个正根式作6次乘方，转化为有理数比较大小． （2）先比较立方根的大小，再推导负数的大小关系． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴，； ∵， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（26-27八年级上·江苏·期中）完成下列各题 (1)填空：______；______； (2)当时，______（用“”填空）； (3)当时，求证：． 【答案】(1)； (2) (3)证明：∵， ∴， ∴． 【详解】（1）解：；； （2）解：当时，， ∴； （3）略 【变式题6-2】.（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知、、是正实数． (1)若， ①求的取值范围； ②求的取值范围． (2)若，， ①小知识：当时，．请利用以上小知识，试判断与的大小关系并说明理由； ②利用①中的结论，试判断与4的大小关系并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）①可得，根据a、b都是正实数建立不等式组求解即可；②用含a的式子表示出b，进而用含a的式子表示出s，根据a的取值范围即可求出s的取值范围； （2）①根据，得到，再根据a、b、c都是正实数得到a的取值范围，利用作差法求出的符号即可得到答案；②同理可得，，则，据此可得结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵a、b都是正实数， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵、、是正实数， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②，理由如下： 同理可得，， ∴， ∵， ∴． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·湖北武汉·期末）【理解】小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若，则；若，则；若，则． 下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较与的大小． 解： ， ． 【运用】 (1)比较与的大小； (2)比较与的大小． 【拓展】 (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【详解】（1）解： ， ， ∴ （2）解： ∵ ∴ ， 可得 ∴ （3）解： 当，即时，差大于0 ∴ 当，即时，差等于0 ∴ 当，即时，差小于0 ∴ 【压轴素养题型】 【题型7】实数与数轴的综合应用 1.核心知识点 　　实数与数轴一一对应；利用数轴表示无理数；数轴上点位置判断符号。 2.解题方法技巧 　　①由数轴点位置确定字母大小、正负及差的正负； 　　②、用于化简； 　　③结合正方形边长、弧长等几何构造表示无理数。 【例题7】.（25-26七年级下·广东肇庆·期末）探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）求出正方形的边长可得结论； （2）根据正方形的对角线长为，求出点表示的数，可得结论． （3）利用分割法求出阴影部分的面积即可；再画出点即为所求． 【详解】（1）解：面积为2的大正方形的边就是原先边长为1的小正方形的对角线长， 小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， 点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：阴影部分的面积， 正方形的边长为． 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为，以该长度半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，图略 【变式题7-1】.（25-26七年级下·河北邢台·期末）[综合与实践]实数与数轴上的点是一一对应的． 素材1：用面积为1的两个小正方形按如图1所示的方式可以拼成一个面积为2的大正方形； 素材2：如图2，以单位长度为边长画正方形，以点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，若点是原点，与正半轴的交点为，与负半轴的交点为． 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点! 已知网格中的小正方形的边长为1个单位长度，类比上面解决问题的思路，回答下列问题． (1)如图2，若点表示的数为，求点表示的数，并说明点在哪两个连续的整数之间？ (2)如图3，甲、乙两位同学通过剪拼得到了正方形，分别求出他们剪拼出的正方形的边长，并借鉴素材中的方法在如图4所示的数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】(1)表示的数为：，点在0和1两个连续整数之间． (2)，，表示的点如下图所示： 【分析】（1）先利用勾股定理求出半径长度，因为点A表示-1且E在A右侧，所以点E的数为A表示的数加半径长；再通过估算无理数的大小，判断该数所在的连续整数区间。 （2）先数出剪拼前图形的面积，因为剪拼前后面积不变，所以正方形边长为面积的算术平方根，先构造长度为的线段，以数轴上表示的点为圆心、为半径画弧，因为，所以弧与数轴正半轴的交点即为表示的点． 【详解】（1）解：边长为1的正方形，由图1可得对角线长为，即， 已知点表示，点在点右侧，因此点表示的数为：， 估算：，则，因此点在0和1两个连续整数之间． （2）解：因为剪拼前后面积不变，每个小正方形面积为， 甲剪拼的正方形：原图形共5个小正方形，总面积为5，因此边长为， 乙剪拼的正方形：原图形共5个小正方形，总面积为，因此边长为， 由图3可知，构造直角边为1和2的直角三角形，得到斜边长， 以这个点为圆心、为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为点． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·广东惠州·期末）阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)① (2)①内部正方形的边长为；② 【分析】（1）分析材料即可； （2）①由图形面积之间的关系列方程求解即可； ②记的对应点为，1的对应点为，在数轴上方作以为底，为高的三角形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想， （2）解：①由题意得：， ， ∵是正方形的边长， ∴， ， 答：内部正方形的边长为． ②略 【变式题7-3】.（25-26七年级下·山东滨州·期末）【教材再现】 如图，教材有这样一个探究：把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为________，它的边长为________； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________； 【纵向探变】 (3)如图，把个边长为的正方形排成一个长方形，将图的长方形进行剪裁，拼成一个大正方形．直接写出大正方形边长的值，在图中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙）． (4)若点表示实数，借助问题（3）作图，在数轴上，用圆规和无刻度直尺确定点（保留作图痕迹，不写作法）． 【横向应用】 (5)小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．他能否直接裁出这样的纸片？如果能，画出示意图，如果不能，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，在图中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形如图 (4)点如图所示： (5)不能裁出这样的长方形纸片，理由如下： ∵长方形纸片的长与宽之比为， ∴设长方形纸片的长为，则宽为， 由题意可得， 解得， ∴长方形纸片的长为， ∵正方形纸片的面积为， ∴正方形纸片的边长为， ∵， ∴不能裁出这样的长方形纸片． 【分析】（1）根据网格特点并结合题意即可得出结果； （2）结合数轴即可得出结果； （3）由题意可得，长方形的面积为，故拼成的正方形的面积也为，从而得出正方形的边长为，即，再画出图形即可； （4）由（3）可得，以所在位置为圆心，为半径画弧交数轴于点，点即为所求； （5）设长方形纸片的长为，则宽为，由题意可得，求出长方形纸片的长为，再求出正方形纸片的边长为，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：所得到的大正方形面积为，它的边长； （2）解：由题意可得，小正方形的边长为，故对角线长为， 由图形可得，点表示的数为； （3）解：由题意可得，长方形的面积为， 故拼成的正方形的面积也为， ∴正方形的边长为，即； 图略； （4）解：由（3）可得， 以所在位置为圆心，为半径画弧交数轴于点， 图略； （5）略． 【题型8】新定义型实数探究题 1.核心知识点 　　阅读理解新定义（如取整、完美方根数对、青一区间等）；迁移应用。 2.解题方法技巧 　　①读懂新定义，提取判定规则； 　　②把新定义转化为熟悉的实数、根式条件； 　　③逐项代入验证，判断正误并推理。 【例题8】.（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．若满足关系式：，求的“共同体区间”是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，无理数的估算，利用非负数的性质可得，，即得，进而根据即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴的“共同体区间”是， 故选：． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义：对任意实数表示不超过的最大整数，如，，．对数字227进行如下运算： ； ； ，这样对数字227运算3次后的值就为1，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为1，则数字1234经过（   ）次运算后的结果为1． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先估算要被开方的数的取值在那两个整数之间，根据表示不超过a的最大整数计算，可得答案．本题考查估算无理数的大小，熟记1至36的平方，在初中阶段非常重要，在解决本题时可提高效率. 【详解】解：依题意，∵， ∴， 即， ∴第一次运算：， ∵， ∴， ∴第二次运算：， ∵， ∴， ∴第三次运算：， ∵， ∴， ∴第四次运算：， ∴数字1234经过次运算后的结果为1， 故选：B． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为__________；的相邻值为__________； (2)若实数x，y满足关系式：，求的相邻值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据，，结合相邻值的定义可得答案； （2）根据非负数的性质求出x、y的值，进而得到的值，再根据相邻值的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的相邻值为； ∵， ∴的相邻值为， ∴的相邻值为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的相邻值为； 【变式题8-3】.（25-26七年级下·广东珠海·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数，则称无理数T的“知行区间”为，如，所以的知行区间为． (1)无理数的“知行区间”是______； (2)若其中一个无理数的“知行区间”为且满足，其中是关于x、y的方程的一组正整数解，求C值； (3)实数x、y、m满足关系式：，求m的算术平方根的“知行区间”． 【答案】(1) (2)1或37 (3) 【分析】（1）只需要估算出的取值范围即可得到答案； （2）由是关于x、y的二元一次方程的一组正整数解，得到是一个完全平方数，，再由，可得满足题意的m、n的值，由此代入方程中进行求解即可； （3）先根据，，得出，进而得出，再根据“知行区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ， 无理数的“知行区间”是， 故答案为：； （2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数， 是关于x、y的二元一次方程的一组正整数解， ∴是正整数， 是一个完全平方数，， ， 满足题意的m、n的值为：或， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 综上所述，C的值为1或37； （3）解：实数x，y，m满足关系式：， ，， ， ， ， 即， ， 的算术平方根为， ， ， 的算术平方根的“知行区间”是． 易错点 　　1、误认为带根号的数都是无理数，或无限小数都是无理数，忽略化简和“不循环”条件。 　　2、实数分类标准混乱，把0同时归入正实数与负实数，造成重漏。 　　3、求绝对值时不判断符号，对负数直接去掉绝对值，未取相反数。 　　4、比较两个负实数大小时，误用“绝对值大的大”，应“绝对值大的反而小”。 　　5、化简直接写成a，忽略应写为|a|。 　　6、求无理数小数部分时，直接写小数形式的近似值，未用“无理数减整数部分”表达。 重点 　　1、掌握无理数的定义与常见形式，能准确判断一个数是有理数还是无理数。 　　2、掌握实数的两种分类方法，明确实数、有理数、无理数的关系。 　　3、理解实数与数轴上的点一一对应，会用数轴表示、比较实数。 　　4、掌握实数的相反数、绝对值、倒数的意义及实数运算的法则。 　　5、会用估算、平方、作差等方法比较实数大小。 难点 　　1、实数与数轴综合化简，结合去绝对值。 　　2、求无理数的整数部分与小数部分，解决含根式的复杂计算。 　　3、规律探究、新定义、跨学科情境题，把实际问题抽象为实数模型并综合运用。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $