专题2.1 平方根（5大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题2.1 平方根 知识点1 算术平方根 　　1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。规定：0的算术平方根是0，即。 　　2. 表示：非负数a的算术平方根记作，读作“根号a”。例如。 　　3. 性质：正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。 　　4. 双重非负性：算术平方根具有双重非负性，即被开方数，且。 　　5. 易错提醒：与含义不同，前者要求a为任意实数，后者要求a≥0。 知识点2 平方根 　　1. 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫做a的平方根，也叫做二次方根。 　　2. 表示：正数a的平方根记作，读作“正、负根号a”，其中表示a的算术平方根，表示a的负的平方根。0的平方根记作0。 　　3. 性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 　　4. 求平方根方法：先求出a的算术平方根，再根据“正数的两个平方根互为相反数”写出。 知识点3 算术平方根与平方根的对比 项目 算术平方根 平方根 定义 强调x是正数 未强调x是正数 个数 一个正数只有一个算术平方根，且为正数 一个正数有两个平方根，一正一负，互为相反数 表示 （a≥0） （a≥0） 联系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个；只有非负数才有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0 知识点4 开平方 　　1. 定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数。 　　2. 互逆关系：平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算检验开平方的结果是否正确。 　　3. 注意：开平方时被开方数a必须是非负数，即。被开方数越大，其正的平方根也越大。 知识点5 与的辨析 项目 含义 a的算术平方根的平方 a的平方的算术平方根 a的取值范围 a≥0 a为任意实数 运算结果 （a≥0） 【基础必考题型】 【题型1】算术平方根与平方根概念辨析 1.核心知识点 　　算术平方根与平方根的定义、个数、表示的区分；判断数学式子的正误。 2.解题方法技巧 　　①明确“一个正数的平方根有两个，算术平方根只有一个”； 　　②注意表示算术平方根，表示平方根； ③负数没有平方根，0的平方根和算术平方根都是0。 【例题1】.（25-26七年级下·北京·期中）下列说法中错误的是（   ） A．1的算术平方根是1 B． C．16的平方根是 D．的算术平方根是5 【答案】D 【详解】解：∵ ，正数的正平方根是它的算术平方根，∴ 的算术平方根是，A正确. ∵ ，∴ ，B正确. ∵ ，∴ 的平方根是，C正确. ∵ ，的算术平方根是，不是，∴ D错误. 【变式题1-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．的平方根是 B．任何有理数都有平方根 C．任何非负数都有两个平方根 D．一个正数的两个平方根的和等于0 【答案】D 【分析】本题考查平方根，根据平方根的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、的平方根是，故本选项的说法错误； B、负数没有平方根，故本选项的说法错误； C、0的平方根是0，只有一个，故本选项的说法错误； D、一个正数有两个平方根，它们互为相反数，它们的和等于0，故本选项的说法正确． 故选：D 【变式题1-2】.（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵是负数，∴没有平方根，故A错误； ∵0的平方根是0，∴0有平方根，故B错误； 的算术平方根是，符合算术平方根的定义，故C正确； ，的平方根是，不是，故D错误． 【变式题1-3】.（26-27八年级上·江苏常州·阶段检测）可以表示（     ） A．0.2的平方根 B．的算术平方根 C．0.2的算术平方根的相反数 D．的平方根 【答案】C 【详解】解：0.2的平方根应为，则A不符合题意， 没有算术平方根，则B不符合题意， 0.2的算术平方根的相反数为，则C符合题意， 没有平方根，则D不符合题意， 故选：C． 【题型2】求具体数的算术平方根 1.核心知识点 　　算术平方根的定义；正数、0、负数算术平方根的判断；带分数、小数、幂的变形。 2.解题方法技巧 　　①将带分数化为假分数，小数化为分数，再找一个正数x使x²=a； 　　②先化简底数为幂的形式，再求算术平方根； ③负数没有算术平方根，结果一定是非负数。 【例题2】.（2026·山东东营·中考真题）2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ，且， ∴ 2的算术平方根是． 【变式题2-1】.（26-27八年级上·江苏·期中）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．原式，该项错误； B．原式，该项错误； C．原式，该项错误； D．原式，该项正确． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广东茂名·期中）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的算术平方根为． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题需要先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解，注意明确需要求算术平方根的对象是的运算结果． 【详解】解：，， ∴的算术平方根等于2． 【题型3】求具体数的平方根 1.核心知识点 　　平方根的定义；正数有两个互为相反数的平方根；0与负数平方根的特殊性。 2.解题方法技巧 　　①先求算术平方根，再在结果前加“±”号； 　　②对这类先化简再求； 　　③结果必须写成形式，不可遗漏负的平方根。 【例题3】.（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）16的平方根是（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 【变式题3-1】.（2026八年级上·江苏·专题练习）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的平方根是． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·天津津南·期末）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·辽宁大连·期末）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∴的平方根是． 【题型4】利用平方根性质求参数 1.核心知识点 　　正数的两个平方根互为相反数，和为0；利用这一关系列方程求参数与正数。 2.解题方法技巧 　　①设正数m的两个平方根为x与y，则x+y=0； 　　②解方程求出参数，再代入求出一个平方根； ③该正数等于其任一平方根的平方。 【例题4】.（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出的值，进而可求出的值； （2）根据（1）所求代入求值即可． 【详解】（1）解：∵和是实数的两个不同的平方根， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，结合的值求出，再计算． （2）利用平方根的平方等于原数，代入等式化简求得． 【详解】（1）解：正数的两个不相等的平方根为和， ，，， ， ， ， ， ． （2）把，代入得： ， ， ， ， 为正数， ． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·广东汕尾·期中）正数的平方根是和，求的值． 【答案】 【分析】由正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可． 【详解】解：正数的平方根是和， ， 解得， 则， ． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和，． (1)求a和x的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求出a的值，进而求出x的值即可； （2）求出b的值，进而求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 【培优高频题型】 【题型5】利用平方根定义解方程 1.核心知识点 　　将方程变形为（）或的形式，直接开平方求解。 2.解题方法技巧 　　①先把方程变形为某式平方等于非负数的形式； 　　②把看作整体，直接开平方得； ③分类讨论，分别解两个一元一次方程，不要漏解。 【例题5】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若，则_________． 【答案】 【分析】化简左边的平方项，根据平方根的定义求解x即可． 【详解】解：∵， ∴原等式可化为， ∵，， ∴． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）已知，则x的值为______________． 【答案】 【详解】解： 解得． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知，则的值为________________． 【答案】5或 【详解】解：∵， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 综上所述，x的值为或． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知，则______． 【答案】 【详解】， ， ， 根据平方根的定义可得． 【题型6】算术平方根的非负性求值 1.核心知识点 　　算术平方根、绝对值、偶次幂均具有非负性；几个非负数和为0，则各非负数都为0。 2.解题方法技巧 　　①识别题目中的非负项，如、、； 　　②当几个非负项之和为0时，令每一项都为0，列出方程组； ③解出各未知数后再代入求值。 【例题6】.（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）若，满足，则________； 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，多个非负数的和为时，每个非负数都为，先求出和的值，再计算． 【详解】解：∵ ， 又∵， ， ∴，， ∴，， ∴． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·广西崇左·期末）若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用非负数的性质求出a，b的值，代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方式与算术平方根的非负性列方程组，求解、后代入计算的值即可． 【详解】解： ，， ， ，， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ． 【变式题6-3】.（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 【题型7】求代数式的算术平方根与平方根 1.核心知识点 　　先求含字母代数式的值，再求其算术平方根或平方根；注意被开方数非负。 2.解题方法技巧 　　①先根据已知条件求出代数式的值； 　　②判断该值为非负数，再求算术平方根； ③求平方根时写“±”，结果可为正可为负。 【例题7】.（25-26九年级上·河南周口·期中）若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如果，求的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、开平方等知识，熟记平方差公式、开平方运算是解决问题的关键．先将恒等变形得到，进而得到，开平方即可得到答案． 【详解】解： ， ， 即， 则， 故答案为：． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 【压轴素养题型】 【题型8】算术平方根的实际应用 1.核心知识点 　　已知正方形、长方形面积求边长；裁剪、铺设等实际问题中的算术平方根模型。 2.解题方法技巧 　　①根据面积公式设未知数列方程； 　　②求出算术平方根得到边长； ③结合现实条件（如裁剪长宽限制）判断是否可行，说明理由。 【例题8】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 【答案】小志能裁剪出他需要的圆形布料 【分析】设圆形布料的半径为，直径为，求出，进而得出结论． 【详解】解：设圆形布料的半径为，直径为， 则， ， ， ，， 小志能裁剪出他需要的圆形布料． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径（单位：厘米），t代表自冰川消失时起经过的时间（单位：年）．如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】冰川约是在37年前消失的 【分析】先根据以及苔藓的直径是35厘米，建立，再解得，即可作答． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴， 即， 答：冰川约是在37年前消失的． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知：一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的动能（单位：焦耳）与质量（单位：千克），速度（单位：米/秒）近似满足公式．若一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克，动能是2800焦耳． (1)求该运动员的跑步速度； (2)已知，，估计（1）中求得的速度的近似值． 【答案】(1)该运动员的跑步速度是米/秒 (2)该运动员跑步速度的近似值约为米/秒 【分析】（1）根据题意得到，，将上述数据代入公式即可求得跑步速度； （2）根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：，代入得： ， 即， 解得：，负值舍去， ∴该运动员的跑步速度是米／秒． （2）解：∵， ∴（米/秒）， 即该运动员跑步速度的近似值约为米/秒． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·重庆永川·期中）按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……将纸按如图1所示的方式折叠，你有什么发现？ (1)你的发现： ； (2)你能据此估算纸的长与宽分别是多少毫米吗（结果取整数）？参考数据：，，，，， 【答案】(1)A系列纸矩形的长是宽的倍（答案不唯一） (2)长为毫米，宽为毫米 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）设纸的长为毫米，宽为毫米，根据面积得到，然后求解即可； 设纸的宽为b毫米，长为毫米，根据面积得到，然后求解即可；． 【详解】（1）解：我的发现：A系列纸矩形的长是宽的倍； （2）解：设纸的长为毫米，宽为毫米，则． 解得，（毫米） 设纸的宽为b毫米，长为毫米，则． 解得，（毫米）． 【题型9】算术平方根的规律探究 1.核心知识点 　　观察被开方数与算术平方根小数点的移动规律；规律探究与代数推理。 2.解题方法技巧 　　①比较各组被开方数及其算术平方根，寻找规律； 　　②被开方数小数点每移动两位，其算术平方根小数点相应移动一位； 　　③根据规律推算未知数的值，注意数量级与符号。 【例题9】.（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）若，，则______． 【答案】 【分析】算术平方根规律：被开方数小数点移动2位，平方根小数点移动1位，据此解答即可． 【详解】解：的小数点向左移动两位得，， ． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·广西崇左·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质化简； （2）结果中的分母是被开方数中分母的算术平方根，分子是分母减1，据此解答即可； （3）根据发现的规律求解． 【详解】（1）解：，； （2）略 （3）解： ． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·江西上饶·期中）根据下表，解答下列问题： x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 (1)______；______；______； (2)的平方根是______；与最接近的整数是______； (3)为宣传保护环境的重要性，某学校计划制作一个如图所示的关于环境保护的长方形宣传栏，已知该长方形宣传栏的长是宽的1.5倍，其面积为，根据表格中提供的数据，求这个长方形宣传栏的长和宽的近似值．（结果均精确到） 【答案】(1)15.6；158；； (2)；15； (3)这个长方形宣传栏的长约为，宽约为． 【分析】（1）根据表中数据结合算术平方根的特点求解即可； （2）求解，，再进一步求解即可； （3）设长方形宣传栏的宽是，则长是，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由表格可知，， ； ， ∴, ； ， ∴， ． （2）解：∵， 的平方根是； ∵， ∴与最接近的整数是； （3）解：设长方形宣传栏的宽是，则长是， ∴， ∴， 结合表中数据可得：， ∴， ∴这个长方形宣传栏的长约为，宽约为． 易错点 　　1、混淆算术平方根与平方根，求平方根时漏写“±”，或把算术平方根写成两个值。 　　2、对负数、0开平方判断错误，认为负数也有平方根；忽略被开方数必须非负。 　　3、解方程时漏掉负的平方根，只求一个解，未做到分类讨论。 　　4、误用与，把两者混为一谈，忽略取值范围。 　　5、多个非负数和为0时，漏掉某一项，导致求值错误。 　　6、实际应用题未结合现实条件取舍结果，直接照搬算术平方根。 重点 　　1、掌握算术平方根与平方根的定义、表示方法，能准确求一个非负数的算术平方根和平方根。 　　2、理解平方与开平方互为逆运算，会利用平方根定义解简单方程。 　　3、掌握算术平方根的双重非负性，会利用非负性求参数的值。 　　4、会区分算术平方根与平方根的联系与区别，正确书写与。 　　5、能利用算术平方根解决面积、裁剪等简单的实际问题。 难点 　　1、利用正数两个平方根互为相反数求参数与正数。 　　2、算术平方根与数轴、绝对值综合化简。 　　3、规律探究、跨学科情境题，把现实问题抽象为算术平方根数学模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 2．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根及算术平方根的定义，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项错误，不符合题意， D．，故该选项正确，符合题意． 3．已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（     ） A．4 B． C．36 D． 【答案】C 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出，求出，再得出答案即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 这个数为． 二、填空题 4．计算：______． 【答案】3 【分析】根据算术平方根的定义，一个数的平方的算术平方根等于该数的绝对值．由于3为正数，其绝对值为本身． 【详解】解：． 5．正方形面积为5，则正方形边长为______． 【答案】 【分析】正方形面积等于边长的平方，边长为正数，对面积开算术平方根即可得到边长. 【详解】解：设正方形的边长为， ， ∵ ， ∴ ，即正方形的边长为． 6．若一个正数的平方根是和，则这个正数是_________． 【答案】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出的值，再代入求出一个平方根，进而根据平方根求出这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数是． 三、解答题 7．将下列各数开平方： (1)49； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴49开平方得； （2）解：∵， ∴开平方得． 8．下列说法正确吗？为什么？如果不正确，请予以改正． (1)16的平方根是4； (2)． 【答案】(1)不正确，因为正数有两个互为相反数的平方根， ∵， ∴16的平方根是； (2)不正确，因为算术平方根为非负数， ∵表示25的算术平方根， ∴ 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 9．若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． 【答案】 【分析】根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0，求出m值，再求出一个平方根，进而就可以得到这个正数． 【详解】解：根据题意，得            这个正数的其中一个平方根为，   这个正数为． 10．如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意大正方形边长为，则面积可求； （2）大正方形的面积也等于空白面积加4个直角三角形的面积，利用大正方形面积列方程即可求解题目 【详解】（1）解：由题意大正方形面积为； （2）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， （负值舍去）， 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 平方根 知识点1 算术平方根 　　1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。规定：0的算术平方根是0，即。 　　2. 表示：非负数a的算术平方根记作，读作“根号a”。例如。 　　3. 性质：正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。 　　4. 双重非负性：算术平方根具有双重非负性，即被开方数，且。 　　5. 易错提醒：与含义不同，前者要求a为任意实数，后者要求a≥0。 知识点2 平方根 　　1. 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫做a的平方根，也叫做二次方根。 　　2. 表示：正数a的平方根记作，读作“正、负根号a”，其中表示a的算术平方根，表示a的负的平方根。0的平方根记作0。 　　3. 性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 　　4. 求平方根方法：先求出a的算术平方根，再根据“正数的两个平方根互为相反数”写出。 知识点3 算术平方根与平方根的对比 项目 算术平方根 平方根 定义 强调x是正数 未强调x是正数 个数 一个正数只有一个算术平方根，且为正数 一个正数有两个平方根，一正一负，互为相反数 表示 （a≥0） （a≥0） 联系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个；只有非负数才有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0 知识点4 开平方 　　1. 定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数。 　　2. 互逆关系：平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算检验开平方的结果是否正确。 　　3. 注意：开平方时被开方数a必须是非负数，即。被开方数越大，其正的平方根也越大。 知识点5 与的辨析 项目 含义 a的算术平方根的平方 a的平方的算术平方根 a的取值范围 a≥0 a为任意实数 运算结果 （a≥0） 【基础必考题型】 【题型1】算术平方根与平方根概念辨析 1.核心知识点 　　算术平方根与平方根的定义、个数、表示的区分；判断数学式子的正误。 2.解题方法技巧 　　①明确“一个正数的平方根有两个，算术平方根只有一个”； 　　②注意表示算术平方根，表示平方根； ③负数没有平方根，0的平方根和算术平方根都是0。 【例题1】.（25-26七年级下·北京·期中）下列说法中错误的是（   ） A．1的算术平方根是1 B． C．16的平方根是 D．的算术平方根是5 【变式题1-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．的平方根是 B．任何有理数都有平方根 C．任何非负数都有两个平方根 D．一个正数的两个平方根的和等于0 【变式题1-2】.（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【变式题1-3】.（26-27八年级上·江苏常州·阶段检测）可以表示（     ） A．0.2的平方根 B．的算术平方根 C．0.2的算术平方根的相反数 D．的平方根 【题型2】求具体数的算术平方根 1.核心知识点 　　算术平方根的定义；正数、0、负数算术平方根的判断；带分数、小数、幂的变形。 2.解题方法技巧 　　①将带分数化为假分数，小数化为分数，再找一个正数x使x²=a； 　　②先化简底数为幂的形式，再求算术平方根； ③负数没有算术平方根，结果一定是非负数。 【例题2】.（2026·山东东营·中考真题）2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27八年级上·江苏·期中）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·广东茂名·期中）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【题型3】求具体数的平方根 1.核心知识点 　　平方根的定义；正数有两个互为相反数的平方根；0与负数平方根的特殊性。 2.解题方法技巧 　　①先求算术平方根，再在结果前加“±”号； 　　②对这类先化简再求； 　　③结果必须写成形式，不可遗漏负的平方根。 【例题3】.（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）16的平方根是（     ） A． B． C．4 D．2 【变式题3-1】.（2026八年级上·江苏·专题练习）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·天津津南·期末）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·辽宁大连·期末）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【题型4】利用平方根性质求参数 1.核心知识点 　　正数的两个平方根互为相反数，和为0；利用这一关系列方程求参数与正数。 2.解题方法技巧 　　①设正数m的两个平方根为x与y，则x+y=0； 　　②解方程求出参数，再代入求出一个平方根； ③该正数等于其任一平方根的平方。 【例题4】.（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·广东汕尾·期中）正数的平方根是和，求的值． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和，． (1)求a和x的值； (2)求的平方根． 【培优高频题型】 【题型5】利用平方根定义解方程 1.核心知识点 　　将方程变形为（）或的形式，直接开平方求解。 2.解题方法技巧 　　①先把方程变形为某式平方等于非负数的形式； 　　②把看作整体，直接开平方得； ③分类讨论，分别解两个一元一次方程，不要漏解。 【例题5】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若，则_________． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）已知，则x的值为______________． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知，则的值为________________． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知，则______． 【题型6】算术平方根的非负性求值 1.核心知识点 　　算术平方根、绝对值、偶次幂均具有非负性；几个非负数和为0，则各非负数都为0。 2.解题方法技巧 　　①识别题目中的非负项，如、、； 　　②当几个非负项之和为0时，令每一项都为0，列出方程组； ③解出各未知数后再代入求值。 【例题6】.（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）若，满足，则________； 【变式题6-1】.（25-26七年级下·广西崇左·期末）若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【题型7】求代数式的算术平方根与平方根 1.核心知识点 　　先求含字母代数式的值，再求其算术平方根或平方根；注意被开方数非负。 2.解题方法技巧 　　①先根据已知条件求出代数式的值； 　　②判断该值为非负数，再求算术平方根； ③求平方根时写“±”，结果可为正可为负。 【例题7】.（25-26九年级上·河南周口·期中）若，则__________． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【变式题7-2】.（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如果，求的值为__________． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【压轴素养题型】 【题型8】算术平方根的实际应用 1.核心知识点 　　已知正方形、长方形面积求边长；裁剪、铺设等实际问题中的算术平方根模型。 2.解题方法技巧 　　①根据面积公式设未知数列方程； 　　②求出算术平方根得到边长； ③结合现实条件（如裁剪长宽限制）判断是否可行，说明理由。 【例题8】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 【变式题8-1】.（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径（单位：厘米），t代表自冰川消失时起经过的时间（单位：年）．如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【变式题8-2】.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知：一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的动能（单位：焦耳）与质量（单位：千克），速度（单位：米/秒）近似满足公式．若一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克，动能是2800焦耳． (1)求该运动员的跑步速度； (2)已知，，估计（1）中求得的速度的近似值． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·重庆永川·期中）按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……将纸按如图1所示的方式折叠，你有什么发现？ (1)你的发现： ； (2)你能据此估算纸的长与宽分别是多少毫米吗（结果取整数）？参考数据：，，，，， 【题型9】算术平方根的规律探究 1.核心知识点 　　观察被开方数与算术平方根小数点的移动规律；规律探究与代数推理。 2.解题方法技巧 　　①比较各组被开方数及其算术平方根，寻找规律； 　　②被开方数小数点每移动两位，其算术平方根小数点相应移动一位； 　　③根据规律推算未知数的值，注意数量级与符号。 【例题9】.（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）若，，则______． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·广西崇左·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·江西上饶·期中）根据下表，解答下列问题： x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 (1)______；______；______； (2)的平方根是______；与最接近的整数是______； (3)为宣传保护环境的重要性，某学校计划制作一个如图所示的关于环境保护的长方形宣传栏，已知该长方形宣传栏的长是宽的1.5倍，其面积为，根据表格中提供的数据，求这个长方形宣传栏的长和宽的近似值．（结果均精确到） 易错点 　　1、混淆算术平方根与平方根，求平方根时漏写“±”，或把算术平方根写成两个值。 　　2、对负数、0开平方判断错误，认为负数也有平方根；忽略被开方数必须非负。 　　3、解方程时漏掉负的平方根，只求一个解，未做到分类讨论。 　　4、误用与，把两者混为一谈，忽略取值范围。 　　5、多个非负数和为0时，漏掉某一项，导致求值错误。 　　6、实际应用题未结合现实条件取舍结果，直接照搬算术平方根。 重点 　　1、掌握算术平方根与平方根的定义、表示方法，能准确求一个非负数的算术平方根和平方根。 　　2、理解平方与开平方互为逆运算，会利用平方根定义解简单方程。 　　3、掌握算术平方根的双重非负性，会利用非负性求参数的值。 　　4、会区分算术平方根与平方根的联系与区别，正确书写与。 　　5、能利用算术平方根解决面积、裁剪等简单的实际问题。 难点 　　1、利用正数两个平方根互为相反数求参数与正数。 　　2、算术平方根与数轴、绝对值综合化简。 　　3、规律探究、跨学科情境题，把现实问题抽象为算术平方根数学模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．计算：（ ） A． B． C． D． 2．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（     ） A．4 B． C．36 D． 二、填空题 4．计算：______． 5．正方形面积为5，则正方形边长为______． 6．若一个正数的平方根是和，则这个正数是_________． 三、解答题 7．将下列各数开平方： (1)49； (2)． 8．下列说法正确吗？为什么？如果不正确，请予以改正． (1)16的平方根是4； (2)． 9．若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． 10．如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $