山东济宁市梁山现代高级中学2026-2027学年高三上学期九月月考数学试卷

2024级高三年级九月月考数学试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.己知集合U={x-1≤x<3,xEZ},A={xx2-x=0},则集合CA=（) A.{-1,1} B.{-1,2} C.{2,3} D.{3} 2.函数f(x)=nx的定义域是() A.(0,+o) B.[0,+∞) C.(1,+w) D.[1,+o) 3.设a=41,b=23,c=log43,则，b,c的大小关系为() A.azb>c B.b>a>c C.czazb D.b>cza 3 4.已知tana=4,则cos2a+2sin2a=（） A号 B.19 c 16 D. 25 S,函数(x)21的大致图象为(） B. 6已知函数()为偶函数，且满足f+f(c-2)-0,且当xe33时。f)=+m+b,则() A.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=3 C.a=-4,b=-3 D.a=-4,b=3 1/12 7.在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合， 圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1,0)重合)系着一支铅笔，让细 线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B,细绳的粗细忽略不计，当p=2ad时，点M与点O之间的距 离为（ 1 A. B. C.2 D.√5 cosl sinl 8.若不等式e242tx≥tex(2+x)对任意xE[1,+o)恒成立，则实数t的最大值是() A月 B.e ☑ c.2 D.e2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列等式计算正确的有() A.sinl5cos15°=2 1 B.cos27cos33-sin27sin33= C.2cos215°-1= D. tan48°+tan72=-√5 2 1-tan48tan72° 10.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=f(4-x),f(x+2)=f(x-2).当x∈[-2,0]时， f(x)=x+4x+3,则下列结论正确的是( ) A.f(x)的图象关于直线x=2对称 B.f(x)是奇函数 2025 C.f(x)在「4,6上单调递减 D. /)=1012 x+1 ,x<0 11.函数f(x)= 关于x的方程f2(x)-mf(x)=0(m∈R),下列说法正确的是() 3 e,x≥0 A.函数f(x)的值域为 e B.函数f(x)的单调减区间为(-1,0)，(1，+o) C.当m=时，则方程有6个不相等的实数根 2 D.若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 2/12 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知f(x)是偶函数，且f(c+2)=f(),当1≤x≤2时，f(x)=3-x,则f(等于一 18.已知函数的导函数为，且=2}+m,则智）— 4,已知函数fe-血xr-x哈有1个极值点，则实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)）xm-1为偶函数. (1)求∫()的解析式： (2)若g(x)=f(x)-ax-3在区间[2,3]上单调，求实数a的取值范围. (3)求不等式4f(x)-(2a+1)x+2<0的解集； 16.已知函数f(x)=1og2(x-6)+l0g(a-2x),且f(8)=-1. (1)求f(x)的定义域； (2)求不等式f(2x-1)≥-1的解集. 17.在单位圆中，已知锐角x的终边与单位圆交于点A(s,),将角x的终边绕原点O按照逆时针方向旋转 子交单位圆于点8(5，为)，点B关于x轴的对称点为C(5,)- 珠 B cos(2+a)sin(-a) δ ②若-+-g=5 求tana. 3/12 18.己知函数f(x)=e2x+ax2-2x (1)当a=2时，讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)与g(x)=a+2(a-1)x+2a恰有两个交点，求a的取值范围 (3)当x≥0时，f(x)≥4x+1,求a的取值范围 19.已知函数f(x)=e-e-2x,x>0. (1)证明：f(x)>0; ②设g(y=f四，证明8()在0，+∞)上单调递增， (3)求实数的最大值，使得对任意x>0,都有e-ex≥2x+x2. 4/12 2024级高三年级九月月考数学试卷答案 1.【答案】B【分析】根据集合的基本运算求解即可， 【解答】解：因为集合U={x-1≤x<3,xeZ}={-1,0,1,2,A={xr2-x=0}={0,1}, 所以集合CuA={-1,2).故选：B. 2.【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解， nx≥0 【详解】由题意，函数f(x)=√nx有意义，则满足 x>0,解得x≥1， 即函数f(x)=√nx的定义域为1，+on)故选：D, 3.【答案】B【分析】根据a=41=22,利用指数函数y=2的单调性比较a,b,再与“1比较即可 【详解】a=41=22,b=23.因为指数函数y=2单调递增，且0.3>0.2，所以b>a. 又a=22>1,c=log43<l0g44=1.所以b>a>c.故选：B 4.【答案】A 【分析】利用二倍角公式展开待求式，构造关于sina、cosa的二次齐次分式，代入tana的值计算 【详解】cos2a+2sn2a=cos2a-sin2u+4 sinacosa= cos2 a-sin2a+4sin acosa 1-tan2 a+4tan a sin2 a+cos2a tana+1 55 由amu-子可得：分子为1-气 2 355 分母为 3 25 +4×- +1=, 416 16 因此原式=6=1 25-5 16 4-12-2-x 5.【答案】B【详解】f()= 21-可1-x，函数的定义域为{≠，关于原点对称， 21 22 由0==-了，所以四为商面数，排降A又' \2 3 3 0,排 22 1 除C和D. 6.【答案】D【分析】由函数的关系式得到函数的周期性，结合函数的奇偶性得到函数值相等，利用二次 函数的对称轴求得a,结合奇偶性和函数关系，求得函数值f(-),代入解析式求得参数b 【详解】f(x)+f(x-2)=0,则f(x+2)+f(x)=0,f(x+4)+f(x+2)=0,即f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x) 的周期为4，故f1.5)=f(-2.5)=f(2.5),在[l.5,3]上满足f1.5)=f(2.5),说明f(x)=x2+ar+b的对称轴 为x=2,则-2，解得a=4,又根据四+-2)=0知f0+f-)=0,而f0=f-), 则f(-1)=0,于是f(3)=f(-1)=0,即f(3)=9+3a+b=9-12+b=0,解得b=3 7.【答案】D【解析】展开过程中：BM=AB=pR=2,BO=1,MO=√BM2+BO2=√5故选：D 8。【答案】C【分析】由已知不等式变形得出(t-之)t-)≥0，分x=2、1≤x<2、x>2三种情况讨论， 5/12 解不等式c-受)t-)≥0，结合恒成立可求出1的取值范围.【解答】解：由题(e2-(2e+e)42x≥0， 即(e-2D(e-)20对任意的xl,+o)恒成立，即c-受)t-艺)≥0，令f)=兰其中2l, 则r四-之0对任意的心1损成立，即弱数了)在卸：w)上为娟弱数，考虑当号-计： x2 =2比时号-兰-受要位得e-学c-约≥0对任意的x,海成立，当x2时，则有c-号之 ex e2 0显然成立：当162时，三号0艺0-当≥0可得≤受≥号此时t≤≥号 当>2时，ge 号>号由(-学-学20可得t≤减t≥受由于当m时，计，则≥贷 ex 显然不等式，即t≤号则t≤受综上所述，1的最大值为 .故选：C 9.【答案】BCD【分析】利用三角恒等变换公式依次化简选项即可求解」 【详解】对于A,sinl5cos15°=sin30=1x1- Γ2241 故A错误；对于B, c0s27c0s33°-sin27sin33°=cos(27°+339)=c0s60°=)枚B正确 tan48°+tan72° 守C,2os2159-1=c0s30°=号3故C1正确：对于D,1-n489an72 =tan(48°+72）=tanl20°=-V3 故D正确 10.【答案】ACD【解析】【分析】对于A,由f(x)=f(4-x)即可判断；对于B,由 f(x)=f(4-x),f(x+2)=f(x-2)结合偶函数的定义即可判断：对于C,因为x∈[4,6]时，所以 4-x∈-2,0，结合周期性、偶函数性质即可得x∈4,6时的表达式，由此即可得解；对于D,由周期性、 偶函数性质即可求解 【详解】对于A,因为f(x)=f(4-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称，故A正确： 对于B,因为f(x)=f(4-x),f(x+2)=f(x-2),所以f(x)=f(4-x)=f(-x), 且注意到函数f(x)的定义域为R,所以f(x)是偶函数； 对于C,因为x∈[4,6时，所以x-4∈[0,2]，4-x∈[-2,0]， 所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=(4-x)°+4(4-x)+3=(6-x)-1=(x-6)}-1,x∈[4,6]， 所以f(x)在[4,6]上单调递减，故C正确： 对于D,因为f(x+2)=f(x-2),所以函数f(x)的周期是4，而 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=f(-2)+2f(-1)+f(0)=-1+0+3=2, 6/12 2025 所以∑f(k)=2024÷4×2+(2025)=1012+f(1)=1012+f(-1)=1012,故D正确.故选：ACD, R=1 11. 【答案】ACD【分析】先根据分段函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图像， 进而直接判断A和B:通过方程的根与图像的公共点之间的联系进行转化，并结合图像即可判断C和D. 【详解】当x<0时，f()=x+1-1+】,则f(x)在(-∞，0)单调递减，且渐近线为y轴和y=1,恒有f:)<1 当x20时，)=x,f()-3e_30 (e*) 2当0<x<1,f(x)>0,f(x)在(0，)单调递增；当x>1 时，f()<0,f在(，+)单调递减故f()sf)=。,且恒有f()≥0综上可知，f)-3,作 e 3 y=fx) 出函数大致图象，如下图 由图像可知f(x)函数的值域为 故A正确！ 函数f的单调递减区间由图可知为，0)，化+o),故B错误当m=时，则方程了()-)=0可 化为/=0或/（✉=）由f=0,得x=0或x=-1,有两个实数根： 由图象可知，由/=2有4个不相等的实数根，且均不为0，也不为-1，所以当m=)时，则方程有6 个不相等的实数根，故C正确若关于x的方程f2(x)-mf(x)=0(m∈R)有3个不相等的实数根， 即f(x)=0与f(x)=m共有3个不相等的实数根.又因为f(x)=0已有两个不相等的实数根0，-1，则方程 f(x)=m有且仅有一个根，且不为0，-1.所以y=f(x)与y=m有且仅有一个公共点， 1=1m y一K)由图象可知m>3,满足题意，即m的取值范围是 故D正确 12. 【答案】【分析】先求出函数的周期。再根据偶函数及已知条件求解即可 【详解】因为f(x+2)=f(x),所以函数的周期为2，又因为当1≤x≤2时，f(x)=3-x,且(x)是偶函 7/12 数，所以f周=f(2+)=f份=f()=f(2-)=f)=3- 13. 【答案】-2 【详解】由)=2对（写+sinx求号得f()=2f（+cosx, 令x-子则得/(=2r(}+骨=2r)+2解得r() 2π3 所以f'(x)=-1+cosx, 14.【答案】（←on,0]【详解】函数f(x)=xnx-ax-x的定义域为(0，+o).∫"(x)=血x+1-ar-1=hx- 由函数f(x)=xhx-二2-x恰有1个极值点，得nx-ax=0恰有一个变号实数根 即方程a=血x恰有一个变号实数根.令g)=血x,则直线y=a与函数y=g(y)的图象恰有一个交 1 点g(x)= x-血x1-nx当x∈(0，e)时，nx<1,1-lnx>0,g'(y)>0,函数g(x)单调递增： 当x∈(e,+o)时，nx>1,1-lnx<0,g'(x)<0,函数g(x)单调递减.所以当x=e时，g(x)取得极大值， 即最大值为g(心)=又当x→+切时，h-→0，所以g()>0:g心=0，所以函数g(田)的图象如下： y=g(x) e 所以a≤0或a-是当a=是时，了()=nx-日 e y-a 令h()=f(),则)】1，在(0，+四)上单调递藏当x∈(0，c)时，()>0，函数h(y单调递增 当x∈(e,+o)时，h(x)<0,函数h()单调递减.所以当x=e时，h(x)取得极大值，即最大值为h(e)=0, 即f(x)=h(x)≤0恒成立.所以f(x)是减函数，无极值点.所以实数a的取值范围为(-o,O] 15.【答案】(1)f(x)=x2(②)a≤4或a≥6(3)答案见解析 【分析】(1)根据幂函数的定义以及偶函数性质分析求解即可； (2)分析可知g(x)=x--3在[2,3]上单调，结合二次函数性质分析求解： (3)整理可得(x-1)(x-2)<0,分类讨论，结合一元二次不等式运算求解 【详解】(1)由f(x)为幂函数，得m2-5m+7=1,解得m=2或m=3,=2时，f(x)=x为奇函数，舍 去；m=3时，f(x)=x2为偶函数，符合题意，所以m=3,f(x)=x2 (2)函数g(d)=t-m-3在[2,3]上单调，则有g≤2或g≥3，解得a<4或a≥6， 2 8/12 所以实数a的取值范围是a≤4或a≥6， (3)原不等式ax2-(2a+1)x+2<0,即(ax-1)(x-2)<0,当a=0时，原不等式的解集为{xx>2}; 当a<0时，原不等式的解集为xx<1或x>2；当0<a<号时，原不等式的解集为 a 2<<a 当a=时，原不等式的解集为O:当a>】时，原不等式的解集为x上<x<2 1 2 a 16.【解析】(1)f(8)=log22+l0g1(a-8)=1-10g2(a-8)=-1,则1og2(a-8)=2,解得a=12, 则财r因=1化-0-1a(2-刘则268解得6<x<12,枚的定义拔为〔612 (2由①知，f-lg,c-6-1og,2-)-1-lg2(-1) 因为函数y=-1在(612)上单调递增，所以f)在(6,12上单调递增 又f8)=-1,所以f(2x-1)≥1等价于8≤2x-1<12,解得≤x<号 则不等式f(2x-1)≥-1的解集为3) 17.解：(1)由三角函数定义得，cosa=x,sina=片 ~=3e为锐角，cosa={sima=V1-cosa-2√2 1 3 3 cos(r-)归-cosa=-8 3 cos a力co=1 3 cos(元-）sinT+a 11 sin(-a)sina (2 33 √2 3 'cos(2n+a)sin(-a)12 4 33 (2)解法：由题意得，=6om仔公-m么为=m及acos么%=x=-血a, 为=-y=-cosa,.s-=cosa+sin4,y-=sina+cos,'x为锐角， 5s+yy2(Smu+c0sa)265，即ma+c0sa 3V5 5 (sina+cosa}=9 ’即 9 sin2a+cos2 a+2 sin a cos a=- l+2=号，故inco 2 sinacosa 2 sima+cosa5,即 tama+1亏，解得tama=2或tana= tan a 2 2 解法二：由题意得，与=co径a-na=s如经a-cosa==-ma, y=-y2=-cos a,.=cosa+sin a=sin a+cosa, a为锐角，小内-+g-l=2sma+csa)=65,即sa+cosa-35 5 sina= 5 2W5'tanw=2或tana= 5 1 sina+cos2=1,解得 或 cosa= coS a= 5 9/12 18.【答案】（⑩答案见解析Q)a>。6)a≥7-e2【分析】（1）求导后构造函数g(y再次求导后可得：(2) 变形不等式后令h(x)=e2x-2ar-2.x,问题转化为h(x)有两个零点，求导分a≤0和a>0两种情况结合零点 存在定理分析可得：(3)当x=0时显然成立：当x>0时，分离参数可得a≥4+2x+1-c”,构造函数求 3 导结合隐零点分析最值即可.【详解】(1)当a=2时，f(x)=e2x+2x2-2x,f(x)=2e2x+4x-2,令 g(x)=f'(x)=2e2+4x-2,则g(x)=4e4+4>0恒成立，所以f"(x)在R单调递增，又f"(0)=0,所以当 x<0时，∫"(x)<0,f(x)单调递减；当x>0时，f'(x)>0,f(x)单调递增 (2)f(x)=g(x)台e2+ar2-2.x=ax2+2(a-1)x+2a→e2x-2ar-2x=0,令h(x)=e2-2ax-2.x,问题转 化为h(x)有两个零点，求导h(x)=2e2x-2a=2(e2x-a,若a≤0，则H(x)>0,h(x)单调递增，在R上 至多有一个零点，不符合题意；若a>0,令K(s)=0→x=na,当x<na时，KN<0,hy)单调递 减：当xna时，h(>0,(y)单调递增，所以n(y)=Ana-a(1+na四，由零点存在定理可 2 得要使h(y)有两个零点，则-a1+lna)(0→a片，当x→-时，e2→0，-2a(c+1)→+o,则h(y)→+o: 1 当x→+m,由指数爆炸模型可知h(x)→+o,所以a的取值范围为a> e (3)当x≥0时，f(x)≥4x2+1,即e2x+m2-2x≥4x3+1,整理可得ax2≥4x3+2x+1-e2,x≥0，当x=0时 显然成立：当>0时，分离参数可得a≥4+2x+1=e,令k)=4+2x+1-e2,求k()的最大值即 x2 x 可，求导k)=4-2-2+2e0-）,令分7为my)=4-2x-2+2c21-对，则 x3 m(=12x-2+2e1-2),再令n(x)=12x-2+2c21-2x),则m(x)=8x(3-e2),所以当0<r<n3 2 时，n(x)>0,则m'(x)单调递增：当x>n3时，n(x)<0,则m(x)单调递减，又 2 m'(0)=-2+2=0,m )-2×子210m四=1222e<0,放存在飞e}） 使得m()=0, 当0<x<时，(x)>0,m(x)单调递增；当x>时，m(x)<0,m(x)单调递减，又 m(0)=-2+2=0,(1)=4-2-2+0=0,所以0<x<1时，m(x)>0,即K'(x)>0,k(x)单调递增： x>1时，m(x)<0,即K(y)<0,k()单调递增，所以k(x)=k(I)=7-e2 所以a的取值范围为a≥7-e2 10/12 19.【分析】(1)求导证明导函数大于0，结合在0处的极限为0，得f(x)>0;(2)多次构造辅助函数， 利用导数判断相应函数的单调性，进而证明g'(x)>0,g(x)在(0，+∞)上单调递增；(3)分离参数转化为 入≤8(x)恒成立，由(2)的结论，结合洛必达法则可得；或构造函数h(x)=f(x)-,利用导数分析其最 小值，即可求得实数1的最大值 【详解】()由f(x)=e*-e-2x得f'(x)=e+e-2.由基本不等式，e+e≥2，且当x>0时等号不成 立，所以f'(x)>0.所以函数f()是增函数又1i四f()=0,因此对任意x>0,fx)>0. ②设g)-但.则g)'3国.+e23e-e-2刘_-3e++3e+4 (3)记G(x)=(x-3)e*+(x+3)ex+4x,x>0,则G(x)=(x-2)e+(-x-2)e+4,设H(x)=G(x),则 H(x)=(x-1)e+(x+1)e,设J(x)=H'(x),则J'(x)=xe-xe=x(e-e）.当x>0时，因为y-e*-ex 是增函数，且e-e>0,所以J'(x)>0,所以H'(x)=J(x)在(0，+o)上单调递增，所以 H(x)>(0-1)e°+(0+1)e°=0，所以G'(x)=H(x)在(0，+o)上单调递增，所以 G(x)>(0-2)e°+(0-2)e°+4=0，所以G(x)在(0，+o)上单调递增，所以 G(x)>(0-3)e°+(0+3)e°+4×0=0，所以当x>0时，g'(x)>0,所以g(x)在(0，+o)上单调递增 (3)法一：要使对任意x>0,都有e-e‘≥2x+,等价于1≤C-e-2x对任意>0成立，即 x ≤-e-2x=gd)对任意x>0成立.由(2)知，g(x)在(0+四)上单调递增，因此入=职8(.用 x 洛必达法则计算极限得lim ei e*te-x-2 3x3=lim e ex-e-x 1 0 x3 m一=1in6-3·因此mx=3 法二：令函数h(x)=f(x)-x,x>0,则h(x)=e+e-2-3x,x>0.令p(x)=h(x),则 p'(x)=e-e-6x,x>0.令q(x)=p'(x),则q(x)=e+e-62,x>0.x→0，时， h(x)→0，p(x)-→0，q(x)-→0；x→+o时，h(x)→+o,p(x)→+0，q(x)→+0 因为q(x)是增函数，且g(x)>e+e-61=2-6元，当2-6≥0，即s时，q()>0恒成立， 所以p'(x)=q(x)是增函数，且p'(x)>e°-e°-6x0=0,所以(x)=p(x)是增函数，且 (x)>e°+e°-2-32x0=0,所以h(x)是增函数，且h(x)>e°-e-2x0-元x0=0, 即使得对任意>0，都有e-e≥2x+2当2-62<0，即2>}时，q()=0在(0，+0)上有解，记为： 所以p'(x)=q(x)在(0，)上单调递减，在(，+o)上单调递增： 所以p'()<0,且在(，+∞)上存在使得p'(5)=0 所以(x)=p(x)在(0，)上单调递减，在(5，+o)上单调递增： 11/12 所以(5)<0，且在(5，+∞)上存在使得h(s)=0 所以h(x)在(0，)上单调递减，在(s3,+o)上单调递增： 所以h(x)在x=飞，处取得极小值，即最小值，最小值为(x)<0. 即存在>0，使得e-e“<2x+2,不合愿意综上所述，≤写 所以实数2的最大值为} 12/12