山东泰安市新泰第一中学2026-2027学年高三上学期第一次诊断测试数学试题

高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.下列求导运算结果正确的是() A.(x+=1+2 B.(tlnx)=lnx+1C.(sinx)=cosπD.(S=et） 2.在△ABC中，点D在边BC上，且5BD=2BC,则() A.AD-AB+AC B.AD-AB+AC C.AD-2AB+AC D.AD-AB+AC 3.集合A={-1<x<3},B={x|ax2-5x+4<0,若AnB=(1,3),则AUB=（) A.（-1,十∞) B.(一∞，3) C.(-1,4) D.(-4,3) 4.已知sin(a+孕=一子则sn2a=() A司 B.-9 c. D.号 5.函数f(x)满足f(x)=2f(x-1),当0≤x<1时，f(x)=3则f(1ogl8)=() A.2 B.4 C.8 D.18 6.已知f(x)=e-ex,则函数y=f(x+1)+1的图象关于() A.点（1,1)对称 B.点（一1,1）对称C.点（一1,0)对D.点(1,0)对称 7.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为() A.f(x)=1ix B.f(x)= C.()- Df)=2 第1页（共4页） 8.已知函数f(x)=in(ox+孕(o>0)，Vx,∈（爱g,且x<, 都xf(x1)一x1f(x2)>0,则o的取值范围是（ ) A. B.片 C. D.(0,] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数1=4-3i,2=2十i,则() A.z1z2=11-21 B.|2|=V5 C.21十z2的虚部为一2 D.1一z2在复平面内对应的点位于第二象限 10.若向量a,五满足同=|=1，a+列=5，则() A.a与6的夹角为裙 B.a.B= c.a⊥(a-b) D.ā-万在五上的投影向量为-五 1,在△4BC中，内角4，B,C所对的边分别为a,b,c,B=了，a=4,则下列说法正确的 是（) A.若b=2V3,则△ABC为直角三角形 B.△ABC的中线BD有最小值 C.若∠ABC的平分线BD长为V3,则c= D.当△ABC为锐角三角形时，b的取值范围是（√3,2V3) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.函数y=Vx+3 的定义域是 2x 13.设函数f(x) x2+4x+3,X≤0，若函数g(x)=f()一k有四个零点，，， (I Inxlx >0, x4,且x1<x2<x3<4,则k的取值范围是 _,x1+x2十x3x4= 14集合A={x∈Nl≤x≤14}，B∈A,m,np∈B,m<n<P,都有m+p≠2n,则集合B中元素 个数的最大值为 第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，∠ABC=60°， AB=2V3,AD=4. (1)求cos∠DBC的值； (2)求AC的长度. 16.（15分)已知函数f(x)=x2+ax一1nx. (1)若a=1,求函数f(x)的最小值； (2)若函数f(x)在[1,2]上单调递减，求实数a的取值范围. 17.（15分)函数f(x)=Asin(@x+p)+B(A>0,o>0,0<0<π)的图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式： (2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移"个单位长度，得到 函数=g（0的图象，若x∈[一孕，求函数g()的值域。 π 第3页（共4页） 18.(17分)己知定义在R上的函数f(x)=m:4-2x+1一(m∈R). (1)当m=1时，求f(x)的值域： (2)若函数y=g(x)的定义域内存在xo,使得g(a十o)十g(a一xo)=2b成立， 则称g(x)为局部对称函数，其中(，b)为函数g(x)的局部对称点.若(1,0)是 函数y=f(x)的局部对称点，求实数m的取值范围. 19.(17分)如图，已知扇形AOB的圆心角∠AOB=2a(0<a<孕)，半径OA=OB=2.点 C为弧AB上的动点，过点C作扇形AOB的内接矩形CDEF,其中点D在半径OB上，点 E、F在半径OA上，且CF⊥OA. B A (1)当u=T时，求扇形AOB的周长； 6 (2)求矩形CDEF面积的最大值M(用a表示)，并指出此时点C的位置； (3)记扇形AOB的面积为T,设g@=T (i)判断函数g(在区间(0，严)上的单调性，并证明： (i)若对任意a∈(0，T)，不等式g(c)μ恒成立，求实数μ的最大值， 4 第4页（共4页)数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 2 3 5 6 7 8 B B C B C B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABC BD AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12.[-3,0)U(0,+∞) 13.(0,3](2分)、-3(3分) 14.8 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤！ 15.(1)在△ABD中，由勾股定理得BD= AB2+AD2-2V7, Sm∠ABD=g-27co8∠ABD=AB-V@ …5 BD 7 coS∠DBC=coS(60°-∠ABD)=coS60°cos∠ABD+sim60°sin∠ABD =x西+5x25-3@ …8 21 7 2 、714 (2)因为∠DCB=90°，所以BC=BD·cOS∠DBC=3V3, 在△ABC中，由余弦定理得 AC=4B2+BC-24BBC.cosZ4BC=12+27-2X2V3X3V3X=21, 所以AC的长度为V21. …13 第1页/共4页 16.解：(1)若a=1,则f(x)=x2+x-lnx,x>0. /6w=2x+1--241-0at …2 f(x)在(0，上单调递减，在（十∞）上单调递增，…4 f(x)m=f(分=}-lg+n2. …………………6 (2)由已知得/(x)=2x十a-长0在[1,2]上恒成立， …………………8 ∴a≤-2x在[1,2]上恒成立. 令g()=2x,x∈[1,2]，则g(x)=一克-2<0，∴g(x)在[1,2]上单调递减， “g(x)a=g(2)=-7 …14 ∴≤-2 即实数a的取值范围为（一∞， 7 …15 2 17解：(1)由题图知，函数f()的最大值为最小值为一多 则A十B=京一A+B=多 所以4=1，B=克 000●0单。00000000g000000.0000000000 所以f()=sim(@x十p)克 由题图知，函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为5 所以T=元，可得2"=元→0=2. 0…4 由题图知，当x=时，f(x)取得最小值， 12 所以2×0+0=2km+3受(k∈Z),解得p=2m+号（∈Z), 又0<0<元，所以p=罗 所以f()=sim（2x+)2 ……6 (2)将函数∫(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的2 第2页/共4页 可得y=in(4x+)一的图象，再向右平移个单位长度， 可得g（w=in[4（x-孕+]一in（4x-)-的图象.…10 当x∈[-爱时，4-晋∈[-g, …12 当4红一-受即x=时，函数gG)取得最小值，最小值为多 当4晋子即x=,函数g(x)取得最大值，最大值为， 故当x∈[-一孕时，函数g(）的值拔为[-号5].…15 18.解：（1)当m=1时，f(x)=4-2*1-1, 令2x=t>0,则f(x)=4x一2x+1一1可转化为y=2一2t一1（t>0),·4 即y=(t-1)2-2≥-2， f(x)的值域为[-2，+∞). 。。。。。。。》 …6 (3)由(1,0)是函数y=f(x)的局部对称点， 得3x∈R,f(1+x)+f(1-x)=0, …8 代入整理得2m(4+4x)一2（2x+2x)一m=0.① …10 令t=2x十2x,则t≥2，当且仅当x=0时取等号， 则4x十4x=（2x+2x)2一2=2一2， ……12 代A0克米m-25m=0,限s …14 :y=21-在[2，十∞)上单调递增， 2号e《0 …16 实数m的取值范围为(0，打。…17分 19.解：(1)由题意得，弧4B的长为智X2=受，故扇形40B的周长为牙+4.…2 第3页/共4页 (2)连接OC(图略)，设∠AOC=0,0∈(0,2).又OC=2, 所以OF=2cos6,DE=CF=2sin日，所以OE=oE=2sim9, tan2a tan2a 所以EF=OF-OE=2cos日-2sn9 …4 tan2a S-EF-CF-(2cos0-2).2sin0=4sin0cos0-4sin20.1 tan2a tan2a 1 =2sin20-2(1-cos20) =2[sin20+cos2a C0s20- cos2a tan2a sin2a sin2a -2[cos(20-2a)-cos2a] …8 sin2a 因为0<a<年所以0<2a<受：又0∈[0,2a,故20-2a∈[-2a,2]e(-7孕，从而cos(20 一2)上1，当且仅当20一20=0，即6=时取等号。 所以M=2Lcos2=2tana …10 sin2a 此时日=，即点C为弧AB的中点. 11 (3)扇形A0B的面积T=×2×2a=4a,放go)=号=。=品 …12 (i)g(a)=s血2a-2a sin2a …13 设h(x)=x-sinx（x>0),则h'(x)=1-cosx≥0， 故h(x)在(0，+oo)上单调递增，h(x)>h(O)=0,即sinx<x。 取x=2a,得sin2a<2a,故g'()<0,所以g(在(0，孕上单调递减。…15 (i)由(i)知，对任意u∈(0，，有 g(a)>g(好)=2×4÷tan()=7 …………16 因为g(>恒成立，故μ=满足g(P:而当u>时，取a充分接近妥可使 g(a侧<山，不等式不恒成立，所以umax= …17 第4页/共4页数学答题卡 姓名： 贴条形码处 班级： 第一题选择题（请用2B铅笔填涂，每题5分，共60分） 1、[A][B[C][D]5、[A][B][C][D] 9、[A]B][C][D] 2、[A][B][C][D] 6、[A][B][C][D] 10、[A][B][C][D] 3、[A][B][C][D] 7、[A][B][C][D] 11、[A][B][C][D] 4、[A][B][C][D] 8、[A][B][C][D] 第二题.12 13 14 15.（13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.（15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 17.（15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 18（17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 19.(17分) B D ■ E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效