直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线与圆、圆与圆的位置关系 一．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种：相离，相切和相交 二．直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离． 弦长公式： 三．两圆位置关系的判断 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 1.关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． （5）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在的直线方程为：. （6）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长 （7）切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 2.两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 3. 圆系方程 （1）以为圆心的同心圆圆系方程：； （2）与圆同心圆的圆系方程为； （3）过直线与圆交点的圆系方程为 （4）过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 题型一：直线与圆的位置关系的判断 例1．（1）（2026·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆，直线，则圆C与直线l（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心 【详解】由可得，故圆心，半径， 则圆心到直线的距离，故直线与圆C相切．故选：B （2）（2026·宁夏银川·银川一中校考二模）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【解析】由直线得，令，得，故直线恒过点，又，即点在圆内，故直线与圆的位置关系为相交.故选：C. （3）（2025·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【详解】因为直线，即，当时，，解得，所以直线表示过定点，且除去的直线，将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上，所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意，所以直线与圆相交.故选：C （4）（2023·全国·高三对口高考）若直线与圆相交，则点（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 【解析】直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即：，即，据此可得：点与圆的位置关系是点在圆外.故选：B 例2．（1）（2025·辽宁·校联考二模）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（    ） A．点在l上 B．点在圆O上 C．点在圆O内 D．点在圆O外 【详解】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，则有，故，把代入，所以点不在直线l上，故A错误；又，则点在圆O外，故D正确.故选：D． （2）（多选题）（2021•新高考Ⅱ）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是　　 A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在直线上，则直线与圆相切 D．若点在圆内，则直线与圆相离 【解析】中，若在圆上，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，即正确；中，点在圆外，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以不正确；中，点在直线上，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，所以正确；中，点在圆内，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，所以正确；故选：． （3）（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】易知圆的圆心为，半径为2，圆心到的距离，所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条， 可得一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1. 故选：C. （4）（25-26高二下·上海·期中）设有一组圆（为正整数），现有命题：存在一条定直线与所有的圆均相交；命题：存在一条定直线与所有的圆均不相交；则以下说法正确的是（    ） A．均为真命题 B．均为假命题 C．仅为真命题 D．仅为真命题 【详解】根据题意得：圆心坐标为，半径为，设圆心，则，则可得， 即圆心始终在直线上，所以存在直线与所有的圆均相交，命题为真命题； 设圆心到直线的距离为，则，若取无穷大，则圆的半径无穷大，且半径的增长速度比快，则可以认为所有直线都与圆相交，命题为假命题，故仅为真命题.故选：C. 题型二：弦长与面积问题 例3．（1）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【详解】圆可化为，得圆心，半径用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长故选：D （2）（2024年高考全国甲卷数学真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】因为直线，即，令，则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，当时，的最小，此时.故选：C （3）（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 【详解】可化为，则圆心，半径为，且，即.圆心到直线的距离.由垂径定理得，，即，整理得，解得，此时满足条件，实数的值为. （4）（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点M，N在圆上，点在直线上，点为MN中点，若，则的取值范围是（    ） A．[1,3] B． C．[0,4] D． 【详解】由题意可得圆的标准方程为，设圆心为，半径为，则，，所以由垂径定理可得，故点在以为圆心，半径的圆上， 又因为圆心到直线的距离， 故直线与圆相切，又因为点在直线上，结合图象可知，的取值范围为，即.故选：D. （5）（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 【详解】由题可知，圆心为，半径为，过圆心作，垂足为，又，则，所以在中，，则， 即圆心到直线的距离，解得或. 例4．（1）（多选题）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相离 D．直线被圆截得的弦长最小值为 【详解】对于A：圆C方程配方整理得.圆心为，半径，故A正确； 对于B：直线方程变形为.令且，解得，故直线恒过定点，故B正确；对于C：定点到圆心的距离为，定点在圆内部，故对任意，直线与圆恒相交，故C错误；对于D：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为.故D正确．故选：ABD （2）（多选题）（26-27高三上·云南玉溪·阶段检测）已知点，圆，则下列结论正确的有（   ） A．点与圆上的点之间距离的最大值为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 【详解】已知点，圆 ，则圆心 ，半径 ，选项 A，，则点到圆上点最大距离是，故 A 错误； 选项 B，因为，所以点在圆内部，故B 正确；选项 C，弦长 ，由弦长公式，，即圆心到直线距离， 直线过，当直线的斜率存在时，设的方程是，即，圆心到直线距离，，，所以直线的方程是即，当直线的斜率不存在时，直线的方程是 ，圆心到它的距离 ，也满足条件，所以的方程为： 或 ，故 C 错误；选项 D，以为中点的弦，则弦与垂直，，所以弦所在的直线的斜率 ，又过，所以该直线方程为，即，故D 正确.故选：BD （3）（2026·山东潍坊·模拟预测）已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】设，，则，，由，消去整理得，则，所以，，则 ，所以，解得.故选：B （4）（2026·江苏南京·三模）已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . 【解析】当直线的斜率不存在时，设的方程为，由，可得，或， 所以，符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，因为，所以圆心到直线的距离，由，得，所以直线的方程为，则直线的方程为或.故答案为：或. （5）（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，若直线与被圆所截得的弦长均为2，则圆的标准方程为______. 【详解】两平行直线，均与直线垂直，且交点分别为，， 所以圆心为的中点，所以，点到直线的距离， 所以圆的半径，所以圆的标准方程为. 例5．（1）（2026·山东临沂·二模）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【详解】圆化为标准形式，圆心，半径； 面积（为圆心到直线的距离），由，得，即，解得；圆心到直线的距离，即，解得或． （2）（2026·河北邢台·二模）已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 【详解】∵ 圆的圆心为原点，半径，∴ ，设， 则.∵ ，∴ ，解得. ∵ ，∴ 或.过点作于点，则为圆心到直线的距离，且. 在中，.当时，；当时，.由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离，故舍去.∴ ，解得，即. （3）（25-26高二下·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【详解】圆心到直线的距离，则弦长， ，当且仅当，即时， 面积取得最大值. （4）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 【详解】圆：得圆心为，半径， 的面积，当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为，则，解得或. （5）（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【详解】注意到直线过点C，将直线方程与联立，可得，其判别式为，设，则.又，，则 ，当且仅当时取等号.故选：B 例6．（1）（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 【详解】由题意得圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离， 因为，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，若的斜率不存在，则的方程为，，若的斜率存在，设的方程为，即，所以，即，整理得，解得，，综上，直线的斜率为或． （2）（2025·浙江·三模）过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为_____. 【详解】圆的半径为，圆心为， 则，所以，此时圆心到直线的距离为，若直线与轴重合，则圆心到直线的距离为，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，故直线的方程为.故答案为：. （3）（2026·北京朝阳·二模）已知直线与圆交于两点；能使为锐角的的一个取值为___________． 【详解】圆:，圆心，半径，故.直线:，即. 为锐角所以. 设圆心到直线的距离为，则. 圆的弦长.在中，由余弦定理：， 为锐角所以可得，代入得.即，化简得.将代入：，，，解得或，故可取. （4）（2026·江苏·模拟预测）已知动点在圆上，点，当面积最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题可知.面积，为点到直线的距离. 面积最小时最小，直线：.圆心到直线距离.圆上点到直线的最小距离.过圆心作直线的垂线，斜率，方程. 联立得或，由题意取靠近直线一侧的点. （5）（25-26高二上·四川·期末）过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ） A． B． C． D． 【详解】曲线即为，表示以原点为圆心，为半径的半圆，设所以的面积， 所以，当时，的面积取得最大值，此时原点到直线的距离为，设直线的方程为，因为原点到直线的距离为，解得， 所以，整理得，解得（正舍）.所以的面积取最大值时，直线的斜率等于故选：B 例7．（1）（25-26高二上·山东泰安·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作直线交圆于两点，若，求直线的方程. 【详解】（1）∵线段的中垂线为，∴圆心在直线上，又因为圆心在直线上，联立，得，即圆心为，∴半径，∴圆的标准方程为：. （2）设圆心到直线的距离为，，，，， 当斜率不存在时，直线的方程为，，符合题意，当斜率存在时，设其斜率为， ∴直线的方程为，即，∴圆心到直线的距离，解得， ∴直线的方程为，即，∴综上所述，直线的方程为或. （2）（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知圆的半径为，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的标准方程； （2）过圆心的直线与圆交于、两点，且的面积是（为坐标原点），求直线的方程. 【详解】（1）根据题意，不妨设圆心坐标为，其中，由题意可知，圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，因为，解得，故圆心为，故圆的标准方程为. （2）因为过圆心的直线与圆交于、两点，则，设点到直线的距离为，则，解得，若直线的斜率不存在，此时直线的方程为，则原点到直线的距离为，符合题意，    若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式可得，解得，此时直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或. （3）（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知圆与轴交于，两点，且点在点的左侧，动点与点的距离是它与点距离的倍. （1）求点的轨迹方程； （2）过点作倾斜角为的直线交于的轨迹于，两点，求弦长. 【详解】（1）由题意得点，，设点， 则，平方得， 化简得.故点的轨迹方程为. （2）依题意，点，故直线，即.联立化简得.设点，，则，，所以， 故. （4）（25-26高三上·云南临沧·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最大值． 【详解】（1）因为圆 ，所以 ，所以圆的圆心为 ，半径为 设圆心到直线的距离为 ，则 ，所以 当直线的斜率不存在时 ，此时 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为 ，则 ，所以 ，所以 ，所以，即，综上可知：直线的方程为 或 （2）的面积 ，由 的性质可知 ， 所以 ，当且仅当时，即 时等号成立， 所以的面积的最大值是 （5）（25-26高二上·安徽·期中）已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且圆与直线相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）若过点的直线与圆交于、两点，且，求四边形的面积的最小值. 【详解】（1）设点，，因为圆与直线相切，所以点到该直线的距离为，因为，解得，故圆的方程为. （2）（i）因为的面积为，，所以的面积为，即，所以，若，则圆心到直线的距离为，不合乎题意， 若，则圆心到直线的距离为，合乎题意，所以圆心到直线的距离为，易知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，即直线的斜率为. （ii）当、中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为，此时；    当直线、的斜率都存在时，设直线的方程为，则直线的方程为， 所以点到直线的距离为，则，同理可得，所以 ，综上所述，，即四边形面积的最小值为. 题型三：切线、切线长问题 例8．（1）（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率，因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即，所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即.故选：C. （2）（25-26高二上·浙江·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【详解】切点在直线上，所以，即，圆心与切点连线的斜率为，所以切线的斜率为，又切线的斜率为，所以，所以，解得，所以.故选：C. （3）（25-26高三上·山东菏泽·期末）过点作圆的切线，则切线方程为___________． 【详解】将点代入圆的方程，得，故点在圆上.可化为：，圆心为.,故，故切线方程为：，即.故答案为：. （4）（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【详解】由圆，圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到切线的距离为1，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，则切线的方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （5）（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 【详解】因为圆的方程可以化为，所以其圆心为，半径为， 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 所以有，解得，所以切线的方程是或， 当切线斜率不存在时，，此时圆心到直线距离为5，不与圆相切，. 所以的方程为或. 例9．（1）（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【详解】直线，斜率，且点在直线上.直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率.由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径.直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式化简得，解得或. （2）（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则， ，即为钝角，所以； 方法二：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且，设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得. 故选：B.      （3）（新课标Ⅰ卷）已知，直线，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为　　 A． B． C． D． 【解析】化圆为，圆心，半径． ．要使最小，则需最小，此时与直线垂直．直线的方程为，即， 联立，解得．则以为直径的圆的方程为． 联立，相减可得直线的方程为．故选：． 相似题：（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离. 由题意知,所以A，P，B，O四点共圆，且，所以.因为，当直线时，，，此时最小，所以直线，由解得所以以为直径的圆的方程为，即.两圆的方程相减得，，即直线的方程为.故选：D （4）（2026·广西·模拟预测）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 【详解】易知两条切线的斜率均存在，设过点的圆的切线方程为，整理为一般式得,圆的圆心为，半径，由直线与圆相切的性质可知，圆心到切线的距离等于半径，即 ，将上式两边平方得，展开整理得， 设两条切线的斜率分别为,，由韦达定理得，，由两直线的夹角公式，设两直线夹角为，则，其中，代入得 （5）（25-26高二下·河南·期中）已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 【详解】由点，线段为的一条直径，得，的半径，由两条切线的斜率均存在，设切线方程为，则，整理得，因此是方程的两个根，所以. 例10．（1）（25-26高三上·山东临沂·期末）莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点D，E，F，则D，E，F三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线.在平面直角坐标系中，若的三个顶点坐标分别为，，，则该三角形的Lemoine线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设的外接圆方程为，则，解得，即外接圆方程为，即，外接圆在处的切线方程的斜率为，所以，所以在处的切线方程为，直线的方程为，联立，即得即得，外接圆在处的切线方程的斜率为，所以，所以在处的切线方程为，直线的方程为，联立，即得即得，则直线的方程为，即，即该三角形的Lemoine线方程为.选：B. （2）（25-26高二上·河北邢台·期末）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径为3．因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直．因为圆心到直线的距离为，所以，故．答案为：D.    （3）（2026·甘肃平凉·模拟预测）过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得，   因为为正三角形，可得，所以， 即点的轨迹方程为，令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率，由，可得，则圆心到直线的距离为，令，即，整理得，即，解得，即的取值范围为. （4）（多选题）（2026·山西晋城·三模）若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 【详解】由圆，圆心为，半径为，∵在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，∴在直线上存在一点，使得到的距离等于2，∴只需点到直线的距离小于或等于2， ，解得，结合选项，实数的取值可以为10，4.故选：CD （5）（多选题）（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知以为方向向量且过点的直线与以为圆心，半径为1的圆，若点为直线上的一个动点，下列说法正确的是（   ） A．直线与圆没有交点 B．与直线平行且截圆的弦长为的直线为 C．若点为圆上的动点，则的最小值为 D．过点作圆的两条切线，切点分别为S，T，则的最大值为 【详解】A选项，由题意知圆C的方程为，圆心为，半径为1，直线l的方程为，则圆心到的距离为，故直线与圆相离，A正确； B选项，设与直线平行直线方程为，则圆心到的距离为， 直线截圆的弦长为，得，解得，故，解得或，故与直线平行且截圆的弦长为的直线为或，B错误； C选项，由A知直线与圆相离，故圆心到直线的距离减去半径为的最小值，由A可知，圆心到直线的距离为，故的最小值为，C错误；D选项，如图，, 由题意可知，与相互垂直，因为， ，所以求出的最大值，则求的最小值，当时，取得最小值，取得最大值，最大值为，因为为锐角，所以的最大值为的最大值为，D正确，故选：AD 例11．（1）（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______． 【解析】圆，即，由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，，，所以，因为，所以，又，所以，所以，即，所以最短时，最短，点C到直线的距离即为的最小值，所以，所以的最小值为 （2）（25-26·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________． 【详解】依题意，直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，即，圆的圆心，半径， 因为为圆的切线，则，四边形的面积：又到的距离，于是，因此，所以四边形APNQ的面积最小值为.故答案为： （3）（24-25高三上·山东临沂·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点为、，若，则四边形（为圆的圆心）的面积是（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可得，，，， 所以，，所以，，设，则， 因为。易知为锐角，则，， 所以，，因此，.故选：C. （4）（多选题）（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，下列选项中，圆的面积可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则,且半径，所以圆必过坐标原点， 又因为圆与直线相切，所以,又因为坐标原点到直线的距离，所以的最小值为，所以圆的面积的最小值为， 对于A，因为，不满足题意；对于B，，不满足题意； 对于C，，满足题意；对于D，，满足题意.故选：CD （5）（多选题）（25-26高二上·江苏南京·期中）已知圆和直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 【详解】由圆知：圆心，半径； 对于A，当时，圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为，A正确；对于B，当时，圆心到直线的距离，，圆上到直线的距离为的点有个，B错误；对于C，为圆的两条切线，，， ，，，当时，取得最小值， 四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，设是圆上一点，圆方程可整理为：； 当或时，在处切线的斜率为，在处切线方程为：，又，整理可得该切线方程为：；当或，在处切线满足方程；综上所述：在圆上一点处的切线方程为；设，则直线，直线，设，则， 坐标满足方程，即直线方程为：；为直线上的动点，，直线，整理可得：，令，解得：，直线恒过定点，D正确.故选：ACD. （6）（多选题）（25-26·河北张家口·二模）已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 【详解】圆C的方程可化为，，对于A选项，圆心C的坐标为，则圆心C的轨迹方程为（除去点），所以A选项不正确；对于B选项，圆C的方程可化为，令，解得所以圆C过定点，所以B选项正确；对于C选项，，当时，，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以，所以C选项正确；对于D选项，，所以D选项正确.故选：BCD. 题型四：切点弦问题 例12．（1）（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面，由切线的性质定理可知，，，即，所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径，设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径，所以圆的方程为，因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差，即，化简得，所以直线的方程为. （2）（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则，代入直线的方程，得，则，解得，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最小值为．故选：B. （3）（多选题）（25-26高二上·河北·期末）已知点，，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的方程 B．过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C．若点是上一点，则的最大值为 D．若点是上一点，则的最大值为 【详解】对于A，因为，所以，整理得，故A正确； 对于B，因为H为直线上一点，设点H坐标为，则直线MN的方程为，整理得，令，解得，所以直线MN过定点，故B正确；   对于C，令，对于直线，与C相切时有最值，此时圆心到直线的距离，解得或，所以的最大值为，故C错误；     对于D，，表示点到点的距离，取，，， 则，当直线与圆相切时，与的夹角最小，此时在中，，，，所以，，所以，故D正确.   故选：ABD. （4）（2025·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【解析】圆，设，则，则，，则，所以圆心到直线的距离是，，得，．故选：A． 例13．（1）（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 【解析】由，得到，所以圆心，半径， 如图，，所以四边形的面积，所以当最小时，也最小，此时，，故的方程为，即， 联立解得：，，即，所以直线的方程为，化简得：. （2）（多选题）（24-25高二上·湖南常德·期末）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（    ） A．最短为 B．最短时，弦所在直线方程为 C．在点，使得 D．直线过定点为 【详解】由题意知，圆的半径为，且，，故,即当最小时，最短，当时，最小，最小值为，故的最小值为，A正确；当最短时，，故的斜率为-1，又，故的斜率为1， 设其方程为，由于此时，，故，所以M到的距离为.则有，解得或， 由于，结合图形可知二者之间的距离应小于，当时，和间的距离为，时，的方程为和间的距离为，故最短时，弦所在直线方程为，B正确；假设存在点，使得，则，此时为等腰直角三角形，则，结合，则为等腰直角三角形，而，故，由于M到直线l的最短距离为，故不存在点，使得，C错误；设，由于直线，分别与圆相切，故直线，的方程分别为，将代入，即，可得的方程为， 由于，即，故即，由于，故令，即直线过定点为，D正确故选：ABD. （3）（多选题）（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆内有一点，过点的直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，且相交于点，则（    ） A．当在两坐标轴上截距相等时，的方程为或 B．点的轨迹方程为 C．当时，点的坐标为或 D．当时，直线的方程为或 【详解】当不过原点时，设直线的方程为，将代入解得，此时的方程为.当过原点时，直线的方程为，此时为圆的一条直径，过分别作圆的切线，则，不满足题意，A项错误；设，连接，则，所以都在以为直径的圆上，又，的中点即圆心为，所以以为直径的圆的方程为，即，与相减得直线的方程为，又在直线上，则，所以，因此点的轨迹方程为，B项正确；当时，点在圆上，联立解得或，所以点的坐标为或，C项正确；设与的交点为，由图可知，所以，即，所以，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由，得，所以直线的方程为，当直线的斜率不存在时，也满足题意，项正确， 故选：. （4）（多选题）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为5 B．若圆上存在点，使得，则的取值范围为 C．四边形的面积最小时，直线的方程为 D．若，则的最大值为 【详解】对于A，圆的圆心为，半径，点在轴上，过作圆的切线，切线长，其中，故，当时，取得最小值，故A错误；对于B，圆上存在点使得，所以，所以，故，又，所以，故，故B正确；对于C，四边形的面积，当时面积最小，此时，切点弦的方程为，与选项中不符，故C错误；对于D，直线的方程为， 当时，直线的方程为，此时，，当时，直线的方程为，联立得交点的坐标：，消去参数得的轨迹方程为圆：，圆心为半径，点到的距离为，故的最大值为，故D正确；故选：BD． （5）（多选题）（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．四边形面积的最小值为 D．当最小时，直线的方程为 【详解】选项A：，故A正确；选项B：当与圆相切且直线时，最大，此时，，，，故B正确； 选项C：由，当与直线垂直，最小，最小，，，故C错误； 选项D：由题意知，则，，即，，，当最小，取得最小值，此时垂直于直线，所以直线方程为.，联立，解得，即，则以为直径的圆的方程为，即为四边形的外接圆，方程为，由四边形的外接圆与圆相交于， 两圆方程相减即为的方程，故D正确.   故选：ABD. 例14．（1）（26-27高三上·湖北·开学考试）已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 【详解】 如图，其中一条切线为轴，设切点为．设另一条切线的方程为，由到切线的距离为2，得，解得．所以的方程为． 联立，消去化简的：，解得，故，即，所以．所以的方程为：，即：．所以的最小值为点到直线的距离，即． （2）（25-26高二上·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为______，直线过定点______. 【详解】如图：   因为， 所以只有最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得，，所以此时.再设，则，因四边形在以为直径的圆上，得圆的方程：，即，与相减，得直线的方程为，，再由，所以直线的方程为，，即， 令，得，所以直线过定点.故答案为：；. （3）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【详解】 圆的标准形式为， 圆心，半径，满足，即，点在直线上，设点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，在圆外， ，四点共圆，圆的直径为，方程为，圆，联立两圆方程得出圆的切点弦方程，展开整理得，代入得，，解得，即直线恒过． 故选：D． （4）（25-26高二上·山东临沂·期中）设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上， 则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，，则，所以，则原点到直线的距离为定值，故切点弦始终与圆相切，在圆内不与切点弦相交的区域面积为．所以切点弦所形成的区域为圆与圆之间的圆环，故所形成的区域的面积为.故选：C （5）（25-26高二上·江西·阶段检测）过直线上任意一点向圆作两条切线，切点为，线段的中点为，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵点为直线上的任意一点，∴可设，则以为直径的圆的方程为，化简可得，与已知圆的方程相减可得的方程为，由直线的方程为，联立两直线方程可解得，，故线段的中点，∴点到直线的距离，∵，∴，∴，∴，∴，即.故选：C 题型五：圆上的点到直线距离个数问题 例15．（1）（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意，在圆中，圆心，半径为，到直线的距离为的点有且仅有 个，∵圆心到直线的距离为：，   故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B. （2）（2026·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由可得，即过定点，由可得，即过定点，又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点），其中圆心为，半径为，所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1，只需圆心到直线的距离等于1，即，解得，此时 到直线的距离不为1，故符合.故选：B （3）若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值范围__ 【解析】由圆的标准方程，可得圆心坐标为，半径为，圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应不大于等于，即，整理得，解得，即实数的取值范围是. （4）（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】直线对任意都过定点.要使任意对应的直线与圆总有2个公共点，等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点.若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ；若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线，由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内，因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意；若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件.综上，实数的取值范围为. （5）（贵州省黔南州2027届高三上学期摸底考试数学试卷）已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】将圆配方得， 因此圆心为，半径；若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离需满足； 当时，圆上恰好有3个点到直线距离为1；当时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心到直线的距离 ，解得，即. 例16．（1）（25-26高二上·贵州贵阳·期中）若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解析】圆：的圆心，半径，由圆上有且仅有个点到直线的距离为，得圆心到直线的距离为，则，解得或. 故选：D. （2）（2024·山西·二模）已知是坐标原点，若圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】圆的圆心，半径，设与直线平行且距离为2的直线方程为，则，解得，直线，，点到直线的距离，到直线的距离，由圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，得圆与直线相交，且与直线相离，则，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：A （3）（2025·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为，设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，则，解得或，所以，直线、均与圆相交，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C. （4）（25-26高二上·浙江·阶段检测）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由圆的圆心为，半径为1，则圆心到点的距离为，要使圆上总存在两个点到点的距离为3，则，所以，可得或.故选：B （5）（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心为，半径,若圆上恰好有个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离，即直线是圆心为、半径为的小圆的切线， 要存在过点的直线满足条件，需点在该小圆上或小圆外，即点到的距离. 对于A：点到的距离为，A正确； 对于B：点到的距离为，B正确； 对于C：点到的距离为，C正确； 对于D：点到的距离为，D错误.故选：ABC （6）（2026·河北·模拟预测）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则直线l斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】直线可化为，联立，解得，故直线l过定点.设直线l的斜率为，则直线的方程为，即. 依题意，圆心到直线l的距离为，解得. 题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 例17．（1）（25-26高三下·江西·阶段检测）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段MN中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】圆：，即的圆心，半径，由点为线段MN的中点，得，且，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而点在直线上，则圆心到直线的距离，，所以的最小值为3. （2）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线：与圆：交于，两点，若点，是圆上的一动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】圆：，即，其圆心为，半径， 因为的坐标满足直线的方程，所以直线过圆心， 则是圆的直径，所以.因为，所以.因为是圆上的动点，所以.因为，，所以，所以.故选：B. （3）（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设是圆上任意一点，若的最小值为，且，则的最小值为（   ） A．8 B．4 C．3 D．2 【详解】因是圆上任意一点，由可得，将其理解为圆上点与点的距离，其最小值为，依题意，可得，即，又， 由，当且仅当时，取得等号，即当时，的最小值为4.故选：B. （4）（2025·江西·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【解析】由题意知点在曲线上，则圆心到直线的距离，即，又，所以的最小值2．故选：B. （5）（25-26高三下·河南·开学考试）若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，所以，当时，曲线为； 当时，曲线为，显然为半圆，如图所示，易得直线 经过定点，当直线与相切时， ，,所以，易得，故当时，直线与曲线恰有三个公共点，即的取值范围为．故选：D． 例18．（1）（2026·江苏泰州·模拟预测）若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆，则该圆的圆心为，半径为，对于圆上两不同点，根据圆的性质，当为圆的切线时，最大，若，则在中，，则，所以若直线上存在一点，使得， 则等价于圆心为到直线的距离，即，解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：A． （2）（25-26高二上·湖北·期中）已知实数满足，，则的最大值是___________. 【详解】设，所以是圆上两点，，所以，记直线， 过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，设的中点为，过作的垂线，垂足为，如图所示， ， 所以表示的是两点到直线的距离之和的倍，又，所以，表示的是到直线的距离的倍，由于是直角三角形，所以，所以在圆上运动，圆心为，半径为，所以到直线的距离最大值为，又，所以的最大值是．故答案为：． （3）（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知直线恒过定点A，圆O：上的两点，满足，则的最小值为________． 【详解】已知直线恒过定点A，即对任意恒成立， 则，解得，所以定点A的坐标为.由，可知P、A、Q三点共线，设弦的中点为，连接，如图，则，即，所以 ，由此可得E的轨迹方程为，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设直线l为，则到l的最小距离为，过P、E、Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、R、N，则R是的中点，所以 ，即，则 （4）（2026·河北唐山·模拟预测）已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．14 D．35 【详解】设的中点为，根据圆的性质可得，如图所示.则， 所以，点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，其方程为.因为,所以，.的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2，因为，所以. （5）（2026·重庆·模拟预测）已知圆，，点坐标原点，点，是圆上的两个动点且，若，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 【详解】因为是圆上的点，故，，故.由，两边平方得： ，，.设，，所以，代入圆方程得 ，即的斜率，由对称性，不妨设.由得，故点轨迹是过点且平行于的直线，直线的方程为：，整理为，因为是圆上的动点，是直线上的动点，如图：   所以的最小值等于原点到直线的距离减去圆的半径，由点到直线的距离公式得因此. 例19．（1）（2026·江苏扬州·三模）已知圆，点P在直线上．若圆C上存在两点A，B，使得是等边三角形，则点P的横坐标的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 【详解】  圆，圆心为原点，半径. 在直线上，设.因为圆上存在两点使为等边三角形，所以，过作圆的切线，切点为，连接，则，又，所以，即，即.即，因式分解得， 解得，即点横坐标的取值范围为. （2）（2026·重庆北碚·模拟预测）若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】：圆，圆心为：，半径为，当与圆相切，且直线时，最大， ∵在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于，∴只需到直线的距离小于或等于，故，解得. （3）（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为三角形为等腰直角三角形，且，所以，所以直线的直线方程为， 因为，所以，所以，又，所以，解得.因为，，所以的轨迹方程为和.记的中点为，则，所以， 所以，所以的轨迹方程为.过分别向直线作垂线，垂足分别为，则，又因为，所以为直角梯形，又，为的中点，所以.则的最大值即为的最大值，又到直线的距离为，所以的最大值为，所以的最大值即为. （4）（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）实数x，y满足． （1）求的最小值； （2）求的最大值． 【详解】（1）由得，令，则直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离为，解得，所以的最小值为． （2），可以看作点到直线的距离与它到距离比值的2倍，设过点的直线与圆相切于点，此时取到最大值；设直线方程为，由，得， ，解得，结合图形可知，把代入联立后的方程可得切点，代入可得的最大值为.    （5）（2026·广东广州·三模）已知圆的圆心在曲线上，若圆与直线交于两点，且，过原点的直线交圆于两点，则的最小值为__________. 【详解】解：设过原点的切线的切点为，圆半径为，中点为， 则，所以， 则的最小值，即为求的最小值，设，点到直线的距离，则，而，当且仅当取到最小值，所以最小值为3． 题型七：圆与圆的位置关系 例20．（1）（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【详解】化简，则其圆心，半径，化简，则其圆心，半径，则，而，则，故两圆相交. （2）（25-26高二下·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.所以，即，所以圆与圆外离. （3）（25-26·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【解析】圆：，所以圆心，半径为.由点到直线距离公式得：，且，所以.又圆的圆心，半径为：1.所以，.由，所以两圆内含.故选：D （4）（25-26高二上·云南昆明·期末）圆与圆的公共点个数为（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 【详解】可化为： ，圆心，. 可化为，圆心 .，故两圆内切.故两圆有一个公共点.故选：D 例21．（1）（2026·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【详解】由题知，两圆圆心分别为，由圆与圆相交，则，即，解得，故选项中B正确，ACD错误. （2）（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由题知：圆方程可化为：，所以圆心为，半径，由圆的方程可知，圆心为，半径，所以圆心距.因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. （3）（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得，所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1.又圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为圆与外切，所以，解得. （4）（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得圆，整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得，则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和，所以，解得，    令，则，代入，得，展开得，因为，所以，解得.所以的最大值为，故D正确. （5）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径；若圆与圆相外切，则，即，解得或；若圆与圆相内切，则，即，解得或；故使得圆与圆相切的的值有、、、，共个. 例22．（1）（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围______． 【详解】又变形为，则恒过定点，变形为，则恒过定点，因为，所以，点P的轨迹是以和为直径端点的圆D（去除点）， 所以圆心，半径，又圆C的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，则两圆相离，所以的最大值为，因为点不在圆D上，所以的最小值大于，则的取值范围是. （2）（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆C的半径为，则，即，则当圆的半径最小时，， 如图1，圆心在过点且与直线垂直的线段上，即在上，设， 则，解得，则，又，故其标准方程为. （3）（2026·陕西榆林·三模）已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上，又因为点在圆上，所以，即，所以，解得. （4）（25-26·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【解析】易知直线恒过定点，直线恒过定点，且，易知直线与互相垂直，即可得，所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为；可得点轨迹方程为；又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点，当两圆内切（圆在外）时，取得最大值；此时满足，解得.故选：D 例23．（1）（多选题）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【详解】由：，化简可得，所以，的圆心，半径，故A错误；对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确；对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确；对于D，由，化简得：，所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误.故选：BC （2）（多选题）（25-26高二下·安徽·期中）已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，且，所以圆与圆外离，故A错误；对于B，当与圆相切时，，所以的面积为，故B正确．对于C，连接，则，当取最小值时取得最小值，又，所以，故C正确；对于D，设，则，在中，，则，由对C的分析，知，所以，令，则，，当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：BC （3）（多选题）（2026·陕西榆林·三模）已知直线与圆和圆都相切，则（    ） A．的值有4组 B．直线与圆相切 C．直线与圆和圆都没有公共点 D．与圆和圆都相切的圆中，半径最小的圆的面积为 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 依题意，，，联立解得或， 当时，，解得或； 当时，，解得或，因此有4组值，A正确； 要直线与圆相切，必有，而当时，直线与圆不相切，B错误； 由，得直线与圆和圆都没有公共点，C正确；由圆和圆的圆心都在轴上，且两圆外离，这两个圆上距离最小的点为，因此与两圆都相切的圆中，最小的半径为，面积最小为，D错误．故选：AC （4）（多选题）（2026·安徽合肥·模拟预测）记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 【详解】对于A，圆，圆心，半径，整理圆，圆心，半径.两圆相内切且半径大于半径，圆心距，得，因此，解得，故选项A 错误；对于B，由A选项分析知时，圆方程为，点在圆上， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则圆到直线的距离，所以，则圆到直线的距离，，所以，即为的中点，同理得为的中点，得，所以.若直线的斜率不存在，则，点仍为的中点， 同理得为的中点，得，所以.综上所述，，所以B正确； 对于D，根据圆周角与圆心角的关系，且（当直线过圆心时，）， 所以，故D正确；对于C，当时，由B选项解析知， 在中，由正弦定理得，得或，由D选项解析可知，所以.当时，在中由正弦定理|，得，故，故C正确.故选：BCD 题型八：两圆的公共弦问题 例24．（1）（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆，圆. 展开圆：，即. 两圆方程相减得公共弦：. 圆心到直线的距离：. 圆半径，弦长. （2）（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【详解】已知圆，即 ① ，圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ，因此直线斜率，又 ，由，可得. （3）（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【详解】圆：，圆：.两式相减得公共弦所在直线方程：，即圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离由公共弦长，得弦长一半为，由，即解得，又，故.代入圆：.得圆心，半径圆心距，因为所以所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. （4）（24-25高二上·河南新乡·开学考试）已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】由圆的方程为可知圆心，半径，点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小，所以，，所以直线的方程为， 联立，解得，以为直径，以中点为圆心的圆方程为，两圆方程相减可得直线的方程，故选：D （5）（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，连接交于点，则，联立，则直线方程为，，，则. 例25．（1）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【详解】由圆，得圆心为，半径，由圆，得圆心为，半径为，所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为，要使两圆相交，需使,解得，，可得，因，则， 由，解得，满足，因此的值为. （2）（多选题）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 【详解】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程， 故A错误；对于B选项，联立，可得联立或，则，故B正确；对于C选项，设，，因为，为圆的切点，所以直线的方程为，直线的方程为，设，则，所以直线的方程为，又因为，所以，由，得到， 即直线过定点，故C正确；对于D选项，因为，所以当最小时，最小，且的最小值为，此时，故D错误.故选：BC （3）（多选题）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（   ） A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 【详解】易知圆的圆心为，半径为，对于A，因为，又圆心到直线的距离，则，所以的最小值为，故A正确，对于B，因为四边形面积， 由选项A知，所以，故B正确，对于C，设，则，， 以为圆心，为半径的圆的方程为，即①， 又在圆②上，由①②得到，即，所以直线的方程为，又点在直线上运动，当时，直线的斜率不存在，所以C错误，对于D，由选项C知直线的方程为，且，所以直线的方程为，即，由，得到，所以直线恒过定点，故D正确. 故选：ABD （4）（多选题）（2026·安徽·模拟预测）已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若点P在圆O上运动，则的最小值为21 B．圆O与圆的公共弦长为 C．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为 D．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离的最大值为 【详解】对于A，设，则， ，A正确；对于B，将圆O与圆的方程相减可得两圆的公共弦方程为，点O到公共弦直线的距离为，所以公共弦长为，B错误；对于C，直线的方程为，连接，则，， 在中，，当时，，从而取最大值，因为是锐角，所以最大时最大，又最大时，，所以，此时最大，最大值为，C正确； 对于D，设则，因为，所以线段为两圆的公共弦，而为直径的圆的圆心为，半径为，所以其方程为，即，与圆O相减得直线的方程为，将代入得，即，令，解得，所以直线恒过定点，则当且仅当时，点到直线的距离取得最大值，为，D正确. 故选：ACD （5）（多选题）（25-26高二下·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则正确的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上，联立，化简得：，所以直线的方程是，故B正确；联立，解得：，或，由于，所以，，所以A正确；圆心距，公共弦长，由于，所以四边形的面积是，故C错误；当直线斜率不存在时，，，此时，当直线斜率存在时，设方程为，所以点到直线的距离为，此时，点到直线的距离为，此时所以，当时，，设，，所以由，可得：，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最大值是，当时，，设，，所以由，可得：，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最大值是， 当时，，设，，所以由，可得：，所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时，综上的最大值是，故D正确. 故选：ABD 题型九：两圆的公切线问题 例26．（1）（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】，则，半径，因为关于直线对称，所以在上，则有，解得，则， ，则，半径，，，，故与相交，则与的公切线的数量为，故选项B正确. （2）（25-26高二上·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】将，化为标准方程得到；则圆心，半径；将，化为标准方程得到；则圆心，半径； 圆心距，因为，所以两圆内切，公切线有1 条. 故选：A. （3）（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【详解】圆C的圆心为，半径，圆O的圆心为，因为，所以在圆C内部，因为两圆有两条公切线，且垂直，所以两圆相交，设圆C与两切线分别交于点A、B，圆O与两切线分别交于点D、E，两切线交于点F，连接CA、CB、OD、OE、OC，过O作，如图所示， 则四边形与四边形均为正方形，则四边形为矩形，且，，在中，，所以， 则，即，解得或（舍）， （4）（25-26高二上·安徽·期末）已知圆，圆，若与有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径，若与有且仅有2条公切线，则两圆相交，又，，解得.故选：D. （5）（25-26高二上·广东·期末）若圆与圆有且仅有三条公切线，m的值为（     ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【详解】圆的圆心，半径，圆化简得，则，即，则圆的圆心为，半径， 又圆与圆有且仅有三条公切线，故两圆外切，则，即，解得.故选：B. 例27．（1）（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得圆心，半径，，，因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离，，，即，解得，则的取值范围为． （2）（25-26高二上·江西萍乡·期末）满足的实数对共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【详解】由题知，，即点与点到直线：的距离均为1.以为圆心作半径的圆，以为圆心作半径的圆，则，即两圆外切，共有三条公切线（如图），因为，的中点为，所以有一条切线的斜率为，且过点，其方程为，即，经过原点，另外两条不过原点. 又因为：不过原点（过原点的切线不符合），所以有2组这样的实数对（另外两条切线符合），使得点与点到直线：的距离均为1. 故选：B. （3）（2026·山东泰安·模拟预测）已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（） A． B． C． D． 故圆心与连线垂直于切线，斜率为.设圆心，则，得，即. 圆：化为标准式.圆心，半径. 两圆有三条公切线，故两圆外切，即.设圆半径为，由相切得.. 由外切得，约去得.圆心横坐标为自然数，分情况讨论： 时，，无解；时，，得，舍去；时，，恒成立.结合，为自然数，得.圆面积，时，；时，.故满足条件的所有圆的面积之和为. （4）（25-26高二下·广东·期末）已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或，若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意；若，由圆与相切，则，由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切， 如图，过点作，则,，   于是. （5）（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【详解】将圆和圆化成标准方程为：圆和圆，所以两个圆的圆心坐标和半径分别为.因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误；因为，所以两圆相交，所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程，即，所以B错误； 因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确；根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误；故选：C. 例28．（1）（多选题）（2026·河北保定·一模）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，作出符合题意的图形，   由题意得，圆心，半径. 将整理得，圆心，半径.圆心距，两圆外切， 所以共有三条公切线，两两相交可得三个交点.外公切线交点在连心线延长线上，由位似性质得交点为，由图可得一条外公切线为，设另一条外公切线方程为， 由圆心到切线距离等于半径得，解得，所以；两圆联立且内公切线的切点在连心线上，所以切点坐标为，内公切线斜率为 ，方程为； 此时两两交点，对应选项A；，对应选项B；，对应选项C；故选项D不是公切线交点.故选：ABC （2）（多选题）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【详解】圆，其圆心，半径，圆，其圆心，半径，，所以两圆外切，有3条公切线，由，其中两条外公切线与直线平行，又，设外公切线方程为，则到直线的距离，解得，所以两条外公切线方程为和；内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为，其方程为，即.故选：BCD （3）（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4， 圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，可得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以；可知和关于对称，联立，解得在上，在上取点，设其关于的对称点为，则，解得，则，所以直线，即，综上，切线方程为，和. （4）（25-26高二上·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 【详解】圆的圆心为，，圆的圆心为，， 圆心距，两圆外离，因此存在四条公切线.设所求直线的方程为 ，化为一般式为：，依题意得：，解得：或或或，故公切线方程为：，，，.故答案为：，，， （5）（25-26高二上·江西南昌·期中）若圆与圆（）有且仅有2条公切线，则的取值范围为 . 【解析】由圆，可得圆心，半径，圆，可得圆心，半径.因为圆与圆有且仅有2条公切线，可得圆与圆相交，又因为， 所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）， 因为，所以代表点到直线的距离的倍， 又因为圆心到直线的距离为，所以圆环内的点到直线的距离，所以的取值范围为.故答案为：. 例29．（1）（多选题）（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段检测）已知点是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是（    ） A．直线是圆与圆的公切线 B．的最小值为1 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 【详解】对于A，连接，因为，圆，圆的半径均为1，所以圆，圆外切，结合草图可知，，则圆，圆的公切线方程为，A正确．   对于B，如图，因为，，所以，连接CP，则，所以当最小时，最小．当，即为圆心到直线的距离时，最小，，所以，B正确． 对于C，由题意得，，所以四边形ACBP的面积， 由选项B可知，C错误．对于D，设，因为PA，PB是圆的切线，所以点，在以PC为直径的圆上．因为，所以以PC为直径的圆的方程为， 整理得，与圆的方程相减得直线AB的方程为，化简得，由得即直线AB恒过定点，D正确．故选：ABD （2）（多选题）（25-26高二上·浙江·期中）已知圆，圆，P，Q分别是圆与圆上的点，下列说法正确的是（    ） A．若圆与圆外切，则 B．当时，则两圆公共弦所在直线方程为 C．当时，若直线的斜率存在，则斜率的最大值为 D．当时，过点作圆两条切线，切点分别为A，B，则存在点，使得 【详解】选项A：若两圆外切，则，解得，故A正确；选项B：当时，，即，联立，可得， 所以公共弦所在直线方程为，故B错误；选项C：当时，， ，所以两圆相离，因为直线的斜率存在，分析可得，当PQ为两圆的内公切线时，斜率最大，作出两圆图象，如下图所示，   设PQ和CD为两条内公切线，设交于点A，因为圆的圆心为，且，所以切线CD的方程为x=1，且，因为CD为公切线，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以，所以，故C正确. 选项D：当时，，因为P在上运动，所以，即，若时，由，可得四边形为正方形， 所以，符合题意，所以存在点，使得，故D正确.   故选：ACD （3）（多选题）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知圆和圆，则下列结论正确的是（    ） A．两圆有3条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．若点E在圆C上，点F在圆M上，则的最大值为 D．两圆的交点及两个圆心的连线所围成的四边形的面积为 【详解】由圆，得圆心，半径，由圆，得圆心，半径.对于A项，因为，所以两圆相交，则两圆有两条公切线，故A不正确；对于B项，因为两圆相交，将两圆的方程作差得，所以公共弦所在的直线方程为，故B项正确；对于C项，由题意可得，当E，C，M，F四点共线时，最大，所以，故C项不正确；对于D项，圆心到公共弦所在的直线的距离, 所以公共弦长为，所以两圆的交点及两个圆心的连线所围成的四边形的面积为，故D项正确.故选：BD. 题型十：直线与圆的综合问题 例30．（1）（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）若圆与圆关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）求圆与圆公切线的长度； （3）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 【详解】（1）由题意，设，关于直线对称． ，且，，圆心为，半径为，圆的方程． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为，圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线的长度等于． （3）圆的半径，则四边形的面积．设， ，当时，，此时四边形的面积最小，为．当四边形面积最小时，的坐标为. （2）（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． （1）当点P的横坐标为6时，求切线的方程； （2）当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 【详解】（1）圆的圆心C为，半径为2，因为P是直线上的一动点，则当点P的横坐标为6时，P点坐标为，当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或； （2），则要使四边形PACB面积的最小值，只需的值最小，因为点P在直线上，所以的最小值为圆心C到直线l的距离，所以，此时，解得， 即此时点P符合要求；由，则当或时，取得最大值， 若，则， 若，则，故，即， 所以四边形PACB面积的最小值为， 最大值为，即四边形PACB面积的取值范围为. （3）（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切． （1）过点作直线与圆相交，相交弦长为，求此直线的方程； （2）若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，，若为钝角，求直线的纵截距的取值范围． 【解析】（1）由题意得，圆心到直线：的距离为圆的半径长，所以所以圆的方程为． ①当直线斜率不存在时，过点的直线为，代入圆方程可解得，所以弦长为，满足题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，即 由弦长公式可得，圆心到直线的距离为.圆心到直线的距离，解得，此时，即.所以所求直线方程为或； （2）因为直线的斜率为1且，所以直线的斜率为，设直线的方程为.与圆的方程联立，整理得．设，，则，是方程的两个不同的根，所以，即，解得. 所以，，， ，因为为钝角，所以，又，，所以 ，解得．当时，与反向共线，直线经过，此时，不符合题意，应舍去.综上，直线的纵截距的取值范围是且． （4）（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. （1）求圆的标准方程； （2）求圆和圆的公切线的方程； （3）过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 【详解】（1）由圆与两条坐标轴均相切，圆的圆心在第二象限，半径为1，可得圆的圆心坐标为，故圆的标准方程为. （2）由，，有，又由，可得圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，    又由，，圆和圆的半径分别为1，2，在平面直角坐标系中画出圆和圆的图象，可知轴和轴与圆和圆均相切，   直线的方程为，整理为， 可得直线与轴的交点为.设直线的倾斜角为，有，有， 由于直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线，可得圆和圆的另一条公切线的斜率为， 可得另一条公切线的方程为，整理为，轴与直线的交点为，可知点在圆和圆的另一条公切线上，设另一条公切线的方程为，整理为， 有，解得.    可得另一条公切线方程为，整理为，故圆和圆的公切线的方程为或或或. (3)设过点的直线的方程为，整理为，    点到直线的距离为，点到直线的距离为，可得.    又由，，所以.    （5）（25-26高二上·广西来宾·期中）已知圆，圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）写出圆与圆的一条公切线方程. （3）已知点，是否存在定点，对于经过点且与圆交于，两点的任意直线，恒有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）线段的中垂线方程为，即，所以圆心在直线上，又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心. 解方程组得即.因为圆的半径，所以圆的标准方程为. （2）因为，等于两圆的半径之和，所以两圆外切，如图，两圆的一条公切线为； 圆与圆的方程相减得公切线；两圆的连心线所在直线方程为，即，所以直线与交点为，则另外一条公切线过点，设，因为原点到的距离为4，所以，解得， 所以，即 综上，两圆的公切线方程有或或； （3）显然当直线的斜率不存在时，只要直线与圆交于两点，根据对称性恒有. 当直线的斜率存在时，设经过点的直线与圆交于两 点.由得，所以，且，由，得，即，所以，整理得将代入上式可得 直线即，该直线恒过点，所以存在满足条件的定点. 例31．（1）（25-26高二上·湖南常德·期中）已知直线与圆相交于两点，且. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，若直线的斜率不存在，即直线，满足题意；若直线的斜率存在，设直线，即，则，解得，所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段的中点为，由可得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，所以点的轨迹方程； ②因为过点作直线与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在，设直线的方程为，即，点联立方程，消去可得，则，解得， 由韦达定理可得，则 ， 所以为定值. （2）（25-26高二上·四川内江·阶段检测）动圆与直线交于两点. （1）证明动圆必过两定点；并求. （2）当时，过原点O的直线与圆C交于不同两点，且直线不过C圆心.过分别作圆C的切线，求证：在一条定直线上. （3）是否存在轨迹，在上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出轨迹方程；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）证明：因为方程为，即，由，解得或，则动圆C恒过两定点的坐标为或；易知圆C的圆心坐标为，圆C的半径为，所以圆C的圆心到直线的距离为，此时两点间的距离， 整理得，设，其对称轴为，所以，则. （2） 此时C：，设， 易计算：过D点的切线方程为，同理过E的切线方程为，因为，故，.所以在直线上，即直线DE为.又因为，故，即，所以F在定直线上. （3）存在，，设，联立，并整理得，由题意可得，由韦达定理得，设，此时，所以， 即，因为，所以，整理得，因为无论为何值，都有为常数，令为常数.故存在定直线，即，其上任意点K满足条件. （3）（25-26高二上·山东潍坊·期中）设的圆心在直线上，且点和均在上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； （3）已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设圆的圆心坐标为，半径为，则解得， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）可知该圆的半径为，因为为等边三角形，且边长为，所以该等边三角形的高为， 所以圆心到直线的距离为，即，解得， 所以直线的方程为或. （3）假设存在定点，设，设，则，. 则，当，即时，为定值，且定值为，故存在定点，使得为定值，的坐标为. （4）（25-26高二上·江苏扬州·期中）动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； （3）已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 【解析】（1）由题意得，所以.设，因为点，，所以，化简得.所以曲线的方程为. （2）曲线是圆心为，半径的圆， ，当时，面积最大，所以为等腰直角三角形，圆心到直线距离为，解得或. （3） 圆的圆心，半径，因为点为直线上一动点，则可设，因为，都是圆的切线，所以，， 所以，也在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，即①，化为②，由①-②整理得，所以直线的方程为，即，令，解得，所以直线过定点. （5）（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，点满足. （1）求点P的轨迹方程C； （2）过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点. ①若，求直线l的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【详解】（1）设，因为，所以，化简得点P的轨迹方程C：. （2）因为过点的直线与y轴有交点，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为，由，消去y得，， 设，，则，.，， ①因为，所以，所以，即，由得，代入，得，解得此时直线方程： ②，则，，，， 因为，，所以，解得， 为定值. 课后练习题 1.（25-26高二上·四川南充·期中）过点可以向圆引两条切线，则t的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【详解】因为方程表示圆，所以，解得．又点在圆外，所以，解得，所以t的取值范围为．故选：D 2.（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【详解】化简，则其圆心，半径，化简，则其圆心，半径，则，而，则，故两圆相交.故选：B. 3.（2026·山西晋城·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】直线过定点，圆的标准方程为，则圆心为，半径为．当时，直线与圆相交所得弦长最短，因为，所以直线的斜率为，故，解得． 4.（2026·陕西榆林·三模）已知直线与圆：交于不同的两点，，圆与轴交于点，，直线，交于点，则当变化时，点满足的方程是（   ） A． B． C． D． 解：设，则，且，，不失一般性，圆与轴交于点，，则，，直线，的方程分别为，， 相乘得，所以，即点的坐标满足. 5.（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由点及，得点在以为直径的圆上， 其圆心，半径，而圆的圆心，半径， 又点在圆上，因此，即，则， 又点与点都不重合，即，则，即， 所以实数m的取值范围是. 6.（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【解析】方程可化为，所以圆的圆心的坐标为，半径，因为直线:与圆:相切，所以点到直线的距离，所以，解得，或，故选：A 7.（2026·河北唐山·模拟预测）已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．14 D．35 【详解】设的中点为，根据圆的性质可得，如图所示.则， 所以，点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，其方程为.因为,所以，.的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2，因为，所以. 8.（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心C的坐标为，半径为1．因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B，所以，，，，所以，．当时，取最小值，，此时取最大值，又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值，又，所以． 9.（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【详解】圆化为标准式：圆心，半径, 圆，圆心，半径，两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距，若两圆外离，则，即，解得或；若两圆内含，则，无解．因此两圆无公共点的条件是． 10.（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知为坐标原点，，点是直线上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可设，则圆的方程为，若圆上存在点，使得，设，则，化简可得，故点在以为圆心，为半径的圆上，因为点也在圆上，所以圆与圆有交点，所以，即，解得，又，所以，即线段长度的取值范围是.故选：A 11.（25-26高二下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，若直线上存在点使得，则的取值可能为（    ） A． B．0 C． D．1 【详解】设，已知，则,由得：,整理配方得:,即的轨迹是圆心为，半径的圆. 由直线，得：，可知直线恒过定点.因为直线上存在点满足条件，即直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离.因为圆心到直线的距离：，所以，即，故选项D，满足. 12.（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【详解】设，记，点P到圆O的切线长为，则， 圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于，因为，所以.又，所以，所以恒成立，由，得，整理得，即①对任意实数成立，当时，①式成立；当时，①式两边平方，得，即，也即②， 若，则②式成立，且圆心到直线的距离为，满足题意；若，取，此时，②式不成立，综上所述，实数的最小值为． 13.（多选题）（25-26高二上·山东泰安·期末）下列选项正确的有（    ） A．圆与圆有3条公切线 B．已知圆，直线，则直线与圆相交或相切 C．由圆上任意一点，向圆引两条切线，切点为，则四边形为正方形 D．圆上到直线的距离为2的点恰好有3个 【详解】对于A：易知圆的圆心为,半径为，圆的圆心,半径为因为,因此两圆相交，所以圆与圆有条公切线，A错误；对于B：直线恒过点， 易知点在圆上，则直线与圆相交或相切，B正确； 对于C：圆的圆心为,半径；圆的圆心为,半径；即两圆圆心重合，设圆心为，则,得,即四边形为正方形，C正确； 对于D：圆心到直线的距离为,圆的半径为，所以圆上分布在直线两侧的点到直线距离的最大值分别为；因此仅有直线的一侧存在圆上的点到直线的距离为2，由对称性可知距离为2的点有2个，D错误.故选：BC 14.（多选题）（2026·湖北十堰·模拟预测）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 【详解】对于A选项，由得，则当时，直线方程不含且，故过定点，A选项正确；对于B选项，当，则直线方程为，联立圆的方程得， 解得，有两个解，故与圆相交，B选项错误；对于C选项，圆心坐标为，圆心到直线的距离为，因为，故，解得， 因此存在实数，使得直线与圆相交于两点，且，故C选项正确；对于D选项，由C选项可得，则，，则， 令，则，令，为开口向下的二次函数， 对称轴为，因此在上，单调递增，所以，因此没有最大值，故D选项错误.故选：AC 15.（多选题）（2026·河北·一模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为 C．若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条 D．若，是圆上任意一点，则 【详解】对于A，直线的方程变形为，过定点，设为点.将点代入圆方程的左侧得，所以点在圆内，所以直线与圆相交，A正确； 对于B，圆方程变形为，圆心，半径为.当与弦垂直时，此时直线被圆截得弦长取最小值，为，当直线为所在的直线时，此时直线被圆截得弦长取最大值，为.所以直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为，B正确；对于C，因为圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则圆心到直线的距离为. 则，化简得，解得，所以圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有1条，C错误；对于D，设，因为，所以，因为，所以，等式两边平方得，化简得，与圆的方程一致，所以D正确.故选：ABD 16.（多选题）（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点P为圆上的一个点，点，，则（    ） A．过点A一定存在两条直线与圆C相切 B．存在实数a，使得 C．存在实数a，使得 D．存在实数a，使得 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆心C在直线上，选项A，当时，，即在圆内，过点A不存在圆C切线，A错误；选项B，，则在以为圆心，2为半径的圆上，当时，，，因此圆B与圆C相交，即圆C上有点P，满足，B正确；选项C，，则P在以为直径的圆上，圆心为，半径为，取，即，，显然，即圆M与圆C相交，所以圆C上有点P，满足，C正确；选项D，，设，则，化简得，即在以为圆心，2为半径的圆上， 到直线的距离为，取，则得，而，因此圆N与圆C外离，从而取任意实数，都有圆N与圆C外离，所以不存在P，满足，D错误.故选：BC 17.（多选题）（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．存在点，使得四边形为平行四边形 B．线段的最小值为 C．直线过定点 D．的外接圆恒过两个定点 【详解】由圆的方程可知：圆心，半径.   对于A，当时，，， 此时，则，即，又，；又，，当时，四边形为平行四边形，A正确；对于B，，，，则当取得最小值时，取得最小值，当时，，，B错误；对于C，若点为圆上一点，则，当点处的切线斜率存在时，切线斜率， 切线方程为，整理可得：；当点处切线斜率不存在时，也满足，则在圆上一点处的切线方程为. 设，则直线方程为：；直线方程为：；满足方程组，即坐标满足直线方程，即直线方程为：； ，则，整理可得：，由得：，直线恒过定点，C正确；对于D，，，四点共圆， 则的外接圆即为的外接圆，又，的外接圆是以为直径的圆，设，则圆心为，半径为，的外接圆方程为：，整理为：，由得：或，的外接圆恒过定点和，D正确. 故选：ACD. 18.（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知圆，直线与圆的交点为.若，则__________. 【详解】圆的圆心为，则圆心到直线的距离，则，可得. 19.（2026·天津和平·二模）已知圆：，圆：，直线l：（k，且）与两圆与均相切，则直线l的方程为__________. 【详解】因为的圆心为，半径为，的圆心为，半径为，又直线与均相切，所以①，②，由①②得到，即有，两边平方得，即，又，所以，即，代入①式得到，解得， 所以方程为． 20.（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 【详解】如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角，所以点 在圆内，等价于圆与圆 相交，内切或内含，，得.所以的取值范围为.    21.（2026·广东广州·二模）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． 【详解】圆的圆心，半径，由圆上恰有两个点与点的距离都为2，得以点为圆心，2为半径的圆与圆相交，则，即，令圆心到直线的距离为，于是直线上任意点到圆心距离都不小于，又直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，因此，即，解得，所以实数的取值范围是. 22.（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 . 【详解】因为，所以，所以点在圆上，其中圆心为，半径为，又，其中表示点与点连线的斜率，又，所以点在圆外，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为，即，则，解得或，即的最大值为，最小值为，所以的最大值为.故答案为： 23.（2026·山西忻州·模拟预测）已知，为圆上的两点，且，设为弦上一点，且，则的最大值为________. 【详解】根据题意，把，，的坐标，分别代入，，，方程组两式平方相加得， ，即 ，，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆.，即，表达式的几何意义可以理解为到直线的距离的倍.而的最大值是圆上一点到直线最大距离的倍，所以圆心到直线的距离，圆上一点到直线的最大距离为，故的最大值为. 24.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，直线、分别交轴于、两点，则__________；__________． 【详解】圆的标准方程为，圆的圆心为，半径为， 由切线长定理可得，，， 因为，，，所以，所以， 设点，则，即，由角平分线定理可得 ，因为，则，解得或（舍），所以圆的标准方程为，则该圆圆心为，半径为， 因为，则，易知为锐角，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，即，圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，故直线与圆相切，所以，则，易知为线段的中点，所以为线段的中点，故. 25.（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【详解】（1）圆，圆心为，半径为.由，点在圆外.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，此时圆心到直线的距离，解得，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或. （2）直线与圆相交，理由如下：圆心，，圆心到直线的距离为，故直线与圆相交.直线被圆所截得的弦长. 26.（25-26高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知圆 ，过定点 作与 轴不重合的直线 交曲线 于 两点. （1）过点作与直线 垂直的直线 交曲线 于、两点，求四边形 面积的最大值； （2）设曲线 与 轴交于 两点，直线 与直线 相交于点 ，试讨论点 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【详解】（1） 法一：令点到直线 距离分别为 ，则 ， ， ，当且仅 时取到最大值7， 法二：令，则 ，当时，， 当且仅当 时 取到最大值7，当时，综上，当 时 取到最大值7， （2）不妨记 ，令 ，  ，恒成立，， ，，，所以点恒在定直线 上. 27.（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. （1）求点的轨迹方程； （2）已知点，求的最大值； （3）若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设，因为点是点关于点的对称点，所以，即，因为点在圆上，所以，化简得，即为点的轨迹方程. （2）易知 ，令，则， 可视为直线在轴上的截距，所以的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在轴上的截距，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径可得，，所以的最小值为，因此的最大值为138. （3）存在点，使得为定值，理由如下：当直线斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，由，消去得，设，则，，又，， 则 ，要使上式恒为定值，需满足，解得，此时，为定值. 28.（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程； （3）若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【解析】（1）圆的圆心的坐标为，将其代入直线得，解得.即圆的方程为. （2）圆的标准方程为，设弦的中点为，则. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.因为，所以，则圆心到直线的距离，解得.此时直线的方程为，故直线的方程为或． （3）因为，所以． ①当直线的斜率不存在时，易知. ，所以与不共线，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由，得，可得.所以， 所以，则，所以．若向量与共线，则，即，解得或，当时，，舍去，当时，. 所以存在直线，使得向量与共线，且直线的方程为，即. 29．（25-26高二上·浙江宁波·阶段练习）平面直角坐标系中，圆M经过点，，. （1）求圆M的标准方程； （2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 【详解】（1）解：设圆M的方程为， 则，解得，所以圆M的标准方程为； （2）设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，所以， ①若，则直线斜率不存在，则，，则， 若，则直线得方程为，即，则圆心到直线的距离，所以，则 ，当且仅当，即时，取等号，综上所述，因为，所以S的最大值为7； ②设，联立，消得， 则，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，则，所以， 所以点N在定直线上. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆、圆与圆的位置关系 一．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种：相离，相切和相交 二．直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离． 弦长公式： 三．两圆位置关系的判断 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 1.关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． （5）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在的直线方程为：. （6）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长 （7）切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 2.两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 3. 圆系方程 （1）以为圆心的同心圆圆系方程：； （2）与圆同心圆的圆系方程为； （3）过直线与圆交点的圆系方程为 （4）过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 题型一：直线与圆的位置关系的判断 例1．（1）（2026·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆，直线，则圆C与直线l（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心 （2）（2026·宁夏银川·银川一中校考二模）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 （3）（2025·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 （4）（2023·全国·高三对口高考）若直线与圆相交，则点（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 例2．（1）（2025·辽宁·校联考二模）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（    ） A．点在l上 B．点在圆O上 C．点在圆O内 D．点在圆O外 （2）（多选题）（2021•新高考Ⅱ）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是　　 A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在直线上，则直线与圆相切 D．若点在圆内，则直线与圆相离 （3）（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （4）（25-26高二下·上海·期中）设有一组圆（为正整数），现有命题：存在一条定直线与所有的圆均相交；命题：存在一条定直线与所有的圆均不相交；则以下说法正确的是（    ） A．均为真命题 B．均为假命题 C．仅为真命题 D．仅为真命题 题型二：弦长与面积问题 例3．（1）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 （2）（2024年高考全国甲卷数学真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 （3）（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． （4）（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点M，N在圆上，点在直线上，点为MN中点，若，则的取值范围是（    ） A．[1,3] B． C．[0,4] D． （5）（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 例4．（1）（多选题）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相离 D．直线被圆截得的弦长最小值为 （2）（多选题）（26-27高三上·云南玉溪·阶段检测）已知点，圆，则下列结论正确的有（   ） A．点与圆上的点之间距离的最大值为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 （3）（2026·山东潍坊·模拟预测）已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． （4）（2026·江苏南京·三模）已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . （5）（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，若直线与被圆所截得的弦长均为2，则圆的标准方程为______. 例5．（1）（2026·山东临沂·二模）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． （2）（2026·河北邢台·二模）已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. （3）（25-26高二下·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 （4）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 （5）（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 例6．（1）（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 （2）（2025·浙江·三模）过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为_____. （3）（2026·北京朝阳·二模）已知直线与圆交于两点；能使为锐角的的一个取值为___________． （4）（2026·江苏·模拟预测）已知动点在圆上，点，当面积最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． （5）（25-26高二上·四川·期末）过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ） A． B． C． D． 例7．（1）（25-26高二上·山东泰安·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作直线交圆于两点，若，求直线的方程. （2）（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知圆的半径为，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的标准方程； （2）过圆心的直线与圆交于、两点，且的面积是（为坐标原点），求直线的方程. （3）（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知圆与轴交于，两点，且点在点的左侧，动点与点的距离是它与点距离的倍. （1）求点的轨迹方程； （2）过点作倾斜角为的直线交于的轨迹于，两点，求弦长. （4）（25-26高三上·云南临沧·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最大值． （5）（25-26高二上·安徽·期中）已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且圆与直线相切. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）若过点的直线与圆交于、两点，且，求四边形的面积的最小值. 题型三：切线、切线长问题 例8．（1）（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·浙江·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 （3）（25-26高三上·山东菏泽·期末）过点作圆的切线，则切线方程为___________． （4）（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． （5）（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 例9．（1）（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 （2）（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． （3）（新课标Ⅰ卷）已知，直线，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为　　 A． B． C． D． 相似题：（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知，直线为上的动点，过点作的切线，，切点为A，B.当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． （4）（2026·广西·模拟预测）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． （5）（25-26高二下·河南·期中）已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 例10．（1）（25-26高三上·山东临沂·期末）莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点D，E，F，则D，E，F三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线.在平面直角坐标系中，若的三个顶点坐标分别为，，，则该三角形的Lemoine线的方程为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·河北邢台·期末）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． （3）（2026·甘肃平凉·模拟预测）过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． （4）（多选题）（2026·山西晋城·三模）若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 （5）（多选题）（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知以为方向向量且过点的直线与以为圆心，半径为1的圆，若点为直线上的一个动点，下列说法正确的是（   ） A．直线与圆没有交点 B．与直线平行且截圆的弦长为的直线为 C．若点为圆上的动点，则的最小值为 D．过点作圆的两条切线，切点分别为S，T，则的最大值为 例11．（1）（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______． （2）（25-26·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________． （3）（24-25高三上·山东临沂·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点为、，若，则四边形（为圆的圆心）的面积是（    ） A． B． C． D． （4）（多选题）（26-27高三上·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，下列选项中，圆的面积可以是（    ） A． B． C． D． （5）（多选题）（25-26高二上·江苏南京·期中）已知圆和直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 （6）（多选题）（25-26·河北张家口·二模）已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 题型四：切点弦问题 例12．（1）（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. （2）（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． （3）（多选题）（25-26高二上·河北·期末）已知点，，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的方程 B．过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C．若点是上一点，则的最大值为 D．若点是上一点，则的最大值为 （4）（2025·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 例13．（1）（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . （2）（多选题）（24-25高二上·湖南常德·期末）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（    ） A．最短为 B．最短时，弦所在直线方程为 C．在点，使得 D．直线过定点为 （3）（多选题）（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆内有一点，过点的直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，且相交于点，则（    ） A．当在两坐标轴上截距相等时，的方程为或 B．点的轨迹方程为 C．当时，点的坐标为或 D．当时，直线的方程为或 （4）（多选题）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为5 B．若圆上存在点，使得，则的取值范围为 C．四边形的面积最小时，直线的方程为 D．若，则的最大值为 （5）（多选题）（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．四边形面积的最小值为 D．当最小时，直线的方程为 例14．（1）（26-27高三上·湖北·开学考试）已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． （2）（25-26高二上·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为______，直线过定点______. （3）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·山东临沂·期中）设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． （5）（25-26高二上·江西·阶段检测）过直线上任意一点向圆作两条切线，切点为，线段的中点为，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：圆上的点到直线距离个数问题 例15．（1）（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2）（2026·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． （3）若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值范围__ （4）（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． （5）（贵州省黔南州2027届高三上学期摸底考试数学试卷）已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例16．（1）（25-26高二上·贵州贵阳·期中）若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 （2）（2024·山西·二模）已知是坐标原点，若圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）（2025·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·浙江·阶段检测）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． （6）（2026·河北·模拟预测）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则直线l斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 例17．（1）（25-26高三下·江西·阶段检测）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段MN中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线：与圆：交于，两点，若点，是圆上的一动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设是圆上任意一点，若的最小值为，且，则的最小值为（   ） A．8 B．4 C．3 D．2 （4）（2025·江西·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 （5）（25-26高三下·河南·开学考试）若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例18．（1）（2026·江苏泰州·模拟预测）若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·湖北·期中）已知实数满足，，则的最大值是___________. （3）（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知直线恒过定点A，圆O：上的两点，满足，则的最小值为________． （4）（2026·河北唐山·模拟预测）已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．14 D．35 （5）（2026·重庆·模拟预测）已知圆，，点坐标原点，点，是圆上的两个动点且，若，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 例19．（1）（2026·江苏扬州·三模）已知圆，点P在直线上．若圆C上存在两点A，B，使得是等边三角形，则点P的横坐标的取值范围为（     ）． A． B． C． D． （2）（2026·重庆北碚·模拟预测）若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （3）（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）实数x，y满足． （1）求的最小值； （2）求的最大值． （5）（2026·广东广州·三模）已知圆的圆心在曲线上，若圆与直线交于两点，且，过原点的直线交圆于两点，则的最小值为__________. 题型七：圆与圆的位置关系 例20．（1）（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 （2）（25-26高二下·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 （3）（25-26·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 例21．（1）（2026·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 （2）（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． （3）（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 （4）（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （5）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 例22．（1）（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围______． （2）（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． （3）（2026·陕西榆林·三模）已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）（25-26·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 例23．（1）（多选题）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 （2）（多选题）（25-26高二下·安徽·期中）已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 （3）（多选题）（2026·陕西榆林·三模）已知直线与圆和圆都相切，则（    ） A．的值有4组 B．直线与圆相切 C．直线与圆和圆都没有公共点 D．与圆和圆都相切的圆中，半径最小的圆的面积为 （4）（多选题）（2026·安徽合肥·模拟预测）记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 题型八：两圆的公共弦问题 例24．（1）（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． （4）（24-25高二上·河南新乡·开学考试）已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． （5）（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 例25．（1）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆与圆相交于两点，且，则___________． （2）（多选题）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 （3）（多选题）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（   ） A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 （4）（多选题）（2026·安徽·模拟预测）已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若点P在圆O上运动，则的最小值为21 B．圆O与圆的公共弦长为 C．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为 D．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离的最大值为 （5）（多选题）（25-26高二下·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则正确的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 题型九：两圆的公切线问题 例26．（1）（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）（25-26高二上·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （3）（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·安徽·期末）已知圆，圆，若与有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高二上·广东·期末）若圆与圆有且仅有三条公切线，m的值为（     ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 例27．（1）（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·江西萍乡·期末）满足的实数对共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 （3）（2026·山东泰安·模拟预测）已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（） A． B． C． D． （4）（25-26高二下·广东·期末）已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． （5）（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 例28．（1）（多选题）（2026·河北保定·一模）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（    ） A． B． C． D． （2）（多选题）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） （4）（25-26高二上·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. （5）（25-26高二上·江西南昌·期中）若圆与圆（）有且仅有2条公切线，则的取值范围为 . 例29．（1）（多选题）（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段检测）已知点是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是（    ） A．直线是圆与圆的公切线 B．的最小值为1 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 （2）（多选题）（25-26高二上·浙江·期中）已知圆，圆，P，Q分别是圆与圆上的点，下列说法正确的是（    ） A．若圆与圆外切，则 B．当时，则两圆公共弦所在直线方程为 C．当时，若直线的斜率存在，则斜率的最大值为 D．当时，过点作圆两条切线，切点分别为A，B，则存在点，使得 （3）（多选题）（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知圆和圆，则下列结论正确的是（    ） A．两圆有3条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．若点E在圆C上，点F在圆M上，则的最大值为 D．两圆的交点及两个圆心的连线所围成的四边形的面积为 题型十：直线与圆的综合问题 例30．（1）（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）若圆与圆关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）求圆与圆公切线的长度； （3）过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． （2）（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． （1）当点P的横坐标为6时，求切线的方程； （2）当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． （3）（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切． （1）过点作直线与圆相交，相交弦长为，求此直线的方程； （2）若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，，若为钝角，求直线的纵截距的取值范围． （4）（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. （1）求圆的标准方程； （2）求圆和圆的公切线的方程； （3）过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. （5）（25-26高二上·广西来宾·期中）已知圆，圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）写出圆与圆的一条公切线方程. （3）已知点，是否存在定点，对于经过点且与圆交于，两点的任意直线，恒有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 例31．（1）（25-26高二上·湖南常德·期中）已知直线与圆相交于两点，且. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. （2）（25-26高二上·四川内江·阶段检测）动圆与直线交于两点. （1）证明动圆必过两定点；并求. （2）当时，过原点O的直线与圆C交于不同两点，且直线不过C圆心.过分别作圆C的切线，求证：在一条定直线上. （3）是否存在轨迹，在上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出轨迹方程；若不存在，请说明理由. （3）（25-26高二上·山东潍坊·期中）设的圆心在直线上，且点和均在上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； （3）已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. （4）（25-26高二上·江苏扬州·期中）动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； （3）已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. （5）（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，点满足. （1）求点P的轨迹方程C； （2）过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点. ①若，求直线l的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 课后练习题 1.（25-26高二上·四川南充·期中）过点可以向圆引两条切线，则t的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2.（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 3.（2026·山西晋城·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（   ） A． B． C． D． 4.（2026·陕西榆林·三模）已知直线与圆：交于不同的两点，，圆与轴交于点，，直线，交于点，则当变化时，点满足的方程是（   ） A． B． C． D． 5.（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 7.（2026·河北唐山·模拟预测）已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．14 D．35 8.（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9.（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10.（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知为坐标原点，，点是直线上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11.（25-26高二下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，若直线上存在点使得，则的取值可能为（    ） A． B．0 C． D．1 12.（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知圆：与圆C：，若以直线上任意一点P为圆心，以点P到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最小值为（   ） A． B． C． D．6 13.（多选题）（25-26高二上·山东泰安·期末）下列选项正确的有（    ） A．圆与圆有3条公切线 B．已知圆，直线，则直线与圆相交或相切 C．由圆上任意一点，向圆引两条切线，切点为，则四边形为正方形 D．圆上到直线的距离为2的点恰好有3个 14.（多选题）（2026·湖北十堰·模拟预测）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 15.（多选题）（2026·河北·一模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为 C．若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条 D．若，是圆上任意一点，则 16.（多选题）（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点P为圆上的一个点，点，，则（    ） A．过点A一定存在两条直线与圆C相切 B．存在实数a，使得 C．存在实数a，使得 D．存在实数a，使得 17.（多选题）（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．存在点，使得四边形为平行四边形 B．线段的最小值为 C．直线过定点 D．的外接圆恒过两个定点 18.（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知圆，直线与圆的交点为.若，则__________. 19.（2026·天津和平·二模）已知圆：，圆：，直线l：（k，且）与两圆与均相切，则直线l的方程为__________. 20.（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 21.（2026·广东广州·二模）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． 22.（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 . 23.（2026·山西忻州·模拟预测）已知，为圆上的两点，且，设为弦上一点，且，则的最大值为________. 24.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，直线、分别交轴于、两点，则__________；__________． 25.（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 26.（25-26高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知圆 ，过定点 作与 轴不重合的直线 交曲线 于 两点. （1）过点作与直线 垂直的直线 交曲线 于、两点，求四边形 面积的最大值； （2）设曲线 与 轴交于 两点，直线 与直线 相交于点 ，试讨论点 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 27.（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. （1）求点的轨迹方程； （2）已知点，求的最大值； （3）若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 28.（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程； （3）若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 29．（25-26高二上·浙江宁波·阶段练习）平面直角坐标系中，圆M经过点，，. （1）求圆M的标准方程； （2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $