2.5.2 圆与圆的位置关系《一隅三反》讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统涵盖位置关系判断、公共弦长计算、公切线方程求法及切线长求解，是圆的方程与直线与圆位置关系知识的延伸，为解析几何综合应用搭建学习支架。 资料以各地阶段检测与模拟真题为载体设计例题与题组，通过分层训练引导学生用数学眼光抽象位置关系，用数学思维推理参数问题，用数学语言表达方程规律。课中辅助教师实施精准教学，课后助力学生强化练习，有效查漏补缺。

2.5.2 圆与圆的位置关系 考向一 圆与圆的位置关系 【例1-1】（24-25高三上·湖南·阶段检测）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【例1-2】．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【例1-3】．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1-4】．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（2026·河北保定）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·陕西榆林）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 4．（2026·福建泉州）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 考向二 相交圆的公共弦长 【例2-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26安徽·期末）（多选）已知圆，圆，则（   ） A．的半径为4 B．若相切，则 C．当时，相交弦所在直线的方程为 D．当时，相交弦的长度为 4．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为 2．（2026四川成都·专题练习）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 3．（24-25高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点 考向三 公切线方程 【例3-1】（2026·新疆乌鲁木齐）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知圆和圆，下列说法正确的是（   ） A．两圆相内切 B．两圆相外切 C．是两圆的公切线 D．是两圆的公切线 3．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）（多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 考向四 切线长 【例4-1】（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【例4-2】（25-26广东）圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 【一隅三反】 1．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 3．（24-25高二上·江苏镇江·期中）（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【题组一 圆与圆的位置关系】 1．（25-26高二下·浙江）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 2．（25-26高二上·云南昆明·期末）圆与圆的公共点个数为（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 3．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 4．（25-26高二上·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南怀化·一模）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 7．（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题组二 相交圆的弦长】 1．（2026·福建漳州）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 2．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 3．（2026·重庆）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为 4．（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则 5．（25-26高二下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则    6．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知圆与圆交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 【题组三 公切线方程】 1．（25-26高二上·湖南）已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为________．（写出一个即可） 2．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程________. 3．（24-25高二上·广东·阶段检测）已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可） 4．（2026·山东枣庄）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 5．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点________． 【题组四 切线长】 1．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 2．（2025·浙江）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高二下·山东青岛·开学考试）（多选）已知圆，圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．圆与圆公切线的长度为 C．圆与圆公共弦所在直线的方程为 D．圆与圆公共部分的面积为 4．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）（多选）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 5．（23-24高二上·河南·期末）（多选）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 6．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）（多选）已知圆，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点. B．当时，圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1. C．圆与曲线恰有三条公切线，则. D．当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2 圆与圆的位置关系 考向一 圆与圆的位置关系 【例1-1】（24-25高三上·湖南·阶段检测）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距，两圆的半径之差为，所以两圆内含. 【例1-2】．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 【例1-3】．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 【例1-4】．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 【一隅三反】 1．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 2．（2026·河北保定）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交，则与的公切线的数量为，故选项B正确. 3．（2026·陕西榆林）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【解析】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 4．（2026·福建泉州）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 考向二 相交圆的公共弦长 【例2-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即，化简可得直线的方程为. 【例2-2】（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由两圆方程相减即得，此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径.到直线AB的距离为， 故公共弦长. 3．（25-26安徽·期末）（多选）已知圆，圆，则（   ） A．的半径为4 B．若相切，则 C．当时，相交弦所在直线的方程为 D．当时，相交弦的长度为 【答案】AC 【解析】对于A，整理为， 所以的半径为4，A选项正确； 对于B，由A的判断可得，而，故且的半径为1， 若相切，则或，故或， 解得或，B选项错误； 对于C，当时，将两圆方程相减可得即， 故相交弦所在直线方程为，故C选项正确； 对于D，由C可得相交弦方程为, 故到直线的距离为， 所以相交弦的长度为，D选项错误， 故选：AC． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 【一隅三反】 1．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为 【答案】 【解析】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 2．（2026四川成都·专题练习）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【解析】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 3．（24-25高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点 【答案】 【解析】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点 考向三 公切线方程 【例3-1】（2026·新疆乌鲁木齐）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 【一隅三反】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 2．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知圆和圆，下列说法正确的是（   ） A．两圆相内切 B．两圆相外切 C．是两圆的公切线 D．是两圆的公切线 【答案】BCD 【解析】由题可得,,,，所以，所以两圆相外切，故A错误，B正确； 对于C选项，圆心到的距离为, 同理圆心到的距离为,所以是两圆的公切线，故C正确； 对于D选项,圆心到的距离为, 同理圆心到的距离为,所以是两圆的公切线，故D正确； 故选：BCD 3．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）（多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 考向四 切线长 【例4-1】（24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【解析】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 【例4-2】（25-26广东）圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【解析】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 【一隅三反】 1．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【解析】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为.故答案为：2. 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【解析】由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径. 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误； 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点， 即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确； 故选：D 3．（24-25高二上·江苏镇江·期中）（多选）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【答案】AC 【解析】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：AC. 【题组一 圆与圆的位置关系】 1．（25-26高二下·浙江）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 所以， 即，所以圆与圆外离. 2．（25-26高二上·云南昆明·期末）圆与圆的公共点个数为（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】可化为： ，圆心，. 可化为，圆心 .， 故两圆内切.故两圆有一个公共点. 故选：D 3．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【解析】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即 故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ． 两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 4．（25-26高二上·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】将，化为标准方程得到； 则圆心，半径；将，化为标准方程得到； 则圆心，半径；圆心距，因为， 所以两圆内切，公切线有1 条.故选：A. 5．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知：圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 6．（2026·湖南怀化·一模）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， 当两圆外切时，，即，解得； 当两圆内切时，，即，解得； 综上，则或. 7．（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆心，半径， ，故圆心，半径． 圆心距， 所以两圆相交，有两条公切线． 故选：B． 【题组二 相交圆的弦长】 1．（2026·福建漳州）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【解析】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即，故答案为． 2．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【解析】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 3．（2026·重庆）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为 【答案】 【解析】圆，圆. 展开圆：，即. 两圆方程相减得公共弦：. 圆心到直线的距离：. 圆半径，弦长. 4．（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则 【答案】1 【解析】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 5．（25-26高二下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则 【答案】 【解析】圆，即，则圆心为，半径为1，则， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为，所以， 得，解得，因此.    6．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知圆与圆交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 【答案】C 【解析】由，得，所以圆的圆心为，半径为， 由，得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，因为，则，所以两圆相交， 则两圆有2条公切线，所以A正确， 对于B，由①，②，两式相减得， 即，所以B正确， 对于C，因为到直线的距离为，所以，故C错误， 对于D，连接，易知，则四边形的面积为， 由选项C知，，又，所以，故D正确， 故选：C. 【题组三 公切线方程】 1．（25-26高二上·湖南）已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，或填或填） 【解析】设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切，    由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线的方程为， 直线与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为. 故答案为：.（答案不唯一，或填或填） 2．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程________. 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 3．（24-25高二上·广东·阶段检测）已知圆，圆，则的公切线方程为______．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【解析】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 4．（2026·山东枣庄）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【解析】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 5．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点________． 【答案】 【解析】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 故答案为： 【题组四 切线长】 1．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】C 【解析】将圆和圆化成标准方程为： 圆和圆， 所以两个圆的圆心坐标和半径分别为. 因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误； 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程， 即，所以B错误； 因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确； 根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误； 故选：C. 2．（2025·浙江）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 3．（24-25高二下·山东青岛·开学考试）（多选）已知圆，圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．圆与圆公切线的长度为 C．圆与圆公共弦所在直线的方程为 D．圆与圆公共部分的面积为 【答案】BCD 【解析】因为圆，圆， 所以圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以，故圆与圆相交，即A错误； 因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为，故B正确 将两圆方程作差得， 所以两圆公共弦所在直线的方程为，故C正确； 因为的圆心为，半径， 所以到直线的距离为， 所以公共弦长为， 又圆心到直线的距离为， 所以圆与圆公共部分的面积为，故D正确. 故选：BCD 4．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）（多选）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BCD 【解析】对于A，由圆可知圆心与半径， 圆可知圆心与半径， 因为，且，即，所以两圆相交，故A错误； 对于B，由圆的性质可知，故B正确； 对于C，由过圆心的半径垂直于切线，则公切线的长度为，故C正确； 对于D，联立方程可得，即， 两式相减可得，则相交弦所在直线的方程为，故D正确. 故选：BCD. 5．（23-24高二上·河南·期末）（多选）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【解析】     圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 6．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）（多选）已知圆，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点. B．当时，圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1. C．圆与曲线恰有三条公切线，则. D．当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点. 【答案】BCD 【解析】对于选项，，整理得：， 所以，解得，所以直线恒过定点，故错误； 对于选项，当时，直线为，则圆心到直线的距离为，而圆的半径为2， 所以圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，故正确； 对于选项，当时，曲线为为， 整理得：，则圆心为，半径为3；圆的圆心，半径为2； ∴两圆的圆心距为，所以两圆外切，故两圆恰有3条公切线，故选项正确； 对于选项，当时，直线的方程为，设， 则以为直径的圆的方程为，即 ∵圆，∴两圆的公共弦的方程为， 整理得：∴，解得： ∴直线经过点.故选项正确. 故选:. 1 学科网（北京）股份有限公司 $