2.4.1 圆的标准方程讲义【知识清单+6大题型】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.1 圆的标准方程 第一部分：知识清单 知识点一：圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 知识点二：圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 知识点三：点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点四：圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 第二部分：典型例题汇总 典例一 求圆的标准方程 典例二 由标准方程确定圆心和半径 典例三 求过已知三点的圆的标准方程 典例四 圆的方程中的最值问题 典例五 与圆有关的轨迹问题 典例六 圆的对称性的应用 第三部分：典型例题 典例一 求圆的标准方程 1．（26-27高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程即可. （2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程即可. 【详解】（1）由条件可知，圆心为， 所以圆的标准方程为. （2）由题意得，所以半径， 由中点坐标公式得圆心为， 所以圆的标准方程为. 2．（25-26高二·全国·随堂练习）分别根据下列条件，求出圆的方程： (1)圆心在原点，半径为6； (2)圆心为点，半径为； (3)过点，圆心为； (4)过原点，圆心为点． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接由圆心和半径写出圆的方程；（2）由圆心和半径求出圆的标准方程；（3）先求出半径，进而求出圆的方程；（4）求出半径，进而写出圆的标准方程. 【详解】（1） （2） （3）由题意得：圆的半径，故圆的方程为： （4）由题意得：半径，所以圆的方程为： 3．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用曲线方程化简，取确定圆在第一象限的部分，再根据绝对值呈现出的对称性作图，由图计算面积即可. 【详解】曲线可化为， 当时，解析式为， 易知曲线关于轴，轴，原点对称， 由题意作出图形： 则此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成， 所以曲线围成的图形的面积为. 4．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 【答案】 【详解】设圆心为 ，因为圆心在直线 上，故. 圆经过 、，所以圆心到两点的距离相等，可得， 两边平方得， 展开得， 化简， 代入 ，得. 所以圆心为 ，半径. 故圆的标准方程为. 典例二 由标准方程确定圆心和半径 5．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程为，则圆心坐标为直接求解即可． 【详解】因为圆， 所以圆心坐标是． 故选：B． 6．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（    ） A．-10 B．2或-10 C．-2或10 D．-2 【答案】B 【分析】根据题意设出圆的方程，然后将经过的两个点坐标代入圆的方程中组成方程组，求解即可. 【详解】设圆心，因为圆与轴相切， 则. 所以圆的方程为. 因为该圆经过点， 所以. 化简得，两式相减得. 然后将代入①式中得，解得或. 故选：B. 7．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）圆C：的半径为（    ） A．9 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由圆的标准方程直接得出答案． 【详解】∵以为圆心，为半径的圆的标准方程是， ∴圆C：的半径为3， 故选：C． 8．（25-26高二上·福建福州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程，直接得到圆心和半径. 【详解】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：B 典例三 求过已知三点的圆的标准方程 9．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知，求外接圆的标准方程． 【答案】 【分析】设圆的方程为，利用待定系数法求出，即可得解. 【详解】设圆的方程为， 则，解得， 所以外接圆的标准方程为. 10．（25-26高二上·天津南开·期中）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 11．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）由图知，为直角三角形，故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径，求出圆心和半径即可得到的外接圆方程； （2）结合图形可设内切圆的圆心，半径为，利用等面积求出，即可得到的内切圆的方程和圆心坐标. 【详解】（1）由图知，由，，构成的三角形为直角三角形， 故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径. 又、中点坐标为，即圆心， 又，， 的外接圆方程是，圆心为. （2）由的内切圆的圆心为三个内角平分线的交点，且， 结合图形可设内切圆的圆心，半径为. 又，即 ， 的内切圆是以为圆心，半径为1的圆， 的内切圆的方程为，圆心. 12．（25-26高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 典例四 圆的方程中的最值问题 13．（25-26高二上·山东济宁·期末）已知直线，直线相交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．18 【答案】D 【分析】先由题设求出两条直线垂直及其所过的定点，进而求出点P的轨迹为圆，再将转化为圆上点到原点距离的平方即可分析求解. 【详解】因为，所以， 又直线：，则过定点， 直线：，则过定点， 因为且交于，所以， 所以点P的轨迹是圆心为AB中点、半径为的圆， 所以点的轨迹方程为， 表示该圆上的点到原点的距离的平方， 又圆上点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：D 14．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知，，且，则的最大值是_________. 【答案】6 【分析】结合已知条件可知在圆心为，半径为1的上半圆上，然后根据几何意义和圆的性质即可求解. 【详解】因为，所以，，从而在圆心为，半径为1的上半圆上， 由两点间距离公式可知，表示为与的距离， 又由圆的性质可知，的最大值为圆心到的距离与半径之和， 因为圆心到的距离， 所以的最大值是. 故答案为：6. 15．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点为圆上的动点：为坐标原点，则面积的最小值为__________. 【答案】 【分析】先求定点，再求和直线的方程，利用点到直线的距离公式求圆上点到直线距离的最小值，最后利用三角形面积即可求解. 【详解】由，令，即，解得，即， 所以，， 所以直线的方程为：， 又圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为：， 所以点到直线的距离的最小值为：， 所以面积的最小值为. 16．（25-26高二上·四川成都·期中）已知圆C过点，点和点. (1)求圆C的标准方程； (2)设点为圆C上任意一点，求代数式的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）设圆C的标准方程为，然后代点求解即可； （2）由，由于表示点与之间的距离，即，进而结合两点间的距离公式及圆的性质求解即可. 【详解】（1）设圆C的标准方程为， 则，解得， 所以圆C的标准方程为. （2）由（1）知，圆C的圆心，半径， 由， 因为表示点与之间的距离，即， 又， 所以，， 则的最小值为， 最大值为.    典例五 与圆有关的轨迹问题 17．（2026·江苏苏州·模拟预测）设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【分析】设复数，代入已知条件进行化简，求出x、y的关系即可判断． 【详解】设复数，则， 代入，两边平方得：， ， 两边除以：， 以配方：， 这是圆的标准方程，圆心为，半径为． ∴复数z对应的点的轨迹是圆． 故选：B． 18．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答. 【详解】设，依题意，，化简整理得：， 因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 所以动点M的轨迹围成区域的面积为. 故选：D 19．（2026高二·全国·专题练习）已知A为圆C：上一动点，点，若M为AB的中点，则点M的轨迹的方程为______________， 【答案】 【分析】设，，根据中点坐标公式结合圆C的方程得出点M的轨迹方程. 【详解】设，，则，，所以，， 又点A在圆C上，所以， 即的方程为． 故答案为：. 20．（2026高二·全国·专题练习）已知定点A，B，且，动点P满足．请选择恰当的坐标系，求相应点P的轨迹方程，并指明轨迹是什么曲线． 【答案】，轨迹是以为圆心，为半径的圆． 【分析】建立坐标系，利用两点间的坐标公式表示可得，结合圆的标准方程即可求解. 【详解】如图，以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点建立平面直角坐标系， 则，，设， 则由，得， 整理得，即， 所以点P的轨迹方程为，是以为圆心，为半径的圆． 典例六 圆的对称性的应用 21．（25-26高二上·山东·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求圆C的圆心关于直线对称点即可求得所求圆圆心，进而得解. 【详解】圆的圆心为，半径为5， 设圆心关于直线对称点坐标为， 由题意得，解得，即对称圆的圆心为， 所以圆C关于直线对称的圆的方程为. 故选：B 22．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）圆关于原点对称的曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的一般式的判定条件可求出；再利用两圆关于点对称，等价于两圆的圆心关于点对称，半径不变，可求出所求圆的方程. 【详解】由 表示一个圆，因此需满足圆的判别条件： 和 的系数相等且不为零， 即，得方程 ， 解得 或 ， 当 时，方程为 ， 配方得 ，不表示实圆， 当 时，方程为 ， 配方得 ，表示圆心为 ，半径为 5 的圆. 因此 是唯一有效解，原圆方程为 . 两圆关于点对称，等价于两圆的圆心关于点对称，半径不变， 圆心 关于原点对称点为 ，半径不变为 5， 故所求方程为 . 故选：C 23．（25-26高二下·云南昭通·期末）若直线是圆的一条对称轴，则______________． 【答案】2 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即，解得． 24．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·甘肃武威·期末）以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到圆的方程. 【详解】易知该圆圆心为的中点， ，故半径， 所以该圆的方程为. 故选：D. 2．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由圆的标准方程可得圆心坐标. 【详解】由圆的标准方程，可知圆心为. 故选：B 3．（25-26高二上·吉林·期末）以为圆心，且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心及圆上一点求出半径，再利用圆的标准方程即可求解. 【详解】，所以圆的半径，又以为圆心， 所以圆的标准方程为：. 故选：C 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 5．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得圆心的对称点，结合半径求得正确答案. 【详解】由题意知，设点关于直线的对称点为， 则解得 故所求圆的方程为． 故选：A． 6．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）方程表示的曲线是（     ） A．左半圆 B．右半圆 C．下半圆 D．单位圆 【答案】A 【分析】整理得，再根据圆的方程即可得答案. 【详解】对两边平方整理得， 所以方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆在轴及左侧的部分，即左半圆，A选项满足. 故选：A 7．（25-26高二上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，分析的几何意义，将问题转化为“单位圆上的点到点的距离的最大值” ，由此可求解出结果. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 设，则， 所以， 则， 上式表示到的距离的倍， 到的距离的最大值为， 所以的最大值为， 故选：C. 8．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，根据线段的中点坐标得到与和与的关系式，再代入圆的方程即可求得结果. 【详解】设，，则线段的中点坐标为， 即，所以. 因为点在圆上，所以满足. 化简得. 故选：C. 9．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由圆的标准方程即可判断A，由解出即可判断B，由表示圆上点到定点的距离，计算圆心到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 【详解】对于A：由圆的方程，所以圆心为，半径为，故A错误； 对于B：由，有， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D：由得， 所以， 令，由在单调递增， 所以，所以的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 10．（25-26高二上·河南·期末）（多选）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 【答案】ABC 【分析】首先通过斜率判定三角形边关系判断三角形类型；接着利用外接圆方程的一般形式，将三个顶点坐标代入求解方程；最后根据重心坐标公式求出重心坐标，判断其是否在直线上. 【详解】因为，所以，则是以为直角顶点的直角三角形，故A正确； 因为两点间的距离公式计算得到，所以是等腰三角形，故B正确； 由知的外接圆是以线段为直径的圆，其圆心为，半径，所以外接圆方程为，故C正确； 的重心坐标为，即，显然不在直线上，故D错误． 故选：ABC． 11．（2026·辽宁丹东·模拟预测）（多选）已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 【答案】ABD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，由图可得答案. 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：ABD. 12．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）方程所表示的曲线的长度是________． 【答案】 【分析】两边平方去掉根号与绝对值，识别图形为上下两个上半圆，算出单个半圆弧长再求和得到总曲线长度． 【详解】方程移项、平方可得， 当时，方程变为， 表示以为圆心，半径的上半圆，曲线长度： ； 当时，方程变为，表示以为圆心， 半径的下半圆，曲线长度： ； 故方程所表示的曲线的长度是． 13．（25-26高三·全国·一轮复习）若点到两定点和的距离的比等于2，则动点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】由两点间的距离得，代入，化简即可求解. 【详解】由题意得， 由题意得，则， 整理可得， 化简得， 则动点P的轨迹方程为． 14．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 【答案】 【详解】由题意得，点在直线上， 因为原点到直线的距离为， 则圆心到原点的距离的最小值为， 则圆上任意一点到原点的距离的最小值为 15．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用点斜式求出方程即可； （2）根据直线的斜率，求出的中垂线斜率，结合的中点，得到的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心，即为半径，根据圆心半径写出圆的标准方程即可. （3）由（2）得圆心的坐标，结合的距离等于半径，判断得到的外接圆方程. 【详解】（1）边的中点．中线过与，斜率， 故：，即． （2）的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立 解得．半径，故圆的标准方程为． （3）由（2）得圆心，又， ，， 故三点均在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为． 16．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求得，进而可求得线段的垂直平分线方程，由题意的外接圆的直径为，据此求解即可； （2）设，利用坐标表示出点坐标，代入外接圆的方程即可求得点的轨迹方程. 【详解】（1）由得中点为. 直线的斜率. 所以其垂直平分线的斜率. 所以线段的垂直平分线方程为，即. 因为外接圆半径，圆心为. 所以外接圆方程为. （2）设，又. 则. 由于在上，将其代入圆方程可得. 化简可得. 即所求的轨迹方程为.    2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.1 圆的标准方程 第一部分：知识清单 知识点一：圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 知识点二：圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 知识点三：点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点四：圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 第二部分：典型例题汇总 典例一 求圆的标准方程 典例二 由标准方程确定圆心和半径 典例三 求过已知三点的圆的标准方程 典例四 圆的方程中的最值问题 典例五 与圆有关的轨迹问题 典例六 圆的对称性的应用 第三部分：典型例题 典例一 求圆的标准方程 1．（26-27高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 2．（25-26高二·全国·随堂练习）分别根据下列条件，求出圆的方程： (1)圆心在原点，半径为6； (2)圆心为点，半径为； (3)过点，圆心为； (4)过原点，圆心为点． 3．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 典例二 由标准方程确定圆心和半径 5．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（    ） A．-10 B．2或-10 C．-2或10 D．-2 7．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）圆C：的半径为（    ） A．9 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高二上·福建福州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 典例三 求过已知三点的圆的标准方程 9．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知，求外接圆的标准方程． 10．（25-26高二上·天津南开·期中）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 12．（25-26高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 典例四 圆的方程中的最值问题 13．（25-26高二上·山东济宁·期末）已知直线，直线相交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．18 14．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知，，且，则的最大值是_________. 15．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点为圆上的动点：为坐标原点，则面积的最小值为__________. 16．（25-26高二上·四川成都·期中）已知圆C过点，点和点. (1)求圆C的标准方程； (2)设点为圆C上任意一点，求代数式的最值. 典例五 与圆有关的轨迹问题 17．（2026·江苏苏州·模拟预测）设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 18．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 19．（2026高二·全国·专题练习）已知A为圆C：上一动点，点，若M为AB的中点，则点M的轨迹的方程为______________， 20．（2026高二·全国·专题练习）已知定点A，B，且，动点P满足．请选择恰当的坐标系，求相应点P的轨迹方程，并指明轨迹是什么曲线． 典例六 圆的对称性的应用 21．（25-26高二上·山东·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）圆关于原点对称的曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·云南昭通·期末）若直线是圆的一条对称轴，则______________． 24．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·甘肃武威·期末）以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·吉林·期末）以为圆心，且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）方程表示的曲线是（     ） A．左半圆 B．右半圆 C．下半圆 D．单位圆 7．（25-26高二上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 8．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 10．（25-26高二上·河南·期末）（多选）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 11．（2026·辽宁丹东·模拟预测）（多选）已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 12．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）方程所表示的曲线的长度是________． 13．（25-26高三·全国·一轮复习）若点到两定点和的距离的比等于2，则动点的轨迹方程是______． 14．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 15．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 16．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $