2.5.2圆与圆的位置关系8题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种类型，通过几何法（圆心距与半径关系）和代数法（方程组解的个数）构建判定体系，结合公共弦、公切线应用，以8题型分类形成从概念到解题的完整学习支架。 该资料亮点在于题型分类精准（含位置判断、参数求解、公切线等8类），融入各地期中期末实例题，通过几何推理与代数运算结合培养数学思维，以公共弦方程推导等过程提升数学语言表达能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生针对性练习，查漏补缺，发展应用意识。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.5.2 圆与圆的位置关系8题型分类 一、圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含． 2．判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 二、圆与圆位置关系的应用 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． (1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． 三、圆与圆的公切线 1．公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4 3 2 1 0 2．公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离d=r求解. （一） 圆与圆位置关系的判断 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 题型1：判断两圆的位置关系 1．（2026高二·北京昌平·期中）圆：与圆：的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】B 【分析】根据两圆的圆心距与两圆半径和差的比较即可判断两圆位置关系. 【详解】因为圆：的圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以两个圆的圆心距，又两个圆的半径差为， 所以圆与圆的位置关系是内切. 故选：B. 2．（2026高二·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 3．（2026高二·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 4．（2026高二·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】A 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 所以， 即，所以圆与圆外离. 5．（2026高二·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 故选：B. 题型2：由圆的位置关系求参数 6．（2026高二·全国·专题练习）圆与圆只有一个公共点，则（　　） A．4 B．5 C．6 D．4或6 【答案】D 【分析】化圆的标准式写出圆心和半径，根据已知有两圆外切或内切，进而求出两种情况下对应的半径r即可. 【详解】由题设，则且半径； ，则且半径； 所以，又两圆只有一个公共点，故两圆外切或内切， 当两圆外切时，，则； 当两圆内切时，，则或（舍）； 所以或. 故选：D 7．（2026高二·四川南充·期中）已知集合，若恰有一个元素，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据恰有一个元素，得到两圆只有一个公共点，分两圆相外切和内切求解. 【详解】解：，即， 则该圆的圆心为，半径为， ，即， 由题意可知集合表示圆，则该圆的圆心为，，半径为， 又圆心距为，且恰有一个元素， 即两圆只有一个公共点， 当两圆相外切时，，解得， 当两圆相内切时，，解得， 故选：D 8．（2026高二·全国·课后作业）若两圆和圆相交，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】圆与圆相交，则圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，解不等式． 【详解】圆与圆相交， 两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和， 即，所以. 解得或. 故选：B 9．（2026·陕西商洛·模拟预测）若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆有两个交点，再由圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 由题意可知，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或． 所以实数b的取值范围是． 10．（2026高二·广东深圳·期末）已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【答案】2 【分析】利用两圆的相交关系，求出相交弦方程，再由已知及点线距离公式列方程求参数r. 【详解】由圆，得圆心为，半径， 由圆，得圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为， 要使两圆相交，需使,解得， ，可得，因，则， 由，解得，满足， 因此的值为. 11．（2026·河南信阳·模拟预测）已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为由圆与圆相交，求参数范围即可. 【详解】以为圆心，7为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，即，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 题型3：求两圆的交点坐标 12．（2026高二·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先求得公共弦所在直线的方程，联立直线方程与其中一个圆的方程可得交点坐标. 【详解】圆和圆, 两圆方程相减可得公共弦方程为， 联立方程，解得或， 可得两圆的交点坐标为和， 故选：B． 13．（2026高二·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是______． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 14．（2026高二·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】联立方程可求解两圆的交点，即可根据对称性求解面积. 【详解】联立可得或， 故, 又, 故四边形OACB的面积为, 故选：B    15．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知，通过联立圆方程得到直线方程，进而计算得到和长度，最终计算四边形面积. 【详解】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. （二） 圆与圆相交有关的问题 1．圆系方程 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． 2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 3．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 4.求两圆的相交弦的垂直平分线的方程：经过两圆的圆心的直线方程． 题型4：求两圆公共弦方程及公共弦长 16．（2026高二·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 17．（2026高二·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 18．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 19．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为________________． 【答案】 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，从而可设出直线l的方程，将点的坐标代入即可求解. 【详解】将两圆的方程和作差， 公共弦所在的直线方程为，整理得. 因为直线l与公共弦平行，所以可设直线l的方程为， 因为直线l过点，将的坐标代入l的方程可得，解得， 所以直线l的方程为. 故答案为：. 20．（2026高一·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得. 【详解】圆，即，则圆心为，半径为1，则， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为，所以， 得，解得，因此.    21．（2026高三·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 22．（2026高二·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 23．（2026高二·江西赣州·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据已知条件求得，从而求得圆的标准方程. （2）先求得两圆公共弦所在直线方程，然后利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得公共弦长. 【详解】（1）设圆， 由题意得 得 所以圆的标准方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距，所以两圆相交. 由，两式相减得， 则圆与圆的公共弦所在直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以圆与圆的公共弦长为. （三） 圆与圆的位置关系的应用 1．公切线的条数：由圆与圆的位置关系求解. 2．公切线的方程：由圆心到切线的距离d=r求解. 3.与圆有关的最值问题：利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 题型5：两圆的公切线的条数 24．（2026·河北保定·模拟预测）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 25．（2026高二·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 26．（2026高二·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 27．（2026高三·重庆·阶段检测）已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 【答案】 【详解】由圆，得圆， 所以圆心，半径， 由，可得，半径为， 所以， 因为圆与圆恰有3条公切线，所以圆与圆相外切， 所以，解得. 28．（2026高二·浙江杭州·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的位置关系得出，再将问题转化为求圆环内的点到直线的距离的取值范围. 【详解】由题意可知，，，且两圆相交， 则，则， 因为点到直线的距离为， 则圆与圆中间的圆环内的点到直线的距离，即， 则，故的取值范围为. 29．（2026高二·安徽·期末）已知圆，圆，若与有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件得出圆心和半径，再利用公切线条件得出两圆相交，进而列不等式求出实数的取值范围． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 若与有且仅有2条公切线，则两圆相交， 又，，解得. 故选：D. 题型6：两圆的公切线方程 1．（2026高一·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 2．【多选】（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 3．（2026高三·福建厦门·专题练习）圆与圆的两条公切线的交点坐标为________. 【答案】 【详解】作图，圆的圆心，半径； 圆，圆心，半径. 而公切线交点在圆心连线上，同侧切点，构成， 所以，且与关于对称，结合中点坐标公式可得. 4．（2026高三·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 5．（2026高二·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 6．（2026·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 【答案】（或，） 【分析】由题知两圆位置关系为外切，有三条公切线，进而作出图象，结合图象可设公切线方程为，再根据相切关系建立方程，，两式作比得，再分类求解即可. 【详解】由题知的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 所以，故两圆位置关系为外切，有三条公切线. 如图，由图可知，公切线方程斜率存在，故设方程为， 则由直线与相切得：，即， 由直线与相切得：，即， 所以，即， 所以， 当时，，代入整理得，解得或， 此时公切线方程为（）或， 当时，，代入整理得，解得，此时公切线方程为（）， 综上，所求的公切线方程为，或 故答案为：（或，） 题型7：两圆的公切线长 7．（2026高二·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【答案】(1) (2)条， 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到切线的距离等于半径，圆上点到圆心的距离也等于半径，列出方程，得出圆心坐标及半径，再根据对称得出答案； （2）先确定两圆的位置关系，再利用公切线长度公式即可求得答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 8．（2026高二·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 9．（2026·浙江·模拟预测）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 10．【多选】（2026高二·江苏镇江·期中）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【答案】AC 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：AC. 题型8：与圆有关的最值问题 11．（2026高二·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 12．（2026高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：A. 13．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 14．（2026高二·福建漳州·期末）已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】D 【分析】根据两个圆方程，将问题转化为圆上点到定点的距离最大值，求解即可. 【详解】圆，配方可得：， 所以圆心，半径. 圆，可知圆心，半径， 又因为两圆外切，所以圆心距就是两圆的半径和， 即：， 化简得：， 求的最大值，就是点到定点的距离的最大值. 圆心到点的距离， 圆半径为3，所以最大距离为：. 故选：D. 1．（2026高二·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】C 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 2．（2026高二·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两圆的一般式作差，即可得到两圆公共弦所在的直线方程. 【详解】已知圆与圆， 由两圆的一般式作差可得：， 所以两圆公共弦所在直线的方程为. 故选：B 3．（2026高二·广东东莞·期末）已知圆与圆，若圆完全覆盖圆，，则圆的半径的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先判断圆与圆相交，结合图形关系即可求解最小的半径. 【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆相交， 因圆覆盖圆，，所以圆半径的最小值为. 故选：B 4．（2026高二·甘肃陇南·期末）已知点在圆外，则圆M：与圆N：的位置关系是（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【分析】利用点与圆的位置可得，再求出圆与圆的圆心及半径，并求出圆心距即可判断得解. 【详解】由点在圆外，得， 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 因此，所以圆与圆外离. 故选：D 5．（2026高二·云南昆明·期末）圆与圆的公共点个数为（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由两圆方程可确定圆心和半径，利用圆心距与半径之差相等可确定结果. 【详解】可化为： ，圆心，. 可化为，圆心 .， 故两圆内切.故两圆有一个公共点. 故选：D 6．（2026高二·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 7．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 8．（2026高二·江西景德镇·期末）已知圆：与圆：（）的公共弦所在的直线与直线：平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由平行关系求出并验证，最后利用平行线距离公式即可得到答案. 【详解】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得， 当时，两直线方程均为，此时两直线重合，故舍去； 当时，公共弦所在直线方程为，即， 直线，两直线平行， 此时圆，即，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为，此时两直线距离为. 故选：D 9．（2026高二·重庆·阶段检测）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两圆方程设出所求圆方程，求出圆心，代入直线即可解出参数，即可确定圆的方程. 【详解】设所求圆的方程为，则， 则圆心坐标为，代入直线，可解得. 故所求圆的方程为，即. 故选：A. 10．（2026·山东淄博·模拟预测）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得点在以为直径的圆上，再利用圆与圆的位置关系求出的范围. 【详解】由点及，得点在以为直径的圆上， 其圆心，半径，而圆的圆心，半径， 又点在圆上，因此，即，则， 又点与点都不重合，即，则，即， 所以实数m的取值范围是. 11．【多选】（2026高二·贵州黔东南·阶段检测）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用两圆相离和内含列式求出的范围即可判断. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心， 半径，圆心距， 由圆与圆没有公共点，得两圆内含或者外离， 当两圆内含时，，即，解得； 当两圆外离时，，即，解得， 因此当两圆没有公共点时，的取值范围是或. 故选：AD 12．【多选】（2026高二·陕西安康·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆过定点 B．若圆与直线相交，则 C．若圆与圆相切，则圆的面积为 D．对任意非零实数，两圆存在与直线AB平行的公切线 【答案】ACD 【详解】对于A，由，可知圆过定点，故A正确； 对于B，，由圆与直线相交得， 解得或，故B错误； 对于C，由两圆半径相同，故不可能内切，于是只能外切，而， 故，即，可得圆的面积为，故C正确； 对于D，由题意知，直线的方程为，即， 设与其平行的直线方程为，若其与两圆均相切，则， 整理得， 取时等号成立，故D正确. 13．（2026高二·江苏常州·期末）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 【答案】4或6 【分析】求出两圆的圆心距，根据两圆有且只有一个公共点的条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆的位置关系为外切或内切， 即或，则解得或6. 故答案为：4或6． 14．（2026高二·山西临汾·阶段检测）已知圆，圆，点分别在圆上，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】先判断两圆的位置关系，再利用最小值为圆心距减去两个半径求出. 【详解】由题意可知，，半径分别为， 则， 则，故两圆相离， 则的最小值为. 故答案为： 15．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知点和圆，若以线段中点为圆心，为半径的圆与交于两点，则__________. 【答案】 【分析】先确定圆心的坐标和圆的半径，再证明为新圆的直径，为直角，结合勾股定理求结论. 【详解】因为圆的方程， 所以圆心的坐标为，圆的半径，， 又点，所以 ，线段的中点坐标为， 新圆以中点为圆心，为半径，因此是新圆的直径， 因为交点在新圆上，所以，即是直角三角形，斜边为， 在中： ，又， 所以 ，故. 16．（2026高二·全国·课后作业）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为________________． 【答案】 【分析】根据过直线与圆的交点的圆系方程，设出所求圆的方程，然后将已知点代入即可求解. 【详解】由已知可设经过直线和圆的圆系方程为 ， 又因为圆过点，所以，解得：， 故所求圆的方程为． 故答案为：. 17．（2026高二·山东淄博·阶段检测）已知圆，过点作圆的切线，切点为，则直线的方程为___________线段AB的长度为___________ 【答案】 【分析】由题意在以为圆心，的长为半径的圆，求得圆的方程，与圆方程相减可得直线的方程，进而求得点到直线的距离，进而利用弦长公式可求得. 【详解】因为过点作圆的切线，切点为， 所以在以为圆心，的长为半径的圆， 由圆，得， 所以圆心，半径为，又， 所以，所以以为圆心， 以为半径的圆的方程为，即， 两圆方程相减得直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为， 所以. 故答案为：①；②. 18．（2026高三·贵州贵阳·阶段检测）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为______（写出其中一条公切线方程即可）. 【答案】或或或（写出其中一个即可） 【分析】若任意两个圆关于某直线对称，那么这两个圆的其中一条公切线与两个圆心连线平行且距离为半径，再代入本题条件，求出圆心连线的直线方程，求出其中一条公切线方程.因为圆与对称相离，所以两对称圆一定相离，由对称性得到切线与对称性相较于同一点，通过线段长求出切线的倾斜角，从而写出切线方程. 【详解】如图：任意圆与圆关于直线对称，为圆与圆的一条公切线， ∵圆与圆关于直线对称，∴， ∵为圆与圆的公切线，∴，∴， 由圆与圆关于直线对称，∴圆与圆的半径相等，即， ∴，且到的距离为， ∵，∴，，∴， 设其中一条公切线，则，即， 故圆与圆的公切线. ∵圆心到直线的距离，∴圆与圆相离， ∴圆与圆有4条公切线，由对称性可知公切线与交于一点， 设与圆相切与点，则， ∵，，∴， ∵，∴轴，轴， ∴故圆与圆的公切线或. 故答案为：或或或（写出其中一个即可）. 19．（2026高三·广东珠海·阶段检测）过圆外一点P引该圆的两条切线PA、PB，经过两个切点A、B的直线经过定点，且的面积为，则点P的坐标为__________. 【答案】 【分析】设，求出以为直径的圆的方程，已知圆相减得直线AB的方程，根据直线经过定点可求出，结合的面积求出，从而可求P点坐标. 【详解】圆，∴圆心为，半径， 设点P的坐标为，则以为直径的圆的方程为， 将该方程和相减得，即直线的方程为， 由题意知直线过点，故，即 即直线的方程为， 点到直线的距离为， 则， 又点P到直线的距离为， 由于的面积为，故， 即， 设，则可得，即， 即，即， 即得或， 对于，，即该方程无解， 故，即，即， 所以点P的坐标为.    故答案为：. 20．（2026高一·江西上饶·阶段检测）已知两圆,，直线， （1）当圆与圆相交且公共弦长为4时，求r的值； （2）当r =1时，求经过圆与圆的交点且和直线l相切的圆的方程． 【答案】（1）3；(2) 【分析】（1）根据圆的方程得两圆的相交弦的方程，再由圆与圆相交且公共弦长为4，得到相交弦过圆心，代入即可求解. （2）设过圆与圆的圆系方程为，根据由圆心到直线的距离等于圆的半径，求得，即可得到圆的方程. 【详解】（1）由题意，圆，则圆心坐标，半径为， 又由圆，可得， 两式相减可得相交弦的方程， 因为圆与圆相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心， 即，解得； （2）设过圆与圆的圆系方程为 即， 所以， 又由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得， 解得，故所求圆的方程为. 【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系和直线与圆的位置关系，得出相交弦的方程和利用点到直线的距离公式，合理列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 21．（2026高二·河南平顶山·期末）已知圆与圆的公共弦所在的直线为． (1)求，的值； (2)若与交于，两点，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）两圆方程作差得到公共弦方程，从而得到方程组，解得即可； （2）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出公共弦长，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）圆与圆, 两圆方程作差可得，即， 因为圆与圆的公共弦所在的直线为， 所以，解得，所以，. 经检验当，时，两圆相交，符合题意. （2）圆即，所以圆心为，半径， 则到直线的距离，所以； 由（1）可得圆，即， 所以圆心为，半径， 所以到直线的距离， 所以. 22．（2026高二·浙江温州·期末）已知圆的圆心在直线上，直线与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)若直线与直线交于点，求的外接圆与圆的公共弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心，根据直线与直线垂直，根据直线的斜率关系可求出的值，可得出圆心的坐标，进而可求得圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）先求出的外接圆方程，再求出两圆公共弦所在直线的方程，结合几何法求弦长即可求解. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 则与直线垂直，且直线的斜率为1， 则，得，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的半径为， 所以，圆的标准方程为. （2）由，解得，所以， 得，的中点为. 因为， 所以的外接圆是以为圆心，以为半径的圆， 所以的外接圆方程为， 减去圆的标准方程：， 得，即两圆公共弦所在直线的方程为， 则到直线的距离为， 所以，得两圆的公共弦长为. 23．（2026高二·江苏盐城·阶段检测）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可得出圆的方程； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时的条件，再结合求出点的坐标. 【详解】（1）由题意，设，关于直线对称． ，且， ，圆心为，半径为，圆的方程． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 两圆相交，有两条公切线． 又公切线的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 当四边形面积最小时，的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.5.2 圆与圆的位置关系8题型分类 一、圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含． 2．判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 二、圆与圆位置关系的应用 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③ 方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程． (1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． 三、圆与圆的公切线 1．公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4 3 2 1 0 2．公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离d=r求解. （一） 圆与圆位置关系的判断 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 题型1：判断两圆的位置关系 1．（2026高二·北京昌平·期中）圆：与圆：的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 2．（2026高二·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．（2026高二·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 4．（2026高二·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 5．（2026高二·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 题型2：由圆的位置关系求参数 6．（2026高二·全国·专题练习）圆与圆只有一个公共点，则（　　） A．4 B．5 C．6 D．4或6 7．（2026高二·四川南充·期中）已知集合，若恰有一个元素，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高二·全国·课后作业）若两圆和圆相交，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 9．（2026·陕西商洛·模拟预测）若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2026高二·广东深圳·期末）已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 11．（2026·河南信阳·模拟预测）已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型3：求两圆的交点坐标 12．（2026高二·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和B．和 C．和 D．和 13．（2026高二·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是______． 14．（2026高二·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 15．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． （二） 圆与圆相交有关的问题 1．圆系方程 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． 2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 3．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 4.求两圆的相交弦的垂直平分线的方程：经过两圆的圆心的直线方程． 题型4：求两圆公共弦方程及公共弦长 16．（2026高二·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 17．（2026高二·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 19．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为________________． 20．（2026高一·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 21．（2026高三·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 22．（2026高二·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 23．（2026高二·江西赣州·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长. （三） 圆与圆的位置关系的应用 1．公切线的条数：由圆与圆的位置关系求解. 2．公切线的方程：由圆心到切线的距离d=r求解. 3.与圆有关的最值问题：利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 题型5：两圆的公切线的条数 24．（2026·河北保定·模拟预测）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．（2026高二·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2026高二·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 27．（2026高三·重庆·阶段检测）已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 28．（2026高二·浙江杭州·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 29．（2026高二·安徽·期末）已知圆，圆，若与有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型6：两圆的公切线方程 1．（2026高一·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 2．【多选】（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·福建厦门·专题练习）圆与圆的两条公切线的交点坐标为________. 4．（2026高三·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 5．（2026高二·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 题型7：两圆的公切线长 7．（2026高二·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 8．（2026高二·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 9．（2026·浙江·模拟预测）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 10．【多选】（2026高二·江苏镇江·期中）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 题型8：与圆有关的最值问题 11．（2026高二·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 14．（2026高二·福建漳州·期末）已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D．8 1．（2026高二·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 2．（2026高二·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 3．（2026高二·广东东莞·期末）已知圆与圆，若圆完全覆盖圆，，则圆的半径的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 4．（2026高二·甘肃陇南·期末）已知点在圆外，则圆M：与圆N：的位置关系是（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 5．（2026高二·云南昆明·期末）圆与圆的公共点个数为（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 6．（2026高二·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 8．（2026高二·江西景德镇·期末）已知圆：与圆：（）的公共弦所在的直线与直线：平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 9．（2026高二·重庆·阶段检测）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． C． D． 10．（2026·山东淄博·模拟预测）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（2026高二·贵州黔东南·阶段检测）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 12．【多选】（2026高二·陕西安康·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆过定点 B．若圆与直线相交，则 C．若圆与圆相切，则圆的面积为 D．对任意非零实数，两圆存在与直线AB平行的公切线 13．（2026高二·江苏常州·期末）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 14．（2026高二·山西临汾·阶段检测）已知圆，圆，点分别在圆上，则的最小值为_____． 15．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知点和圆，若以线段中点为圆心，为半径的圆与交于两点，则__________. 16．（2026高二·全国·课后作业）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为________________． 17．（2026高二·山东淄博·阶段检测）已知圆，过点作圆的切线，切点为，则直线的方程为___________线段AB的长度为___________ 18．（2026高三·贵州贵阳·阶段检测）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为______（写出其中一条公切线方程即可）. 19．（2026高三·广东珠海·阶段检测）过圆外一点P引该圆的两条切线PA、PB，经过两个切点A、B的直线经过定点，且的面积为，则点P的坐标为__________. 20．（2026高一·江西上饶·阶段检测）已知两圆,，直线， （1）当圆与圆相交且公共弦长为4时，求r的值； （2）当r =1时，求经过圆与圆的交点且和直线l相切的圆的方程． 21．（2026高二·河南平顶山·期末）已知圆与圆的公共弦所在的直线为． (1)求，的值； (2)若与交于，两点，求四边形的面积． 22．（2026高二·浙江温州·期末）已知圆的圆心在直线上，直线与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)若直线与直线交于点，求的外接圆与圆的公共弦长. 23．（2026高二·江苏盐城·阶段检测）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $