1.3 空间向量及其运算的坐标表示讲义【知识清单+6大题型】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，从空间直角坐标系建立切入，系统梳理点与向量的坐标表示，进而阐述加减、数乘、数量积等运算规则，结合平行垂直判定及模长、夹角、距离公式，构建从概念到应用的学习支架。 资料特色在于知识清单系统整合核心概念，典型例题按对称、运算、模长等类型分类，含多选、解答题等形式。通过正方体中向量坐标运算等实例，培养学生用数学眼光抽象空间形式，用数学思维推理运算逻辑，课中助力分层教学，课后检测帮助查漏补缺，强化知识应用。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 第一部分：知识清单 知识点1：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 知识点2：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点3：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 第二部分：典型例题汇总 典例一 空间向量的坐标表示（对称） 典例二 空间向量的坐标运算 典例三 空间向量模长的坐标表示 典例四 空间向量夹角的坐标表示 典例五 空间向量求投影 典例六 空间向量平行、垂直的坐标表示 第三部分：典型例题 典例一 空间向量的坐标表示（对称） 1．（25-26高二上·贵州黔东南·期中）已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（    ） A．点关于原点的对称点的坐标为 B．点关于轴的对称点的坐标为 C．点关于平面对称的点的坐标为 D．两点，间的距离为 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）如图所示，在长方体中，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江西赣州·期末）（多选）在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（　　） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 典例二 空间向量的坐标运算 5．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 典例三 空间向量模长的坐标表示 9．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 10．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 11．（25-26高二上·四川广安·期末）若空间向量，，则（   ） A． B．3 C． D．2 12．（25-26高二上·安徽宿州·期末）设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 典例四 空间向量夹角的坐标表示 13．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 14．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知空间中四点，则（    ） A． B． C． D．为锐角 16．（25-26高二下·湖北黄冈·阶段检测）在正方体中，，分别为，的中点，点在上，且，则与所成角的余弦值为（   ）． A． B． C． D． 典例五 空间向量求投影 17．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 18．（2026·陕西咸阳·一模）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 19．（25-26高二上·安徽·期中）（多选）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，三棱锥的体积为，点在棱上，且，则（    ）    A．四棱锥的高为 B．的面积为 C．在上的投影向量为 D．直线与平面所成角的正弦值为 20．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 典例六 空间向量平行、垂直的坐标表示 21．（25-26高一下·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 22．（25-26高二上·青海西宁·期末）向量，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D．4 23．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量的模为 24．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）（多选）已知，，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知向量，，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 2．（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）设点，，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知向量，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（25-26高二上·河北张家口·期中）设，向量，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 6．（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．（25-26高二上·山东淄博·期中）（多选）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A、B两点间距离为 9．（25-26高二上·陕西渭南·期末）（多选）在空间直角坐标系中，．则下列结论正确的是（   ） A． B．与向量平行且长度为1的单位向量为或 C．向量在向量上的投影向量的坐标为 D．与的夹角的余弦值为 10．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）棱长为1的正方体 中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 12．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）已知向量，，则在方向上的投影向量是______. 13．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 14．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 15．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. (1)求侧棱的长； (2)求. 16．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知向量 (1)求与同向的单位向量； (2)当时，若向量与垂直，求实数k的值； (3)若向量与向量，共面，求实数x的值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 第一部分：知识清单 知识点1：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 知识点2：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点3：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 第二部分：典型例题汇总 典例一 空间向量的坐标表示（对称） 典例二 空间向量的坐标运算 典例三 空间向量模长的坐标表示 典例四 空间向量夹角的坐标表示 典例五 空间向量求投影 典例六 空间向量平行、垂直的坐标表示 第三部分：典型例题 典例一 空间向量的坐标表示（对称） 1．（25-26高二上·贵州黔东南·期中）已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基底法和坐标表示的关系，利用待定系数法，即可求解. 【详解】在基底下的坐标为，得， 设向量在基底下的坐标是， 则， 所以解得， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（    ） A．点关于原点的对称点的坐标为 B．点关于轴的对称点的坐标为 C．点关于平面对称的点的坐标为 D．两点，间的距离为 【答案】ACD 【分析】由空间直角坐标系的对称性可得A、C正确，B错误；由两点间距离公式可得D正确； 【详解】对于A，点关于原点的对称点的坐标为，故A正确； 对于B，点关于轴的对称点的坐标为，故B错误； 对于C，点关于平面对称的点的坐标为，故C正确； 对于D，两点，间的距离为，故D正确； 故选：ACD. 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）如图所示，在长方体中，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】建系，确定各个向量坐标，结合向量模长公式，相等向量和相反向量、向量坐标运算逐个判断即可. 【详解】 以为原点，分别以为轴建系，如图： 则， 对于A： ，模长，A正确. 对于B： ，是相等向量，B正确. 对于C： ， 而 ，C错误. 对于D： ，，因此， D正确. 4．（25-26高一下·江西赣州·期末）（多选）在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（　　） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 【答案】CD 【分析】根据已知条件及对称性，结合中点坐标公式即可求解. 【详解】A选项，点关于原点的对称点的坐标为，故A错误； B选项，点关于y轴对称的点的坐标是；故B错误； C选项，点关于平面对称的点的坐标是，故C正确； D选项，已知点与点，则AB的中点坐标是，故D正确. 故选：CD. 典例二 空间向量的坐标运算 5．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得. 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 7．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用向量的坐标运算进行求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B 8．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 【答案】AC 【分析】使用空间向量的坐标表示及其运算即可求得A，使用空间向量共线定理结合数乘运算解B，使用空间向量的模的运算解C，由空间向量垂直的判定结合空间向量数量积的坐标运算解D即可. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得， 若三点共线，则存在实数，使得， 即，无解，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由题意得， ， 即与不垂直，故D错误. 典例三 空间向量模长的坐标表示 9．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】因为向量，， 所以,又因为， 所以，故， 故选：B 10．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标线性运算求出，再利用模长公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：B. 11．（25-26高二上·四川广安·期末）若空间向量，，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】据向量的坐标运算求，进而可求模长. 【详解】，所以. 故选：C. 12．（25-26高二上·安徽宿州·期末）设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 典例四 空间向量夹角的坐标表示 13．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 14．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的坐标表示代入化简可得，结合单位向量模长，代入化简可得，进而可得. 【详解】由已知，均为单位向量，可知， 又，则； 同理，则， 代入， 即，解得， 则， 故选：C. 15．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知空间中四点，则（    ） A． B． C． D．为锐角 【答案】BD 【分析】根据条件，求出，对A，利用模长公式，直接求出，即可求解；对B，利用向量垂直的坐标表示，即可求解；对C，利用向量共线的坐标表示，即可求解；对D，利用向量的夹角公式及夹角的范围，即可求解. 【详解】由， 可得，，，，， 对于选项A，因为，所以A错误； 对于选项B，因为，所以，故B正确； 对于选项C，由，可知与不平行，故C错误； 对于选项D，，又易知不共线，且， 故为锐角，所以D正确. 故选：BD． 16．（25-26高二下·湖北黄冈·阶段检测）在正方体中，，分别为，的中点，点在上，且，则与所成角的余弦值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用空间向量法计算异面直线夹角余弦公式计算求解. 【详解】在正方体中，，分别为，的中点，点在上，且， 设正方体的棱长为6，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系． 则，   ，分别为，的中点，，， ，． ，， 与所成角的余弦值为． 故选：B． 典例五 空间向量求投影 17．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【分析】先利用共面向量定理求出参数的值，再根据向量投影公式及模的公式计算即可得. 【详解】由，，，共面，则可设， 即有，解得，即， 则， 故在上的投影向量的模为. 18．（2026·陕西咸阳·一模）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行和垂直，求出向量的模，利用投影向量公式计算即可. 【详解】空间向量，， ， ，故A正确， ，， 而，所以和不平行，故B错误， ， ， ，故C正确， 因为， 在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 19．（25-26高二上·安徽·期中）（多选）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，三棱锥的体积为，点在棱上，且，则（    ）    A．四棱锥的高为 B．的面积为 C．在上的投影向量为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；建系，推导出，利用三角形的面积公式可判断B选项；推导出，结合投影向量的定义可判断C选项；利用空间向量法可判断D选项. 【详解】对于A选项，如图，连接，设， 由题意知，和都是等边三角形， 又因为， 所以点在平面内的射影为的中心，设为，连接， 由，解得，即四棱锥的高为，A错； 对于B选项，由已知，又平面， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 过点且与平行的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、、、， 所以，，则，所以， 又因为，， 所以，B对； 对于C选项，因为，所以，，所以， 所以，，，则，即， 所以在上的投影向量为，C对； 对于D选项，易知，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设直线与平面所成的角为，则，D错. 故选：BC. 20．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 【答案】(1) (2)或. (3) 【详解】（1）由题意得，，， 所以，， 可得，，， 所以. （2）由题意得，， 因为，所以， 即，解得或. （3）可知，， 所以，， 所以在方向上的投影数量为. 典例六 空间向量平行、垂直的坐标表示 21．（25-26高一下·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 22．（25-26高二上·青海西宁·期末）向量，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据向量的平行和垂直求出，再根据模长公式求解. 【详解】因为//，所以，所以，所以, 因为，所以，所以. 所以，所以， 所以. 故选：C. 23．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量的模为 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合空间向量平行、垂直及模的坐标表示求解判断ABC；求出投影向量的模判断D. 【详解】对于A，，而，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，在上的投影向量为，则，D正确. 故选：BD 24．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）（多选）已知，，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的坐标运算可求即可判断A，再判断，的位置关系即可判断B，根据线性运算得到，再由垂直的坐标表示判断C；由夹角公式即可判断D． 【详解】由，，得，A正确； 假设，则，显然无解，所以与不平行，B错误； 因为，所以，则，C正确； 因为，所以，D正确． 故选：ACD． 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知向量，，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法运算和数量积坐标公式求解. 【详解】，，， . 故选：B. 2．（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）设点，，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】设，则，且， 因为，可得，解得，即点. 故选：B. 3．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点的坐标，再求出向量的坐标. 【详解】因为点与点关于平面对称且，所以点， 又，所以 故选：D 4．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知向量，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由题意可得，则． 5．（25-26高二上·河北张家口·期中）设，向量，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】由空间向量共线及数量积的坐标运算求解. 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以， 故选：B. 6．（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，可求得与夹角的余弦值. 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 7．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求出和的坐标，由两向量垂直得其数量积为零，从而求出的值. 【详解】由已知得. 因为， 所以，解得． 故选：C. 8．（25-26高二上·山东淄博·期中）（多选）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A、B两点间距离为 【答案】ABD 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】由题可得， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确， 在上的投影向量的坐标是，故B正确； 与夹角的余弦值是，故C错误； A、B两点间的距离即，故D正确. 故选：ABD. 9．（25-26高二上·陕西渭南·期末）（多选）在空间直角坐标系中，．则下列结论正确的是（   ） A． B．与向量平行且长度为1的单位向量为或 C．向量在向量上的投影向量的坐标为 D．与的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算可判断A，利用单位向量的坐标运算可判断B，利用投影向量的坐标运算可判断C，利用向量夹角的余弦值的坐标运算可判断D. 【详解】对于A， 由于，所以与不垂直， 故A错误； 对于B，与向量平行且长度为1的单位向量为，故B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量的坐标为： ， 故C正确； 对于D，， ， 所以与的夹角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD 10．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）棱长为1的正方体 中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】建立适当空间直角坐标系后，表示出对应向量并逐项计算即可得. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、、， 对A：，，故，故A正确； 对B：，，则，故B错误； 对C：，，则，故C错误； 对D：，，则，故D正确. 故选：AD. 11．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 12．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）已知向量，，则在方向上的投影向量是______. 【答案】 【分析】应用投影向量的定义求在方向上的投影向量. 【详解】由在方向上的投影向量是. 故答案为： 13．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 14．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【答案】(1). (2)或. (3)或. 【分析】（1）首先求出向量，的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； （3）根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可. 【详解】（1）因为，，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 15．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. (1)求侧棱的长； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据中点坐标公式得到，再利用空间向量模的坐标公式即可得到答案； （2）根据空间向量的夹角余弦值的坐标表示即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，平行六面体的一条体对角线为， 且中点为，已知，所以， 所以． （2）由题意知，为体对角线的中点， 由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得， 所以， 所以． 16．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知向量 (1)求与同向的单位向量； (2)当时，若向量与垂直，求实数k的值； (3)若向量与向量，共面，求实数x的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量运算的坐标表示直角利用公式求解； （2）根据向量垂直，数量积为零建立方程，解出即可； （3）利用共面向量的坐标表示建立方程组，解出即可. 【详解】（1）因为 所以， 则与同向的单位向量为. （2）因为， 解得，则， 又，而， 则，解得， 故实数k的值为 （3）若向量与向量，共面， 则，即 ， 则，解得， 则实数x的值为 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $