专题2.4 圆的方程重难点题型专训讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学圆的方程核心知识点，系统梳理圆的定义、标准方程与一般方程，二元二次方程表示圆的条件，点与圆的位置关系等内容，通过题型训练搭建从基础定义到综合应用的学习支架。 资料以13大基础题型与2大提高题型分层设计，结合即时训练与自我检测，通过过三点求圆方程、轨迹问题等实例培养数学思维，助力学生用数学语言表达方程互化与参数求解过程，课中辅助教学高效推进，课后帮助学生查漏补缺强化知识。

专题2.4 圆的方程重难点题型专训 （3个知识点+13大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、由圆心(或半径)求圆的方程 题型二、求过已知三点的圆的标准方程 题型三、由标准方程确定圆心和半径 题型四、圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型五、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型六、求圆的一般方程 题型七、圆过定点问题 题型八、由圆的一般方程确定圆心和半径 题型九、轨迹问题--圆 题型十、判断点与圆的位置关系 题型十一、点与圆的位置关系求参数 题型十二、圆的对称性的应用 题型十三、定点到圆上点的最值(范围) 第二部分·练提高题型 题型一、圆的标准方程 题型二、圆的一般方程相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 圆的方程 1.圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2.圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3.圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F. 【即时训练】 1．（25-26高二上·广西来宾·期中）圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程求解参数即可. 【详解】设该圆的标准方程为， 将代入方程，可得，解得， 得到圆的标准方程为，故C正确. 故选：C 2．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【分析】设出三角形外接圆的一般式方程，利用待定系数法列式求解. 【详解】设的外接圆方程为， 依题意得，解得， 故所求圆的方程为. 故答案为： 知识点02 二元二次方程与圆的方程 1.二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【即时训练】 1．（25-26高二上·河北唐山·期中）方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程的条件，通过判别式建立不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】对于方程，若表示圆， 则需满足（其中，，）. 代入得， 化简为， 即， 因式分解得， 解得. 故选：B 2．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【分析】由方程表示圆列出不等式，直接求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 知识点03 点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为.平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r 点在圆内 |MA|<r 点在圆外 |MA|>r 【即时训练】 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的标准方程及点与圆的位置关系判断. 【详解】由圆的方程可化为，  ，又点在圆外，则，，综上. 故选：D. 2．（24-25高二上·甘肃·期末）若点是圆外的一点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式组，解之即可求解. 【详解】圆的标准方程为， 又点是圆外的一点， 所以，解得，即的取值范围是． 故答案为： 【基础题型一 由圆心(或半径)求圆的方程】 【例1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 1．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 2．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）（多选）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心为，由题意列出相应方程，求出圆心坐标和半径，即得答案. 【详解】设圆心为，由题意可得，且， 解得或 则，即圆方程为或, 故选：BC 3．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆过点，． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线上的圆的标准方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）周长最小即圆的半径最小，求出圆心和半径，即可求解圆的标准方程； （2）先求出AB的垂直平分线，然后联立方程求解圆心坐标，利用两点距离求解半径，即可求解圆的标准方程. 【详解】（1）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小， 即圆心为线段AB的中点，半径为． 则所求圆的标准方程为． （2）由题意可知，圆心在AB的垂直平分线上， 由（1）知AB的中点，斜率为， ∴AB的垂直平分线为，即， 又∵圆心也在直线上，∴圆心是这两条直线的交点， ∴ ，解得，即圆心的坐标是， ∴半径， ∴所求圆的标准方程是． 【基础题型二 求过已知三点的圆的标准方程】 【例2】（25-26高二上·安徽·期中）过三点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】待定系数法求出圆的方程. 【详解】设圆方程为， 则， 解得， 所以圆的方程为． 故选：D． 1．（25-26高二上·四川成都·期中）过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆的标准方程，代入三点坐标组成方程组求解即可. 【详解】设圆的方程为，代入可得： ，即， 解得，所以所求圆的标准方程为. 故选：C 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（    ） A．三角形OMN外接圆的方程为 B．三角形OMN外接圆的半径长为5 C．三角形OMN外接圆的圆心坐标 D．大于三角形OMN外接圆的半径 【答案】ABC 【分析】求出线段的垂直平分线的方程，两条垂直平分线的交点坐标即为圆心坐标，再求得半径后可得圆标准方程，求出后可判断各选项． 【详解】OM中点，中点，OM的垂直平分线PE的直线方程为①．MN的垂直平分线PF的直线方程为②． 联立①②，得解得则点为PE，PF的交点，即为圆心，，即为圆的半径．所以圆的方程为．． 故选：ABC． 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知圆过点，，，则其标准方程为________． 【答案】 【分析】设，，，根据，得出圆是以为直径的圆，进而计算圆心和半径即可. 【详解】设，，，则, 则，故，于是圆是以为直径的圆， 故其圆心为，半径， 故圆的标准方程为． 故答案为：． 4．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段检测）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 【答案】 【分析】设圆的标准方程，将3个点的坐标代入圆的标准方程，建立方程组，解出a，b，r即可. 【详解】设所求的方程是．① 因为，，三点都在圆上，分别代入方程①． 得即 三式两两相减，整理得解得 代入，得． 所以的外接圆的标准方程是． 【基础题型三 由标准方程确定圆心和半径】 【例3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心和半径. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心的坐标为，半径. 故选：A 2．（24-25高二上·全国·课堂例题）（多选）（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 【答案】AC 【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径. 【详解】圆的圆心为，半径为，A正确； 圆的圆心为，半径为，B错误； 圆的圆心为，半径为，C正确； 圆的圆心为，半径为，D错误． 故选：AC. 3．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知圆方程，则该圆心坐标是_________________ 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程即可看出. 【详解】依题意，圆转化为标准方程得，所以圆心坐标为. 故答案为：. 4．（2025高三·黑龙江·学业考试）设圆的方程为 （1）求该圆的圆心坐标及半径. （2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程. 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）将圆的方程转化为标准形式，可得结果. （2）根据弦的中垂线过圆心，可得中垂线的斜率，然后根据垂直关系，可得直线的斜率，最后根据点斜式可得结果. 【详解】（1）由圆的方程为 则 所以可知圆心，半径 （2）由弦的中垂线为,则 所以可得， 故直线AB的方程为： 即 【基础题型四 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 【例4】（25-26高二上·青海西宁·期中）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程成立的条件求解． 【详解】若方程表示圆， 则， 整理得，解得． 故选：B． 1．（24-25高二上·北京·期中）圆的圆心和的范围分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程变形为标准方程，进而求解. 【详解】由，得， 所以圆心为，由，得， 故选：A 2．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）（多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ）． A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 【答案】AD 【分析】配方后化为圆的标准方程进而即得. 【详解】由可得， 所以圆心坐标为，半径为. 故选：AD 3．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若方程表示半径不超过2的圆，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而由半径的范围列不等式即可得的取值范围. 【详解】圆方程可化为， 由于圆的半径不超过2， 所以，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段检测）当，时，把化简成圆的标准方程的形式． 【答案】 【分析】将原式移项并整理得到，进而化为圆的标准式，注意参数k的范围. 【详解】由题设，则， 又，，则. 【基础题型五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系】 【例5】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【详解】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 1．（25-26高二上·河南信阳·期中）若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 【答案】D 【分析】根据圆的判别式计算直接得出结果. 【详解】因为该方程表示圆， 所以， 所以. 故选：D 2．（24-25高二上·重庆巫溪·期中）（多选）方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】AB 【分析】由求出的取值范围，对各选项逐一验证即可. 【详解】由或. 故选：AB 3．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 4．（24-25高二·全国·随堂练习）设m为实数，若方程表示圆，求m的取值范围． 【答案】m>-1 【分析】方程表示圆，根据计算即可得到答案. 【详解】方程表示圆， 则， 解得. 所以m的取值范围为. 【基础题型六 求圆的一般方程】 【例6】（2026高三·全国·专题练习）过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由圆的一般方程可列出方程组，直接求解即可. 【详解】设圆的一般方程为， 由题意可知，圆经过三点，则，解得， 所以圆的方程为，即，故B正确. 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案. 【详解】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 2．（25-26高二上·安徽亳州·期中）（多选）已知圆与轴相切，且经过两点，，则圆的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出的垂直平分线方程为，设，则，再根据半径，列方程求出，进而得到圆的方程. 【详解】，，中点坐标为，， 所以的垂直平分线方程为， 设圆心为，则半径为，故， 所以，即， 解得或， 所以方程为或． 故选：BC． 3．（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【答案】 【分析】设出的外接圆的方程，利用待定系数法求出圆的方程． 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， 所以的外接圆方程为． 4．（25-26高二上·广西玉林·期末）已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)直线过点，且圆心到直线的距离为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的方程为，由已知条件列出方程组求解即得. （2）按直线的斜率存在与否分类，利用点到直线的距离公式求解即得. 【详解】（1）设圆的方程为， 由圆的圆心在轴上，且经过和两点， 得，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1）得圆的圆心为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 【基础题型七 圆过定点问题】 【例7】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故, 故选：B. 1．（24-25高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 2．（24-25高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 4．（24-25高二下·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 【基础题型八 由圆的一般方程确定圆心和半径】 【例8】（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】把圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径. 【详解】将圆的一般方程转换为标准方程，得， 故圆的半径为2. 故选：B. 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的方程配成标准式，即可确定圆心坐标. 【详解】圆，即， 所以圆心为． 故选：C． 2．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段检测）（多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 【答案】BD 【分析】配方化为圆的标准方程即可得圆心、半径. 【详解】由可得， 所以圆心为，半径为， 所以AC错误，BD正确. 故选：BD 3．（25-26高二上·上海·期末）圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】将一般方程配方后得标准方程，结合圆心在第三象限得关于的不等式组，从而可求其范围. 【详解】由题可得：圆的方程为：， 圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故答案为：. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）求证：不论为何值，圆的圆心在同一直线上． 【答案】证明见解析 【分析】找出圆心坐标，消去参数即可. 【详解】证明：由圆方程得： ． 设圆心坐标为，则， 由得，代入化简得：， 所以不论为何值，圆心在同一直线上． 【基础题型九 轨迹问题--圆】 【例9】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 1．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点坐标，根据条件列出等式，可求出阿氏圆方程，得到半径，从而求出面积. 【详解】设，因为定点，， ，化简得：，即. 点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：. 故选：B 3．（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【答案】（） 【分析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程． 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 4．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. (1)求点的轨迹方程. (2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意，由阿氏圆的定义列式计算即可求解； （2）结合题意，由阿氏圆的定义列式计算，并代入检验即可. 【详解】（1）设点.由， 可得，整理可得， 化为标准方程可得，所以点的轨迹方程为； （2）由阿波罗尼斯圆的定义可知，若为定值， 则点的轨迹(即圆)应为的阿波罗尼斯圆， 当分别位于和时，满足为定值， 可得，解得 (舍去)或，所以. 设点，因为， ， 所以可得，经验算，当点的坐标为时，满足， 故存在点，使得为定值，此时. 【基础题型十 判断点与圆的位置关系】 【例10】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 1．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 2．（24-25高二上·云南玉溪·阶段检测）（多选）关于方程表示的圆，下列叙述中正确的是（   ） A．圆心在直线上 B．其圆心在轴上 C．过原点 D．半径为 【答案】AC 【分析】将圆的方程化为标准方程，求出其圆心与半径，逐项判断即可. 【详解】若方程表示的圆，则其标准方程为， 所以，，可得，圆心为，半径为， 对于A选项，圆心在直线上，A对； 对于B选项，因为，所以，圆心不可能在轴上，B错； 对于C选项，因为，则该圆过原点，C对； 对于D选项，该圆的半径为，D错. 故选：AC. 3．（25-26高二·全国·寒假作业）给出以下五个点的坐标：①；②；③；④；⑤以上各点在圆上的是________（写出所有可能的序号）. 【答案】③⑤ 【分析】将根据点点距与半径的大小关系即可判断. 【详解】由于，故点在圆内， ，故点在圆内， ，故点在圆上， ，故点在圆内， ，故点在圆上， 故答案为：③⑤ 4．（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 【答案】(1); (2)点在圆C上. 【分析】（1）结合已知条件，建立方程组，求解即可; （2）将点代入圆C的一般方程为,即可判断. 【详解】（1）由题意可得：因为圆,所以圆心， 因为圆心在直线上，半径长为，且圆心在第二象限. 所以，解得：, 故圆C的一般方程为：. （2）将点代入圆C的一般方程为, 得：，故点在圆C上. 【基础题型十一 点与圆的位置关系求参数】 【例11】（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 1．（25-26高二上·江西景德镇·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由点在圆的外部，可列不等式组： ，解得：， 故选：C. 2．（25-26高二上·四川南充·期中）（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】由点在圆：的外部，得， 解得或，则实数可能的值为，，. 故选：ABD 3．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）若点在圆的外部，则实数m的取值范围________________ 【答案】 【分析】由点在圆外及圆的方程的条件列不等式组求解. 【详解】根据题意可得，解得. 故答案为：. 4．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）已知圆，点在圆内部． (1)求的取值范围； (2)若，过点作直线的垂线与圆交于两点，求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点与圆的位置关系的性质进行求解即可； （2）根据互相垂直的直线斜率的关系，结合直线与圆的相交系方程进行求解即可. 【详解】（1）因为点在圆内部， 所以， 解得， 即的取值范围是； （2）当时，， 因为，所以， 因为，所以， 所以直线的方程为，化简得． 的外接圆经过直线与圆的交点， 故设其方程为， 代入点的坐标，可得，解得． 故的外接圆方程为， 即．（标准方程为） 【基础题型十二 圆的对称性的应用】 【例12】（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 1．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C 2．（24-25高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】根据直线过圆心可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心为， 因为直线是圆的对称轴，故圆心在直线上， 故即， 故选：A. 3．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 4．（24-25高二上·湖北黄石·期末）已知圆E经过点，，从下列3个条件选取一个： ①过点；②圆E恒被直线平分；③与轴相切． (1)求圆E的方程； (2)过点的直线l与圆E相交于G、H两点，求GH中点M的轨迹方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）结合已知条件利用待定系数法或圆的几何性质即可求解； （2）结合已知条件，利用垂径定理可知M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧，进而得到答案. 【详解】（1）若选①：不妨设圆E的方程为：， 因为圆E经过点，，， 所以， 故圆E的方程为：，即； 若选②：由直线方程可知，， 故直线恒过点， 因为圆E恒被直线平分， 所以圆E的圆心为， 因为在圆上，故圆的半径， 从而圆E的方程为：； 若选③：不妨设圆E的圆心为，半径为， 此时， 故圆E的方程为：， 分别将，代入上式可得，， 故圆E的方程为：. （2）因为M为GH中点，E为圆心，根据垂径定理，得， 所以点M落在以EP为直径的圆上，且点M在圆E的内部， 即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧． 因为，， 所以以EP为直径的圆的方程为：， 由， 所以M的轨迹方程为：，. 【基础题型十三 定点到圆上点的最值(范围)】 【例13】（25-26高二上·云南德宏·期中）已知圆，点，点Q是圆M上的一个动点，线段的最大值为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先判断点和圆的位置关系，然后根据点和圆的位置关系确定正确答案. 【详解】对于点和圆， ，所以点在圆外， 圆的方程可化为，圆心为，半径为， ， 所以的最大值为. 故选：C    1．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）记点，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过计算圆心到原点的距离，结合圆的半径，求出圆上点到原点距离的取值范围. 【详解】圆的圆心为，半径. 原点到圆心的距离：. 因为点在圆上，所以的最小值为，最大值为. 故的取值范围是. 故选：A.    2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）（多选）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】ABC 【分析】根据的取值，计算的取值范围，即可判断选项. 【详解】圆，代入点， 则，则点在圆外， 所以的最大值为，最小值为，， 所以的取值范围是，所以的取值是3,5,7. 故选：ABC 3．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知圆上一点，则的最大值为______. 【答案】 【分析】记原点为，易知原点在圆上，结合距离的几何意义与圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】记原点为，易知原点在圆上，则， 故的最大值为圆的直径，故的最大值为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·北京房山·期末）已知圆，点．P是圆C上的任意一点． (1)求圆C的圆心坐标与半径大小； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)圆心为，半径 (2)最大值、最小值分别为100、20. 【分析】（1）写出圆C的标准方程，即可确定圆心和半径； （2）设，则有，问题转化为求的范围，即圆上点到原点O距离平方的范围，即可得结果. 【详解】（1）由题设，故圆心为，半径； （2）令，则， 而为圆上点到原点O距离的平方， 所以，只需确定的范围，即可确定的最值， 因为，故， 所以的最大值、最小值分别为100、20. 【提高题型一 圆的标准方程】 【例1】（25-26高二上·江苏镇江·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求原圆心关于对称轴的对称点，结合半径不变，得到对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设点关于直线的对称点为. 直线的斜率为，过点且与该直线垂直的直线方程为. 联立，解得交点为. 由中点坐标公式，，，得，. 对称圆的圆心为，半径为，方程为. 故选：C 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，根据题意求圆心和半径，即可得圆的方程，令运算求解即可. 【详解】建立平面直角坐标系如图，则， 可知圆心在y轴负半轴上，设为， 则，即，解得， 即圆心为，半径， 可得桥拱所在圆的方程为， 令，可得，解得， 所以水面宽是12米． 故选：A. 2．（25-26高二上·重庆九龙坡·阶段检测）（多选）若有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 【答案】AB 【分析】根据圆的标准方程和性质逐项判断求解； 【详解】选项A: ，，故选项正确； 选项B: 根据可得，圆心为，在，故选项正确； 选项C: 当时，，代入不满足方程，故选项错误； 选项D:代入 得：即有两个解，故选项错误； 故选：AB. 3．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知的三个顶点为，，，则外接圆的标准方程为__________. 【答案】 【分析】设圆的一般方程，代入顶点坐标待定系数法可解出，再转化为圆的标准方程即可. 【详解】设圆的方程为， 把的顶点坐标，，代入可得， 解得， 故所求的的外接圆的方程为， 化为标准方程可得：. 故答案为：. 4．（25-26高二上·江苏淮安·期中）分别求满足下列条件的圆的方程 (1)过点，圆心为； (2)圆心在第一象限，半径为，且与直线相切于点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的半径，结合圆心坐标可得出圆的方程； （2）设圆心坐标为，其中，，根据已知条件得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】（1）由题意可知，圆的半径为， 故圆的标准方程为. （2）设圆心坐标为，其中，，记点， 由题意可知直线与直线垂直，则， 又因为，解得，即圆心为， 故所求圆的方程为. 【提高题型二 圆的一般方程相关求解】 【例2】（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般式整理为标准式，写出圆的圆心以及半径，根据题意，建立不等式组，可得答案. 【详解】由，化简可得， 因为圆心在第二象限，则，所以， 解得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的方程为，根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到圆的一般方程. 【详解】由题意，设所求圆的一般方程为， 因为圆过点，，， 可得，解得， 所以所求圆的一般方程为. 故选：B. 2．（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）（多选）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 【答案】ACD 【分析】根据题意，将圆的一般式方程化为标准式方程，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】将圆的方程为化为标准式为， 由，解得，故A正确，B错误； 当时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大， 此时半径为，圆心坐标为，则圆的面积为，故CD正确； 故选：ACD 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在圆外（其中为常数），则实数的取值范围______ 【答案】或 【分析】先根据方程为圆的方程确定的范围，再根据已知条件点在圆外，将点的坐标代入圆的方程得不等式，解不等式求交集即可. 【详解】根据题意圆， 化为标准方程为：， 方程表示圆，则，整理有， 解得； 又因为点在圆外，则有，解得或； 以上两个集合取交集，得：或. 故答案为；或. 4．（25-26高二上·北京·期中）已知二次方程. (1)当为何值时，方程表示圆？ (2)当为何值时，方程表示的圆的面积最大，并求出面积最大时圆的标准方程. 【答案】(1) (2)当时，圆的面积最大，此时圆的标准方程为： 【分析】（1）根据圆的一般式方程知,当时方程表示圆； （2）由半径,通过配方可以求出圆的最大半径以及半径最大时圆的方程. 【详解】（1）方程表示圆的条件是, 即,解得, 所以当时，方程表示圆. （2）由( 1 )知当时,方程表示圆,且其半径 . 所以当时，半径有最大值，且,此时圆心坐标为, 故圆的方程为. 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 2．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（    ） A．-10 B．2或-10 C．-2或10 D．-2 【答案】B 【分析】根据题意设出圆的方程，然后将经过的两个点坐标代入圆的方程中组成方程组，求解即可. 【详解】设圆心，因为圆与轴相切， 则. 所以圆的方程为. 因为该圆经过点， 所以. 化简得，两式相减得. 然后将代入①式中得，解得或. 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 4．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）及的坐标分别是及，其中是一个常数．设为直角坐标平面上的一动点使得．若的轨迹方程是，求的值．（　　） A．-8 B．-6 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设，由两点距离公式得到，比较系数即可求解. 【详解】设， 由题意可得：， 化简可得：， 比较系数可得：，解得， 故选：B 5．（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再结合消元法可求的取值范围. 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 6．（24-25高二上·河南·阶段检测）（多选）已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆的标准方程为 C．圆与轴的交点坐标为 D．圆上一点到点距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】设圆心坐标为，由题意可得，可求圆心判断A；利用两点间的距离公式求得半径可判断B；令，可得圆与轴的交点坐标判断C；求得圆心到的距离可求圆上一点到点距离的最大值判断D. 【详解】设圆心坐标为，由，得， 解得，故，故A正确； 所以，故圆的标准方程为， 故B正确； 令得，，故圆与轴的交点坐标为，故C错误； 圆心到点的距离为，故圆上一点到点距离的最大值为5+，故D正确. 故选：ABD. 7．（25-26高二上·广东广州·期中）（多选）已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A．的斜截式为 B．圆的半径为 C．圆心在直线上 D．圆心到的距离为 【答案】BD 【分析】根据直线一般方程与斜截式方程的转换可判断A；根据圆的方程确定半径即可判断B；根据点与直线的位置关系即可判断C；利用点到直线的距离求解即可判断D. 【详解】直线的斜截式为，故A不正确； 圆的半径为，故B正确； 圆心，该点横纵坐标不满足直线的方程，则圆心不在直线上，故C不正确； 点到直线的距离为，故D正确. 故选：BD. 8．（24-25高二上·广西南宁·期中）（多选）若是一个圆的方程，则实数可取的值有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件直接构造不等式即可. 【详解】是一个圆的方程，，解得：， 实数可取的值有和. 故选：CD. 9．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知圆的一般方程为，圆心坐标为，半径为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据圆的一般方程及所给圆心判断ABC，再配方后求圆的半径判断D. 【详解】因为圆的一般方程不含项，所以，故A正确； 因为圆心坐标为，所以，故BC正确； 由，可得， 所以圆的半径，故D错误． 故选：ABC 10．（25-26高二上·陕西·阶段检测）（多选）已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 11．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 12．（25-26高二上·河北邯郸·期末）若圆的半径为1，则______. 【答案】/ 【分析】将一般式方程化为标准方程，再根据半径求解即可. 【详解】原方程可化为标准方程得：， 所以，解得. 故答案为： 13．（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 14．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 15．（25-26高二上·北京·期中）已知圆：与直线：，则圆心的坐标为______，若圆关于直线对称，则______. 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，再根据圆心在直线上，代入求出的值. 【详解】圆：，即， 所以圆心为， 若圆关于直线对称，则点在直线上，即，解得 故答案为：； 16．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）求满足下列条件的圆的方程： (1)经过点，，且圆心在直线上． (2)圆心在轴上，半径为，且经过点． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆心到的距离相等求解出圆心坐标，则圆的方程可求； （2）设出圆心坐标，根据圆过点和半径求解出圆心坐标，则圆的方程可求. 【详解】（1）因为圆心在上，所以设圆心为， 因为圆过点， 所以，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. （2）设圆心为，因为圆的半径为且过， 所以，解得或， 所以圆的方程为或. 17．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程．（用圆的一般方程表示） 【答案】（1）① 答案见解析；②答案见解析； （2）圆的方程为，圆心为，半径为1． 【分析】（1）化①②的圆的方程为标准方程，再写出圆心、半径即得． （2）设所求圆的一般方程为，将三个点的坐标代入圆的一般方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的方程，进而可求得圆心坐标和半径． 【详解】（1）①标准方程为，故圆的圆心为，半径为3； ②圆即为，其标准方程为，故圆的圆心为，半径为； （2）设所求圆的一般方程为， 由题意可得，解得， 所以，所求圆的方程为， 该圆的标准方程为，圆心为，半径为1． 18．（24-25高二上·河南许昌·期中）若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)或； (2)圆心，半径，； (3). 【分析】（1）利用方程表示圆的条件，列出不等式求解即得. （2）利用圆的一般式方程求出圆心的半径，把代入求出圆的方程. （3）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，进而求出圆心和半径得解. 【详解】（1）由方程为表示圆，得， 整理得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）圆的圆心坐标为，半径， 当时，圆的方程为. （3）线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的方程为，由解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 19．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知的三个顶点分别为． (1)求的外接圆的方程； (2)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）法一：设圆的方程为，代入点的坐标，进而解方程组可求圆的方程；法二：求得，可得的圆心是的中点，可求圆的方程； （2）假设存在，对任意的都有，计算利用恒成立可得，求解即可. 【详解】（1）法一：设圆的方程为，则 ， 解得：， 所以圆的方程为，即， 法二：因为， 所以，所以，所以， 又因为，所以是等腰直角三角形， 所以的圆心是的中点，即圆心，半径， 所以的方程为； （2）假设存在，对任意的都有， 即：， 化简得：， 又满足，即， 即：， 所以， 解得：， 即存在满足条件． 20．（24-25高二上·海南·期中）已知点在圆上运动，点. (1)求的最小值； (2)若为的中点，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先判断点在圆外，再根据圆外点到圆上点距离的最小值为圆外点到圆心的距离减半径求解即可； （2）通过中点建立相关关系，列方程求解轨迹方程 【详解】（1）圆的标准方程为， 故圆心，半径. 因为，所以点在圆外. 所以的最小值为. （2）设. 因为为线段的中点， 所以则 因为点在圆上运动， 所以， 代入得， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 圆的方程重难点题型专训 （3个知识点+13大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、由圆心(或半径)求圆的方程 题型二、求过已知三点的圆的标准方程 题型三、由标准方程确定圆心和半径 题型四、圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型五、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型六、求圆的一般方程 题型七、圆过定点问题 题型八、由圆的一般方程确定圆心和半径 题型九、轨迹问题--圆 题型十、判断点与圆的位置关系 题型十一、点与圆的位置关系求参数 题型十二、圆的对称性的应用 题型十三、定点到圆上点的最值(范围) 第二部分·练提高题型 题型一、圆的标准方程 题型二、圆的一般方程相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 圆的方程 1.圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2.圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3.圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F. 【即时训练】 1．（25-26高二上·广西来宾·期中）圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 知识点02 二元二次方程与圆的方程 1.二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【即时训练】 1．（25-26高二上·河北唐山·期中）方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 2．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）方程表示圆，的取值范围为_____ 知识点03 点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为.平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r 点在圆内 |MA|<r 点在圆外 |MA|>r 【即时训练】 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃·期末）若点是圆外的一点，则的取值范围是_____． 【基础题型一 由圆心(或半径)求圆的方程】 【例1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）（多选）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆过点，． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线上的圆的标准方程； 【基础题型二 求过已知三点的圆的标准方程】 【例2】（25-26高二上·安徽·期中）过三点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·四川成都·期中）过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（    ） A．三角形OMN外接圆的方程为 B．三角形OMN外接圆的半径长为5 C．三角形OMN外接圆的圆心坐标 D．大于三角形OMN外接圆的半径 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知圆过点，，，则其标准方程为________． 4．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段检测）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 【基础题型三 由标准方程确定圆心和半径】 【例3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 2．（24-25高二上·全国·课堂例题）（多选）（多选）下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为，半径为 B．圆的圆心为，半径为 C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 3．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知圆方程，则该圆心坐标是_________________ 4．（2025高三·黑龙江·学业考试）设圆的方程为 （1）求该圆的圆心坐标及半径. （2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程. 【基础题型四 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 【例4】（25-26高二上·青海西宁·期中）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·北京·期中）圆的圆心和的范围分别是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）（多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ）． A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 3．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若方程表示半径不超过2的圆，则的取值范围为_____. 4．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段检测）当，时，把化简成圆的标准方程的形式． 【基础题型五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系】 【例5】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·河南信阳·期中）若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 2．（24-25高二上·重庆巫溪·期中）（多选）方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ） A． B．2 C．1 D．0 3．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 4．（24-25高二·全国·随堂练习）设m为实数，若方程表示圆，求m的取值范围． 【基础题型六 求圆的一般方程】 【例6】（2026高三·全国·专题练习）过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽亳州·期中）（多选）已知圆与轴相切，且经过两点，，则圆的方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 4．（25-26高二上·广西玉林·期末）已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)直线过点，且圆心到直线的距离为1，求直线的方程. 【基础题型七 圆过定点问题】 【例7】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 1．（24-25高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 4．（24-25高二下·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【基础题型八 由圆的一般方程确定圆心和半径】 【例8】（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段检测）（多选）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 3．（25-26高二上·上海·期末）圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）求证：不论为何值，圆的圆心在同一直线上． 【基础题型九 轨迹问题--圆】 【例9】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 4．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. (1)求点的轨迹方程. (2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【基础题型十 判断点与圆的位置关系】 【例10】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南玉溪·阶段检测）（多选）关于方程表示的圆，下列叙述中正确的是（   ） A．圆心在直线上 B．其圆心在轴上 C．过原点 D．半径为 3．（25-26高二·全国·寒假作业）给出以下五个点的坐标：①；②；③；④；⑤以上各点在圆上的是________（写出所有可能的序号）. 4．（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 【基础题型十一 点与圆的位置关系求参数】 【例11】（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·江西景德镇·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川南充·期中）（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）若点在圆的外部，则实数m的取值范围________________ 4．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）已知圆，点在圆内部． (1)求的取值范围； (2)若，过点作直线的垂线与圆交于两点，求的外接圆方程． 【基础题型十二 圆的对称性的应用】 【例12】（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 1．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（24-25高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 3．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 4．（24-25高二上·湖北黄石·期末）已知圆E经过点，，从下列3个条件选取一个： ①过点；②圆E恒被直线平分；③与轴相切． (1)求圆E的方程； (2)过点的直线l与圆E相交于G、H两点，求GH中点M的轨迹方程． 【基础题型十三 定点到圆上点的最值(范围)】 【例13】（25-26高二上·云南德宏·期中）已知圆，点，点Q是圆M上的一个动点，线段的最大值为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 1．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）记点，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）（多选）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知圆上一点，则的最大值为______. 4．（24-25高二上·北京房山·期末）已知圆，点．P是圆C上的任意一点． (1)求圆C的圆心坐标与半径大小； (2)求的最大值与最小值． 【提高题型一 圆的标准方程】 【例1】（25-26高二上·江苏镇江·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 2．（25-26高二上·重庆九龙坡·阶段检测）（多选）若有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 3．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知的三个顶点为，，，则外接圆的标准方程为__________. 4．（25-26高二上·江苏淮安·期中）分别求满足下列条件的圆的方程 (1)过点，圆心为； (2)圆心在第一象限，半径为，且与直线相切于点． 【提高题型二 圆的一般方程相关求解】 【例2】（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）（多选）已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在圆外（其中为常数），则实数的取值范围______ 4．（25-26高二上·北京·期中）已知二次方程. (1)当为何值时，方程表示圆？ (2)当为何值时，方程表示的圆的面积最大，并求出面积最大时圆的标准方程. 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（    ） A．-10 B．2或-10 C．-2或10 D．-2 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）及的坐标分别是及，其中是一个常数．设为直角坐标平面上的一动点使得．若的轨迹方程是，求的值．（　　） A．-8 B．-6 C．6 D．8 5．（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南·阶段检测）（多选）已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆的标准方程为 C．圆与轴的交点坐标为 D．圆上一点到点距离的最大值为 7．（25-26高二上·广东广州·期中）（多选）已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A．的斜截式为 B．圆的半径为 C．圆心在直线上 D．圆心到的距离为 8．（24-25高二上·广西南宁·期中）（多选）若是一个圆的方程，则实数可取的值有（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知圆的一般方程为，圆心坐标为，半径为，则（　　） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·陕西·阶段检测）（多选）已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 11．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 12．（25-26高二上·河北邯郸·期末）若圆的半径为1，则______. 13．（25-26高二下·云南玉溪·期末）若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 14．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 15．（25-26高二上·北京·期中）已知圆：与直线：，则圆心的坐标为______，若圆关于直线对称，则______. 16．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）求满足下列条件的圆的方程： (1)经过点，，且圆心在直线上． (2)圆心在轴上，半径为，且经过点． 17．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程．（用圆的一般方程表示） 18．（24-25高二上·河南许昌·期中）若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 19．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知的三个顶点分别为． (1)求的外接圆的方程； (2)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 20．（24-25高二上·海南·期中）已知点在圆上运动，点. (1)求的最小值； (2)若为的中点，求点的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司 $