第二章 圆的方程综合测试卷（基础）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 圆的方程综合测试卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知圆，则该圆的半径为（   ） A． B．6 C．9 D．13 【答案】A 【详解】由，得，则半径为． 2．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知方程表示圆，则a的值不可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，整理可得，解得， 且，，，， 故ABC不符合题意，D符合题意. 3．（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程得出圆的圆心坐标，再结合圆关于直线对称，将圆心代入直线方程中求解即可. 【详解】因为圆方程为，所以圆心为， 又因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以，即. 4．（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合弦长的一半、距离、圆半径满足勾股定理列方程求解正数即可. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径， 则圆心到直线 的距离为， 因此有 ，代入得，化简得 ， 即 ，解得，结合的条件，得. 5．（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 6．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. 7．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由题意，四边形的面积为， 在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，即， 所以，， 则四边形的面积的最小值为 8．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造与原直线距离为6的平行线，舍去无交点的那条；再结合直线与整圆相交条件，再利用韦达定理，保证两个交点横坐标都大于等于0，取交集得到参数范围． 【详解】曲线表示半圆，圆心为，半径， 点到直线的距离公式为， 曲线上存在两点到直线的距离为6，即， 故，即所在直线为：， ， 其中到圆心距离为，故与圆无交点， 故与右半圆有两个交点，到圆心距离， 解得， 联立到圆的方程得：， 整理得， 由韦达定理得 曲线是右半圆，即，则， 解得，（1） 且或，（2） 故， 综上可得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BCD 【分析】化简圆的方程为，结合选项，分别求得圆心坐标和半径，以及圆心到直线的距离和圆的面积，即可得到答案. 【详解】对于A，由圆的方程，可化为，得圆心为，A不正确； 对于B，当时，得圆的方程，则圆的半径为，B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到直线的距离为，C正确； 对于D，当时，得圆的方程为，则圆的半径为，圆的面积为，D正确. 故选：BCD. 10．（2026·广东佛山·模拟预测）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先判断点在圆外，分斜率不存在、斜率存在两种情况设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径求解切线. 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：； 当斜率存在时，设，即. 由圆心到切线距离等于半径：，两边平方： ，整理得. 代入得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 11．（26-27高二上·河南·阶段检测）过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A．可以是等边三角形 B．直线过定点 C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】结合圆的切点弦、切线性质、向量的数量积逐个分析选项：A选项利用特殊角进行反推验证；B选项根据切点弦方程判断定点；C选项四边形面积转化成切线长进行求解；D选项利用二倍角公式结合范围求解. 【详解】由题知圆O的圆心为，半径． 不妨取点，则，故，从而， 所以可以是等边三角形，故A正确； 设点，则，以为直径的圆的方程为， 又圆，两式作差可得直线的方程为， 又，代入可得 ，令解得故直线过定点，故B正确； 四边形的面积为，故当最小时，四边形的面积最小， 又的最小值为圆心到直线的距离，且， 因此四边形面积的最小值为，故C错误； ， 在四边形中，，所以， 又，所以， 则，故的取值范围为，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三·全国·一轮复习）过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线的方程是________. 【答案】 【详解】由配方得可得圆心为， 则截得弦最长的直线必过点和圆心， 故所求直线方程为，即． 13．（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 【答案】 【分析】先计算两圆的圆心距，结合两圆半径判断位置关系，再根据位置关系确定公切线条数可得. 【详解】由圆，得圆的圆心为，半径； 由圆，得圆的圆心为，半径. 由两圆的圆心距： . 因为，，所以， 所以圆与圆相交，因此圆与圆的公切线的条数为. 14．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 【答案】 【分析】先求出直线恒过的定点，再计算圆心到定点的距离，分析直线绕定点转动，圆上点到直线距离的最大值、最小值即可. 【详解】直线：可化为， 令，解得：，所以直线恒过定点. 圆方程：，配方. 圆心，半径， 所以圆心到定点距离：， 又因为，且，所以直线与不垂直， 所以直线绕定点旋转，圆心到直线的距离的范围：. 当直线与圆相交时，圆上存在点到直线的距离为. 因此点P到直线的距离的取值范围为. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形形状以及垂直关系的向量表示，联立方程组可得，再由可得点的坐标为； （2）求出，设出圆的一般方程，利用待定系数法计算可得其外接圆方程. 【详解】（1）由题意知 易知 因为，所以，即①， 又所以，即②, 将①式代入②式得， 又，所以,得, 点的坐标为. （2）由题意知, 设的外接圆方程为， 代入点得,解得, 即， 即的外接圆方程为. 16．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知圆内有一点，为过点P的弦． (1)当时，求直线的方程； (2)求弦中点M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线斜率存在与不存在两种情况考虑，在斜率不存在时结合图形求出弦长检验可得；在斜率存在时，利用弦长公式求出直线斜率即得直线方程； （2）方法一：由垂径定理得，从而可得点的轨迹是以为直径的圆，求出圆的方程即可；方法二：利用，代入点的坐标推导即得；方法三：利用，代入点的坐标推导即得. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，的方程为，代入， 此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 设原点O到直线的距离为d，则，解得 的方程为，即 综上，直线的方程为或 （2）方法一：是的中点，由垂径定理得 的轨迹是以为直径的圆．的中点为， 即圆心为，半径 的轨迹方程为 方法二：设，由垂径定理得，，（且）， ，得（且 当时，，时，，也满足上式， 的轨迹方程为 方法三：设，由垂径定理得， 即，即M的轨迹方程为. 17．（25-26高二上·北京延庆·阶段检测）已知圆，直线. (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (3)若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用圆心到直线距离与半径联立勾股定理求弦长即可； （2）利用直线与圆的位置关系中的相交情况解决问题； （3）利用直线与圆的位置关系中的相切情况解决问题. 【详解】（1）由题得，圆心，半径， 圆心到直线的距离，则有弦长为. 故直线被圆所截得的弦长为. （2）由题得圆心到直线的距离，且直线， 则有，解得， 故实数的取值范围是. （3）由题设直线，即，若与圆相切，则圆心到直线的距离， 则有，解得或， 故直线的方程为或. 18．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 19．（25-26高二上·广东惠州·期中）设圆，直线，点为上的一个动点．过点作圆的两条切线，切点分别为． (1)当最大时，求点的坐标； (2)求证：直线恒过定点； (3)当最小时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)直线恒过定点为 (3) 【分析】（1）当时，最大，得直线的方程为：与直线的方程联立即可求出点的坐标； （2）由，得点在以为直径的圆上，求出圆的方程与圆的方程联立，相减得直线的方程，进而求出定点即可得证； （3）由，即当时，取最小值，即取最小值，利用（1）和（2）求出直线的方程即可. 【详解】（1）由直线的斜率为， 当时，最大， 所以直线的方程为：， 所以，解得， 所以； （2）设点， 由，所以点在以为直径的圆上， 所以的中点为，半径为， 所以圆的方程为， 化简整理得：， 由，两式相减得：， 即直线的方程为：， 又，令，即，解得， 所以直线恒过定点为； （3）由题意得：，， 所以， 又， 所以当时，取最小值，即取最小值， 由（1）得当时，点， 由（2）得点，此时直线的方程为：， 所以，代入得， 所以直线的方程为. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆的方程综合测试卷（基础） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知圆，则该圆的半径为（   ） A． B．6 C．9 D．13 2．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知方程表示圆，则a的值不可能为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 5．（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 7．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 10．（2026·广东佛山·模拟预测）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 11．（26-27高二上·河南·阶段检测）过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A．可以是等边三角形 B．直线过定点 C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三·全国·一轮复习）过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线的方程是________. 13．（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 14．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知直线，点P是圆上一点，则点P到直线l的距离的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 16．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知圆内有一点，为过点P的弦． (1)当时，求直线的方程； (2)求弦中点M的轨迹方程． 17．（25-26高二上·北京延庆·阶段检测）已知圆，直线. (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (3)若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程. 18．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 19．（25-26高二上·广东惠州·期中）设圆，直线，点为上的一个动点．过点作圆的两条切线，切点分别为． (1)当最大时，求点的坐标； (2)求证：直线恒过定点； (3)当最小时，求直线的方程． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $