26.2.2　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质，通过复习y=ax²+k和y=a(x-h)²的性质，用表格梳理开口方向、顶点坐标等，搭建类比迁移的学习支架，自然过渡到新知探究。 以学生自主探究为核心，描点画图培养几何直观（数学眼光），小组讨论平移规律发展推理意识（数学思维），喷水池问题建模体现模型意识（数学语言）。助力学生掌握数形结合，为教师提供清晰教学流程与实用实例。

26.2.2　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质（第2课时） 教学目标 　　1．能通过描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，准确描述它由基础抛物线y＝ax2经过先左右、后上下（或先上下、后左右）两次平移得到的过程． 　　2．能依据y＝a(x－h)2＋k的解析式，直接判断抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标；结合图象分析函数增减变化，会求函数最大值或最小值． 　　3．能根据实际情境建立y＝a(x－h)2＋k的函数模型，解决抛线型实际问题；在画图、平移、建模探究中，体会类比迁移、数形结合的数学思想． 教学重点 　　掌握y＝a(x－h)2＋k的图象性质与平移规律，会用顶点式解决简单实际问题． 教学难点 　　同时结合h，k双重平移的顺序理解；区分a，h，k三个参数分别对图象的影响；利用顶点式建模解决实际问题． 教学过程 知识回顾 　　二次函数y＝ax2＋k(a≠0)和y＝a(x－h)²(a≠0)的性质： 二次函数 a的取值 开口 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 y＝ax2＋k(a≠0) a＞0 向上 (0，k) x＝0 当x＞0时，y随x的增大而增大； 当x＜0时，y随x的增大而减小 当x＝0时，y最小值＝k a＜0 向下 当x＞0时，y随x的增大而减小； 当x＜0时，y随x的增大而增大 当x＝0时，y最大值＝k y＝a(x－h)² (a≠0) a＞0 向上 (h，0) x＝h 当x＞h时，y随x的增大而增大； 当x＜h时，y随x的增大而减小 当x＝h时，y最小值＝0 a＜0 向下 当x＞h时，y随x的增大而减小； 当x＜h时，y随x的增大而增大 当x＝h时，y最大值＝0 　　【设计意图】通过复习已经学过的二次函数y＝ax2＋k(a≠0)和y＝a(x－h)²(a≠0)的图象与性质的知识，类比铺垫，自然引出同时含h，k的综合顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，建立知识递进逻辑． 新知探究 一、探究新知 【探究】（1）画出二次函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点． （2）抛物线与有什么关系？ 【师生活动】 1．教师出示探究问题第（1）问，学生独立列表、描点、连线，画出的图象，结合图象自主说出抛物线开口方向、对称轴与顶点坐标； 2．教师出示课本图 26.2-11，将基准抛物线叠加到同一坐标系，抛出探究问题的第（2）问； 3．学生观察两条抛物线顶点位置，小组交流平移变换过程，教师巡视引导，之后请学生代表发言； 4．教师补充追问：交换平移先后顺序，得到的抛物线是否相同？结合学生回答统一平移规律． 学生独立列表（略），描点、连线，画出抛物线的图象． 教师出示课本图 26.2-11，在同一坐标系叠加基准抛物线供学生对比观察． 　　根据所画图象，学生回答： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 x＝0 (0，0) x＝－1 (－1，－1) 　　教师提问：观察表格，两条抛物线的开口、对称轴、顶点有哪些相同点与不同点？ 　　学生观察图象，思考并回答，教师总结． 教师追问：结合图象思考，抛物线经过怎样的平移变换，能得到抛物线 ？ 　　教师提示：可以类比前面研究“抛物线y＝ax2＋k(a≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)的位置关系”的方法来思考问题． 　　学生根据提示，分小组讨论，并作答． 把抛物线 向下平移 1 个单位长度，得到抛物线－1；再向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线． 教师补充：平移顺序可以调换，先向左平移 1 个单位长度，得到抛物线；再向下平移 1 个单位长度，也能得到目标抛物线．两种顺序对应的中间抛物线解析式不同，但最终图象完全不变． 教师总结：两条抛物线形状完全相同，仅位置存在平移差异． 　　【设计意图】通过自主绘制完整顶点式抛物线，直观认识y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象特征；再结合基准抛物线对比平移变换，类比上节课单一平移知识，自主理解参数h，k共同控制图象平移的规律． 　　【归纳】一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定． 　　【新知】抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点： 　　（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下． 　　（2）对称轴是x＝h． 　　（3）顶点是(h，k)． 　　（4）如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小． 二、典例精讲 【例2】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管的长应为多少？ 【师生活动】教师提出问题，学生分小组讨论，并派学生代表回答． 【答案】解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 点(1.6，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是 y＝a(x－1.6)2＋3(0≤x≤3.6)． 　　由这段抛物线经过点(3.6，0)，可得0＝a(3.6－1.6)2＋3，解得． 　　因此(0≤x≤3.6)． 　　当x＝0时，y＝1.08，也就是说，水管的长是1.08 m． 　　【设计意图】借助喷水池实际情境，掌握“由顶点设顶点式、代入已知点求参数”的解题步骤，学会运用二次函数解决实际问题，强化数形结合思想． 课堂小结 板书设计 　　一、二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质 1．开口、对称轴、顶点 2．增减性与最值 二、抛物线平移规律： 三、实际应用 建系→设顶点式→代入点求a→求值作答 课后任务 　　完成教材第41页练习． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $