专题10 二次函数解析式的突破计算（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题10 二次函数解析式的突破计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01利用一般式求二次函数的解析式 题型02利用顶点式求二次函数的解析式 题型03利用交点式求二次函数的解析式 题型04利用平移变换求二次函数的解析式 题型05利用对称变换求二次函数的解析式 题型06利用旋转变换求二次函数的解析式 题型07利用图象信息求二次函数的解析式 题型08几何图形的性质确定二次函数的解析式 题型09线段间的数量关系求二次函数的解析式 题型10 最值型求解析式 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：用一般式确定二次函数解析式 核心技巧：见顶点设顶点式，见交点设交点式，无特殊点设一般式；代入点时，优先代入（求）、（求交点），简化计算。 1.“三式”优选法：快速确定解析式形式，节省解题时间——三点→一般式；顶点/对称轴/最值→顶点式；x轴两交点→交点式；图形变换→优先顶点式。 2.系数快速求解法：一般式优先代求，再代另外两点解二元一次方程组；顶点式直接代入顶点，再代一点求；交点式直接代入两交点，再代一点求，避免复杂计算。 易错点1：顶点式符号错误（最高频易错） 错例：顶点，设（符号错误）；或顶点，设（符号错误）。 正解：顶点式中，括号内为，即顶点横坐标为、纵坐标为，正确写法为、。 易错点2：交点式符号错误 错例：与x轴交于、，设（符号错误）。 正解：交点式为，则为，则为，正确写法为。 易错点3：忽略（二次函数定义） 错例：解得，仍认为解析式是二次函数（实际为一次函数）。 正解：无论哪种形式，必须保证，若解得，需重新检查点坐标或设式是否正确，这是新教材中判断二次函数的核心前提，也是解题中易忽略的验证点。 【针对训练】 【例1】已知二次函数的图象经过点，顶点坐标是，求这个二次函数的表达式． 【变式1-1】如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为，拱桥的最高点B到水面的距离为．求抛物线的表达式． 【变式1-2】已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式 知识点二：用平移、翻折（对称）、旋转变换，几何图形确定二次函数解析式 平移：左加右减，上加下减 翻折（对称）与旋转： 方法一： 关于x轴对称，只要把解析式里的y换成－y即可； 关于y轴对称，只要把解析式里的x换成－x即可； 关于原点对称，只要把解析式里的x换成－x，y换成－y即可； 方法二：把解析式化为顶点式，然后求出顶点经过变换后的坐标，再写出解析式即可。 易错点1：平移方向混淆 错例：向左平移2个单位，写成（左减右加，混淆口诀）；向上平移3个单位，写成（上加下减混淆）。 正解：“左加右减”仅针对自变量，向左加、向右减；“上加下减”针对常数项，向上加、向下减，与无关。 易错点2：对称变换忘记变的符号 错例：求关于x轴对称的解析式，写成（未变的符号）。 正解：关于x轴、原点对称时，抛物线开口方向反向，因此必须变号；只有关于y轴对称时，开口方向不变，不变，正确解析式为。 【针对训练】 【例2】已知抛物线（m为常数）经过点．将该抛物线向右平移5个单位长度得到新抛物线，求平移后的抛物线的函数表达式． 【变式2-1】如图，以点为顶点的抛物线交y轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【变式2-2】（2026·湖北黄冈·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果点P是抛物线的顶点，求的面积； (3)点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． ①当时，如果该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； ②记矩形的周长为l，当时，直接写出l关于m的函数解析式． 典例精析 题型01利用一般式求二次函数的解析式 【典例】二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线 ． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，求y的取值范围 ． 【变式】如图，抛物线，过，，三点，其中D为顶点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线在右上方的一点，设点的横坐标为，面积为．是否有最大值？若有，请求出最大值及的坐标，若无，请说明理由． 题型02利用顶点式求二次函数的解析式 【典例】已知抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过点 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)点在该抛物线上，且为整数，若的值为整数，求出点的坐标． 【变式】如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，-9），该函数的图象与y轴交于点A（0，-5），与x轴交于点B，C． (1)求该二次函数的解析式； (2)求点B的坐标； (3)过点A作ADx轴，交二次函数的图象于点D，M为二次函数图象上一点，设点M的横坐标为m，且0＜m≤5，过点M作MNy轴，交AD于点N，连接AM，MD，设△AMD的面积为s． ①求s关于m的函数解析式； ②判断出当点M在何位置时，△AMD的面积最大，并求出最大面积． 题型03利用交点式求二次函数的解析式 【典例】二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式． 【变式】如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数最大值与最小值的差； (3)点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围． 题型04利用平移变换求二次函数的解析式 【典例】平移抛物线，使顶点坐标为，并且经过点，求平移后抛物线对应的函数表达式． 【变式】已知二次函数图象经过，、三点． (1)求该二次函数解析式； (2)将该二次函数图象平移使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的解析式． 题型05利用对称变换求二次函数的解析式 【典例】把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则m的最小整数值为（    ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 【变式】将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 题型06利用旋转变换求二次函数的解析式 【典例】将抛物线绕点旋转，得到的新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式】已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型07利用图象信息求二次函数的解析式 【典例】如图，已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求函数值的最小值和最大值． 【变式】若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（　　）    A． B． C． D． 题型08利用几何图形的性质确定二次函数的解析式 【典例】如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求平移后的拋物线的顶点坐标．（直接写出结果即可） 【变式】如图1，一段高架桥的两墙A，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，设边长度为米，试求内接矩形的面积S（用含的式子表示）； (3)若已知矩形广告牌的价格为80元/米，广告牌其余部分的价格为160元/米，试求完成菱形广告牌所需的最低费用． 题型09利用线段间的数量关系求二次函数的解析式 【典例】如图，抛物线与轴交于、两点，且． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 题型10 最值型求解析式 【典例】已知抛物线与轴交于两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线在第一象限内的一点，连接．设点的横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值． 【变式】在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．此抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线与此抛物线交于点，点与点不重合． (1)抛物线的对称轴为直线_____； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当（为常数）时，的最小值为，求的值； (3)在（2）的条件下，将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达式． 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）． A． B． C． D．y 2．把二次函数的图象向上平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度后所得的图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（    ） A． B． C． D． 4．下列关于的函数解析式中，一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．二次函数满足：当自变量时，函数值随的增大而增大，请写出满足条件的二次函数的解析式_____．（写出一个即可） 6．将二次函数的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的函数解析式为__________． 7．写一个二次函数，要求∶开口向下，对称轴y轴，与x轴有两个交点．符合条件的二次函数解析式为∶_____________； 8．已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 9．已知二次函数． (1)将二次函数的解析式化为的形式； (2)直接写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 10．二次函数经过点． (1)求二次函数解析式； (2)若是该二次函数与轴交点的横坐标，记，求的值． 11．已知次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式，并求出顶点坐标； (2)若将该二次函数图象先向右平移m个单位、再向下平移m个单位，平移后的抛物线仍然经过点P，求m的值． 12．已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 13．小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像的特点：①开口向上；②顶点是原点；③经过点．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 14．将函数的图像绕原点O旋转180°，得到新的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 15．已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 16．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 17．已知某二次函数上两点，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是（　　） A． B． C． D． 18．函数是二次函数，则______，将函数沿x轴翻折后所得抛物线的解析式为______． 19．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左边，交y轴于C点，现将抛物线沿射线方向平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为__________． 20．把二次函数的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为，若，则m的最大值是________． 21．已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是______． 22．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向__________，对称轴为直线__________． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，y的取值范围 ． 23．已知抛物线的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)经过怎样的平移可得到二次函数． 24．已知二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当为何值时，？ 25．如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 26．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（     ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 27．已知二次函数 （），抛物线与轴交于，两点 ，与轴交于点，顶点为有下列四个结论： ① 抛物线的对称轴为直线； ② 若，则当时，随的增大而增大； ③ 若当时，抛物线与x轴有交点，则的取值范围是； ④ 若不等式 对全体实数恒成立，则 下列判断中，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 28．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 29．平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P． （1）抛物线的解析式为______； （2）点在二次函数图象上且是在下方的一动点，______时，的值最小． 30．我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于点D、E，二次函数（）与x轴交于A、B两点． (1)A点坐标_______，B点坐标_____； (2)在x轴上方的抛物线上是否存在P点，使得以点A、B、P为顶点的三角形与相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由； (3)点Q为（2）中抛物线上的动点，当Q到直线距离最小时，求Q点坐标及最小值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数解析式的突破计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01利用一般式求二次函数的解析式 题型02利用顶点式求二次函数的解析式 题型03利用交点式求二次函数的解析式 题型04利用平移变换求二次函数的解析式 题型05利用对称变换求二次函数的解析式 题型06利用旋转变换求二次函数的解析式 题型07利用图象信息求二次函数的解析式 题型08几何图形的性质确定二次函数的解析式 题型09线段间的数量关系求二次函数的解析式 题型10 最值型求解析式 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一：用一般式确定二次函数解析式 核心技巧：见顶点设顶点式，见交点设交点式，无特殊点设一般式；代入点时，优先代入（求）、（求交点），简化计算。 1.“三式”优选法：快速确定解析式形式，节省解题时间——三点→一般式；顶点/对称轴/最值→顶点式；x轴两交点→交点式；图形变换→优先顶点式。 2.系数快速求解法：一般式优先代求，再代另外两点解二元一次方程组；顶点式直接代入顶点，再代一点求；交点式直接代入两交点，再代一点求，避免复杂计算。 易错点1：顶点式符号错误（最高频易错） 错例：顶点，设（符号错误）；或顶点，设（符号错误）。 正解：顶点式中，括号内为，即顶点横坐标为、纵坐标为，正确写法为、。 易错点2：交点式符号错误 错例：与x轴交于、，设（符号错误）。 正解：交点式为，则为，则为，正确写法为。 易错点3：忽略（二次函数定义） 错例：解得，仍认为解析式是二次函数（实际为一次函数）。 正解：无论哪种形式，必须保证，若解得，需重新检查点坐标或设式是否正确，这是新教材中判断二次函数的核心前提，也是解题中易忽略的验证点。 【针对训练】 【例1】已知二次函数的图象经过点，顶点坐标是，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【详解】解：设这个二次函数的表达式为， ∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 【变式1-1】如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为，拱桥的最高点B到水面的距离为．求抛物线的表达式． 【答案】 【详解】解：由题意可知，顶点坐标， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得：， 则抛物线的表达式． 【变式1-2】已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象经过，，三点， 代入已知点坐标，得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为：． 知识点二：用平移、翻折（对称）、旋转变换确定二次函数解析式 平移：左加右减，上加下减 翻折（对称）与旋转： 方法一： 关于x轴对称，只要把解析式里的y换成－y即可； 关于y轴对称，只要把解析式里的x换成－x即可； 关于原点对称，只要把解析式里的x换成－x，y换成－y即可； 方法二：把解析式化为顶点式，然后求出顶点经过变换后的坐标，再写出解析式即可。 易错点1：平移方向混淆 错例：向左平移2个单位，写成（左减右加，混淆口诀）；向上平移3个单位，写成（上加下减混淆）。 正解：“左加右减”仅针对自变量，向左加、向右减；“上加下减”针对常数项，向上加、向下减，与无关。 易错点2：对称变换忘记变的符号 错例：求关于x轴对称的解析式，写成（未变的符号）。 正解：关于x轴、原点对称时，抛物线开口方向反向，因此必须变号；只有关于y轴对称时，开口方向不变，不变，正确解析式为。 【针对训练】 【例2】已知抛物线（m为常数）经过点．将该抛物线向右平移5个单位长度得到新抛物线，求平移后的抛物线的函数表达式． 【答案】（或） 【详解】解：将点代入中，得， 解得， 原抛物线的函数表达式为， ∴平移后的抛物线的函数表达式为（或）． 【变式2-1】如图，以点为顶点的抛物线交y轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设该抛物线解析式为， ∵点在该抛物线的图象上， ∴， 解得， ∴该抛物线解析式为； （2）解：∵将该抛物线向下平移后恰好与x轴只有一个交点， ∴平移后的抛物线的顶点在x轴上， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果点P是抛物线的顶点，求的面积； (3)点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． ①当时，如果该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； ②记矩形的周长为l，当时，直接写出l关于m的函数解析式． 【答案】(1) (2)3 (3)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过和， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点为， ∵，， ∴． （3）解：①∵点P在该抛物线上，其横坐标为， 当时，，即， ∵点A在x轴上，其横坐标为m， ∴． ∵点A为对称中心构造矩形PQMN， ∴， ∴， 当该抛物线的顶点在矩形的边上时，如图1，， 解得，， ∵， ∴， ∴当该抛物线的顶点在矩形的边上时，． ②当时，点M和点N重合， 化简得，解得：，， ∵， ∴， 当时，如图2所示， ∵，， ∴； 当时，如图3所示， ∵，， ∴； 综上所述，．     典例精析 题型01利用一般式求二次函数的解析式 【典例】二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线 ． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，求y的取值范围 ． 【答案】(1)上， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）当时，；当时，，可得对称轴，由表中数据，利用待定系数法即可求得的值，即可判断开口方向； （2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当和时的值，结合顶点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 二次函数图象的对称轴为直线， 将，，代入， 得：， 解得：， 二次函数的表达式为； ∵， ∴二次函数的图象开口向上， 故答案为：上，； （2）由（1）可知二次函数的表达式为； （3）解：当时，； 当时，． 又二次函数图象的顶点坐标为，抛物线开口向上， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，． 故答案为：． 【变式】如图，抛物线，过，，三点，其中D为顶点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线在右上方的一点，设点的横坐标为，面积为．是否有最大值？若有，请求出最大值及的坐标，若无，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值1， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键； （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，由，可知，则，当时，有最大值1，此时． 【详解】（1）解：将，，代入， ， 解得， ； （2）， ，对称轴为直线， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， ， ， ， ， 当时，有最大值1， 此时． 题型02利用顶点式求二次函数的解析式 【典例】已知抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过点 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)点在该抛物线上，且为整数，若的值为整数，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)抛物线与轴的交点坐标为，； 抛物线与轴的交点坐标为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质，深刻理解并运用数形结合思想是解题的关键． （1）首先设二次函数解析式为，然后把代入其中确定的值即可求解； （2）令，解一元二次方程，即可求得抛物线与轴的交点坐标；令，求出，即可求得抛物线与轴的交点坐标； （3）首先把代入（1）中解析式，得到关于、的关系式，然后代入所求代数式，利用整数的知识求出、的值即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 该抛物线经过点， 把代入中， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 即， 分解因式，得：， ，， 抛物线与轴的交点坐标为，； 当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； （3）解：点在该抛物线上， 把代入中， ， ， ，为整数， 而的因数有或， 或， 或或或， 或， 点的坐标为或或或． 【变式】如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，-9），该函数的图象与y轴交于点A（0，-5），与x轴交于点B，C． (1)求该二次函数的解析式； (2)求点B的坐标； (3)过点A作ADx轴，交二次函数的图象于点D，M为二次函数图象上一点，设点M的横坐标为m，且0＜m≤5，过点M作MNy轴，交AD于点N，连接AM，MD，设△AMD的面积为s． ①求s关于m的函数解析式； ②判断出当点M在何位置时，△AMD的面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)该二次函数的解析式为； (2)点B的坐标（-1，0）； (3)①s关于m的函数解析式为；②当点M与点C重合时，△AMD的面积最大，最大面积为10． 【分析】（1）根据顶点坐标（2，-9），设出抛物线顶点形式，将（0，-5）代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式； （2）当y=0时，，求得x的值，即可得出点B的坐标； （3）①先根据当y=-5时，，求得D（4，-5），再分两种情况讨论：当0＜m＜4时，点M在AD的下方的抛物线上；当4≤m≤5时，点M在CD之间的抛物线上，分别求得s关于m的函数解析式；②分两种情况，求得当点M与点C重合时，△AMD的面积最大，最大面积为10． 【详解】（1）解：∵顶点坐标（2，-9）， 设二次函数的解析式为， 将点A（0，-5）代入，得 -5=4a-9， 解得a=1， ∴抛物线解析式为； （2）解：当y=0时，， 解得=5，=-1， ∴点B的坐标（-1，0），点C的坐标（5，0）； （3）解：①当y=-5时，， 解得=0，=4， ∴D（4，-5）， ∵点M的横坐标为m，且0＜m≤5， ∴当0＜m＜4时，点M在AD的下方的抛物线上， 设M（m，），则 △AMD的面积=×AD×MN， 即； 当4≤m≤5时，点M在CD之间的抛物线上， △AMD的面积=×AD×MN， 即； 综上所述，s关于m的函数解析式为； ②当点M与抛物线顶点重合时，m=2， 此时，， 当点M与点C重合时，m=5， 此时，， ∴当点M与点C重合时，△AMD的面积最大，最大面积为10． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．解决问题的关键是掌握运用二次函数的顶点式：（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；解题时注意分类思想的运用． 题型03利用交点式求二次函数的解析式 【典例】二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式． 【答案】y＝2x2﹣4x﹣6 【分析】利用待定系数法求解即可. 【详解】解：根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2， ∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，属于基本题型，熟练掌握求解的方法是关键. 【变式】如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数最大值与最小值的差； (3)点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)函数最大值与最小值的差为9； (3)的取值范围为或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得函数的对称轴，得到最小值，再把和代入解析式求得函数值，据此求解即可； （3）先求得时，的值，当线段与二次函数图象的交点分别为或时，据此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的表达式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵在范围内， ∴当时，函数有最小值为； 当时，； 当时，； ∴当时，求函数最大值与最小值的差为； （3）解：令得， 解得或； 当线段与二次函数图象的一个交点为时， 且，解得； 当线段与二次函数图象的一个交点为时， 且，解得； 综上，的取值范围为或． 题型04利用平移变换求二次函数的解析式 【典例】平移抛物线，使顶点坐标为，并且经过点，求平移后抛物线对应的函数表达式． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象的平移，求函数解析式；由题意设平移后抛物线解析式为顶点式，再把点代入所设解析式中求得t的值，即可写出函数表达式． 【详解】解：设平移后抛物线所表示的函数表达式为， 将点代入函数表达式，得， 解得或， 所以或． 【变式】已知二次函数图象经过，、三点． (1)求该二次函数解析式； (2)将该二次函数图象平移使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：把，、代入， 得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：若将该二次函数图象平移后经过点，且对称轴为直线， 设平移后的二次函数的解析式为， 将点代入，得， 解得，． ∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为． 题型05利用对称变换求二次函数的解析式 【典例】把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则m的最小整数值为（    ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 【答案】C 【分析】先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为，再根据对称轴、与y轴的交点问题可求出，，然后代入解一元一次不等式即可求出答案． 【详解】解：由二次函数图形的变换规律得：把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为， 则与相同， 由对称轴得：，解得， 当时，由函数得；由函数得 则， 将，代入得：， 整理得： ， ∵， ∴，即， ∴m的最小整数值为3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与y轴的交点）、一元一次不等式等知识点，依据二次函数的图象与性质求出b、c与a的关系等式是解题关键． 【变式】将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 【答案】A 【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答． 【详解】抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3， 即y＝﹣x2+2x+3， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点． 题型06利用旋转变换求二次函数的解析式 【典例】将抛物线绕点旋转，得到的新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了把化成顶点式，的图象与性质，坐标与图形变换—旋转等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及旋转的性质是解题的关键． 先将二次函数化成顶点式，进而得出其顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后写出其顶点式解析式即可． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕点旋转， 旋转后的抛物线的顶点坐标为， 旋转后的抛物线的解析式为， 故选：． 【变式】已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出抛物线的解析式为，再分抛物线的对称轴在直线左侧，在直线右侧，在直线和直线之间，三种情况利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设抛物线上任意一点， 则点原点旋转后对应的点为，且点在抛物线P上， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线中，当时，y有最大值， ①当时，即时，当时y有最大值， ∴， ∴， 此时； ②当时，即时，当时y有最大值， ∴， ∴， 此时a不存在； ③当时，即时，当时y有最大值， ∴， ∴， 此时a不存在； 综上所述：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特点，正确求出抛物线的解析式是解题的关键． 题型07利用图象信息求二次函数的解析式 【典例】如图，已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求函数值的最小值和最大值． 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， ∵点，在抛物线上，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵二次函数的对称轴为直线，， ∴抛物线开口向下，当时，二次函数有最大值，且离对称轴的水平距离越远，函数值越小， ∵在范围内， ∴当时，函数值的最大值为； ∵， 当时，函数值的最小值为； ∴当时，函数的最小值为，最大值为． 【变式】若二次函数（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象开口向下可知，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解关于a的一元二次方程即可． 【详解】解：把原点代入抛物线解析式，得， 解得， ∵函数开口向上，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题的关键． 题型08利用几何图形的性质确定二次函数的解析式 【典例】如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求平移后的拋物线的顶点坐标．（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得； （3）①根据，结合四边形是矩形，可得A、C坐标，连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据直线平分矩形的面积，得到直线过点P，由平移的性质可知，四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到点P是的中点，求出P、Q坐标，进而证明四边形是平行四边形，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点B的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴点C的坐标为， ∴将点C坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，点C的纵坐标为， ∴矩形的周长 ， ∵ ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）解：∵当时，， ∴点B的坐标为， ∴点C的坐标为，点A的坐标为， 连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，如图：    ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点P， 由平移的性质可知，,， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点P是的中点，Q是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位， ∵ ∴平移后的抛物线解析式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，矩形的性质，勾股定理，平移的性质等等，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点． 【变式】如图1，一段高架桥的两墙A，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，设边长度为米，试求内接矩形的面积S（用含的式子表示）； (3)若已知矩形广告牌的价格为80元/米，广告牌其余部分的价格为160元/米，试求完成菱形广告牌所需的最低费用． 【答案】(1) (2)内接矩形的面积 (3)完成菱形广告牌所需的最低费用为元 【分析】（1）过点D做轴于点M，作于点N，利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质，求出，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为设米，则，得出，，求出，证明为等边三角形，得出，求出，得出，最后得出矩形的面积即可； （3）根据（2）的面积解析式求出广告牌费用为，根据二次函数的性质即可得到费用的最小值. 【详解】（1）解：过点D作轴于点M，作于点N，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形 ∴，， ∴在中，，， ∴， 设抛物线的解析式为，则，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在矩形中，设米，则，代入和得： ，， ∴， 由对称性得， ∵轴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 解得， ∴， ∴内接矩形的面积：． （3）解：由（2）得内接矩形的面积， ∵，， ∴， ∴菱形的面积为， ∴总费用： ， ∴当时，最小，最小值为， 答：完成菱形广告牌所需的最低费用为元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析，求一次函数解析式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求二次函数的最值，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，求出二次函数的解析式． 题型09利用线段间的数量关系求二次函数的解析式 【典例】如图，抛物线与轴交于、两点，且． (1)求抛物线解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长等，解题的关键是： （1）先求出C的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把、、代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为， 如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小； ∵、两点关于对称， ∵，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，的最大值为 【分析】（1）根据，即可求解； （2）设抛物线的表达式为：，再把点代入，即可求解； （3）先求出直线的表达式，然后过点P作y轴的平行线交于点H，根据，可得，设点 ，则点，可得的长，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点； （2）解：设抛物线的表达式为：， 把点代入得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （3）解：∵直线过点， ∴可设其函数表达式为：， 将点代入得： 解得：， 故直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ， ∵轴， ， ∴， ∵， ∴， 设点 ，则点， ∴， ∵ ， ∴有最大值，当时，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、等腰直角三角形的性质、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示，是本题解题的关键 题型10 最值型求解析式 【典例】已知抛物线与轴交于两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线在第一象限内的一点，连接．设点的横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】(1)． (2)；． 【详解】（1）解：抛物线过，代入得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：由解析式得， 设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 点在第一象限抛物线上， ， 过作轴交于，交轴于点，如图所示， ， ， ， ， ，当时，． 【变式】在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．此抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线与此抛物线交于点，点与点不重合． (1)抛物线的对称轴为直线_____； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当（为常数）时，的最小值为，求的值； (3)在（2）的条件下，将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达式． 【答案】(1)2； (2)①；②或3； (3) 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：①把代入得：， ， 抛物线所对应的二次函数表达式为； ②当，即时，，取最小值， ， 解得或（舍去）， ； 当，即时，，取最小值， 此时最小值为，不符合题意； 当时，，取最小值， ， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为或3； （3）解：设平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线． 分三种情况讨论： ①当，即时，在对称轴的右侧， 二次函数在取得最小值， ， 解得或，不符合题意； ②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意； ③当，即时，在对称轴的左侧， 二次函数在时取得最小值， ， 解得或（舍去）， 此时二次函数的表达式为， 即． 综上所述，平移后新的二次函数的表达式为． 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）． A． B． C． D．y 【答案】A 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的判断，掌握定义是解题的关键， 根据二次函数的定义：形如（为常数且），逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是二次函数，故A正确； B、是二次函数，故B错误； C、是一次函数，故C错误； D、不是二次函数，故D错误； 故选：A． 2．把二次函数的图象向上平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度后所得的图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，所得图象的函数解析式是为， 故选：D． 3．二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律“上加下减、左加右减”成为解题的关键． 根据平移规律“上加下减、左加右减”解答即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为． 故选：D． 4．下列关于的函数解析式中，一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】形如，这样的函数叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，不是二次函数； B、当时，不是二次函数； C、整理后不含项，是一次函数，不是二次函数； D、是二次函数； 故选：D． 5．二次函数满足：当自变量时，函数值随的增大而增大，请写出满足条件的二次函数的解析式_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据自变量时，函数值随的增大而增大，可以写出一个开口向上，对称轴在左侧的二次函数的解析式即可． 【详解】解：由题意，满足条件的二次函数的解析式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 6．将二次函数的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的函数解析式为__________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】此题考查了抛物线的平移．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：二次函数的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得，即． 故答案为：． 7．写一个二次函数，要求∶开口向下，对称轴y轴，与x轴有两个交点．符合条件的二次函数解析式为∶_____________； 【答案】（答案不唯一）． 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意写出二次项系数为负数，一次项系数为0，常数项大于0的二次函数解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，符合条件的二次函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 8．已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点在此抛物线上 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设二次函数的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）由（1）得，则把代入，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与x轴的交点是，， ∵设二次函数的解析式为， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 当时，， 点在此抛物线上． 9．已知二次函数． (1)将二次函数的解析式化为的形式； (2)直接写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴是直线；顶点坐标是 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了将二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质等知识点，掌握用配方法把函数解析式化成顶点式是解题关键． （1）根据配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可； （2）根据（1）中的顶点式解析式即可解答． 【详解】（1）解： ， ． （2）解：∵， ∴该二次函数图像的对称轴是直线，顶点坐标是． 10．二次函数经过点． (1)求二次函数解析式； (2)若是该二次函数与轴交点的横坐标，记，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及其变形，熟练掌握完全平方公式的变形是解题关键． （1）将点代入，求出的值，即可求解； （2）根据题意，得，整理，得，利用完全平方公式变形为，再将变形为，将代入即可求解． 【详解】（1）解：把代入，解得：， 二次函数解析式为． （2）解：根据题意，得：， ， ， ， ， ． 11．已知次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式，并求出顶点坐标； (2)若将该二次函数图象先向右平移m个单位、再向下平移m个单位，平移后的抛物线仍然经过点P，求m的值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数解析式． （1）将代入中即可求出； （2）先求得平移后的函数解析式，继而待定系数法求出本题答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为； （2）解：根据题意，得平移后的抛物线解析式为：， 将代入得， ，， ． ． 12．已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，用含m的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后再消去参数m是解题的关键． 用含m的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后消去m即可得到所求抛物线的解析式． 【详解】解：∵的顶点坐标是， 设， ∴， ∴所求抛物线的解析式为：． 故选：A． 13．小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像的特点：①开口向上；②顶点是原点；③经过点．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出即可． 【详解】解：∵二次函数的图像顶点是原点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． 故选：B． 14．将函数的图像绕原点O旋转180°，得到新的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】根据二次函数的图像与性质、旋转的性质分析解答即可． 【详解】解：对于函数，其图像开口向下，顶点坐标为（2，3）， 绕原点O旋转180°后，可知顶点坐标为（-2，-3），开口向上，开口大小不变， 所以，旋转后的函数解析式为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、二次函数的图像与性质等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 15．已知二次函数的图象经过点，，且对称轴为直线，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据二次函数对称轴的性质，已知条件列方程组求解系数即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴由对称轴公式可得 ，即， 将点，代入函数解析式可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 16．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数的解析式为，即． 故选：B． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 17．已知某二次函数上两点，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由二次函数的图象与性质即可判断得解．解题时要熟练掌握并理解是关键． 【详解】解：由题意， 当二次函数开口向上时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在对称轴右边，y随x的增大而增大． ∵当时，； ∴． ∴． ∴当时，y随x的增大而增大． ∵当时，， ∴ ∴ ∴当时，y随x的增大而减小． ∴抛物线的对称轴为，开口向上，即二次项系数为正， 观察选项只有B符合， 故选：B． 18．函数是二次函数，则______，将函数沿x轴翻折后所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数定义列方程和不等式求解，再利用沿轴翻折的坐标变化规律求新抛物线解析式． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴， ∴函数解析式为， ∵抛物线沿轴翻折时，任意点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数， ∴翻折后满足， 整理得． 19．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左边，交y轴于C点，现将抛物线沿射线方向平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为__________． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、用勾股定理解三角形、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，勾股定理等，将沿射线方向平移转化为左右平移是解决问题的关键．先求出点B、C的坐标，利用勾股定理得到长度，进而确定平移方式，然后把解析式化为顶点式，再根据平移规律：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可解答． 【详解】解：对于，令，则， ∴， ∴； 令，则， 解得，， ∵二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左面， ∴， ∴， ∴， ∴点C沿射线方向平移个单位后与点B重合， ∴抛物线沿射线方向平移个单位，相当于先向下平移3个单位，再向左平移3个单位， ∵原抛物线解析式， ∴平移后抛物线解析式为， 故答案为：． 20．把二次函数的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为，若，则m的最大值是________． 【答案】4 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征得出原二次函数的顶点为，即可得出原二次函数为，与原二次函数比较可得，代入，即可求解． 【详解】把二次函数的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为 原二次函数的顶点为 原二次函数为 即 m的最大值是4 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，作关于x轴对称的点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握知识点是解题的关键． 21．已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的顶点，根据得到顶点坐标，再求顶点坐标满足的函数解析式即可． 【详解】解：∵顶点坐标为， ∴设，消去得， ∴它们的顶点坐标满足的函数解析式是， 故答案为：． 22．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 2 7 … (1)二次函数的图象开口向__________，对称轴为直线__________． (2)求该二次函数的解析式． (3)直接写出当时，y的取值范围 ． 【答案】(1)上， (2) (3) 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax²+bx+c的最值、用表格表示变量间的关系、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】（1）当时，；当时，，可得对称轴，由表中数据，利用待定系数法即可求得a的值，即可判断开口方向； （2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当和时y的值，结合顶点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵对称轴为直线， ∴， ∴ ∴二次函数的图象开口向上． （2）解：由（1）知，二次函数图象的对称轴为直线，， 由表知 ，当时，， ∴顶点坐标为， ∴． ∴二次函数的表达式为． （3）解：当时，； 当时，． 又∵二次函数图象的顶点坐标为，抛物线开口向上， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， ∴当时，． 23．已知抛物线的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)经过怎样的平移可得到二次函数． 【答案】(1) (2)将二次函数向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到二次函数 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）将一般式化为顶点式，根据平移规则进行判断即可. 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， 该二次函数的解析式为． （2）解：， 的顶点坐标是 的顶点坐标是， 将点向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到 将二次函数向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到二次函数． 24．已知二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当为何值时，？ 【答案】(1) (2)或 【知识点】图象法解一元二次不等式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）由于二次函数经过点，所以可以设出二次函数的交点式，代入点，即可用待定系数法求出其解析式． （2）结合二次函数的图像进行分析，得到时的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图像经过点， 设二次函数的交点式为， 将点代入解析式得：， 解得， 二次函数的解析式为． （2）解：二次函数的图像经过点和，且二次项系数， 可知抛物线开口向上， 要使，即抛物线在轴的上方，对应的取值范围是或． 25．如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴， 又， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程一定有一个根在2和3之间，故③正确； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的最大值为， ∴对于任意实数，都有， ∴对于任意实数，，即，故④正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， 又， ∴， ∴,故⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共4个． 26．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（     ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的最值，抛物线与一元二次方程的关系等解答即可. 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在负半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴,， ∴, 故①②正确； ， 根据图象，得时，， 故③错误； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取得最小值， 对于任意实数，当时，函数值， ， ， 故④正确； 二次函数的图象经过点， 设其对称点为，根据题意，得， 解得， 方程的两根为， 又方程的两根为，， ， ， 故⑤错误． 27．已知二次函数 （），抛物线与轴交于，两点 ，与轴交于点，顶点为有下列四个结论： ① 抛物线的对称轴为直线； ② 若，则当时，随的增大而增大； ③ 若当时，抛物线与x轴有交点，则的取值范围是； ④ 若不等式 对全体实数恒成立，则 下列判断中，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据解析式求得对称轴为直线即可判断①②，根据当时，抛物线与x轴有交点，得出，分别求得和时的函数值，即可得出，即可判断③，根据 对全体实数恒成立，可得，，解不等式即可求解． 【详解】解：二次函数对称轴公式为，本题中，代入得：，与结论一致，①正确． 二次函数开口由决定，时抛物线开口向上，对称轴为直线，当时随增大而增大，②正确． ∵ ，顶点在第一象限，在对称轴右侧，且顶点纵坐标为正，故抛物线必须开口向下． 当时，， 当时， ∵抛物线在时与x轴有交点， ∴ ， 构造关于a的函数， ∴当时，可得；③正确． ∵ 对全体实数恒成立． ∴，且 解得，与矛盾，故不存在这样的，④错误． 28．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 【答案】①③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值、根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据开口方向和对称轴可得的符号，即可判断①；根据抛物线经过点，可得，即得到，即可判断②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，即可判断③；由抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即可判断④；由直线经过点，可得，得到，即可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的两根为，，故③正确； 由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即， ∴不等式的解集是，故④正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，故⑤错误， 综上，正确的有①③④． 29．平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P． （1）抛物线的解析式为______； （2）点在二次函数图象上且是在下方的一动点，______时，的值最小． 【答案】 /0.5 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）由直线求出与坐标轴交点、，代入抛物线求出解析式． （2）由抛物线解析式算出对称轴，再求出直线与对称轴的交点．设抛物线上点，用两点间距离公式表示，并代入化简．通过换元将转化为二次函数，利用二次函数最值求出最小值对应的，代入求出，并检验点在下方，符合题意． 【详解】解：（1）∵直线交轴于，交轴于， ∴令，得，令，得， 所以，， 抛物线过A、B： ， 解得：， ∴抛物线解析式为：， （2）∵抛物线解析式为：， ∴抛物线对称轴：， ∵点是直线与对称轴的交点， ∴， ∴， 设在抛物线上，则 ， ∴ 代入： ， 令，则， ， ∴， 令，则， 将转化为关于u的二次函数， ∴， ∴开口向上，最小值在， 即，也就是． ∴（舍去），， 此时 ， ∵， ∴当时，M点纵坐标小于直线上对应点的纵坐标，满足点M在直线下方的条件，符合题意． 故． 30．我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 【答案】(1)点是“靓点”，证明如下： ∵点为“靓点”， ∴， ∵，， ∴将代入上式，得， ∴， ∴点是“靓点”； (2)证明：∵点为“靓点”， ∴， 当时代入上式，可得，方程无解， ∴满足“靓点”的点，横坐标不能为1， 将代入，得，整理得， ∵， ∴判别式 ， ∵，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， ∴方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又∵，两个不同的对应两个不同的， ∴函数的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)的值为 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、其他问题(二次函数综合)、一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）由“靓点”的定义可得，再表示出点的横、纵坐标之和与横、纵坐标之积，由此即可证明； （2）将代入得到，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得证； （3）将代入得，结合题意，令，则方程有两个不相等的实数根，，利用一元二次方程根的判别式求出或，求出，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，表示出，，从而可得，整理得，求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：将代入得， 整理得， ∵关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， ∴令，则方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴或， 将代入，得， ∵， ∴， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴（不符合题意，舍去）或， ∴的值为． 31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于点D、E，二次函数（）与x轴交于A、B两点． (1)A点坐标_______，B点坐标_____； (2)在x轴上方的抛物线上是否存在P点，使得以点A、B、P为顶点的三角形与相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由； (3)点Q为（2）中抛物线上的动点，当Q到直线距离最小时，求Q点坐标及最小值． 【答案】(1)、 (2)存在， (3)，最小值为 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、点到直线的距离、y=ax²+bx+c的最值、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）令二次函数，求解即可； （2）对于一次函数，分别令，，得到，，则，．当以点A、B、P为顶点的三角形与相似时，只能是为直角，即或．设点P的为，过点P作x轴的平行线，交过点A与y轴的平行线于点M，交过点B与y轴的平行线于点N，可得，因此．分两种情况讨论：①若，则，据此列出方程，求出a，b的值，得到点P的坐标，再把点P代入二次函数，即可求出m的值．②若，与①同理可求； （3）过点Q作x轴的平行线交于点K，则，从而，设点Q的坐标为，则，．过点Q作于点H，则为Q到直线距离，从而，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，令， 则， 解得或， ∴，． （2）解：存在，理由如下： 对于一次函数， 令，则，解得， 令，则， ∴，， ∴，． 当以点A、B、P为顶点的三角形与相似时，只能是为直角，即或． 如图，设点P的坐标为， 过点P作x轴的平行线，交过点A与y轴的平行线于点M，交过点B与y轴的平行线于点N，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，，，且点P在x轴上方， ∴，，，． ①若，则， ∴，即， 解得，， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得． ②若，则， ∴，即， 解得，， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得． 综上所述，在x轴上方的抛物线上存在P点，使得以点A、B、P为顶点的三角形与相似，此时． （3）解：由（2）可得，二次函数的解析式为， 过点Q作x轴的平行线交于点K，则， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， 设点Q的坐标为， 则点K的纵坐标为 把代入一次函数，得， 解得， ∴， ∴． 过点Q作于点H，则的长为Q到直线的距离， ∴， ∴当时，有最小值为， 此时点． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $