精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

青铜峡市宁朔中学2024-2025学年第一学期高二数学 第二次月考测试卷 出卷人：何媛媛 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 过点和点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 4. 设a为正实数，若圆与圆相外切，则a的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 24 D. 26 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，多选和错选得0分） 9. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆M内 B. 圆M关于对称 C. 半径为 D. 直线与圆M相切 10. （多选）以为渐近线的双曲线可以是（    ） A. B. C. D. 11. 下列四个结论，其中正确的为（ ） A. 动点到点的距离之差的绝对值为2，则点的轨迹是双曲线 B. 过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条 C. 直线恒过定点 D. 当时，方程表示的曲线为椭圆 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线垂直，则实数______. 13. 椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则________． 14. 长方体中，，，则点B到平面的距离为________． 四、解答题. 15. 已知直线l:x-y+2=0和圆 （1）直线l交圆C于A，B两点，求弦长; （2）求过点的圆的切线方程. 16. 已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. （1）求的标准方程； （2）若为上一点，且，求的面积. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）求证：； （2）求异面直线EF与所成角的余弦值. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. （1）求的方程； （2）经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程. 19. 已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线. （1）求曲线的方程； （2）不过点的直线与曲线相交于，两点，且，若的垂直平分线交轴于点，求点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市宁朔中学2024-2025学年第一学期高二数学 第二次月考测试卷 出卷人：何媛媛 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 过点和点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点先求出直线斜率，然后根据斜率与倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】由已知直线的斜率， 设直线倾斜角为，则， 所以. 故选：B. 2. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长轴以及离心率即可求解. 【详解】由长轴长为4，可得，又离心率为，即， 解得，故， 所以椭圆方程为， 故选：A 3. 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得. 故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 4. 设a为正实数，若圆与圆相外切，则a的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 24 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】结合题意：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以圆心距为，而， 因为两圆相外切，所以，即. 故选：B. 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为， 所以. 故选：D 6. 斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线与抛物线的方程，再根据抛物线的焦点弦公式求解即可. 【详解】由题意，抛物线的焦点为，， 故斜率为且过点的直线方程为， 设，， 联立，整理得， 根据韦达定理得， 所以. 故选：B. 7. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得． 【详解】-＝， . 故选：A． 8. 已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，与抛物线的交点即为所求. 【详解】，所以点在抛物线的内部， 设点在准线上的射影为，由抛物线的定义可知， 要求的取最小值，即求的最小值， 只有当三点共线时最小， 令，，得，所以取最小值时点的坐标为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，多选和错选得0分） 9. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆M内 B. 圆M关于对称 C. 半径为 D. 直线与圆M相切 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解. 【详解】整理得：， ∵，时，∴点在圆M外，A错； ∵圆心M在直线上，∴圆M关于对称，B对； ∵圆M半径为1，故C错； ∵圆心到直线的距离为，与半径相等， ∴直线与圆M相切，D对. 故选：BD. 10. （多选）以为渐近线的双曲线可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解. 【详解】对于选项A，由得渐近线方程为，所以选项A错误， 对于选项B，由得渐近线方程为，所以选项B正确， 对于选项C，由得渐近线方程为，所以选项C错误， 对于选项D，由得渐近线方程为，所以选项D正确， 故选：BD. 11. 下列四个结论，其中正确的为（ ） A. 动点到点的距离之差的绝对值为2，则点的轨迹是双曲线 B. 过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条 C. 直线恒过定点 D. 当时，方程表示的曲线为椭圆 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的定义判断A；根据直线与抛物线的关系判断B；直线恒过定点判断C；根据椭圆定义判断D. 【详解】对于A，因为动点到点的距离之差的绝对值为2，但， 所以点P的轨迹不是双曲线，故A错误； 对于B，由于在抛物线外，所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有三条， 一条平行于轴，一条与轴重合，另外一条与抛物线相切，故B正确； 对于C，，即， 直线恒过定点，则，即，所以直线恒过定点，故C正确； 对于D，因为，所以，，例，当时， 此时表示的曲线为圆，不是椭圆，故D错误， 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线垂直，则实数______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 故答案为：. 13. 椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】联立椭圆与直线方程，得到两根之和，根据弦中点得到方程，求出. 【详解】联立可得． 设弦的两个端点为，，则由根与系数的关系可得，， 由中点坐标公式可得，，解得. 故答案为：6． 14. 长方体中，，，则点B到平面的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】解：在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，所以，， ，，，， 设平面的法向量为： ， ，令得： 又 点B到平面的距离为：. 故答案为：. 四、解答题. 15. 已知直线l:x-y+2=0和圆 （1）直线l交圆C于A，B两点，求弦长; （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1）；（2）与. 【解析】 【分析】（1）根据圆心到直线的距离，得到弦心距，再根据圆的弦长公式得到答案； （2）先研究直线斜率不存在时，判断是否符合要求，再研究直线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径，得到关于斜率的方程. 【详解】（1）圆:知圆心，半径 所以圆心到直线:的距离 所以 （2）①当直线斜率不存在时， 圆心到直线的距离为，等于半径 所以直线是圆的一条切线 ②当直线存在时，由于过点， 故由点斜式设切线方程为： 即 因直线与圆相切， 所以得到圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为 故所求切线有两条:与. 【点睛】本题考查利用圆的弦长公式求圆的弦长，求过圆外一点圆的切线方程，属于基础题. 16. 已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. （1）求的标准方程； （2）若为上一点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）根据椭圆的定义求得，从而求得的面积. 【小问1详解】 依题意，设椭圆方程为， 所以，解得. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由于，，根据抛物线的定义有： ，整理得， 所以的面积为. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）求证：； （2）求异面直线EF与所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：如图，以D为原点，以射线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，， 所以， 所以，故． （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明，故． （2）利用空间向量法，利用向量的夹角公式求异面直线EF与所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以． 因为，且， 所以． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. （1）求的方程； （2）经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得； （2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得； 【小问1详解】 解：双曲线的渐近线为，即， 所以， 又焦点到直线的距离，所以， 又，所以，，所以双曲线方程为 【小问2详解】 解：设，，直线的斜率为，则，， 所以，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以直线的方程为. 19. 已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线. （1）求曲线的方程； （2）不过点的直线与曲线相交于，两点，且，若的垂直平分线交轴于点，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义写出方程即可； （2）联立方程，结合韦达定理，求出的中点坐标，得到的垂直平分线，求解即可. 【小问1详解】 因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等， 由抛物线的定义知，动点的轨迹是焦点为的抛物线，此时， 则曲线的方程为； 【小问2详解】 由题知，直线的斜率不为零， 可设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 此时，解得， 由韦达定理得，， 因为，所以， 因为，所以，解得， 设点为的中点，则， 所以直线的方程为，整理得， 所以直线过定点， 因为点为的垂直平分线与轴的交点， 所以点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $