2026-2027学年人教版数学九年级上册第25章一元二次方程单元测试卷

人教版九上第25章一元二次方程单元测试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．2y2﹣y﹣3＝0 C．5x﹣2x2+7＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1 2．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．如果一个一元二次方程的二次项是2x2，经过配方整理得（x）2＝1，那么它的一次项和常数项分别是（　　） A．﹣x， B．﹣2x， C．﹣2x， D．x， 4．方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程为（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A． B．1 C．﹣1 D． 6．方程x（x﹣2）＝x﹣2的解为（　　） A．x＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2 7．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围（　　） A．m＜3 B．m＜3且m≠2 C．m＞3且m≠2 D．m＞3 8．某联赛采用双循环赛制，如果比赛的总场数为306，那么参加比赛的球队共有（　　） A．17支 B．18支 C．19支 D．20支 9．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 10．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 二．填空题（共6小题） 11．一元二次方程x2﹣5x＝2（x﹣1）的一般形式为 ______________ ． 12．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0有一个根为2026，则一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一个根为_________ ． 13．《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 ________________ ． 14．若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为m，n，则的值为_______ ． 15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的两根，且x1+x2＝3﹣2x1x2，则k的值为__________________ ． 16．某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 _______ 元． 三．解答题（共8小题） 17．用适当的方法解方程． （1）（x﹣1）2＝（3﹣2x）2； （2）4x2﹣12x﹣1＝0； （3）2x（x﹣3）＝5（x﹣3）． 18．对于解方程3（x﹣2）2＝x2﹣4，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2），…步骤① 等号两边同时除以（x﹣2），得3（x﹣2）＝（x+2），…步骤② 去括号，得3x﹣6＝x+2，…步骤③ 移项、合并同类项，得2x＝8，…步骤④ 系数化为1．得x＝4．…步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____ （填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0．求证：方程总有两个不相等的实数根． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 22．我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为_______ 盒，每天盈利________ 元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 23．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，设此时纸盒的高为acm，则可列方程为____________________ ． 24．请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_____________ ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．2y2﹣y﹣3＝0 C．5x﹣2x2+7＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1 【解答】解：根据一元二次方程的定义逐项分析判断如下： A、∵当a＝0时，方程二次项系数为0， ∴不是一元二次方程． B、∵方程的未知数为y， ∴不是关于x的方程． C、整理得﹣2x2+5x+7＝0， ∵仅含未知数x，x的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴是关于x的一元二次方程． D、整理得（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0， ∵当m＝1时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， ∴不一定是一元二次方程． 故选：C． 2．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0， 解得m＝2． 故选：C． 3．如果一个一元二次方程的二次项是2x2，经过配方整理得（x）2＝1，那么它的一次项和常数项分别是（　　） A．﹣x， B．﹣2x， C．﹣2x， D．x， 【解答】解：（x）2＝1， x2﹣2x+（）2＝1， x2﹣x1， 2x2﹣2x2， 2x2﹣2x0， 它的一次项是﹣2x，常数项是． 故选：C． 4．方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：移项得，x2+5x， 配方，得x2+5x+（）， 整理，得（x）2＝6． 故选：C． 5．若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A． B．1 C．﹣1 D． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：k且k≠1， ∴k的值可以是． 故选：D． 6．方程x（x﹣2）＝x﹣2的解为（　　） A．x＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2 【解答】解：原方程移项可得： x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝1，x2＝2． 故选：D． 7．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围（　　） A．m＜3 B．m＜3且m≠2 C．m＞3且m≠2 D．m＞3 【解答】解：由题意可得：Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×（m﹣2）×1＞0，且m﹣2≠0， 解得，m＜3且m≠2， 故选：B． 8．某联赛采用双循环赛制，如果比赛的总场数为306，那么参加比赛的球队共有（　　） A．17支 B．18支 C．19支 D．20支 【解答】解：设参加比赛的球队共有x支， 根据题意得：x（x﹣1）＝306， 整理得：x2﹣x﹣306＝0， 解得：x1＝18，x2＝﹣17（不符合题意，舍去）， 即参加比赛的球队共有18支， 故选：B． 9．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 【解答】解：设每月增长率为x， 则二月份销量为8000（1+x），三月份销量为二月份的（1+x）倍，即8000（1+x）2． ∵一月份的8000辆增加到三月份的12000辆， ∴8000（1+x）2＝12000． 故选：B． 10．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【解答】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0， 此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②∵b+c＞0，b﹣c＜0， ∴c＞0， ∵a＜0， ∴﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0， 此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故③错误； ④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝4a， ∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．一元二次方程x2﹣5x＝2（x﹣1）的一般形式为 x2﹣7x+2＝0　 ． 【解答】解：去括号得，x2﹣5x＝2x﹣2， 移项得，x2﹣5x﹣2x+2＝0 合并同类项得，x2﹣7x+2＝0， 故答案为：x2﹣7x+2＝0． 12．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0有一个根为2026，则一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一个根为　2025　 ． 【解答】解：将方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5变形为a（x+1）2+b（x+1）+5＝0， 设t＝x+1，则原方程可化为at2+bt+5＝0， 由题意可得：at2+bt+5＝0有一个根为t＝2026， 即x+1＝2026， 解得x＝2025， 因此一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一个根为2025． 故答案为：2025． 13．《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 x（x+12）＝864　 ． 【解答】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为（x+12）步． 依题意，得：x（x+12）＝864． 故答案为：x（x+12）＝864． 14．若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为m，n，则的值为　﹣2　 ． 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn＝﹣1， 所以2． 故答案为：﹣2． 15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的两根，且x1+x2＝3﹣2x1x2，则k的值为　　 ． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的两根， ∴x1+x2＝2，x1x2＝k， ∵x1+x2＝3﹣2x1x2， 即2＝3﹣2k， 解得：k， ∴k的值为． 故答案为：． 16．某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 　54　 元． 【解答】解：设每千克这种商品应定价为x元，则降价（60﹣x）元，平均每天的销售量增加10（60﹣x）件， 由题意得：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240， 整理得：x2﹣110x+3024＝0， 解得：x1＝54，x2＝56， ∵要使销量尽可能大， ∴x＝54， 故答案为：54． 三．解答题（共8小题） 17．用适当的方法解方程． （1）（x﹣1）2＝（3﹣2x）2； （2）4x2﹣12x﹣1＝0； （3）2x（x﹣3）＝5（x﹣3）． 【解答】解：（1）（x﹣1）2＝（3﹣2x）2， 整理得：（x﹣1）2﹣（3﹣2x）2＝0， 因式分解得：[（x﹣1）+（3﹣2x）][（x﹣1）﹣（3﹣2x）]＝0， 则（x﹣1+3﹣2x）（x﹣1﹣3+2x）＝0， 即（2﹣x）（3x﹣4）＝0， 解得：x1＝2，； （2）4x2﹣12x﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣12）2﹣4×4×（﹣1）＝160＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 则x， 即，； （3）2x（x﹣3）＝5（x﹣3）， 整理得：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0， 因式分解得：（2x﹣5）（x﹣3）＝0， 解得：，x2＝3． 18．对于解方程3（x﹣2）2＝x2﹣4，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2），…步骤① 等号两边同时除以（x﹣2），得3（x﹣2）＝（x+2），…步骤② 去括号，得3x﹣6＝x+2，…步骤③ 移项、合并同类项，得2x＝8，…步骤④ 系数化为1．得x＝4．…步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是　②　 （填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 【解答】解：（1）根据题意，可知步骤②两边同时除以（x﹣2）， 未考虑（x﹣2）可能为0的情况，会导致丢失方程的一个根， 故出错的步骤为②， 故答案为：②； （2）3（x﹣2）2＝x2﹣4， 3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2）， 3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0， （x﹣2）[3（x﹣2）﹣（x+2）]＝0， （x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）＝0， （x﹣2）（2x﹣8）＝0， x﹣2＝0或2x﹣8＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0．求证：方程总有两个不相等的实数根． 【解答】证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k﹣2） ＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k+8 ＝9＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【解答】（1）证明：由条件可知Δ＝（m﹣4）2﹣4×1×（﹣4m）＝m2+8m+16＝（m+4）2， ∵（m+4）2是非负数， ∴b2﹣4ac≥0． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； （2）解：x2+（m﹣4）x﹣4m＝0， 解得x1＝﹣m，x2＝4， ∵原方程有一个根不小于5， ∴﹣m≥5， ∴m≤﹣5． 21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（k﹣2）＝﹣4k+12， ∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有实数根， ∴﹣4k+12≥0， ∴k≤3； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣2， ∴x1x2+x1+x2+1＝﹣1， ∴k﹣2﹣2+1＝﹣1， ∴k＝2． 22．我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为　40　 盒，每天盈利　400　 元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【解答】解：（1）根据题意得：当销售价为110元/盒时，每天的销售量为204＝40（盒）； 每天盈利（110﹣100）×40＝400（元）． 故答案为：40，400； （2）设每盒茶叶降价x元，则每盒的销售利润为（120﹣x﹣100）元，每天可售出（204）盒， 根据题意得：（120﹣x﹣100）（204）＝432， 整理得：x2﹣10x+16＝0， 解得：x1＝2，x2＝8． 答：当每盒茶叶降价2元或8元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 23．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，设此时纸盒的高为acm，则可列方程为　（75﹣2a）（80﹣2a）＝3300　 ． 【解答】解：（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程为： 10（1+x）2＝16.9， 解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为30%； （2）设此时纸盒的高为acm， 根据题意可得：（75﹣2a）（80﹣2a）＝3300． 故答案为：（75﹣2a）（80﹣2a）＝3300． 24．请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：y2﹣y﹣2＝0　 ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0， 得y2﹣y﹣2＝0， 故答案为：y2﹣y﹣2＝0； （2）设所求方程的根是y，则y， 所以x， 把x代入方程2x2﹣7x+3＝0，得 2（）2﹣7•3＝0， 化简，得3y2﹣7y+2＝0； （3）一元二次方程整理后可得：a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0， ∵令y﹣1＝x， ∴y＝x+1， 则方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根比 ax2+bx+c＝0（a≠0）两根大1， 所以方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根分别是4、﹣1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/29 21:13:54；用户：王俊燕；邮箱：13400470610@xyh.com；学号：23751262 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $