函数与导数：第5讲 三次函数专题 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

三次函数专题 函数与导数 · 专题篇 一、对称中心与图象的基本形状 三次函数的图象只由两件事决定：一个点是它的对称中心，一条曲线是它的升降路径。先把这个点定下来，后面所有关于极值、零点、切线的讨论都能省一半力气。 设 ，其中 。把横坐标整体平移 ，也就是令 ，代入后展开： 的系数恰好是 ，二次项被消掉了。于是 ，只剩下三次项、一次项和一个常数。 其中的 是奇函数，它的图象关于原点中心对称； 只是一个常数，相当于把整个图象上下挪。把常数也平掉，剩下的部分关于原点对称，平移回去就说明：三次函数的图象关于点 中心对称。这个点叫做图象的对称中心，它的横坐标只与 、 有关，与 、 无关。 对称中心一旦定下来，有两件事立刻变得好用。第一件是配点：图象上任意一对关于中心对称的点，横坐标之和恒等于 ，纵坐标之和恒等于中心纵坐标的两倍。第二件是求和：若三个横坐标关于中心等距分布，例如三个零点，它们的和就等于中心横坐标的三倍 —— 这正是三次方程三个根之和的来历，用「平移成奇函数」一句话就能说清，不必去背根与系数的关系。 对称中心还给出了图象的整体形状：曲线以一个点为中心，所以左右两半的升降方式完全一样，只有上下颠倒。这直接解释了一个现象 —— 极大值与极小值必定关于中心对称分布，它们的横坐标之和等于中心横坐标的两倍，纵坐标之和等于中心纵坐标的两倍。 最后要留一个反方向的警惕。由「横坐标之和等于 」可以推出「两个函数值之和等于中心纵坐标的两倍」，但反过来不成立。原因是三次函数在 上并不单调：它有极大值和极小值，同一个函数值可以在两个不同的横坐标处取到，一个在上升段、一个在下降段。所以看到 等于一个特定值时，不能直接断定 是多少，还要看 、 各自落在哪一条单调支上。只有确认两点位于对称的两支（例如一个不小于极大值点、一个不大于极小值点），这一步推断才靠得住。 例1（单选·★★★☆☆） 设函数，若，则 = （ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【切入点】三次项系数是 、二次项系数是 ，先把对称中心算出来：横坐标是平移消去二次项的位置 ，纵坐标 ，中心为 。 【关键】作平移 ，把二次项抹掉：。于是 关于 是奇函数，而 的导数 恒大于零，说明它在 上严格递增。 即 ， 即 ：两式右边互为相反数，而 既单调又是奇函数，所以这两个方程的解互为相反数，设为 与 。由 得 。 【关键】于是 ，，。选 D。 【易错】只看到 就断定 ，理由是不完整的：两个函数值之和等于中心纵坐标的两倍，只在「两个自变量分别落在对称的两条单调支上」时才能反推出横坐标之和。本例里 严格递增，方程 与 各自只有一个实根，这一步才立得住。换成有极值的三次函数，同样的做法就会出错。 【答案】D 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知实数，为方程的两个根，则 = （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【切入点】绝对值方程不好直接平方，先看里头的三次式。它的对称中心横坐标是 ，纵坐标 ，中心为 。 【关键】作平移 ：。这个式子既奇又严格递增（导数 恒正），所以 的图象关于 中心对称，左右两支形状完全一样、只差一个正负号。 【关键】把 拆成 与 。换成 就是 与 ：右边互为相反数，左边单调且为奇函数，两根互为相反数，设为 与 。回到 得 与 ，两根之和为 。选 A。 【易错】两根来自两个不同的方程（一个是 、一个是 ），并不是同一个三次方程的两个根 —— 它们之所以能相加，靠的是「平移后互为相反数」这条对称性，而不是根与系数的关系。另外不要为了保险把绝对值平方，那样会得到一个六次方程，绕远路还容易算错。 【答案】A 变式1-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 【切入点】 是偶函数，等价于 对一切 成立。 【关键】记 、。 只有两种可能： 或者 。 要求 对一切 成立，即图象关于竖直直线 对称；三次函数是奇次多项式，两端走向相反，图象不可能关于竖直直线对称，这条路走不通。于是只能是 ，即 ，说明曲线关于点 中心对称。 【关键】由中心横坐标得 ，即 。逐项判断：A 项如果成立，要求 ，也就是 ；但由 知这需要 恒等于 ，不可能，A 错。B 项 ，对。C 项 ，对。D 项 ，对。选 BCD。 【易错】D 项用的正是中心对称的两倍形式：横坐标关于中心对称的两点，函数值之和等于中心纵坐标的两倍。这里 与 关于 对称，所以和是 。另外 B 项容易看错成「」，其实条件只保证 ，真正为零的是 。 【答案】BCD 变式1-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 当且仅当 C. 当时， D. 若，则 【切入点】先把三条基本信息钉死。 的零点是 ，故 取极大值 、 取极小值 ；二次项系数为零，对称中心是 。 【关键】A 项， 有两个不同实根，所以有两个极值点，对。B 项，把 分解到底：。因为 恒不小于零， 等价于 且 ，也就是 ，对。C 项， 时 ， 在 上递增；而 ，且 时 、，两个自变量都落在递增区间内，所以 ，对。 【关键】D 项要举反例。 关于 中心对称，只说明「横坐标互为相反数」时函数值之和为 ，反过来不成立。取 、：，，和为 ，但 。D 错。选 ABC。 【易错】D 项是这一类题最常见的失分点：把「中心对称」当成了「单调」。图象有极大值和极小值，说明它不是单调的，同一个函数值可以在两个不同的横坐标处取到。只有当所给两点确定落在对称的两条单调支上时（例如一个不小于 、一个不大于 ），「函数值之和」才能反推出「横坐标之和」。 【答案】ABC 变式1-4（单选·★★★☆☆） 已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【切入点】解集是一条左半轴 ，说明直线 恰好把曲线「兜住」：它在某一处与曲线相切，切点就是极大值点，而 就是那个极大值。 【关键】，故 取极大值 ， 取极小值 。 【关键】取 看解集的形状：。因为 恒不小于零， 等价于 ，解集恰为 。与题设的 对照，端点 就是 ，故 。选 D。 【易错】不要看到「解集端点是 」就去解 。 时确实有 ，但这条方程还有 、 两个根，它只是必要条件，单凭它定不出 。可靠的路径只有一条：先求出极大值，再看这条水平截线把曲线切在哪里。 【答案】D 例2（解答·★★★★☆） 已知函数的图象为曲线，曲线关于点中心对称.（1）求点的坐标；（2）求不等式的解集. 【切入点】题目已经点明图象关于点 中心对称，只须把 求出来。办法是让展开式里的二次项消失：把横坐标平移 ，得到的式子若关于新变量是奇函数（最多再差一个常数），原曲线就关于 中心对称。 【关键】取 ，代入整理得。二次项确实不见了，剩下的 是奇函数，所以在新坐标系里对称中心是 ，换回原来的坐标就是 。 【关键】把不等式也搬到新坐标系里。 即，也就是 。括号里恒为正，所以只要 ，即 ，解集为 。 【易错】解不等式时不要把 直接当成 去因式分解，系数虽小却是判断括号内符号的依据。另外这一步之所以能一步到底，正是因为平移之后式子变成奇函数、符号规律变得简单 ——先平移再解不等式，比在原坐标系里硬解三次不等式省力得多。 【答案】①；② 二、极值、最值与含参单调性 三次函数的升降由它的导数决定，而三次函数的导数是一个二次函数 ——这一层对应关系是三次函数最好用的地方：二次函数的图象与判别式是现成的工具，直接搬过来就能给三次函数的形状分类。 设 ，则 ，判别式 。因为 ， 是真正的二次式，它开口的方向与 一致。三种情形： 时 有两个不同零点， 有一个极大值点和一个极小值点； 时 的零点只有一个（二重）， 恒不小于零，函数自始至终递增（ 时递减），没有极值点，曲线在那一处只是「顿一下」； 时 恒正（或恒负），函数严格单调，更没有极值点。 由此得到一条常用的判据：三次函数是否「有转折」，只看 的符号，与 无关，与 也只有通过这个组合才有关。换句话说，上下平移整条曲线不改变它的形状，左右平移也不改变，真正决定形状的只有三个数 、、 的这个组合。 再看极值点与对称中心的关系。两个极值点是 的两个根，由二次式的根与系数关系，它们的和是 ——正好是对称中心横坐标的两倍。极值点永远关于对称中心等距分布，这条关系在含参问题里经常能省掉一次求导。 含参的区间最值问题另有一套判据，核心是一句区别对待：闭区间上连续函数一定有最大值和最小值；而开区间上不一定。一个三次函数要在给定开区间上有最大值，必须让它的极大值点落在这个开区间内 —— 否则函数在区间上要么单调，要么极值点在区间外，最值只能在端点附近取得，而端点是取不到的。 但「极大值点落在区间内」只是必要条件，不是充分条件。如果函数的另一个极值点也落在区间内、或者区间足够长以致函数在越过极小值之后又重新上升，那么在靠近右端点的地方函数的取值可能超过极大值，这时最大值又变成取不到的。所以完整的检验是两步：先让极值点落在区间内，再把极大值与两端点附近的函数值比一遍。指数函数、对数函数一类的含参最值问题也是同一套逻辑，区别只在于三次函数在无穷远处的走向写得更直白。 例3（解答·★★★★☆） 已知函数在及处取得极值．（1）求a，b的值；（2）若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【切入点】「在 及 处取得极值」等价于 与 是方程 的两个根。 是二次式，两个根的分工写得很清楚：它们的和是 ，积是 。 【关键】由两根之和 得 ；由两根之积 得 ，所以 ，。此时 ，，两个驻点确实是 与 ，与题设相符。 【关键】求两个极值： 是极大值， 是极小值。方程 有三个不同的实根，等价于两个极值异号，即 ，解得 ，即 。 【易错】两端都不能取。 时极小值恰好为零，曲线与 轴相切，方程只有一个二重根与一个单根，不同实根只有两个； 时同理。另外求 时要注意通分：，符号算错就会把区间端点弄反。 【答案】①，；② 变式3-1（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上有最小值，则正整数的值有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【切入点】，两根为 。 为正整数时 ，两根一负一正： 取极大值， 取极小值。 【关键】要有最小值，极小值点必须先落在 内：由 得 ，即 。所以 只可能是 或 ，再到具体的函数里去比较。 【关键】 时 ，极小值点 ，极小值 ；而 ，比极小值还小，说明左端附近的值更小、且端点取不到，区间内没有最小值，排除。 时 ，极小值约为 ，而 、，两端都不低于极小值，最小值可以取到。 【关键】符合条件的正整数只有 一个。选 A。 【易错】本题与「有最大值」那一类是同一模板的正反面，只是要比较的那一端反了过来，因为函数的走向决定了「可能反超的方向」。判断该比哪一端，办法是把单调性写清楚：在极小值点左侧函数是下降的，所以只有左端附近存在反超的可能。 【答案】A 变式3-2（单选·★★★☆☆） 设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】。「在 内存在极值点」等价于方程 在这个区间内有根，并且根的两侧导数变号。 【关键】把参数分离出来： 即 。记 ，。，在 时恒正，所以 在 上严格递增，值域为 。 【关键】再看根是否真的落在区间内、且真的取到极值。方程两根之积为 、之和为 ，当 时两根同为正，其中一个落在 内，另一个等于 ，落在 内，在区间之外。所以区间内恰好有一个驻点，且它两侧导数由正变负，确实取到极大值。选 B。 【易错】端点不能取： 时根为 ， 时根为 ，都落在区间边界上，不属于「内」。另一处要留意的是「存在极值点」不只要求有根，还要求根两侧变号 ——本题两根一正一负早已排除了重根，但换成别的式子就要补上这一句。 【答案】B 例4（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【切入点】先把导数因式分解。，判别式是 ，两根为 ，即 与 。 为正整数时 ，故 取极大值、 取极小值。 【关键】要在开区间 上有最大值，首先得让极大值点落进区间：由 得 。否则函数在这个区间上要么单调，要么极大值点在区间外，最值只能在端点附近取到，而端点是取不到的。 【关键】只有这一条还不够。当 （即 ）时，函数越过极小值之后在 上重新上升，右端附近的值可能反超极大值。把两个值算出来比较：，。两者相减得 ，故须 。 【关键】于是 ，正整数 取 ，共 个。选 C。 【易错】只算出 会得到 个，正好落在选项 D 上，这正是本题设的坑。开区间上的最值问题，要把端点邻域的值一并比一遍才算完。这一比较在 时自然成立（此时极小值点已在区间外，函数在右端一路下降），所以统一用一个不等式 就能概括全部情形。 【答案】C 变式4-1（多选·★★★☆☆） 已知函数的极大值点和极小值点分别记为和，过点，分别作x轴的平行线交的图象于点C，A，过点M，N构造矩形，如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点M为线段CD的三等分点 C. 当时，四边形ABCD为正方形 D. 当时，四边形为菱形 【切入点】先把极值点定下来。， 时两根为 与 ；再看二阶导 ， 处导数为负，取极大值， 处导数为正，取极小值。故 、。 【关键】A 项，，对。两个极值为 ，。 【关键】求 、 两点。水平线 与曲线除切点 之外还交于 ：解 ，左边因式分解为 ，故 。同理水平线 与曲线交于 。于是矩形的宽为 、高为 。 【关键】B 项， 在边 上（ 在左、 在右）。，而 ，所以 是把 分成 的分点，不是三等分点，B 错。C 项， 时宽为 、高为 ，四边形 是正方形，对。 【关键】D 项， 时四个点为 、、、。两组对边分别平行（ 与 都是 ），所以是平行四边形；但邻边 、 不相等，所以不是菱形，D 错。选 AC。 【易错】B 项的分点位置要按图上字母的先后顺序去数： 在左、 在右， 靠 比较近，比例是 而不是 。判断四边形形状时，把四个点的坐标全部写出来再算边长，比盯着图看可靠得多。 【答案】AC 变式4-2（多选·★★★☆☆） 已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 为定值 【切入点】。有两个极值点，说明 有两个不同实根，故 ，即 。A 项说 可能是负数，错。 【关键】两根为 。 里没有一次项，两根之和为 ，即 ，B 对。 【关键】，，所以点 处的切线为 ，即 ，C 对。 【关键】D 项，。由 得 、，故这个和为 ，与 的具体取值无关，是定值，D 对。选 BCD。 【易错】D 项的关键不是「两个极值相加」这个结构，而是两根互为相反数 ——一旦 里没有一次项，两根之和就是 ，三次项的立方和随之抵消。A 项则容易被「有两个极值点」这句话带偏：极值点的存在性由 的判别式决定，在这里就是 的符号。 【答案】BCD 三、零点个数与含参讨论 三次函数的零点个数，是它所有性质里考得最密的一个。好在判据非常干脆，只要把导数那一层的结论搬过来就行。 设 ，（ 时把图象上下翻折，极值的名称互换即可）。，判别式 。 时函数严格递增，曲线与 轴恰好一个交点，也就是说恰有一个零点。 时 有一个极大值点和一个极小值点，把这四个字用起来：记极大值为 、极小值为 。因为曲线先升后降再升，它在「升到顶」之前只会穿过 轴一次，在「降到谷」之后也只会穿过一次。于是：极小值为正，或者极大值为负，曲线只能穿过 轴一次，零点一个；两个极值一正一负，曲线要穿过 轴三次，零点三个；某个极值恰好为零，曲线在那里与 轴相切，零点恰有两个。这三种情形覆盖了全部可能，没有例外。 换一个角度看同一件事：把方程 里的常数项单独挪到一边，写成 的形状，零点个数就是水平直线 与曲线 的交点个数。这条水平线上下移动时，交点个数从 变到 再变到 ，分界点正是两个极值 —— 这就是上面那三条判据的图象版本。两种说法是一个意思，做题时看哪种顺手用哪种。 含参数的零点问题，标准套路只有两步：先把导数求出来、把两个极值（含参数）写出来，再让参数去和极值比大小。这里有一个很实用的观念：参数往往不必解出确切的值，只要定位它落在哪个区间就够了。例如条件给出的是一个超越方程，解不出闭式解，但只要能断定这个参数落在某个区间内，就足以判断两个极值的符号，零点个数随之确定。含参零点题的答案常常是一个范围，而不是一个数，原因就在这里。 最后单独记一句「恰有两个零点」：它只有一种成因，就是曲线与 轴相切，也就是某个极值恰好为零。这一点与「三个零点需要两极值异号」形成对照，两个零点反而是三种情形里最特殊的一种，不能与另外两种混在一起记。 例5（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 存在，使得在上是单调函数 B. 若有三个不同的零点，则 C. 当 时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D. 若 恰有个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 【切入点】，两个驻点是 与 。再看 ： 处 ，取极大值； 处 ，取极小值。两个极值分别是 与 。 【关键】A 项， 的判别式是 ，与 无关，恒有两个不同实根，所以 在 上永远不是单调函数，A 错。B 项，三个不同零点当且仅当两个极值异号： 且 ，解得 ，B 对。 【关键】C 项， 时 。设过原点的切线的切点为 ，切点方程是 ，即 ，整理得 ，只有 一个实根，过原点的切线恰有一条，C 对。 【关键】D 项， 说的是内层的 取到了某个零点 ，而 的三个零点分别给出方程 。方程 有三个不同实根，当且仅当 。所以九个不同实根等价于三个不等式 同时严格成立。把 换成 ：若 是 的根，则 是 的根，并且 ，每个不等式都原封不动。可行的 与 同进同出，取值范围关于原点对称，D 对。选 BCD。 【易错】D 项不要去解 的具体范围 —— 端点要解三次方程，没有必要。只需抓住「根集在 变号时整体反号」这一点即可判定对称。另外「九个不同实根」要求三个不等式同时严格成立，只要有一个取到等号，对应的那支方程就退化成两个根，总数立刻掉下来。 【答案】BCD 变式5-1（单选·★★★☆☆） 若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【切入点】三次函数「有且仅有两个零点」，意思是有两个不同的零点、其中一个还是二重零点 ——几何上就是曲线的某一个极值恰好落在 轴上。 【关键】。要有两个极值点，必须有 ，此时 的两根是 ，其中 。把 代进极值表达式：，。 【关键】恰好两个零点，当且仅当这两者中有一个为零，即 ，两边平方得 ，其中 。 【关键】记 ，则 ，。设 ，，零点为 ； 在 上递减、在 上递增，故最小值 。选 B。 【易错】 这个前提是整道题的入口： 时 ， 单调，根本不可能有两个零点。另外 是两个条件 合并来的，合并之后 的符号信息丢了，但求 的下界只用得到 ，正好够用。 【答案】B 变式5-2（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 当时， C. 过点仅可以作两条直线与的图象相切 D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 【切入点】先试根： 时 ，所以有因式 。相除得 ，于是 。这个分解式是后面四个选项共同的基础。 【关键】A 项，零点为 （二重）与 ，不同的零点有两个，A 对。 【关键】B 项，取 试一下：，而 时 ，比 还小，与 B 说的相反，B 错。 【关键】C 项，设切点为 ，切线 过点 ，得 。，。令它等于 ，整理得 ，分解为 ，切点方程有两个不同的实根 与 ，对应的斜率分别是 与 ，是两条不同的切线，C 对。 【关键】D 项，， 在 上递增、 上递减、 上递增，所以 处取到整个定义域上的最大值 。区间 是开区间、长度为 ，只有当峰值点 落在区间内部时最大值才取得到，条件为 ，即 ，D 对。选 ACD。 【易错】D 项的关键在「区间是开的」：端点的函数值取不到，若峰值点落在区间外，区间上就只有上确界而没有最大值，这一点与端点值本身的大小无关。C 项算出来的 满足 ，二重根只算一个切点，数切线条数时按不同的切点计，不要按方程的次数计。 【答案】ACD 变式5-3（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 在处的切线方程为 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 【切入点】，。先把两个驻点 、 和导数在各段的符号确定下来，四个选项都要用。 【关键】A 项，，，切线为 ，即 ，A 对。 【关键】B 项，由 的符号： 时 ， 时 ， 时 。所以 是极大值点、 是极小值点，B 把两者说反了，B 错。 【关键】C 项， 在 上递增，所以 上的取值范围里包含 ，并不是 ，C 错。 与 只是两个端点值，区间内部有更大的取值。 【关键】D 项，把两处直接展开相加：，再加上 ，三次项与二次项分别抵消，只剩常数 ，D 对。选 AD。 【易错】C 项不能只看两个端点就写下取值范围 ——端点之间可能藏着比两端更大或更小的值，必须先把单调性看清。D 项这种「 恒等于同一个数」的式子，本质就是图象关于点 中心对称，其中的常数 就是那个数的一半。算的时候老实展开合并，比凭印象套要稳。 【答案】AD 变式5-4（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的极大值为2 C. 有两个零点 D. 的图象关于原点对称 【切入点】 是最基本的三次函数：，并且它本身是奇函数。四个选项都可以直接算。 【关键】A 项， 时 ，故 ， 在 上单调递增，A 对。B 项， 处导数由正变负，是极大值点，极大值 ，B 对。 【关键】C 项，把 分解到底：，零点是 与 ，一共三个而不是两个，C 错。 【关键】D 项，，所以它是奇函数，图象关于原点对称，D 对。选 ABD。 【易错】C 项的错误来自把极值和零点混为一谈：两个极值 异号只能推出「有三个零点」，推不出「只有两个」。另外提公因式 之后不要停在 ，平方差还能继续分解，分解到底才能数清零点。 【答案】ABD 例6（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】先把 的取值范围定下来。 在 上严格递增，且 、，所以 。这个方程解不出具体的数，也不需要解出来，只要能断定 就够用。 【关键】。于是 在 上递增、在 上递减、在 上递增。 是极大值点，极大值 ； 是极小值点，极小值 。 【关键】由 得 、，两个极值一正一负。再配上看两端的走向： 时 ， 时 。于是三支单调区间各穿过 轴一次 ——第一支从 升到正数，第二支从正数降到负数，第三支从负数升到 ，恰好三个零点。选 D。 【易错】不要试图把 解出来，它的根不是有理数；这类「先定范围再判零点」的题， 只需要落在一个使极值符号确定的区间里。另一个常见疏漏是只看出极大值为正就下结论 ——还要配合两端无界的走向，才能说明每个单调区间都恰好穿一次。 【答案】D 四、过点作切线的条数与切点范围 过一点作三次曲线的切线，问有几条 —— 这一类题的坑几乎全在同一个地方：把题目给的定点当成了切点。定点是切线经过的点，切点是切线与曲线相切的点，两者在一般情况下不是同一个点。只要把这两者分开，题目就变成一道纯代数题。 做法是设切点。设切点横坐标为 ，则切点为 ，切线斜率为 ，切线方程是 。定点 在这条切线上，代入得 。把 代进去整理，得到一条关于 的三次方程： 这条方程就是整类题的枢纽：它的每一个实根对应一个切点，也就对应一条切线。于是「过定点能作几条切线」被完整地翻译成「这条三次方程有几个实根」，而数三次方程的实根正是上一节刚讲过的工具。两节连起来看，切线条数问题并不是新东西，只是零点个数问题换了一身衣服。 定点落在曲线上时有一个方便的化简：此时 必定是方程的一个根，因为定点本身就是切点。把 这个因式先提出来，剩下的是一条二次方程，用判别式就能判断还有几个切点。所以「定点在曲线上」的情形总是比较简单，真正的分界出现在定点离开曲线之后。 以最简单的曲线 与 轴上的定点 为例，切点方程退化为 。定点离对称中心越远，实根越多：定点落在曲线的两支之间时只有一个实根，只有一条切线；定点恰好落在曲线上时有两个实根，两条切线；定点再往外走，三个实根，三条切线。这条变化的线索值得记住，它是判断这类题结论的基准。 最后提一句易错处：切线条数与切点个数一一对应，但方程的重根只算一个切点。方程出现二重根时，对应的切线仍然只有一条，不要因为「解出两个 」就数成两条。另外，题目若给的是「切线斜率为某值」一类的条件，设出切点后先用斜率定出 的可能值，再把 代回切线方程与题设对照，缺了后一步就会把平行误当成重合。 例7（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. ，是增函数 B. ，是奇函数 C. 若有三个不同的零点，，，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 【切入点】， 是开口向上的二次式，判别式为 。凡遇到「过某点作切线」的选项，一律先写出切点方程，再看它有几个根。 【关键】A 项，要让 对一切 成立，只需判别式不大于零：，即 。取 ，，且只在 一处等于零，所以 在 上严格递增。这样的 确实存在，A 对。 【关键】B 项， 的二次项系数为 ，是二次项 ——奇函数的展开式里不可能出现偶次项，所以无论 取什么值， 都不可能是奇函数，B 错。 【关键】C 项，设三个零点为 、、。曲线的对称中心横坐标是 ，把横坐标平移 之后三次项变成奇函数，三个零点关于 对称分布，所以 ，C 对。 【关键】D 项，设过点 的切线的切点为 ，则 。展开 。记 ，方程化为 。， 在 处取极大值 ，在 处取极小值 。方程 恰有三个不同实根，当且仅当 严格落在 与 之间，即 ，D 对。选 ACD。 【易错】D 项的核心是把 单独留在一边、另一边整理成三次函数，切线条数就等于这个方程的实根个数； 落在极值之间是「三根」的位置条件，取到端点就退化成两根。C 项不要拿二次方程的根与系数关系去类比 ——三次的对称性是「图象关于中心对称」，把中心横坐标乘 就是三根之和，这一点与零点具体是什么无关。 【答案】ACD 变式7-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有3个零点 B. 的图象关于点对称 C. 既有极大值又有极小值 D. 经过点且与的图象相切的直线有2条 【切入点】先分解：。分解式一写出来，零点与对称中心都能立刻读出。 【关键】A 项，零点是 、、，一共三个，A 对。 B 项，对称中心的横坐标是 ，纵坐标 ，所以中心是 ，不是 ，B 错。 【关键】C 项，，判别式 ，有两个不同实根， 在这两点两侧先后变号，所以 在 上先增后减再增，极大值与极小值都存在，C 对。 【关键】D 项，设切点为 ，切线过 ，即 。算出 ，作差得 。令它为零并分解：，切点方程有两个不同的实根 与 ，对应两条不同的切线，D 对。选 ACD。 【易错】B 项的纵坐标必须老老实实把 代进原式去算，不能凭 这一项去猜倍数关系。D 项算出 时不要数成两个切点 ——同一个切点只给出一条切线，所以答案是 条而不是 条。另外点 本身就在曲线上（），它给出的那条是「在点处」的切线，另一条要另外去解。 【答案】ACD 变式7-2（填空·★★★★☆） 函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则 = ________. 【切入点】，。 说的是两处切线的斜率相等：，即 。、 是两个不同的点，，所以只能 。记 。 【关键】两条切线的公共斜率 。 的方程是 。过 作 轴的平行线即直线 ，它与 的交点 的纵坐标为 。 【关键】 的纵坐标是 ，于是 。代入 ，得。 【关键】又 ，所以 。两式相除得 ，与 、 以及切点的位置都无关。填 。 【易错】由 只能得到 ，必须说明 （否则是同一个点）才能取相反数。另外 是 上的点而不是曲线上的点，算 时用的是切线方程；由于 、 横坐标相同， 就是两纵坐标之差的绝对值，不必再开方。 【答案】 变式7-3（单选·★★☆☆☆） 已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为的切线，则这两条切线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【切入点】点 在曲线 上，代入得 ，曲线为 。 【关键】设切点横坐标为 ，该点处切线的斜率为 在 处的值，即 。令 ，得 ，两个切点是 与 。 【关键】两条切线斜率都是 ，各写一条：过 的是 ，即 ；过 的是 ，即 。 【关键】两条平行线 与 之间的距离为。选 D。 【易错】「两条切线间的距离」指的是两条平行直线之间的距离，用常数项之差的绝对值除以法向量的模，不是两个切点之间的距离。另外 是由「 在曲线上」得到的，这一步漏掉就会把曲线写成 ，两条切线的间距随之翻三倍。 【答案】D 变式7-4（单选·★★☆☆☆） 若直线是曲线的一条切线，则切点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【切入点】切点在曲线上，切线斜率就是切点处的导数值。设切点横坐标为 ，，令 ，得 ，即 。 【关键】 时 ，而直线 在 处的值是 ，点 确实在直线上，可以作为切点。 【关键】 时 ，而直线 在 处的值是 ，点 不在直线上，舍去。 【关键】所以切点是 ，纵坐标为 。选 B。 【易错】 只说明这两处的切线斜率都等于 ，并不意味着两条都是题中给的这条直线；还要把切点坐标代回 验一遍，落在直线上的才是真切点。只凭斜率相等就作答，会误选 D（把两个纵坐标都算上）。 【答案】B 例8（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 有3个零点 B. 过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C. 与交点的横坐标之和为0 D. 在区间上的取值范围是 【切入点】。先试根： 时 ，所以有因式 。相除得 ，于是 。 【关键】A 项，零点为 （二重）与 ，不同的零点只有两个，A 错。 【关键】B 项，设切点为 ，切线过原点即 。，。令它为零得 ，只有 一个实根，所以过原点的切线有且仅有一条，B 对。 【关键】C 项，联立得 ，常数项消掉，整理为 ，即 。这个方程的左端是关于 的奇式，若 是根则 也是根，所有根的横坐标两两配对、和为 ，所以交点的横坐标之和恒为 ，与 无关，C 对。这一条能成立的原因藏在几何里：直线 恒过点 ，而那正是曲线的对称中心。 【关键】D 项，先看端点：，。但还要看区间内部： 落在 内且 ，所以 是取得到的； 处 是最小值。故区间上的取值范围是 ，两端都取得到，题里写成 少了一个端点，D 错。选 BC。 【易错】A 项里 是二重零点，曲线在这个点上与 轴相切，零点个数要按不同的点来数。D 项是最容易掉进去的坑：只把两个端点代进去就写下取值范围，忘了检查区间内部有没有别的取值 ——算带端点区间上的取值范围，必须把区间内的极值点和零点一并代一遍。 【答案】BC 学科网（北京）股份有限公司 $ 三次函数专题 函数与导数 · 专题篇 一、对称中心与图象的基本形状 三次函数的图象只由两件事决定：一个点是它的对称中心，一条曲线是它的升降路径。先把这个点定下来，后面所有关于极值、零点、切线的讨论都能省一半力气。 设 ，其中 。把横坐标整体平移 ，也就是令 ，代入后展开： 的系数恰好是 ，二次项被消掉了。于是 ，只剩下三次项、一次项和一个常数。 其中的 是奇函数，它的图象关于原点中心对称； 只是一个常数，相当于把整个图象上下挪。把常数也平掉，剩下的部分关于原点对称，平移回去就说明：三次函数的图象关于点 中心对称。这个点叫做图象的对称中心，它的横坐标只与 、 有关，与 、 无关。 对称中心一旦定下来，有两件事立刻变得好用。第一件是配点：图象上任意一对关于中心对称的点，横坐标之和恒等于 ，纵坐标之和恒等于中心纵坐标的两倍。第二件是求和：若三个横坐标关于中心等距分布，例如三个零点，它们的和就等于中心横坐标的三倍 —— 这正是三次方程三个根之和的来历，用「平移成奇函数」一句话就能说清，不必去背根与系数的关系。 对称中心还给出了图象的整体形状：曲线以一个点为中心，所以左右两半的升降方式完全一样，只有上下颠倒。这直接解释了一个现象 —— 极大值与极小值必定关于中心对称分布，它们的横坐标之和等于中心横坐标的两倍，纵坐标之和等于中心纵坐标的两倍。 最后要留一个反方向的警惕。由「横坐标之和等于 」可以推出「两个函数值之和等于中心纵坐标的两倍」，但反过来不成立。原因是三次函数在 上并不单调：它有极大值和极小值，同一个函数值可以在两个不同的横坐标处取到，一个在上升段、一个在下降段。所以看到 等于一个特定值时，不能直接断定 是多少，还要看 、 各自落在哪一条单调支上。只有确认两点位于对称的两支（例如一个不小于极大值点、一个不大于极小值点），这一步推断才靠得住。 例1（单选·★★★☆☆） 设函数，若，则 = （ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知实数，为方程的两个根，则 = （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 变式1-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 变式1-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 当且仅当 C. 当时， D. 若，则 变式1-4（单选·★★★☆☆） 已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 例2（解答·★★★★☆） 已知函数的图象为曲线，曲线关于点中心对称.（1）求点的坐标；（2）求不等式的解集. 二、极值、最值与含参单调性 三次函数的升降由它的导数决定，而三次函数的导数是一个二次函数 ——这一层对应关系是三次函数最好用的地方：二次函数的图象与判别式是现成的工具，直接搬过来就能给三次函数的形状分类。 设 ，则 ，判别式 。因为 ， 是真正的二次式，它开口的方向与 一致。三种情形： 时 有两个不同零点， 有一个极大值点和一个极小值点； 时 的零点只有一个（二重）， 恒不小于零，函数自始至终递增（ 时递减），没有极值点，曲线在那一处只是「顿一下」； 时 恒正（或恒负），函数严格单调，更没有极值点。 由此得到一条常用的判据：三次函数是否「有转折」，只看 的符号，与 无关，与 也只有通过这个组合才有关。换句话说，上下平移整条曲线不改变它的形状，左右平移也不改变，真正决定形状的只有三个数 、、 的这个组合。 再看极值点与对称中心的关系。两个极值点是 的两个根，由二次式的根与系数关系，它们的和是 ——正好是对称中心横坐标的两倍。极值点永远关于对称中心等距分布，这条关系在含参问题里经常能省掉一次求导。 含参的区间最值问题另有一套判据，核心是一句区别对待：闭区间上连续函数一定有最大值和最小值；而开区间上不一定。一个三次函数要在给定开区间上有最大值，必须让它的极大值点落在这个开区间内 —— 否则函数在区间上要么单调，要么极值点在区间外，最值只能在端点附近取得，而端点是取不到的。 但「极大值点落在区间内」只是必要条件，不是充分条件。如果函数的另一个极值点也落在区间内、或者区间足够长以致函数在越过极小值之后又重新上升，那么在靠近右端点的地方函数的取值可能超过极大值，这时最大值又变成取不到的。所以完整的检验是两步：先让极值点落在区间内，再把极大值与两端点附近的函数值比一遍。指数函数、对数函数一类的含参最值问题也是同一套逻辑，区别只在于三次函数在无穷远处的走向写得更直白。 例3（解答·★★★★☆） 已知函数在及处取得极值．（1）求a，b的值；（2）若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 变式3-1（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上有最小值，则正整数的值有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 变式3-2（单选·★★★☆☆） 设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例4（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 变式4-1（多选·★★★☆☆） 已知函数的极大值点和极小值点分别记为和，过点，分别作x轴的平行线交的图象于点C，A，过点M，N构造矩形，如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点M为线段CD的三等分点 C. 当时，四边形ABCD为正方形 D. 当时，四边形为菱形 变式4-2（多选·★★★☆☆） 已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 为定值 三、零点个数与含参讨论 三次函数的零点个数，是它所有性质里考得最密的一个。好在判据非常干脆，只要把导数那一层的结论搬过来就行。 设 ，（ 时把图象上下翻折，极值的名称互换即可）。，判别式 。 时函数严格递增，曲线与 轴恰好一个交点，也就是说恰有一个零点。 时 有一个极大值点和一个极小值点，把这四个字用起来：记极大值为 、极小值为 。因为曲线先升后降再升，它在「升到顶」之前只会穿过 轴一次，在「降到谷」之后也只会穿过一次。于是：极小值为正，或者极大值为负，曲线只能穿过 轴一次，零点一个；两个极值一正一负，曲线要穿过 轴三次，零点三个；某个极值恰好为零，曲线在那里与 轴相切，零点恰有两个。这三种情形覆盖了全部可能，没有例外。 换一个角度看同一件事：把方程 里的常数项单独挪到一边，写成 的形状，零点个数就是水平直线 与曲线 的交点个数。这条水平线上下移动时，交点个数从 变到 再变到 ，分界点正是两个极值 —— 这就是上面那三条判据的图象版本。两种说法是一个意思，做题时看哪种顺手用哪种。 含参数的零点问题，标准套路只有两步：先把导数求出来、把两个极值（含参数）写出来，再让参数去和极值比大小。这里有一个很实用的观念：参数往往不必解出确切的值，只要定位它落在哪个区间就够了。例如条件给出的是一个超越方程，解不出闭式解，但只要能断定这个参数落在某个区间内，就足以判断两个极值的符号，零点个数随之确定。含参零点题的答案常常是一个范围，而不是一个数，原因就在这里。 最后单独记一句「恰有两个零点」：它只有一种成因，就是曲线与 轴相切，也就是某个极值恰好为零。这一点与「三个零点需要两极值异号」形成对照，两个零点反而是三种情形里最特殊的一种，不能与另外两种混在一起记。 例5（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 存在，使得在上是单调函数 B. 若有三个不同的零点，则 C. 当 时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D. 若 恰有个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 变式5-1（单选·★★★☆☆） 若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 变式5-2（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 当时， C. 过点仅可以作两条直线与的图象相切 D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 变式5-3（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 在处的切线方程为 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 变式5-4（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的极大值为2 C. 有两个零点 D. 的图象关于原点对称 例6（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 四、过点作切线的条数与切点范围 过一点作三次曲线的切线，问有几条 —— 这一类题的坑几乎全在同一个地方：把题目给的定点当成了切点。定点是切线经过的点，切点是切线与曲线相切的点，两者在一般情况下不是同一个点。只要把这两者分开，题目就变成一道纯代数题。 做法是设切点。设切点横坐标为 ，则切点为 ，切线斜率为 ，切线方程是 。定点 在这条切线上，代入得 。把 代进去整理，得到一条关于 的三次方程： 这条方程就是整类题的枢纽：它的每一个实根对应一个切点，也就对应一条切线。于是「过定点能作几条切线」被完整地翻译成「这条三次方程有几个实根」，而数三次方程的实根正是上一节刚讲过的工具。两节连起来看，切线条数问题并不是新东西，只是零点个数问题换了一身衣服。 定点落在曲线上时有一个方便的化简：此时 必定是方程的一个根，因为定点本身就是切点。把 这个因式先提出来，剩下的是一条二次方程，用判别式就能判断还有几个切点。所以「定点在曲线上」的情形总是比较简单，真正的分界出现在定点离开曲线之后。 以最简单的曲线 与 轴上的定点 为例，切点方程退化为 。定点离对称中心越远，实根越多：定点落在曲线的两支之间时只有一个实根，只有一条切线；定点恰好落在曲线上时有两个实根，两条切线；定点再往外走，三个实根，三条切线。这条变化的线索值得记住，它是判断这类题结论的基准。 最后提一句易错处：切线条数与切点个数一一对应，但方程的重根只算一个切点。方程出现二重根时，对应的切线仍然只有一条，不要因为「解出两个 」就数成两条。另外，题目若给的是「切线斜率为某值」一类的条件，设出切点后先用斜率定出 的可能值，再把 代回切线方程与题设对照，缺了后一步就会把平行误当成重合。 例7（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. ，是增函数 B. ，是奇函数 C. 若有三个不同的零点，，，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 变式7-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有3个零点 B. 的图象关于点对称 C. 既有极大值又有极小值 D. 经过点且与的图象相切的直线有2条 变式7-2（填空·★★★★☆） 函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则 = ________. 变式7-3（单选·★★☆☆☆） 已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为的切线，则这两条切线间的距离为（ ） A. B. C. D. 变式7-4（单选·★★☆☆☆） 若直线是曲线的一条切线，则切点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 或 例8（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. 有3个零点 B. 过原点作曲线的切线，有且仅有一条 C. 与交点的横坐标之和为0 D. 在区间上的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $