专题08 一元二次不等式中的恒成立问题三类综合题型（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第一册

专题08 一元二次不等式中的恒成立与有解问题三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 题型二、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型三、一元二次不等式在某区间上的有解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次不等式的恒成立与有解问题是高中不等式板块的综合压轴题型，所有题型均围绕函数最值、参变分离、定义域区间、二次图像、命题翻译五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是优先区分恒成立和有解的逻辑差异，不可混淆；二是讨论二次项系数，兼顾一次函数的特殊情形；三是恒成立转化为最值满足不等关系，有解转化为最值存在满足条件；四是参变分离注意不等号方向与分母正负；五是求出参数范围后带回原题检验区间端点是否可取 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 典例1-1 是命题：，为真的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 典例1-2若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为__________. 题型模版 1.特征：不等式对所有实数 x都成立，不管 x 取任何实数，不等式永远满足；式子带有参数，要求求出参数取值范围。 要特别注意：式子有可能根本不是二次不等式（二次项系数等于 0 的一次或常数情况），必须优先讨论 2.方法：（1）优先分类：判断二次项系数是不是 0。 ①如果系数是 0，式子变成常数不等式，检验这个常数不等式是否永远成立。 ②如果系数不是 0，就是二次函数，借助二次函数图像判断。 （2）二次函数情况： ①不等式大于 0 恒成立：抛物线开口向上，图像全程在 x 轴上方，函数和 x 轴没有交点。 ②不等式小于 0 恒成立：抛物线开口向下，图像全程在 x 轴下方，函数和 x 轴没有交点。 （3）综合两类情况，合并得到参数范围 变式1-1若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 变式1-2(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 变式1-3对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______ 变式1-4设函数 (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)若，在上恒成立，求实数的取值范围. 题型二、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 典例2-1 “”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 典例2-2 不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是__________. 题型模版 1.特征：给出不等式不需要对全部实数成立，只要求在给定一段区间内，所有 x 都满足不等式；式子含参数，求参数范围. 2.方法：（1）先转化为函数最值（最通用） 构造对应的二次函数。恒成立的含义：在这个区间上，函数的最值都满足不等式。大于型就保证区间最小值大于要求值；小于型就保证区间最大值小于要求值。 求区间最值时，要对比对称轴和给定区间的位置，分三类：对称轴在区间左边、区间内部、区间右边，判断在哪一点取到最值。 （2） 分离参数法 把参数单独放到不等式一侧，剩下含 x 的式子放另一侧。转化成参数大于函数最大值，或者参数小于函数最小值。注意做除法时，要判断式子正负，不等号方向会随之改变 变式2-1已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 变式2-3已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 变式2-4已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 题型三、一元二次不等式在某区间上的有解问题 典例3-1 （多选）已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 典例3-2设，命题：，使得不等式成立，若为真命题，求的取值范围. 题型模版 1.特征：题目不等式不需要区间内全部 x 都满足，只要在给定区间里，至少存在一个 x 使得不等式成立；式子含参数，求参数范围 2.方法：（1）转化为函数最值 构造对应的二次函数。有解的含义：在区间内，函数的最值有一处满足不等式。大于型，只要区间最大值大于目标值；小于型，只要区间最小值小于目标值。依旧要对比对称轴和区间位置，确定最值在哪里。 （2）分离参数法 把参数单独放在不等式一边，剩下含 x 的式子放另一边。转化为参数大于函数最小值，或者参数小于函数最大值。注意除以代数式时，判断正负，调整不等号方向 变式3-1已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 变式3-2若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为________． 变式3-3已知关于的不等式，其中. (1)解上述不等式； (2)当时，不等式有解，求的取值范围. 变式3-4设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．．“”是“在上恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 4．若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 5．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 6．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 7．不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是__________. 8．已知命题为真命题，则实数的取值范围是____________. 9．已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是________. 10．对于任意实数，不等式恒成立． （1）则的取值范围是___________． （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为___________． 11．不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 12．已知函数. (1)解关于的不等式； (2)若恒成立，求实数的取值范围； 13．（1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程在有解，求实数的取值范围. 14．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 15．已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元二次不等式中的恒成立与有解问题三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 题型二、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型三、一元二次不等式在某区间上的有解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次不等式的恒成立与有解问题是高中不等式板块的综合压轴题型，所有题型均围绕函数最值、参变分离、定义域区间、二次图像、命题翻译五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是优先区分恒成立和有解的逻辑差异，不可混淆；二是讨论二次项系数，兼顾一次函数的特殊情形；三是恒成立转化为最值满足不等关系，有解转化为最值存在满足条件；四是参变分离注意不等号方向与分母正负；五是求出参数范围后带回原题检验区间端点是否可取 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 典例1-1 是命题：，为真的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由命题求得的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断即可. 【详解】对于命题，当时，命题成立； 当时，有，解得， 即命题为真时， 故是为真的充分不必要条件. 故选：A. 典例1-2若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】解：当时，，满足题意， 当时，，即，解得：， 综上：. 故答案为： 题型模版 1.特征：不等式对所有实数 x都成立，不管 x 取任何实数，不等式永远满足；式子带有参数，要求求出参数取值范围。 要特别注意：式子有可能根本不是二次不等式（二次项系数等于 0 的一次或常数情况），必须优先讨论 2.方法：（1）优先分类：判断二次项系数是不是 0。 ①如果系数是 0，式子变成常数不等式，检验这个常数不等式是否永远成立。 ②如果系数不是 0，就是二次函数，借助二次函数图像判断。 （2）二次函数情况： ①不等式大于 0 恒成立：抛物线开口向上，图像全程在 x 轴上方，函数和 x 轴没有交点。 ②不等式小于 0 恒成立：抛物线开口向下，图像全程在 x 轴下方，函数和 x 轴没有交点。 （3）综合两类情况，合并得到参数范围 变式1-1若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集. 【详解】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 变式1-2(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合题设新定义，将原不等式转化为一个含参一元二次不等式在上恒成立的问题，实施参变分离，进而转化为求最值的问题，最后求解关于的一元二次不等式即可． 【详解】由定义知，不等式等价于， 所以对任意实数恒成立，即． 因为，所以，解得． 结合选项可知实数a可以为． 变式1-3对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】先将不等式看成的不等式，利用判别式法求得，再利用判别式法求解实数的取值范围即可. 【详解】由题意，对任意的实数，不等式恒成立， 所以其， 即，从而任意的实数，恒成立， 所以其，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 变式1-4设函数 (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)若，在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可知和1为方程的两根，方法一：代入联立方程组求解即可；方法二：由韦达定理列方程求解即可； （2）根据一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式计算求解即可. 【详解】（1）解法一（代入法）：因为不等式的解集为， 所以和1为方程的两根， 则有及， 解得，； 解法二（韦达定理）：因为不等式的解集为， 所以和1为方程的两根， 则，解得； （2）若，在上恒成立， 即在上恒成立， 故，  解得：.    故的取值范围为. 题型二、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 典例2-1 “”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 典例2-2 不等式，对于任意及恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先对不等式等价变形，通过换元法化双变量为单变量，再分离参数，结合基本不等式求最值计算即可. 【详解】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为 ， 因为，所以，又，则， 令，则不等式转化为，在上恒成立， 由，可得，即， 又，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值，故可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 题型模版 1.特征：给出不等式不需要对全部实数成立，只要求在给定一段区间内，所有 x 都满足不等式；式子含参数，求参数范围. 2.方法：（1）先转化为函数最值（最通用） 构造对应的二次函数。恒成立的含义：在这个区间上，函数的最值都满足不等式。大于型就保证区间最小值大于要求值；小于型就保证区间最大值小于要求值。 求区间最值时，要对比对称轴和给定区间的位置，分三类：对称轴在区间左边、区间内部、区间右边，判断在哪一点取到最值。 （2） 分离参数法 把参数单独放到不等式一侧，剩下含 x 的式子放另一侧。转化成参数大于函数最大值，或者参数小于函数最小值。注意做除法时，要判断式子正负，不等号方向会随之改变 变式2-1已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. 变式2-2已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合函数函数性质，得到函数的函数性质，由此建立等式得到的关系，然后借助基本不等式求出的最小值. 【详解】∵，∴在区间上单调递增， ∴当时，当时， 令， 要想关于x的不等式在区间上恒成立， 则当时，当时， ∴，则，即， ∴，当且仅当，即时取等号. 故选：B. 变式2-3已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到命题“”是真命题，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）解：因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 变式2-4已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 题型三、一元二次不等式在某区间上的有解问题 典例3-1 （多选）已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】AB 【分析】由，，可得：，求出函数的最大值即可. 【详解】由，， 可得：，设， 当时，， 当且仅当时取等，所以，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 典例3-2设，命题：，使得不等式成立，若为真命题，求的取值范围. 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论求解即可. 【详解】因为：，使得不等式成立为真命题， 当时，不等式化为，为假命题，不符合题意； 当时，函数开口向上， 则，使得不等式成立，为真命题，符合题意； 当时，需满足，解得. 综上所述，的取值范围为. 题型模版 1.特征：题目不等式不需要区间内全部 x 都满足，只要在给定区间里，至少存在一个 x 使得不等式成立；式子含参数，求参数范围 2.方法：（1）转化为函数最值 构造对应的二次函数。有解的含义：在区间内，函数的最值有一处满足不等式。大于型，只要区间最大值大于目标值；小于型，只要区间最小值小于目标值。依旧要对比对称轴和区间位置，确定最值在哪里。 （2）分离参数法 把参数单独放在不等式一边，剩下含 x 的式子放另一边。转化为参数大于函数最小值，或者参数小于函数最大值。注意除以代数式时，判断正负，调整不等号方向 变式3-1已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合二次函数图象性质可得答案 【详解】令， 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在上单调递减，且当趋向于时，趋向于， 由函数连续性可知，必存在，使得，故满足要求； 当时，不等式可化为，解得， 故存在使得不等式成立，满足要求； 当时，抛物线开口向上，需满足以下条件，，解得， 此时对称轴为， 所以在上，函数最小值为，满足要求， 即当时，存在，使得， 综上，实数的取值范围为. 变式3-2若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】将存在，使得不等式成立转化为存在，使得不等式成立，然后根据二次函数的单调性求最小值即可得到的范围. 【详解】因为存在，使得不等式成立， 所以存在，使得不等式成立， 令，因为对称轴为，所以当时，函数取得最小值为，所以． 故答案为：． 变式3-3已知关于的不等式，其中. (1)解上述不等式； (2)当时，不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见详解； (2)或 【分析】（1）由得，讨论参数的范围即可求解； （2）假设当时，不等式恒成立，则时，成立，求出参数范围即可求出原问题的结果． 【详解】（1）由得 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； （2）设 假设当时，不等式恒成立， 则时，成立 由得， 所以 当，即时，则在上单调递减， 所以，解得，又因为，所以无解； 当，即时，则在上单调递增， 所以，解得，又因为，所以； 所以当时，不等式有解，得或． 变式3-4设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由命题为真命题，求出实数的范围，即可求出命题为假命题时参数范围； （2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得，即得的取值范围. 【详解】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则抛物线开口向上，显然符合题意； 若即，需使，解得， 综上，或. 故命题：是假命题时，； （2）存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先讨论二次项系数是否为零，再结合二次函数的性质可解. 【详解】当时，不等式为，解集不为； 当时，不等式为恒成立，解集为； 当时，由二次函数的性质可得，解得， 综上的取值范围为. 故选：B. 2．．“”是“在上恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次不等式在上恒成立结合参变量分离法求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】根据题意，若在上恒成立， 所以，在上恒成立， 由“对勾函数”可知，函数在上单调递增， 所以，当时，，可得， 所以，在上恒成立“的充要条件是”“， 因为， 因此，“”是“在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. 4．若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，对、分类讨论的符号后可得的符号，从而得，最后结合基本不等式可求的最大值. 【详解】设， 若，则，而对恒成立， 故对恒成立即对恒成立， 而为开口向上的抛物线，故在不恒成立，故舍； 若，则当时，，故在上恒成立； 当时，，故在上恒成立； 而为开口向上的抛物线，故， 故，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 5．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 6．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：． 7．不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】讨论参数，结合不等式恒成立及对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当时，，显然在上不等式恒成立， 当时，在上恒成立，则，可得， 所以. 故答案为：． 8．已知命题为真命题，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由命题为真命题，即在上恒成立， 当时，不等式即为，显然不恒成立； 当时，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：． 9．已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是________. 【答案】 【分析】首先不等式转化为，再根据不等式的解集，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可列式求解. 【详解】， 当时，不成立，解集为空集， 当时，，解得， 综上可知，. 故答案为：． 10．对于任意实数，不等式恒成立． （1）则的取值范围是___________． （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】（1）分参数和两种情况，当时结合二次函数的性质判断即可； （2）采用主元变换法，将其看成的一次函数求解可得. 【详解】当时，不等式为恒成立； 当时，结合二次函数的性质可得，解得； 的取值范围是. 设， 因为，所以一次函数为递增函数， 则当时，， 解得， 所以的取值范围为. 故答案为：；． 11．不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，构造关于的函数，，通过函数两端点的函数值都小于即可求解. 【详解】根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可， 即，所以，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 12．已知函数. (1)解关于的不等式； (2)若恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）将原式化为，然后分类讨论，即可得到结果. （2）根据题意，应用判别式结合一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 当时，， ①当，解集， ②当，解集为或， ③当，解集为或. 综上所述， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或. （2）由题意可得对一切实数成立， 易知不符合题意； 当时，得. 所以实数a的取值范围为. 13．（1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程在有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由解集端点求出参数，即可进一步解不等式； （2）原命题等价于在恒成立，即. （3）对方程参变分离，则原命题等价于，有解，求等式右侧值域即可得范围. 【详解】（1）若不等式的解集为，即1，2是方程的两个根，则，即， 由得，即得，得或， 即不等式的解集为. （2）解：不等式在恒成立，即在恒成立， 故，解得，故的取值范围为. （3）解：由，得，即， 若方程在有解，等价为有解， ，，即，即，则， 即实数的取值范围是. 14．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) 【分析】（1）原不等式等价于，对二次项系数进行讨论，结合一元二次不等式恒成立求解即可. （2）设，则是关于的一次函数，得到联立求解即可. 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，即，无实数解. 所以，不存在实数，使得不等式对恒成立． （2）设，当时，恒成立． 又是关于的一次函数， 所以恒成立，，解得， 所以. 所以实数的取值范围是． 15．已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据一次函数和二次函数的性质，分别求出两个函数在区间上的最值，进而结合条件即可求出a的取值范围． 【详解】（1）当时，，成立， 当时，有，解得． 故a的取值范围为． （2）当时，不等式为，成立； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 由题有，解得，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 由题有，解得，则， 综上所述，实数a的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $