函数与导数：第7讲 同构与结构识别（下）· 结构识别与综合 讲义-2027届高三数学一轮复习

同构与结构识别（下）· 结构识别与综合 函数与导数 · 专题篇 一、跨函数同构比大小 上册反复用的是 与 这一对。这一节把它推广到「两个完全不同的函数」上去：题面给你三个数，它们分别满足三个看起来毫不相干的等式，要你排出大小。 办法仍然是搬。以 为例，把 写成 ，那么 —— 这恰好是 在 处的值。而 本来就长成 的样子，只是输入取 。于是 这个等式翻译过来就是： 在两个不同输入处取了同一个值，一个输入是 ，另一个是 。 搬完之后全靠单调性。 的导数是 ，所以它在 上严格递增、在 上严格递减。题目若已保证各个数都是正数，那么它们的对数与本身都落在递增段里，谁大谁小直接由输入的大小决定，不必再讨论。 同一套办法还能处理另外几种常见外形。 先在分母上用一次 ，就成了 ，是函数 在 处的值； 与 同属 家族，而 ，又能搬回 。这样无论题面给的是哪种外形，最后都落到同一族函数上。 归纳起来可用的母函数只有四个：、、、。做题的顺序是：先认题面给的是哪一族，再用 或取对数把它统一过去，最后用单调性收尾。中途若遇到「两根」的情形，要用「在这个区间上递增、在那个区间上递减」分段说清楚，不能一句话带过。 最后一步常常要配合中间量。当两个数分处不同的单调段、无法直接比较时，拿 、、 这些固定值把它们卡开，就能判断出谁大谁小；若还不行，再回到函数本身求最值。 例1（单选·★★★☆☆） 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】题面给的是三个等式，三处外形各不相同：、、。先别急着比大小，分别看每个外形能不能搬到同一族函数上。 【关键】 用一次 ：，这正好是函数 在 处的值。而 。又 ，与另外两个不是同一族，但它只是个正数，记成 即可：三个等式合起来说明，且 。 【关键】，所以 在 上严格递增。由 知 的两个输入都是正数，都在递增段内，所以两个输入相等：，也就是 。 【关键】现在只剩 、、 三个数比大小。由 得 。先比 与 ：两边平方后即 ，因为 ，等价于 ，恒成立，故 。再比 与 ：两边平方后即 ，同样约去正数，等价于 ，也恒成立，故 。 【关键】合起来 ，选 A。 【易错】最容易错的是忘了交代「两个输入都落在递增段内」。 只在 上递增，若 就可能出现两个不同的输入给出同一个值，那时 这一步就不成立。本题靠 把这一步补齐。 【答案】A 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 【切入点】先由 与 定出 、 的范围，再用 进一步筛。 【关键】把 两边除以正数 ，得 。记 ，它的导数 在 处变号，所以 在 上递减、在 上递增。 【关键】分两种情形。若 ，由 知 ，与 合起来仍是两个小于 的正数；但 在 上递减， 会给出 ，与题设矛盾。所以只能 ，进而 ，且 。 【关键】这样 、 都在 的递增段上，后三个选项的比较也都在 的范围里进行。 项：由 得 ，而 对一切 、 成立，故 。 正确。 【关键】 项：两边取对数， 等价于 。记 ，它在 上递减，由 得 。 正确。 【关键】 项： 等价于。记 ，它的分子导数为 ，故 在 上递增，由 得 。 正确。 【关键】 项：它等价于 。记 ，它在 上递增、在 上递减，所以这个结论是否正确取决于 、 落在哪一段上。取一组满足题设的值：、。此时 ，且 成立，但比值算出来左边小于右边，与 的说法相反。 错误。选 ACD。 【易错】本题的关键是先把 、 的范围收紧到 。少了这一步，后面三个单调性判据会因为区间不同而失效。 【答案】ACD 变式1-2（单选·★★★☆☆） 若，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个数都是幂的形式，指数不同、底数也不同。统一成「取对数之后比大小」最省事。 【关键】 一眼就能看出是对 取极大值：。记 ，它的导数 在 处变号，故最大值 ，所以 是三个数里最大的。 【关键】再比 与 。，。比较两者就是比较 与 ，去分母后即比较 与 ，也就是比较 与 。 【关键】，所以 ，从而 ，即 。合起来 ，选 B。 【易错】去分母后要化成整数再比，写成 与 时容易把系数与真数搞混。另一处是 的判断： 恰好是 的最大值，不是最大值的倒数，两者数量级差很远。 【答案】B 例2（单选·★★★☆☆） 已知正实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个式子外形不同： 是商式， 也是商式， 是乘积式。先各自搬到母函数上，再找它们之间的联系。 【关键】，所以它是 在 处的值；同理 。而 用 搬成 ，是另一个函数 在 处的值。 【关键】记公共值为 。由前两个等式， 与 都是方程 的根；由第三个等式， 是方程 的根。注意 （三个式子都为正数），所以 。 【关键】把两条信息联起来： 与 ，两式相等并两边乘 ，得。由于 、，指数 ，所以 ，即 恒成立。 【关键】既然 恒成立，那么「 比 大」的选项就不可能。四个选项里只有 D 写成 ，它要求 ，与上面的结论矛盾。选 D。 【易错】本题问的是「不可能是」，而不是「一定是」。只要证出一条恒成立的大小关系，就足以把含相反关系的选项排除。另外 那一步必须换成 才能与前两个式子对话，直接对 求导是走不通的。 【答案】D 变式2-1（单选·★★★☆☆） 三个数的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个数都长成「一个数除以它的对数」的样子，只要把 也改写成同一外形就能一步到位。 【关键】，于是三个数都是 的函数值：，，。 【关键】，在 处为零且由正变负，所以 在 上递增、在 上递减，最大值就是 。 【关键】又 ，在递增段内，所以 。合起来 ，选 A。 【易错】这道题的关键动作是把 写成 。三个数外形不一致时，先想办法把其中一个改造成与另外两个一致，比逐对做差要快得多。 【答案】A 变式2-2（单选·★★★★☆） 已知是自然对数的底数，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个数里 、 都是「数除以对数」的形状，可以先放一起比； 里含 ，得另想办法压住它。 【关键】先把 化简：，所以 。再把 写成同一外形：。于是 、 都是 的函数值：、。 【关键】，在 时为正，所以 在 上递增。由 得 ，即 。 【关键】 单独处理。要证 ，即证 ，也就是 。用不等式 ，取 得，两边乘 即得。 【关键】又 ，而 （因为 ）。所以 ，即 ，选 B。 【易错】两处。一是 要化成 才能与 同族，直接比较 与 会看不出门道；二是 要用 压到 以下，这一步不能用「显然」带过 —— 因为 的自变量是 ，很容易看错。 【答案】B 二、幂指型与乘积型的伪装 这一节遇到的是藏得更深的两类式子：一类是底数与指数都含变量的幂指函数，另一类是两个因式相乘。它们的共同点是「不能一眼看出该往哪族函数上搬」，所以要先做一步整理，把伪装剥掉。 先说幂指函数。像 这样的式子，直接求导要用对数求导法，而更省事的做法是先用 把它写成 。取完这一步，指数上出现的是 ，它属于上一节见过的 族，后面的单调性、最值都可以照旧处理。推广开来，凡是形如底数与指数都含变量的式子，一律先改写成以 为底再动手。 再说乘积型。遇到 或符号问题，不要试图对整个乘积求导，而是分别研究两个因式的零点位置与正负区间，再把两者的符号合成起来。这一步的关键是把「乘积的符号」翻译成两条独立的信息，各自解完再拼。 有一类题会在这件事上做文章：两个因式里的参数是同一个，于是一个因式的根可以决定另一个因式的根。这种题的突破口通常是一次换元 —— 把其中一个因式的方程改成另一个自变量下的同名方程，于是两边的根之间就建立起明确的对应关系，四个根也就分成两组。 更深一层的原因是：对数与指数互为反函数。若 满足某个含 的方程，那么把 换成 并取对数，就得到同一个方程在 下的写法。所以同一个参数控制的这两族根，往往恰好相差一个平移或一个倍数，这正是这类题要你发现的规律。 最后提醒两点。一是换元之后要交代新变量的取值范围，尤其是当新变量是由对数或指数生成的时候；二是乘积型题的答案往往落在「两个因式的根之间的关系」上，而不是落在某个具体的数值上，看到选项都是关系式时不要意外。 例3（单选·★★★☆☆） 利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且只有一个极大值点 B. 在上单调递增 C. 存在实数，使得 D. 有最小值，最小值为 【切入点】 的底数与指数都含 ，先按幂指函数的标准动作改写：。 【关键】求导：。因为 恒成立，导数的符号完全由 决定。 【关键】 得 。在其左侧导数为负、右侧为正，所以 在 上递减、在 上递增， 是极小值点。 【关键】逐项判断。 项说的是极大值点，而这里只有极小值点， 错误； 项说在 上递增，与上面的结论相反， 错误； 项要 ，而最小值 ，它比 大（因为 ），所以方程无解， 错误。 【关键】 项说最小值是 ，这正是 的另一种写法，与上面算出的最小值一致。选 D。 【易错】 项的陷阱在于把「 有最小值」误当成「最小值以下的数都能取到」。，而 ，后者才是真正的最小值，前者取不到。 【答案】D 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 设函数，若存在实数使得恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【切入点】 恒成立，而 是两个因式的乘积，所以要求两个因式一正一负、且保持不变。先把两个因式各自的正负条件写出来。 【关键】记 、，定义域 。 等价于 ； 等价于 。要让两者异号，只有两种搭配。 【关键】第一种搭配是 恒成立。但当 时 而 ， 为负，所以这一种不可能。于是只能是第二种： 恒成立，同时 恒成立。 【关键】 恒成立即 对一切 成立，所以 要大于 的最大值。后者在 处取最大值 ，故 。 【关键】 恒成立即 对一切 成立。函数 在 处取最小值 ，所以 。 【关键】同时满足 与 ，这样的 存在当且仅当 ，即 ，解得 。选 D。 【易错】先要判断「两个因式异号」的两种搭配哪一种是可能的。 恒成立在 时不成立，这一步不能省；否则会多讨论一种情形，还可能把答案区间扩大。 【答案】D 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为__________. 【切入点】条件里的 出现了两次，是明显的信号。记 ，条件就只剩一个变量。 【关键】条件成为 ，即 ，定义域要求 。 【关键】这一步要用两次同一条不等式。令 ，由 得 ；另一边由 得 。把两式串起来：。 【关键】而题设要的是 。两者同时成立，只能是处处取等号，即 （这两条不等式的等号都在 ，也就是 处成立）。所以点的坐标满足 ，即 一定落在直线 上。 【关键】问题化为：求直线 上一点到曲线 的最短距离。这等价于求曲线到该直线的距离，最小值在曲线的切线与该直线平行时取到。 【关键】 的导数是 ，令它等于直线的斜率 ，得 ，切点为 。点到直线 的距离。 【易错】最要紧的是看出条件的「夹逼」结构： 与 都夹在 的两侧，所以题设的 只能靠取等来满足。若只对 求最小值而不作不等式比较，会算很久才能发现最小值恰为 。 【答案】 例4（单选·★★★☆☆） 若关于的方程恰有四个不同的实根，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】方程写成两个因式相乘等于零，所以四个根来自 与 这两个方程。先把两组根分别弄清，再看它们之间的关系。 【关键】第一个方程即 。要它有两个正根，必须 ；记 ，它在 处取最小值 ，故当 时方程恰有两个根，记为 ，其中 。 【关键】第二个方程 先变形：两边除以 得 ，再取指数得 。令 ，则方程成为 。 【关键】这一步是本题的转折： 与第一个方程 是同一个方程，只是自变量换了名字。所以第二个方程的两个根恰好是 与 。 【关键】四个根就是 、、、。由 知 、，且 ，所以从小到大排列必然是、 与 是 与 中的两个、。 【关键】于是 ，而 无论 、 是 与 中的哪一个，乘积都是 。两者相等，选 D。 【易错】关键在于看出 与 同解。若分别对两个方程求导研究零点，会陷进两套独立的讨论里，而且看不出四个根之间的关系；另外要记得交代 ，否则第二个方程未必有两个根。 【答案】D 变式4-1（单选·★★★★★） 已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 里，指数与三角函数交叉出现。两边同除正数 ，把同类项并到一起：。 【关键】这说明 与 是同一个函数 的两处取值。求导得，它在 处为零且由正变负，所以 在 上递增、在 上递减。 【关键】由 且两处函数值相等，两点必须分居 两侧，所以 。又 时 ，而 时 的取值不小于 ，两者合起来可以断定 ，于是 的说法不成立。 【关键】再定 与 的关系。构造 ，求导可判断它在 上递增，且 。于是当 时 ，即 ；又把 代进去，并利用 在 上递减，得 ，也就是 。 【关键】由 与 得 ，所以 ；又 ，故 。用和差化积：。 正确。 【关键】其余各项：由 知 ，但 可以大于 ，所以 可能为负， 的说法不一定成立；由 且 在 上递减，得 ， 错误；， 错误。选 B。 【易错】和差化积这一步是本题的核心： 的符号由 与 以及 决定，而 恰好保证第一个因子为正。若不做这一步而直接猜，很容易被 可能超过 干扰。 【答案】B 变式4-2（填空·★★★★☆） 已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________． 【切入点】条件是「有解」，不是「恒成立」，所以只要找一组满足不等式的 即可，参数分离后就变成一个求最小值的问题。 【关键】 即，两边除以正数 ：。 【关键】左边的第一项用 改写：。再注意 ，于是右边整体成为 ，其中 。 【关键】交代 的取值范围。当 时 ，当 时 ，且 随 连续变化，所以 取遍全体实数。 【关键】问题化为：存在实数 使 。由 知 ，等号在 时成立，而 是能取到的，所以最小值就是 。于是 ，即 ，取值范围是 。 【易错】两处。一是「有解」与「恒成立」的区别：这里只要最小值能被超过即可，不需要对一切 成立；二是换元后必须说明 能取遍全体实数，否则 的最小值是 这个结论就落不到实处。 【答案】 三、构造原函数 前两节做的都是「把式子搬到一起」，这一节反过来：题目不告诉你函数是谁，只给它的导数满足某个不等式，要你反过来认出原函数。这是「结构识别」这四个字的另一半，也是这类选填题的固定套路。 认的依据是乘积与商的求导法则的逆用。最容易看出来的三条：，，以及 。把它们反过来用，就是「见到 想到 」。 照着这个思路，常见的一共有五条。 对应 ； 对应 ； 对应 ； 对应 ；而一般的 对应 。右边这个式子，它的导数恰好是 ，所以只要 的符号确定，原函数的单调性就确定了。 用法是固定的三步。先看不等式里 与 的搭配属于哪一种，定出要乘或除以哪个因子；再两边同乘这个因子（或同除），把左边整理成一个整体的导数；最后由这个整体的单调性，把题目要比较或要解的东西翻译成它的两处取值。 有两点必须交代清楚，否则结论站不住。一是乘上去的因子要恒正： 恒正，可以放心乘；而 只在正半轴为正，所以用到 或 时，题目必须先给出定义域在正半轴。二是原函数认出来之后，比较的是它在两点的值，不是 本身在两点的值，最后要换回题目要的形式。 还有一处常被忽略：若函数是奇函数或偶函数，那么乘上 之后一般不再是奇偶函数，而乘上 之类则可能保持偶性。遇到带奇偶性的题，先判断新函数有没有保持对称性，再决定要不要把正负半轴分开讨论。 例5（单选·★★★☆☆） 定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件只给了导数与函数本身的关系 ，没有给出 的表达式。题目要解的不等式里有 ，这正是「 对应 」的信号。 【关键】记 ，用商的求导法则：。分子正是题给的负值，而分母恒正，所以 ， 在 上严格递减。 【关键】定出参考点的值：。于是不等式 就是 。 【关键】由 严格递减， 等价于 。所以解集为 ，选 A。 【易错】认原函数时要注意除以的是谁： 对应的是 （除以 ），而 对应的才是 （乘以 ）。两者只差一个符号，写错方向就会把单调性判反，答案也会反。 【答案】A 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 比上一题多了一个系数 ，对应的是 型的第三条：除以 。 【关键】记 ，则 ，所以 在 上严格递减，且 。 【关键】逐项把四个选项翻译成 的比较。 项： 即 。但 而 递减，应有 ， 错误。 【关键】 项： 即 。但 而 递减，应有 ， 错误。 【关键】 项： 即 ，也就是 。由 与 递减，这确实成立， 正确。 【关键】 项： 两边同除 ，成为 。但 而 递减，应有 ， 错误。选 C。 【易错】 项最容易看走眼：两边都要除以 才能化成 的比较，若只除一个 就会得到错误的方向。处理这类选项时，统一化成「 在两点的大小」再判断，比逐项估计可靠。 【答案】C 变式5-2（填空·★★★☆☆） 已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是___________． 【切入点】条件 即 ，是「 对应 」的信号。所求不等式 两边乘 就正好用上。 【关键】记 ，则 ，所以 在 上严格递增。 【关键】定参考点：由 得。 【关键】不等式 两边乘正数 ，得 ，即 。 【关键】由 严格递增，这等价于 。所以取值范围是 。 【易错】两边乘 时不要忘了它是正的，所以不等号方向不变。另外参考点的值是 而不是 —— 因为乘了 之后正好与 抵消，这一步算错就会把区间端点写错。 【答案】 例6（单选·★★★☆☆） 已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 即 ，这是「 对应 」的信号。再看所求不等式里有 ，把它改写一下就能靠上去。 【关键】记 （），则 ，所以 在 上严格递减。 【关键】把所求不等式改写。两边同除正数 ：，再两边同乘 ：。 【关键】左边的 正是 ：因为 ；右边是 。于是不等式成为 。 【关键】由 严格递减， 等价于 ，在 上解得 。所以解集为 ，选 A。 【易错】这道题的难点不在认原函数，而在把 整理成 的样子。记住 与 在这里是互为倒数的两个输入，单调递减时倒数大反而原数小，这是不等号方向的关键。 【答案】A 变式6-1（单选·★★★★☆） 设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是 ，所求是 。注意到 的导数是 ，括号里正是题给的条件。 【关键】记 。由 是偶函数得 ，所以 ，即 也是偶函数。 【关键】当 时，。由题设括号内大于 ，且 ，得 ，所以 在 上严格递增。 【关键】定参考点：。于是 就是 。 【关键】在正半轴由递增得 ；再由 是偶函数，负半轴上的解与正半轴对称，所以整体解集为 ，选 C。 【易错】关键是发现 保持了偶性。乘的是 ，它在 时不变，所以 仍是偶函数；若乘的是 或 ，对称性就被破坏，那时必须把正负半轴分开讨论。 【答案】C 变式6-2（单选·★★★★★） 已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里同时出现 与 ，且乘了两个因子，所求不等式的右边是分式 。先把条件整理成某个商的导数的形状。 【关键】条件 两边展开：。记 ，则 。 【关键】方括号内正是上面证出的正值，而 ，所以 ， 在 上严格递增。 【关键】把所求不等式化到 上。把它写成，左边正是 （把 的定义式里的 换成 ：分母是 ）。 【关键】再定 ：由 得。于是不等式成为 。 【关键】在定义域 内，由 严格递增得 ，即 ；再结合 得 。所以解集为 ，选 B。 【易错】两处。一是 的分母是 而不是 ，把 换成 时分母成为 ，这一步容易漏；二是函数的定义域是 ，所以 必须写出来，否则会漏掉左端点 。 【答案】B 四、双变量同构 这一节的式子里有两个变量，它们各自待在一处，既不在一起也不互为函数。处理办法仍然是同构：把两个变量分别送到同一个母函数上，用单调性得出它们之间的一条关系，再把要问的目标化成单变量问题。 先说清楚它与极值点偏移的区别，因为两者的题干长得很像。极值点偏移里，两个变量是同一个函数的两根，式子的外形完全一致；而这里两个变量出现在外形不同的两处，要靠同构把它们拉到一起。判别方法就一条：看两个式子是不是同一个函数，是则另有专题，不是则用本节的办法。 本节最常出现的母函数有两组。第一组是 与 ，两者都严格递增，只要两个式子能整理成同一个，立刻可以得出两个输入的等式；第二组是 ，它在 上严格递增，处理 或 这类式子时都要先化成它的形状。 整理的手法与上册一致：见到 就把它写成 ，见到 就写成 ，目的都是让两边的外形完全对上。对上之后由单调性立刻得到「两个输入相等」这条关系。 拿到关系之后就是三步收尾。第一步把关系化到最简，例如 、 这样的形式；第二步把题目要问的目标（最值、取值范围）用一个变量写出来；第三步对这个单变量函数求最值，方法就是常规的求导。 最后提醒两处。一是单调性必须落在正确的区间上： 只在 上递增，而由对数生成的变量天然满足这个条件，由指数生成的变量也满足，但要写出来。二是关系式往往不止一条，消元时要挑让目标式最简单的那个方向，否则会把计算量放大好几倍。 例7（单选·★★★★☆） 已知满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个变量 、 各在一处，外形也不同，这是典型的双变量同构。先看哪个式子能被整理成与另一边相同的样子： 里分母是 ，把它记成 会更清爽。 【关键】令 ，条件成为。把 与 分别移到两边：。 【关键】右边的第一项用 改写：。于是右边成为 。记 ，两边就是同一个函数 的取值。 【关键】，所以 在 上严格递增，由 得 ，即 ，也就是 。 【关键】回到原来的变量：，所以 。 【关键】记 ，则 。由均值不等式 ，等号在 （即 ）时成立。所以最小值为 ，选 B。 【易错】两处。一是右边整理时要同时把 与 看成 的两部分 —— 常数项不是多余的，它正好补上 里的 ；二是最后由 得出的 的表达式里带一个 ，求最小值要用到「互为倒数的两项相加」这个结构。 【答案】B 变式7-1（单选·★★★★☆） 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【切入点】条件是 ，左边两项都含 ，先合成一个对数式再说。 【关键】左边为 。记 ，则 ，条件成为，两边乘 ：。 【关键】左边的 用 改写：。于是等式成为 ：两边都是函数 的取值。 【关键】，它在 上为正。本题中 、，所以 与 都大于 ，两者都在递增段内，可以脱壳：。 【关键】于是 ，即 ，从而 。所求式 。 【关键】记 ，，在 处为零且由负变正，故最小值 。选 B。 【易错】 与 是两个不同的函数，前者要先用 搬成后者才能与 对话。另外脱壳前必须确认两个输入都在 内，本题靠 、 保证这一点。 【答案】B 变式7-2（单选·★★★★☆） 已知，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】等式是 ，左边含对数、右边含指数。把左边的 用 改写，两边就同族了。 【关键】，所以左边为 ，而右边为 。两者都是函数 的取值，一个输入是 ，另一个是 。 【关键】，所以 在 上严格递增，由 得 。 【关键】于是 ，问题化为求 在 上的取值范围。 【关键】，在 处为零且由负变正，故最小值 ；当 时 ，当 时 。 【关键】所以 的取值范围是 ，选 B。 【易错】两处。一是左边的 必须改写成 才能与右边同族，直接用 是搬不动的；二是最后求 的范围时，最小值取在 ，而这个值在 内取得到，所以区间左端是闭的。 【答案】B 例8（单选·★★★★☆） 已知，满足，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【切入点】条件是 ，两个变量一个在对数里、一个在指数里，外形也不同。先把它整理成一个等式。 【关键】把 移到左边：，即 。两边乘正数 ：。 【关键】右边的 想与左边对上，需要一个自变量。令 ，则 ，代入 得。而由条件 ，所以。 【关键】把 移过去：。记 ，它在 上严格递增（导数 ），所以 ，即 ，从而 。 【关键】把关系代回所求式子：，所以 。 【关键】记 （），，在 处为零且由正变负，故最大值 。选 C。 【易错】本题的关键是引入 这一步。直接对 求导会同时牵动 与 ，而换元之后两边立刻成为同一个函数 的取值。 【答案】C 变式8-1（单选·★★★★☆） 已知函数，对，当时，恒有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是一串双变量的不等式，两个变量同时出现在分子分母的两侧。先把分母乘到对面去，把它变成一个「顺序」问题。 【关键】由 ，把 两边乘正数 ，得 。 【关键】这说明「自变量大的， 也大」，也就是函数 在 上严格递增。 【关键】把 的表达式代进去：。于是条件成为 在该区间上恒成立。 【关键】分离参数得 对一切 成立，所以 不超过 在该区间上的最小值。 【关键】记 ，，在 处为零且由负变正，故最小值 。所以 ，选 A。 【易错】把交叉相乘得到 是关键的一步，它把「两个变量分处两侧」的式子变成了同一个函数的单调性。分离参数后求最小值时要确认最值点落在这个闭区间内，本题的 恰好在中间。 【答案】A 变式8-2（单选·★★★★★） 已知，，若（为自然对数的底数），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】等式两边各有一个变量，且右边含 这样的诱导式，先用诱导公式把它化掉。 【关键】，所以条件成为 。把同类项归到一边：。 【关键】两边都是函数 的取值，一个输入是 ，另一个是 。 【关键】。在本题的范围内两个输入都落在 上（ 给 ，），此时 ，所以 ， 在 上严格递增。 【关键】于是由 得 ，即 ，其中 。 【关键】把 代入目标式：。对 求导并令其为零，化简后得 ，在 内的解是 ，此时 ，目标式的值为 。 【关键】两端 或 时目标式趋于正无穷，所以 处取到最小值 。选 D。 【易错】三处。一是 要化成 ，化成 就全错了；二是判断 单调时必须先说明两个输入都落在 内，否则 不成立；三是最后求最小值时目标式是分式，直接求导后要耐心化简，漏项会把驻点算错。 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $ 同构与结构识别（下）· 结构识别与综合 函数与导数 · 专题篇 一、跨函数同构比大小 上册反复用的是 与 这一对。这一节把它推广到「两个完全不同的函数」上去：题面给你三个数，它们分别满足三个看起来毫不相干的等式，要你排出大小。 办法仍然是搬。以 为例，把 写成 ，那么 —— 这恰好是 在 处的值。而 本来就长成 的样子，只是输入取 。于是 这个等式翻译过来就是： 在两个不同输入处取了同一个值，一个输入是 ，另一个是 。 搬完之后全靠单调性。 的导数是 ，所以它在 上严格递增、在 上严格递减。题目若已保证各个数都是正数，那么它们的对数与本身都落在递增段里，谁大谁小直接由输入的大小决定，不必再讨论。 同一套办法还能处理另外几种常见外形。 先在分母上用一次 ，就成了 ，是函数 在 处的值； 与 同属 家族，而 ，又能搬回 。这样无论题面给的是哪种外形，最后都落到同一族函数上。 归纳起来可用的母函数只有四个：、、、。做题的顺序是：先认题面给的是哪一族，再用 或取对数把它统一过去，最后用单调性收尾。中途若遇到「两根」的情形，要用「在这个区间上递增、在那个区间上递减」分段说清楚，不能一句话带过。 最后一步常常要配合中间量。当两个数分处不同的单调段、无法直接比较时，拿 、、 这些固定值把它们卡开，就能判断出谁大谁小；若还不行，再回到函数本身求最值。 例1（单选·★★★☆☆） 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★★★☆☆） 若，则（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★★☆☆） 已知正实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★★☆☆） 三个数的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 变式2-2（单选·★★★★☆） 已知是自然对数的底数，，则（ ） A. B. C. D. 二、幂指型与乘积型的伪装 这一节遇到的是藏得更深的两类式子：一类是底数与指数都含变量的幂指函数，另一类是两个因式相乘。它们的共同点是「不能一眼看出该往哪族函数上搬」，所以要先做一步整理，把伪装剥掉。 先说幂指函数。像 这样的式子，直接求导要用对数求导法，而更省事的做法是先用 把它写成 。取完这一步，指数上出现的是 ，它属于上一节见过的 族，后面的单调性、最值都可以照旧处理。推广开来，凡是形如底数与指数都含变量的式子，一律先改写成以 为底再动手。 再说乘积型。遇到 或符号问题，不要试图对整个乘积求导，而是分别研究两个因式的零点位置与正负区间，再把两者的符号合成起来。这一步的关键是把「乘积的符号」翻译成两条独立的信息，各自解完再拼。 有一类题会在这件事上做文章：两个因式里的参数是同一个，于是一个因式的根可以决定另一个因式的根。这种题的突破口通常是一次换元 —— 把其中一个因式的方程改成另一个自变量下的同名方程，于是两边的根之间就建立起明确的对应关系，四个根也就分成两组。 更深一层的原因是：对数与指数互为反函数。若 满足某个含 的方程，那么把 换成 并取对数，就得到同一个方程在 下的写法。所以同一个参数控制的这两族根，往往恰好相差一个平移或一个倍数，这正是这类题要你发现的规律。 最后提醒两点。一是换元之后要交代新变量的取值范围，尤其是当新变量是由对数或指数生成的时候；二是乘积型题的答案往往落在「两个因式的根之间的关系」上，而不是落在某个具体的数值上，看到选项都是关系式时不要意外。 例3（单选·★★★☆☆） 利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且只有一个极大值点 B. 在上单调递增 C. 存在实数，使得 D. 有最小值，最小值为 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 设函数，若存在实数使得恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为__________. 例4（单选·★★★☆☆） 若关于的方程恰有四个不同的实根，则（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★★★★） 已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 变式4-2（填空·★★★★☆） 已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________． 三、构造原函数 前两节做的都是「把式子搬到一起」，这一节反过来：题目不告诉你函数是谁，只给它的导数满足某个不等式，要你反过来认出原函数。这是「结构识别」这四个字的另一半，也是这类选填题的固定套路。 认的依据是乘积与商的求导法则的逆用。最容易看出来的三条：，，以及 。把它们反过来用，就是「见到 想到 」。 照着这个思路，常见的一共有五条。 对应 ； 对应 ； 对应 ； 对应 ；而一般的 对应 。右边这个式子，它的导数恰好是 ，所以只要 的符号确定，原函数的单调性就确定了。 用法是固定的三步。先看不等式里 与 的搭配属于哪一种，定出要乘或除以哪个因子；再两边同乘这个因子（或同除），把左边整理成一个整体的导数；最后由这个整体的单调性，把题目要比较或要解的东西翻译成它的两处取值。 有两点必须交代清楚，否则结论站不住。一是乘上去的因子要恒正： 恒正，可以放心乘；而 只在正半轴为正，所以用到 或 时，题目必须先给出定义域在正半轴。二是原函数认出来之后，比较的是它在两点的值，不是 本身在两点的值，最后要换回题目要的形式。 还有一处常被忽略：若函数是奇函数或偶函数，那么乘上 之后一般不再是奇偶函数，而乘上 之类则可能保持偶性。遇到带奇偶性的题，先判断新函数有没有保持对称性，再决定要不要把正负半轴分开讨论。 例5（单选·★★★☆☆） 定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 变式5-2（填空·★★★☆☆） 已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是___________． 例6（单选·★★★☆☆） 已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★★☆） 设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（ ） A. B. C. D. 变式6-2（单选·★★★★★） 已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 四、双变量同构 这一节的式子里有两个变量，它们各自待在一处，既不在一起也不互为函数。处理办法仍然是同构：把两个变量分别送到同一个母函数上，用单调性得出它们之间的一条关系，再把要问的目标化成单变量问题。 先说清楚它与极值点偏移的区别，因为两者的题干长得很像。极值点偏移里，两个变量是同一个函数的两根，式子的外形完全一致；而这里两个变量出现在外形不同的两处，要靠同构把它们拉到一起。判别方法就一条：看两个式子是不是同一个函数，是则另有专题，不是则用本节的办法。 本节最常出现的母函数有两组。第一组是 与 ，两者都严格递增，只要两个式子能整理成同一个，立刻可以得出两个输入的等式；第二组是 ，它在 上严格递增，处理 或 这类式子时都要先化成它的形状。 整理的手法与上册一致：见到 就把它写成 ，见到 就写成 ，目的都是让两边的外形完全对上。对上之后由单调性立刻得到「两个输入相等」这条关系。 拿到关系之后就是三步收尾。第一步把关系化到最简，例如 、 这样的形式；第二步把题目要问的目标（最值、取值范围）用一个变量写出来；第三步对这个单变量函数求最值，方法就是常规的求导。 最后提醒两处。一是单调性必须落在正确的区间上： 只在 上递增，而由对数生成的变量天然满足这个条件，由指数生成的变量也满足，但要写出来。二是关系式往往不止一条，消元时要挑让目标式最简单的那个方向，否则会把计算量放大好几倍。 例7（单选·★★★★☆） 已知满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★★★★☆） 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 变式7-2（单选·★★★★☆） 已知，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★★★☆） 已知，满足，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 变式8-1（单选·★★★★☆） 已知函数，对，当时，恒有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式8-2（单选·★★★★★） 已知，，若（为自然对数的底数），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $