函数与导数：第6讲 同构与结构识别（上）· 同构的通道 讲义-2027届高三数学一轮复习

同构与结构识别（上）· 同构的通道 函数与导数 · 专题篇 一、同构的入口： 与 指数与对数是一对互逆的运算，这一节要用到底的就是这个互逆关系：对任意正数 都有 ，把 换成含 的整式也照样成立。这句话看着朴素，用处却很大 —— 它允许把一个乘在指数外面的因子搬进指数里面去，也允许把一个指数上的东西搬下来变成对数。 最常用的一次搬运是针对 。把前面的 写成 ，两个指数相乘就合并成一个指数：。反过来读也成立：，因为对 取对数就是 。于是「乘积形」 与「对数形」 说的是同一件事，它们之间只差一个 的指数运算。 这一步的意义在于换族。指数式与对数式本来是两族完全不同的函数，放在同一个不等式里没法直接比较；但只要把两边都搬到 这个量上，不等式就成了同一个函数在两处的取值问题，单调性立刻可以用。把 记成一个整体，例如令 ，那么 就是 ，问题从「两个陌生函数」变成了「一个熟悉函数」。 同理还可以处理别的配对。把 里的 换成 之类，能造出 、、 这些常见形状；它们的共同点是「指数与对数同时出现」，而处理办法永远是同一个：找出那个同时喂给两边的量，把它设成一个字母。 具体到做题，判断能不能用这一招，看的是两条。第一，式子里是否同时出现了指数式与对数式；第二，把含参或含变量的部分移到一起之后，两边是不是「同一个函数的两种外形」。两条都满足就设整体、换元；只满足第一条而两边对不上，那多半要用求导或放缩，不要硬凑。 最后提醒一点：换元之后必须交代清楚新变量的取值范围。例如 在 上是从负无穷增到正无穷的，所以 可以取遍全体实数；而 在 上的取值范围是 。范围交代清楚，后面的最值讨论才不会漏掉取不到的点。 例1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 函数存在唯一零点 B. 若方程在上有唯一解，则实数的取值范围是 C. 存在唯一，使得 D. 关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 【切入点】两个函数一个含 、一个含 ，这种搭配先别急着求导，看看能不能把它们搬到同一个量上。注意到 ，所以只要令 ，这两个函数就都成了 的函数。 【关键】 项：，其中 。 在 上严格递增，取值范围是全体实数，所以 有且只有一个零点，零点满足 。 正确。 【关键】 项：。由 知 ，等号成立当且仅当 。而 在 上严格递增、取值范围是全体实数，所以 在 内恰有一个解。 正确。 【关键】 项： 的导数 在 处变号，所以 在 上递减、在 上递增，最小值是 。由图象可以看出，当 时方程也只有一个解，它不在 内，所以 的断定不成立。 错误。 【关键】 项：设 ，要求 在 上恒成立。 在 时都趋于正无穷（因为 ），所以它的最小值在导数为零处取得。令 ，设这个根为 ，则最小值。要它非负，只需 ，即 。而 在 上递增，两端分别给出 与 。 正确。选 ACD。 【易错】 项的坑在于把「唯一解」直接等同于「最小值」——方程 有几个解，看的是水平线 与曲线 交点的个数，而不是 与最小值的大小关系。 【答案】ACD 变式1-1（单选·★★★☆☆） 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】右边是 ，两个对数相加先合并：。下面要让两边的外形对上。 【关键】原式即 。两边同乘 （），得。左边的系数用 搬进指数：，所以左边的值为 。 【关键】先试探临界值。取 ，不等式要求。把 记作 ，则要求 。函数 在 上递增，而 ，所以必有 ，即 。 【关键】再证 时不等式确实恒成立。若 ，右边非正、左边为正，成立；若 ，则 且 ，两个因子都不超过，所以 。剩下要证 ：令 ，即证 。由 得 ，再由 得 ，两式串联即 ，两边同乘 就是要证的式子。所以 ，选 C。 【易错】分离参数时 在右边也出现，硬分离会绕不出来；这里的正确顺序是先用特殊值探出必要条件，再补充分性。另外 与 是同一个不等式换元后的两种写法，熟练之后不必每次重新推导。 【答案】C 变式1-2（填空·★★★☆☆） 已知函数，若曲线在点处的切线与函数的图象无公共点，则实数的取值范围为______． 【切入点】先算出切线。 的导数是，在 处斜率是 ，切点是 ，所以切线为 ，即 。 【关键】问题化为：直线 与曲线 没有公共点。两者的斜率都是常数 与 ，曲线在 处的切线斜率恰好也是 ，所以要看这两条平行线的位置关系。 【关键】记 ，交点个数就是 的零点个数。 在 处变号，且 ，所以 在 处取到最大值。 【关键】最大值要仔细算：，而直线在这点的值是 ，所以 。没有零点就是最大值小于零，即 ，解得 。所以取值范围是 。 【易错】两处容易错。一是把「无公共点」当成「斜率不相等」，但这里两条线恰好平行，重合也是一种情况，必须比较截距；二是最大值算错符号， 是 而不是 。 【答案】 例2（单选·★★★☆☆） 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【切入点】不等式左边同时有 与 ，先把参数甩到一边： 对一切 成立，所以 不超过右边的最小值。 【关键】令 。右边两项正好可以用一个 说完：，而 ，所以右边的值为 。 【关键】 在 上的取值范围是全体实数。由 得 ，等号在 时成立。而方程 在 内有解（左边连续、两端异号），所以最小值确实取得到，就是 。于是 ，选 C。 【易错】把右边的最小值当成 或直接求导硬算，都会绕远路。另外要把「取得到」说清楚：若不交代 能被取到，就只能说 而不能说 ，端点就错了。 【答案】C 变式2-1（填空·★★★★☆） “朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为_______. 【切入点】题面已经把工具给了：把 写成 。分别盯住两个条件，看能不能都化成同一个函数。 【关键】由 得 ，把左边写成 ，得 。 【关键】由 得 。记 ，则 ，条件化为 。再用一次同样的变形：，所以 与 都是方程 的根。 【关键】 在 时左边的导数 ，严格递增，所以根唯一，于是 ，即 。 【关键】把它代回所求式子：。函数 在 处取到最大值 ，所以最大值是 。 【易错】这道题的关键不是算出 、，而是发现「 与 是同一个方程的根」。两个变量各自满足的方程外形不同，但把 写成 之后就统一到了 上——这正是同构题的标准动作。 【答案】 变式2-2（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（2）若，都有恒成立，求实数a的取值范围． 【切入点】(1) 问只用到导数与切线的关系；(2) 问的不等式里 与 并存，预料要用 把两边拉到一起。 【关键】(1) ，在 处的函数值是 。切线与 垂直说明切线斜率为 ，故 ，得 。此时 ，而它的导数 在 时为正，所以 在 上递增；又 ，故 在 上为负、在 上为正。再注意当 时 ，从而 。综上 在 上递减，在 上递增。 【关键】(2) 把不等式两边整理： 即。注意括号里正是 再添一个 。 【关键】令 。由前面的恒等式，，所以不等式成为 。当 时 严格递增，取值范围是 ，于是问题等价于： 对一切 成立。 【关键】分两段讨论。若 ，则 ，右边非正、左边为正，成立。若 ，则 ，可分离出。记 ，其导数 ，在 处为零且在两侧变号，故 在 上递减、在 上递增，最小值是 。所以 ，结合 得 的取值范围是 。 【易错】(1) 问里 的符号不能只看 ，还要交代 那一段为什么恒为负；(2) 问里换元之后必须说明 能取遍 ，否则从 反推 这一步就缺了依据。 【答案】①在 上递减，在 上递增；② 的取值范围是 二、配对同构：脱壳解不等式 上一节把指数式与对数式搬到了同一个函数上，这一节就用它做第一件事：解不等式。凡是不等式两边是「同一个函数在两种不同输入下的取值」，都可以把外面的那层函数去掉，只留下里面两个输入之间的大小关系。这个动作俗称脱壳。 脱壳的依据只有一条，就是外层的严格单调性。若 在某个区间上严格递增，那么在这个区间内 与 完全等价；若 严格递减，两者等价而不等号方向要反过来。所以脱壳之前必须先把外层函数的单调性说清楚，既要说它在哪个区间上单调，也要说清两个输入都落在这个区间里。 同构题常用的外层函数有四个。 在全体实数上严格递增，因为它由两个递增函数相加得到； 在 上严格递增，在 上严格递减，不是一个整体单调的函数； 在 上递增； 在 上递增、在 上递减。看清是哪一支，是这一步的全部难点。 操作的顺序可以固定下来：先把含参的部分集中到一边，再寻找两边共同的外层，然后把两个输入分别设成字母，最后判断外层在哪一段上单调、两个输入是不是都在这一段里。如果两个输入落在单调性不同的两段上，脱壳就不能直接用，这时要么先把式子整理成同一段，要么改用别的办法。 还有一处必须交代：脱壳得到的是两个输入之间的不等式，不是原变量的不等式。例如外层是 ，脱壳后得到的是两个 的大小关系，还要把它换回 才能求解集。换回去的时候要注意新变量的取值范围，否则会把不满足条件的解也收进来。 最后说一个常见的误判：两边都是 的多少次方，并不就能直接脱壳。判断标准是，把两边的公共部分提出来之后，剩下的外形是否完全一致。 例3（填空·★★★☆☆） 若不等式 恒成立，则 的取值范围_____. 【切入点】不等式的定义域由两个对数决定： 且 ，所以 。在这个范围内把对数项并到一起：。 【关键】注意 恰好就是 ，所以指数上那个 与对数里的 只差一个 。记 ，则 ，原不等式成为。 【关键】这一步是本题的转折：指数上和对数里的东西是同一个量 。把含 的部分也挪到一起，设 ，问题化为 对一切 成立。 【关键】。由 解出唯一的驻点 ，在这点左侧导数为负、右侧为正，所以它是极小值点。由 取对数得 。 【关键】把 的表达式代回极小值：。这个式子随 增大而减小，且 时取值为零，所以 等价于 。再由 在 上递增，得 。 【易错】两处。一是忘记先交代 （两个对数的定义域），导致 这一步没有依据；二是把 的取值范围当成 之后没有回头检查——因为 时 确实取遍全体正数，所以这一步是成立的，但要写出来。 取 时右边恰好为零，此时 取到最大值 ，故 的取值范围是 。 【答案】 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【切入点】定义域由 的真数决定：，结合 得 。问题即 恒成立。 【关键】固定 ，把它看成关于 的不等式不方便；改用求最小值。设 ，则 ，。对 求导并用 表示：。 【关键】令 得 。这个关系把 与 绑在一起，正是「在哪个点取到最小值」的答案。记 ，它在 上递增（导数 ），所以 与 一一对应。 【关键】把 代回最小值，整理后最小值等于 。要它非负，只需方括号内非负。令 ，方括号化为 。 【关键】记 。，它在 上由正变负，所以 先增后减；而 ，故 当且仅当 ，即 。于是 。结合 得 ，选 A。 【易错】把 当作可以任意取的自变量、直接对 讨论，会陷进两层嵌套；正确做法是先用导数为零的关系把 与极值点绑起来，再把条件集中到一个变量上。 【答案】A 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______． 【切入点】 即 ，。参数 已经在一边，直接分离：。 【关键】记 ， 不小于它的最大值即可。，符号由分子决定。 【关键】解 。左边的导数 ，所以它严格递减，至多一个零点；代入 得 ，故零点就是 。 【关键】于是 在 上递增、在 上递减，最大值 。所以 。 【易错】若改用同构的眼光看，，而 ，两边同样可以搬到同一个量上；两种做法都通，但分离参数更快。要提防的是把最大值算成 ： 是 的最值点，不是本题 的最值点。 【答案】 例4（单选·★★★☆☆） 若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先定 的符号。若 ，则 ，而取 时 ，左边非正而右边为正，不等式不成立。故 。 【关键】不等式即 。两边同乘正数 ，得 。右边的 用同一个技巧写成 。于是两边都成了 的形状。 【关键】 在 上严格递增。题设给出 ，故 ；而 、，故 。两个输入都落在递增段内，可以脱壳，得 。 【关键】于是 对一切 成立。当 时右端为负，不必考虑；在 上， 的导数为 ，在 处为零且在两侧变号，故最大值是 。所以 ，最小值为 ，选 A。 【易错】脱壳前必须确认两个输入在同一单调段内，这道题正是靠 这个条件把 拉进了 的范围。若题目只给 ， 可能小于 ，脱壳就不能直接做。 【答案】A 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是___________． 【切入点】不等式两边都乘 化简：，再把含 的项归到同一边：。 【关键】看右边的形状。，所以右边恰好是 。而左边是 。两边都是同一个函数 在两个不同输入处的取值。 【关键】，所以 在全体实数上严格递增，可以直接脱壳，得 。 【关键】于是 对一切 成立。记 ，，在 处为零且在两侧变号，故最大值 。所以 ，取值范围是 。 【易错】这道题的关键是把 认出 。如果只盯着左边做文章，会一直想不通为什么 的下界是 ；认出两边同形之后，整个不等式就只剩一次脱壳。另注意 的最大值在 处取得，此时 与 的关系可以反过来验算 的值。 【答案】 变式4-2（解答·★★★★★） 已知．（1）当时，求函数的单调性；（2）当时，判断曲线与直线交点的个数，并证明；（3）设，若存在实数，使关于的不等式的解集为，求的最小值．参考数据：，，，，． 【切入点】三问层层递进。(1) 定参数后求导判号；(2) 交点数就是差函数的零点个数，靠单调性与两端趋势定；(3) 把解集条件翻译成函数的最值条件。 【关键】(1) 当 时，。逐项求导：，而 。两项相加后分子化为 ，即。分母恒正，故导数符号与 一致，所以 在 上递增、在 上递减。 【关键】(2) 当 时记 ，交点个数就是 的零点个数。由 (1) 的计算可知 ，它恒为负，所以 严格递减。 【关键】再看两端。；当 时 、 趋于负无穷，故 。严格递减且由正变负，所以 恰有一个零点，两曲线恰有 个交点。 【关键】(3) 不等式 的解集为 ，意思是 当且仅当 。先看 的走向：它在 时趋于 ，在 时趋于 ，中间只有一个极大值点，整条曲线是「先升后降」的单峰形状。在单峰形状下，条件化为两条。一是等号恰在 处成立，即 ；二是整条左半轴都要大于 ，而最左端 趋于 ，所以还要 。合起来就是：方程 在 上有解。【关键】逐个检验正整数。 时 ，而 ，在 上 恒为正，无解； 时同理，一直到 处 仍为正，无解； 时 而 ，由连续性知 内有解，且该解约等于 ，确实落在 之内（）。取它为 ，再逐段核对「左边全大于 、右边全不超过 」，两条都成立。所以 的最小值为 。 【易错】(2) 问里只算单调性还不够，必须把两端的趋势写出来，否则无法断定「恰有一个」而不是「零个」；(3) 问的关键是想清楚「解集为 」到底在要求什么 ——它要求整条左半轴上都恒大于 ，而不只是在某一段上。它同时约束了等号成立的位置与最大值的位置，两件事都要用上。 【答案】①在 上递增、在 上递减；②恰有 个交点；③ 的最小值为 三、配对同构：求参数范围 前一节处理的是「解出 的范围」，这一节处理的还是同一类不等式，只不过问的是参数的范围。两者用的工具完全一样，差别只在最后一步：脱壳之后是把 解出来，还是把参数解出来。 含参的不等式有两条路可走，选哪一条取决于参数好不好挪。若参数能被干净地移到一边，例如化成 或者 ，那就直接求 的最值，把问题变成一道不含参数的极值题，这是分离参数。这条路的好处是不必讨论参数的符号，代价是必须把 的最值算出来。 若参数挪不出来，典型情形是参数出现在指数里，那就改走整体同构：把参数与变量一起搬进同一个整体，让不等式变成关于这个整体的一元不等式，再从这个不等式反推参数。比如含 的式子，把 写成 之后， 就成了 ，参数与变量合并进了指数 ——这正是同构题里参数最常见的藏身之处。 实际操作时有个顺序上的经验。先看参数能不能分离；如果不能，再考虑整体同构。而在整体同构之后，往往还需要判断外层函数在哪一段上单调，这一步决定了脱壳时不等号的方向，也决定了参数范围的开口方向。 另一端要留意的是取等条件。恒成立问题里的参数边界值，总是来自某个「取等」的位置；因此可以先尝试用特殊值把边界猜出来，再回头证明它是充分的，这种先猜后证的做法在压轴题里很常见，猜的过程通常是令两边相等的那个 恰好取到最值。 最后是端点。分离参数得到的 与 只差一个等号，而这一号之差决定答案对不对。判断的依据是 的最小值能不能取到：若最小值在某个具体的点取到，且那个点满足定义域，就用闭区间；若最小值只是在无穷远处逼近的极限，就用开区间。 例5（多选·★★★☆☆） 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则 B. 是的极值点 C. 若函数恰有2个正零点，则 D. 若关于x的不等式有解，则 【切入点】两个函数一个是 、一个是 ，后者可以拆成 ，两者相减正好能凑出 与 ，这就是本题要用同构的信号。 【关键】 项： 恒成立。当 时左边非正、右边为正，不成立；当 时分离参数得 ，而 在 处取到最大值 ，所以 。 正确。 【关键】 项： 要求 ， 的符号决定了定义域是 还是 。 时定义域里根本没有 ，谈不上它是不是极值点。 错误。 【关键】 项：。把 写成 ，记 ，但更方便的是直接求导：，它在 上由负变正，故恰有一个极小值点 ，满足 。极小值整理后等于 。 【关键】接上：上式随 增大而减小，在 处为零，所以恰有两个零点的条件是极小值小于零，即 。由 递增知这等价于 ，即 。 正确。 【关键】 项：。取 得它的值为 ，要求有解，先得到必要条件 。函数 在 上递增，且 时为 ，故 ；再检验 的情形（此时定义域取 ），也能找到使不等式成立的 。所以 。 正确。选 ACD。 【易错】 项的陷阱是默认 。题面只说 是参数，没有限定符号，而对数函数的定义域依赖于 的正负，讨论定义域这一步不能省。 【答案】ACD 变式5-1（多选·★★★☆☆） 已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（ ） A. ， B. C. D. 的最大值为 【切入点】乘积恒非负，而 。先看 的取值结构：它的最小值在 处，等于 ，由 知它是负的。 【关键】又 在 处为正、当 时趋于正无穷，所以它恰有两个零点，记为 ，且在 内为负、在两端为正。乘积恒非负就要求 在 内非正、在两端非负，所以它的两根恰好是 与 。 【关键】于是 ，。由 是 的零点得 、，两式相乘得 ，即 。 【关键】 项：由 可判 、，故 、。 正确。 项：。 正确。 项：上式给出的是 ，与 不符。 错误。 【关键】 项：把 代入，。记 ，，在 处为零且由正变负，而 ，故最大值 。 正确。选 ABD。 【易错】本题的关键是把「乘积恒非负」翻译成「两个因式的零点相同」。若只从符号表入手而不指出 的根就是 、，后面 、 与 的关系就无从建立。 【答案】ABD 变式5-2（解答·★★★★☆） 已知函数，.（1）若函数在处取得极值，求实数的值及此时的单调区间；（2）令，若对，的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围. 【切入点】(1) 问用极值点的必要条件；(2) 问的「图象不在下方」就是恒成立，把参数分离出来即可。 【关键】(1) ，在 处取极值说明 ，即 ，得 。此时 ，所以 在 上递增，且 ，故 在 上递减、在 上递增。 【关键】(2) 条件即 对一切 成立，也就是 ，分离参数得 。 【关键】记 ，。分子的导数 ，故分子递增；而 时分子为 ，所以它是唯一的驻点。 【关键】于是 在 处取到最小值，。所以 ，即 ，取值范围是 。 【易错】(1) 问里 只是极值点的必要条件，还要验证导数确实在该点变号，这靠 一句话完成；(2) 问里 的分子不是一眼能看出单调的，对它再求一次导（分子求导）是必要的一步。 【答案】①，且在 上递减、在 上递增；②取值范围是 例6（单选·★★★☆☆） 若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里同时出现 与 ，问的是 最大时 的值，说明要把 表示成 的函数，再对 求最值。 【关键】不等式两边乘 ：，即 。对固定的 ，右边的最小值就是 能取到的最大值。 【关键】记 ，，在 处为零且在两侧变号，故最小值 。 【关键】于是 ，右端是关于 的函数。记 ，，在 处为零且由正变负，所以 在该点取最大值，即 最大时 ，选 A。 【易错】两层最值的顺序不能颠倒。这里先对 求最小值得到 的上界（关于 的函数），再对 求最大值；若先对 动手，会把变量关系弄乱。 【答案】A 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）讨论函数的单调性.（2）设函数，若存在唯一实数使函数的最小值为0，求实数的取值范围. 【切入点】(1) 问按 的符号分类即可。(2) 问的关键是把「最小值」算出来，再看方程「最小值减 为零」有几个解。 【关键】(1) 。当 时 ，故 ， 在 上递减。当 时令 得 ，左侧导数为负、右侧为正，所以 在 上递减、在 上递增。 【关键】(2) 由 (1) 知只有 时 才有最小值。把 代入 ：，故最小值为 。条件即 这个方程在 上恰有一个解。 【关键】把方程整理：两边乘 得 。记 ，问题成为 在 上恰有一个解。 【关键】当 时，左边在 上单调递减（ 时为常值 ），右边严格递增，两者在 处相等，且各自单调性相反，故恰有一个交点，即 。当 时方程就是 ，由 知只有 一个解，即 。当 且 时，两条曲线在 处相交但在该点斜率不同，在 的两侧还会再交一次，共两个解，不合题意。综上 或 。 【易错】(2) 问容易漏掉 这个孤立的解，因为 恰好落在「两条曲线相切」的位置，它与 的情形在图形上是断开的，必须单独拿出来说。 【答案】① 时在 上递减， 时在 上递减、在 上递增；② 或 变式6-2（解答·★★★★★） 已知函数，．（1）当时，求在处的切线方程；（2）若有唯一的零点，求的值． 【切入点】(1) 问求切线，直接代点；(2) 问是零点个数问题，式子里 与 并存，预料要用同构把两者合到一起。 【关键】(1) 当 时 。先算 。求导得 ，故 。切线方程为 ，整理得 。 【关键】(2) 令 并两边乘 ：，即 。右边用恒等式改写：。 【关键】记 。当 时 严格递增，取值范围是 ，所以方程的零点个数与方程 在 上的解数完全相同。 【关键】由 分离参数得 。记 ，，在 处为零且由正变负，故最大值 。又当 时 、当 时 ，所以方程 恰有一个解的充要条件是 。 【易错】(2) 问里「恰有一个零点」对应的是 取到 的最大值这一种情形，而不是「 落在某个区间里」。若只看单调性而不看两端的趋势，很容易误答成一整段区间。 【答案】①；② 四、指对配对： 与 前面用的那一对是 与 ，这一节换一对： 与 。这两者互为反函数，图象关于直线 对称。对称带来一个常用的结论，但它有前提。若底数 ，两个函数都递增，此时两条曲线的公共点一定落在直线 上：设公共点为 ，则 与 同时成立，由单调性即可推出 。若 ，两个函数都递减，公共点就不必落在 上 ——它们会成对出现，两个点关于直线 对称，一个在直线上方、一个在下方。这个区别在做含参讨论题时是决定性的，不能一概而论。 除了用对称性，还有一条更常用的路：统一底数。把 写成 ，把 写成 ，两个函数就都变成了以 为底的样子，接下来要用的恒等式与前三节完全一样。这也说明这一节并不是新方法，只是换了一对材料。 特别要记住幂指函数的处理。 这种底数与指数都含 的式子，唯一的正道是把它写成 ——指数里出现了对数，于是它正式加入了 这一族。凡是看到幂指函数，第一步永远是先取 的指数。 讨论这类题要盯住两件事。一是底数的范围： 时两个函数都递增， 时都递减，单调性相反会直接改变不等号的方向与最值的取法； 时两个函数一个退化成常数、一个没有意义。二是对数的真数必须为正，定义域往往由它决定，而定义域不同会牵连到极值点存在与否。 最后把处理顺序固定下来：先看底数是否统一，不统一就换底；再看真数与指数的取值范围；然后用单调性脱壳或者分离参数。三步走完，剩下的就是常规的求导与最值。 例7（单选·★★★☆☆） 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 由指数项与对数项相减而成，两项都含参数 ，没法直接分离，先把定义域与底数范围摆出来：真数要求 ，题目限定 ，底数满足 ，此时 与 都递增。 【关键】「存在单调递减区间」等价于导数在定义域内能取到负值，也就是 的最小值小于零。求导：。 【关键】再求一次导判断 的单调性：，由 知 ，两项都为正，所以 在 上严格递增。 【关键】递增函数的最小值在左端点处逼近，故只须 在 时的极限小于零：，两边乘正数 得 ，即 ，所以 ，选 B。 【易错】两处。一是把「存在递减区间」理解成「整个区间上递减」，那样会要求 恒为负，条件会强很多；二是 递增时最小值取在端点，而端点 取不到，所以条件写成本身小于零、由连续性保证 充分小时导数为负，这一步要说清楚。 【答案】B 变式7-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 曲线在点处的切线方程为 C. 恒成立 D. 恒成立 【切入点】 是幂指函数，底数与指数都含 ，第一步必须先化成以 为底：，。 【关键】求导得 ，它与 同号，故 在 上递减、在 上递增。 项说在 上递减，而 上它是递增的， 错误。 【关键】 项：，，故点 处的切线为 ，即 。 正确。 【关键】 项：两边取对数， 等价于 。记 ，，在 处由负变正，故最小值 ，不等式成立。 正确。 【关键】 项：要证 。由 且 ，只需 ，即 ；而 与 同号，这个式子恒成立。 正确。选 BCD。 【易错】 项的放缩链条容易写反：这里是用 把 放大到 ，再证 ，方向必须一致；另外 与 同号这个事实要单独点明，它是 的另一面，不能想当然。 【答案】BCD 变式7-2（多选·★★★☆☆） 已知函数且且，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时，若在区间恒成立，则实数的取值范围为 B. 当（e为自然对数的底数）时，的最小值为2 C. 当（e为自然对数的底数）时，若恒成立，则实数的最小值为 D. 当时，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为 【切入点】四个选项分别取不同的参数配置，共同点是函数都由 与 组成，处理办法统一为：换底、求导、按底数范围讨论。 【关键】 项：当 时 。在 上 ，要使 恒成立，只需 在该区间恒成立。这要求 （否则 很小时对数为负），且 恰好给出临界，解得 ，故 。 正确。 【关键】 项：取 时 ，其最小值在 的邻域内并不等于 ： 在 上有零点 ，而 。 错误。 【关键】 项：取 、，则 。条件 即。记 并整理，可得 的最小值为 。 正确。 【关键】 项：取 时 。 时两个函数都递增，由单调性各有一支，有两个零点要求两条曲线相交；而 过大时 上升太快、 上升太慢，不再相交。临界情形是两曲线相切，解得 ，故 。 正确。选 ACD。 【易错】 项的临界值 来自相切条件，与前面几节里以 为界的题容易混淆，要记住这里因为底数也参与变化，边界是 。 【答案】ACD 例8（解答·★★★★★） 设，函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若，若与的图象有两个公共点，求的取值范围；（3）若存在，使得与的图象有三个公共点，求实数的取值范围. 【切入点】先看清两个函数的关系。由 反解 得 ，所以 与 互为反函数，它们的图象关于直线 对称。三问都建立在这个关系上。 【关键】(1) 当 、 时 ，，故 、。切线方程为 ，即 。 【关键】(2) 当 时两个函数都递增，由前面的结论，公共点全部落在直线 上，于是公共点个数等于方程 的解的个数。把它整理成 ，两边取对数得 ，其中 。 【关键】记 。，令分子为零，解得 ；在该点左侧导数为正、右侧为负，故它取到最大值。两个公共点要求 落在 与最大值之间，结合 得 。 【关键】(3) 当 时两个函数都递减，公共点不再必须落在 上。三个公共点的结构只能是：一个在 上，另两个关于 对称。前者要求方程 有解，后者要求这两条曲线在直线之外还相交；临界情形是两曲线相切，算出临界值 ，故只有一个公共点在直线上、且另有一对对称交点时 。 【易错】(2) 问的核心是「 时公共点必在 上」，漏掉这个前提而直接对 硬解，会无从下手；(3) 问恰好相反，正是靠「 时公共点可以不在 上」才可能凑出三个交点，两个小问的对比本身就是这一节的重点。 【答案】①；②；③ 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个函数一个是对数型、一个是指数型，参数 同时出现在两处的底数里，各自都要求「在 上递增」，两个条件取交集。 【关键】先看 。换底：。 【关键】要让 在 上递增， 的系数必须为正。这就要求 与 同号且 。两者同号时，由于 ，必有 ，故只有同为负数才可能，即 。 【关键】再看 。两个指数函数都递增要求底数大于 ，即 且 ；其中 对一切 成立，故只要 。这与上面的 矛盾，说明还要把 递增的条件放宽来重新讨论。 【关键】回到 ： 时两个对数都为负，系数 （两个负倒数相减）为正， 递增；但此时 使 递减，不满足。换一条路：让 递增的另一种可能是两者都为正，即 ，此时 导致系数为负，不行。综合两条约束解得 ，选 D。 【易错】本题的两个条件方向相反，必须同时满足，所以取值区间一定落在 内；下界 来自 与 同时为正这一附加要求，漏掉它就会误选 。 【答案】D 变式8-2（填空·★★★☆☆） 设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 【切入点】两个零点分别满足两个方程，先把它们都化成只含 的形式，看能不能把 与 联系起来。 【关键】 是 的零点，故 ，两边取对数得 ，即 。由 知 ，故 ，即 。 【关键】 是 的零点，故 ，即 。由 知 ，即 。 【关键】两式联立：。记 ，由 知 ，而 ，两者都在 上，该区间上函数 严格递增（导数 ），所以 ，即 。 【关键】于是 ，其中 。记 ，，在 上恒为正，故 递增，而 时 （取不到），所以取值范围是 。 【易错】关键是判断两个变量落在 的同一单调段上。若忽略 与 这两个范围，就不会想到取倒数把 抬到大于 ，也就用不上单调性，只能停在两个方程上。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 同构与结构识别（上）· 同构的通道 函数与导数 · 专题篇 一、同构的入口： 与 指数与对数是一对互逆的运算，这一节要用到底的就是这个互逆关系：对任意正数 都有 ，把 换成含 的整式也照样成立。这句话看着朴素，用处却很大 —— 它允许把一个乘在指数外面的因子搬进指数里面去，也允许把一个指数上的东西搬下来变成对数。 最常用的一次搬运是针对 。把前面的 写成 ，两个指数相乘就合并成一个指数：。反过来读也成立：，因为对 取对数就是 。于是「乘积形」 与「对数形」 说的是同一件事，它们之间只差一个 的指数运算。 这一步的意义在于换族。指数式与对数式本来是两族完全不同的函数，放在同一个不等式里没法直接比较；但只要把两边都搬到 这个量上，不等式就成了同一个函数在两处的取值问题，单调性立刻可以用。把 记成一个整体，例如令 ，那么 就是 ，问题从「两个陌生函数」变成了「一个熟悉函数」。 同理还可以处理别的配对。把 里的 换成 之类，能造出 、、 这些常见形状；它们的共同点是「指数与对数同时出现」，而处理办法永远是同一个：找出那个同时喂给两边的量，把它设成一个字母。 具体到做题，判断能不能用这一招，看的是两条。第一，式子里是否同时出现了指数式与对数式；第二，把含参或含变量的部分移到一起之后，两边是不是「同一个函数的两种外形」。两条都满足就设整体、换元；只满足第一条而两边对不上，那多半要用求导或放缩，不要硬凑。 最后提醒一点：换元之后必须交代清楚新变量的取值范围。例如 在 上是从负无穷增到正无穷的，所以 可以取遍全体实数；而 在 上的取值范围是 。范围交代清楚，后面的最值讨论才不会漏掉取不到的点。 例1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 函数存在唯一零点 B. 若方程在上有唯一解，则实数的取值范围是 C. 存在唯一，使得 D. 关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 变式1-1（单选·★★★☆☆） 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式1-2（填空·★★★☆☆） 已知函数，若曲线在点处的切线与函数的图象无公共点，则实数的取值范围为______． 例2（单选·★★★☆☆） 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 变式2-1（填空·★★★★☆） “朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为_______. 变式2-2（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（2）若，都有恒成立，求实数a的取值范围． 二、配对同构：脱壳解不等式 上一节把指数式与对数式搬到了同一个函数上，这一节就用它做第一件事：解不等式。凡是不等式两边是「同一个函数在两种不同输入下的取值」，都可以把外面的那层函数去掉，只留下里面两个输入之间的大小关系。这个动作俗称脱壳。 脱壳的依据只有一条，就是外层的严格单调性。若 在某个区间上严格递增，那么在这个区间内 与 完全等价；若 严格递减，两者等价而不等号方向要反过来。所以脱壳之前必须先把外层函数的单调性说清楚，既要说它在哪个区间上单调，也要说清两个输入都落在这个区间里。 同构题常用的外层函数有四个。 在全体实数上严格递增，因为它由两个递增函数相加得到； 在 上严格递增，在 上严格递减，不是一个整体单调的函数； 在 上递增； 在 上递增、在 上递减。看清是哪一支，是这一步的全部难点。 操作的顺序可以固定下来：先把含参的部分集中到一边，再寻找两边共同的外层，然后把两个输入分别设成字母，最后判断外层在哪一段上单调、两个输入是不是都在这一段里。如果两个输入落在单调性不同的两段上，脱壳就不能直接用，这时要么先把式子整理成同一段，要么改用别的办法。 还有一处必须交代：脱壳得到的是两个输入之间的不等式，不是原变量的不等式。例如外层是 ，脱壳后得到的是两个 的大小关系，还要把它换回 才能求解集。换回去的时候要注意新变量的取值范围，否则会把不满足条件的解也收进来。 最后说一个常见的误判：两边都是 的多少次方，并不就能直接脱壳。判断标准是，把两边的公共部分提出来之后，剩下的外形是否完全一致。 例3（填空·★★★☆☆） 若不等式 恒成立，则 的取值范围_____. 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______． 例4（单选·★★★☆☆） 若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是___________． 变式4-2（解答·★★★★★） 已知．（1）当时，求函数的单调性；（2）当时，判断曲线与直线交点的个数，并证明；（3）设，若存在实数，使关于的不等式的解集为，求的最小值．参考数据：，，，，． 三、配对同构：求参数范围 前一节处理的是「解出 的范围」，这一节处理的还是同一类不等式，只不过问的是参数的范围。两者用的工具完全一样，差别只在最后一步：脱壳之后是把 解出来，还是把参数解出来。 含参的不等式有两条路可走，选哪一条取决于参数好不好挪。若参数能被干净地移到一边，例如化成 或者 ，那就直接求 的最值，把问题变成一道不含参数的极值题，这是分离参数。这条路的好处是不必讨论参数的符号，代价是必须把 的最值算出来。 若参数挪不出来，典型情形是参数出现在指数里，那就改走整体同构：把参数与变量一起搬进同一个整体，让不等式变成关于这个整体的一元不等式，再从这个不等式反推参数。比如含 的式子，把 写成 之后， 就成了 ，参数与变量合并进了指数 ——这正是同构题里参数最常见的藏身之处。 实际操作时有个顺序上的经验。先看参数能不能分离；如果不能，再考虑整体同构。而在整体同构之后，往往还需要判断外层函数在哪一段上单调，这一步决定了脱壳时不等号的方向，也决定了参数范围的开口方向。 另一端要留意的是取等条件。恒成立问题里的参数边界值，总是来自某个「取等」的位置；因此可以先尝试用特殊值把边界猜出来，再回头证明它是充分的，这种先猜后证的做法在压轴题里很常见，猜的过程通常是令两边相等的那个 恰好取到最值。 最后是端点。分离参数得到的 与 只差一个等号，而这一号之差决定答案对不对。判断的依据是 的最小值能不能取到：若最小值在某个具体的点取到，且那个点满足定义域，就用闭区间；若最小值只是在无穷远处逼近的极限，就用开区间。 例5（多选·★★★☆☆） 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则 B. 是的极值点 C. 若函数恰有2个正零点，则 D. 若关于x的不等式有解，则 变式5-1（多选·★★★☆☆） 已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（ ） A. ， B. C. D. 的最大值为 变式5-2（解答·★★★★☆） 已知函数，.（1）若函数在处取得极值，求实数的值及此时的单调区间；（2）令，若对，的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围. 例6（单选·★★★☆☆） 若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）讨论函数的单调性.（2）设函数，若存在唯一实数使函数的最小值为0，求实数的取值范围. 变式6-2（解答·★★★★★） 已知函数，．（1）当时，求在处的切线方程；（2）若有唯一的零点，求的值． 四、指对配对： 与 前面用的那一对是 与 ，这一节换一对： 与 。这两者互为反函数，图象关于直线 对称。对称带来一个常用的结论，但它有前提。若底数 ，两个函数都递增，此时两条曲线的公共点一定落在直线 上：设公共点为 ，则 与 同时成立，由单调性即可推出 。若 ，两个函数都递减，公共点就不必落在 上 ——它们会成对出现，两个点关于直线 对称，一个在直线上方、一个在下方。这个区别在做含参讨论题时是决定性的，不能一概而论。 除了用对称性，还有一条更常用的路：统一底数。把 写成 ，把 写成 ，两个函数就都变成了以 为底的样子，接下来要用的恒等式与前三节完全一样。这也说明这一节并不是新方法，只是换了一对材料。 特别要记住幂指函数的处理。 这种底数与指数都含 的式子，唯一的正道是把它写成 ——指数里出现了对数，于是它正式加入了 这一族。凡是看到幂指函数，第一步永远是先取 的指数。 讨论这类题要盯住两件事。一是底数的范围： 时两个函数都递增， 时都递减，单调性相反会直接改变不等号的方向与最值的取法； 时两个函数一个退化成常数、一个没有意义。二是对数的真数必须为正，定义域往往由它决定，而定义域不同会牵连到极值点存在与否。 最后把处理顺序固定下来：先看底数是否统一，不统一就换底；再看真数与指数的取值范围；然后用单调性脱壳或者分离参数。三步走完，剩下的就是常规的求导与最值。 例7（单选·★★★☆☆） 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式7-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 曲线在点处的切线方程为 C. 恒成立 D. 恒成立 变式7-2（多选·★★★☆☆） 已知函数且且，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时，若在区间恒成立，则实数的取值范围为 B. 当（e为自然对数的底数）时，的最小值为2 C. 当（e为自然对数的底数）时，若恒成立，则实数的最小值为 D. 当时，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为 例8（解答·★★★★★） 设，函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若，若与的图象有两个公共点，求的取值范围；（3）若存在，使得与的图象有三个公共点，求实数的取值范围. 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式8-2（填空·★★★☆☆） 设分别是与的零点，则的取值范围是___________． 学科网（北京）股份有限公司 $