第26讲 导数同构·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数同构专题，涵盖同构变形与解方程、比较大小、零点问题、不等式恒成立、证明不等式与极值点偏移五大核心考点，按考情分析、知识清单、典题精练逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建解题框架。 讲义以“母函数与亲戚函数”模型建构为特色，创新采用同构变形技巧，如考点一通过构造同构式转化方程求值，考点四利用取对数法解决恒成立问题，培养学生数学思维与模型观念。设置分层典例与方法总结，确保高效突破难点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第26讲 导数同构 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精讲 4 考点一：同构变形与解方程、求值 4 考点二：利用同构比较大小与求最值 5 考点三：利用同构研究零点与交点问题 7 考点四：利用同构解决不等式恒成立问题 9 考点五：利用同构证明不等式与极值点偏移 11 一、考情分析 近三年全国一卷未直接或间接考查导数同构相关知识点.备考时建议将本讲作为应对复杂指对数混合方程与不等式的高阶方法储备，重点掌握常见的同构构造模式（如、、等）与基本题型即可，无需在极端复杂的同构变形上过多投入精力. 二、知识清单 1. 常见的同构函数图像 函数表达式 图像 函数表达式 图像 ，函数极值点 ，函数极值点 ，函数极值点 ，函数极值点 ，过定点 ，函数极值点 ，函数极值点 ，函数极值点 ，函数极值点 2. 同构式的基本概念与导数压轴题 （1） 同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式. （2） 同构式的应用： ① 在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根. ② 在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.同构小套路：指对各一边，参数是关键；常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；信手拈来凑同构，凑常数、、参数；复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围. ③ 在解析几何中的应用：如果，满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程. ④ 在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解. （3） 常见的指数放缩：；. （4） 常见的对数放缩：；. （5） 常见三角函数的放缩：，. （6） 学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： ① 当且，时，有. ② 当且时，有. 再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）： ③ ；. ④ ；. ⑤ ；. ⑥ . 再结合常用的切线不等式，，，等，可以得到更多的结论，这里仅以第③条为例进行引申： ⑦ ；. ⑧ ；. （7） 同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有： ① . ② . ③ . （8） 乘法同构、加法同构 ① 乘法同构，即乘同构，如. ② 加法同构，即加同构，如. ③ 两种构法的区别：乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围. （9） 积、商、和差型同构的代数特征 ① 和差型：代数式中呈现加减关系，常构造母函数或. ② 积型：代数式中呈现乘法关系，如，常通过两边同取自然对数转化为和差型，进而构造母函数；或直接构造母函数与. ③ 商型：代数式中呈现除法关系，如，常构造母函数或. （10） 同构与极值点偏移的横向联系 在处理双变量问题（如）时，同构常与极值点偏移结合.通过同构变形将双变量转化为同一函数的两个自变量，再利用对称构造（如）研究自变量之和或之积的范围. 三、典题精讲 考点一：同构变形与解方程、求值 考法1：构造同构解方程或求值 例1.（2026·安徽A10·五模）已知正实数满足，则 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】观察已知等式，含有对数与一次项的混合形式.将等式左边合并为，并尝试拆分为与和相关的两部分，即.将等式右边也凑成与的形式，从而构造出形如的函数，利用该函数的最值性质即可求出和的值. 【解析】由题意得，，，则等价于.设，则，则在上单调递减，在上单调递增，∴，即，当且仅当时等号成立.由得，，则，又，∴，即，则. 【规律】处理指对数混合的等式求值问题时，常通过移项、合并或拆分，将等式两边化为结构相同的形式.若构造出的函数具有唯一的最值点，且等式恰好在最值处成立，则可直接利用最值条件解出变量的值.常见的放缩不等式如和在同构构造中应用广泛. 【考点一 方法总结】 1. 处理指对数混合的等式求值问题时，常通过移项、合并或拆分，将等式两边化为结构相同的形式. 2. 若构造出的函数具有唯一的最值点，且等式恰好在最值处成立，则可直接利用最值条件解出变量的值. 3. 常见的放缩不等式如和在同构构造中应用广泛. 考点二：利用同构比较大小与求最值 考法2：利用同构比较大小 例2.已知，且，其中为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】已知等式中含有指数与三角函数的乘积，通过分离变量，将含有的项与含有的项分别移至等式两侧，构造出函数.利用导数分析该函数在上的单调性，结合的大小关系及函数值的相等条件，确定所在的单调区间，进而推导出它们与极值点的位置关系. 【解析】构造，，则恒成立，则，当时，，，当时，，，∴在单调递增，在单调递减，∵，∴，，又，∴，D错误，∵，∴，，∴，∴，A错误，B正确.令，则，，当时，恒成立，∴在上单调递增，当时，，即，∵，∴，∵，∴，∵在单调递减，∴，即，∵在上单调递减，∴，C错误.故选：B. 【规律】利用同构法比较大小时，核心步骤是“分离变量—构造函数—研究单调性”.当遇到且时，必然分别位于极值点的两侧.若需进一步比较两自变量的和与某常数的关系，常通过构造差函数或利用对称性进行极值点偏移分析. 考法3：利用同构求函数最值 例3.（2025·萍乡·二模）已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】题目给出了含有双变量的抽象不等式及一个特殊函数值.突破口在于利用赋值法，令，将双变量不等式转化为只含的单变量不等式.随后通过代数变形，分离出，将其转化为求一个具体函数的最值问题，利用换元法和基本不等式即可求解. 【解析】令，原不等式可化为：，代入，化简可得：，令，得到，再令，可得：，由对勾函数的单调性，可知在上单调递减，∴当时，取得最小值，∴的最大值为，也即的最大值为，∴的最大值为，故选：A. 【规律】处理含有双变量的抽象函数不等式时，赋值法是降维的有效手段.通常将其中一个变量赋为已知函数值对应的自变量，从而得到目标函数的解析式或边界.在求复杂分式函数最值时，常通过换元将其转化为对勾函数模型，注意换元后新变量的取值范围. 【考点二 方法总结】 1. 利用同构法比较大小时，核心步骤是“分离变量—构造函数—研究单调性”.将已知等式变形为或等形式，结合函数的单调性即可比较大小. 2. 当遇到且时，必然分别位于极值点的两侧.若需进一步比较两自变量的和与某常数的关系，常通过构造差函数或利用对称性进行极值点偏移分析. 3. 处理含有双变量的抽象函数不等式时，赋值法是降维的有效手段.通常将其中一个变量赋为已知函数值对应的自变量，从而得到目标函数的解析式或边界. 4. 在求复杂分式函数最值时，常通过换元将其转化为对勾函数模型，注意换元后新变量的取值范围. 考点三：利用同构研究零点与交点问题 考法4：利用同构研究函数零点或方程根的个数 例4.（2026·华师一附中·五模）已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】方程中同时包含指数和对数，且底数不同，需通过对数运算性质将拆分，并将常数2转化为与指数项合并.整理后，将含有的项与含有的项分别置于等号两侧，构造出形如的同构函数.利用该函数的单调性脱去函数符号，转化为两个具体函数图象的交点问题. 【解析】即方程有两个不相等的实根，令，则，又∵单调递增，∴，即有两个不相等的实根，令，求导得在单调递增，在单调递减，，时，时，由图象得. 【规律】解决指对数混合方程根的个数问题，核心是“同构变形”.将方程化为的形式，利用的单调性得到，从而将复杂方程转化为常规的参数分离问题.分离参数后，通过研究新函数的极值与渐近线，结合图象直观确定参数范围. 考法5：利用同构求函数交点问题 例5.已知函数和有相同的最大值，并且. （1）求. （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 【答案】（1） （2）见解析 【思路】第一问通过求导分别求出两函数的最大值表达式，结合已知条件联立解出参数.第二问是交点问题，先画出两函数的大致图象，明确直线与曲线交点的分布情况.利用交点纵坐标相等，将等式变形为同构形式，从而发现两函数交点横坐标之间的内在联系，进而证明等比数列关系. 【解析】（1），.若，则时，时，∴在定义域内先减后增，无最大值.若，则，最大值为，但不满足.若，令，得.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.∴时取得最大值，最大值为，.若，则时，时，∴在定义域内先减后增，无最大值.若，则，最大值为，但不满足.若，令，得.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.∴时取得最大值，最大值为.综上，，解得. （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，有唯一的零点，有唯一的零点.它们的大致图像如图所示，设曲线与在上交于点， 当直线经过点时，直线与曲线还有另一个交点，设，，，不妨设直线与曲线还有另一个交点，则，则，故①，同理得②，由①②知，与是直线与曲线交点的横坐标，故是存在的.∵且，∴，又，∴，，从而有，故结论成立. 【规律】处理不同函数与同一直线交点横坐标的关系时，关键在于寻找两个函数解析式之间的同构联系.通过代数变形，将其中一个函数的方程化为与另一个函数结构一致的形式，从而利用同一函数的单调性建立不同交点横坐标之间的等量关系. 【考点三 方法总结】 1. 解决指对数混合方程根的个数问题，核心是“同构变形”.将方程化为的形式，利用的单调性得到，从而将复杂方程转化为常规的参数分离问题. 2. 分离参数后，通过研究新函数的极值与渐近线，结合图象直观确定参数范围. 3. 处理不同函数与同一直线交点横坐标的关系时，关键在于寻找两个函数解析式之间的同构联系.通过代数变形，将其中一个函数的方程化为与另一个函数结构一致的形式，从而利用同一函数的单调性建立不同交点横坐标之间的等量关系. 考点四：利用同构解决不等式恒成立问题 考法6：指对数混合同构求参数范围 例6.（2026·湘一联盟·二模）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】方程中含有指数、对数及参数.首先将对数项合并，得到，然后将等式两边同除以，分离出指数部分.通过引入，将指数项转化为同底数形式，并在等式两侧分别配凑出形如的结构，利用该函数的单调性将方程降维，最后转化为求函数值域的问题. 【解析】由，得，即，即.设，则，∵，∴在上单调递增，∴，即.设，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，∴，∴，. 【规律】处理指对数混合的方程有解或恒成立问题，标准动作是“取对数”或“指数化”.将常数或参数转化为指数形式（如），通过加减项配凑，构造出或等经典同构函数.脱去函数符号后，问题即转化为常规的参数分离求最值. 考法7：其他类型同构求参数范围 例7.（2026·沧州十二校·一模）已知函数，（为自然对数的底数，）. （1） 证明：当时，. （2） 关于的方程的一个实数根为，其中， ①求实数的取值范围. ②证明：. 【答案】（1）见解析 （2）① ②见解析 【思路】第一问是常规的利用导数证明不等式，构造差函数求最值即可.第二问①中，先将复合函数方程展开，两边取对数，利用换元法令，将方程转化为参数关于的函数，通过研究该函数的单调性求出的范围.②中，不等式证明需结合①中得到的与的关系式，将含的不等式转化为只含的不等式，再利用第一问的结论进行放缩证明. 【解析】（1）设，，则；∴在上单调递减，在上单调递增；∵，，∴时恒成立，即. （2）①由得，两边取对数得，令，则，，从而有；设，.则；∴，在上单调递增；∵，，；故实数的取值范围. ②方法一：要证，只需证，∵，，要证，只需证时，，只需证.上式显然成立；要证，只需证，∵，∴，由（1）知时，，∴，即，解得，∴；于是成立. 方法二：要证，只需证，∵，只需证，只需证，上式显然，，要证，只需证，∵，故只需证，只需证，两边平方，消去，只需证，注意到，∴只需证，只需证，只需证，构造函数，，则，当时，，∴在上单调递增，当，，∴在上单调递减，又，，∴在的最大值小于，故成立. 【规律】处理复杂的指数对数混合方程时，两边取对数是降次和分离变量的常用技巧.在证明与方程根相关的参数不等式时，核心思想是“整体代换”，即将参数用含有根的表达式替换，从而将含参不等式转化为只含单变量的函数不等式，再结合前问结论或构造新函数进行证明. 【考点四 方法总结】 1. 处理指对数混合的方程有解或恒成立问题，标准动作是“取对数”或“指数化”.将常数或参数转化为指数形式（如），通过加减项配凑，构造出或等经典同构函数. 2. 脱去函数符号后，问题即转化为常规的参数分离求最值. 3. 处理复杂的指数对数混合方程时，两边取对数是降次和分离变量的常用技巧. 4. 在证明与方程根相关的参数不等式时，核心思想是“整体代换”，即将参数用含有根的表达式替换，从而将含参不等式转化为只含单变量的函数不等式，再结合前问结论或构造新函数进行证明. 考点五：利用同构证明不等式与极值点偏移 考法8：利用同构证明不等式 例8.已知函数. （1） 讨论函数的零点的个数. （2） 证明：. 【答案】（1）只有一个零点 （2）见解析 【思路】第一问通过求导判断单调性，结合零点存在性定理即可确定零点个数.第二问是不等式证明，直接构造函数求导会发现导函数中含有第一问的，从而利用第一问的隐零点进行代换.另一种思路是利用同构变形，将不等式左边凑成的形式，利用基本不等式进行整体放缩. 【解析】（1）函数定义域为，则，故在，递增，当时，，没有零点；当时，单调递增，，，由函数零点存在定理得在区间内有唯一零点，综上可得，函数只有一个零点. （2）法一：要证，即证，令，定义域为，则，由（1）知，在区间内有唯一零点，设其为，则①，因，且在区间上单调递增，∴当时，，，单调递减，当时，，，单调递增；∴，由式①可得，，∴，又时，恒成立，∴，得证. 法二：问题转化为证明，令，易知，(当且仅当时“”成立)又，则，故(当且仅当时“”成立). 【规律】证明含有指数和对数的复杂不等式时，若直接求导遇到超越方程，常利用“隐零点代换”化简极值表达式.若能观察出表达式的结构特征，利用同构思想将其凑成的形式，再结合常见不等式（如）进行整体放缩，往往能大幅简化证明过程. 考法9：利用同构处理极值点偏移问题 例9.（2026·梅州·一模）已知函数，. （1）若在上单调递减，求的取值范围. （2）若曲线与在处有相同的切线， （i）求的值. （ii）若，证明：. 【答案】（1） （2）（i） （ii）见解析 【思路】第一问由导数小于等于0恒成立，分离参数求最值即可.第二问（i）利用在处导数值相等求出参数.第二问（ii）是极值点偏移的变式，已知两个不同函数值相等，需证明自变量乘积的范围.先分析两函数的单调性，确定的范围，将目标不等式转化为.利用的单调性，将证明转化为，再结合已知等式替换为，最终构造单变量函数进行证明. 【解析】（1），∵在上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，∵，∴，当且仅当时取等号，∴. （2）（i）∵，∴，又，由题意可得，即，解得，此时，，符合题意. （ii）由（i）知，，，∴在上单调递减，又，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，又，∴，∵在上单调递减，∴，要证，即证，∵，∴，又时，单调递增，∴只需证，即证，即证，即证，令，则，令，则，∴在上单调递减，∴，∴，∴在上单调递增，∴，即成立，∴. 【规律】处理极值点偏移或双函数值相等的变量关系证明时，核心是“变量统一”.通过分析函数的单调区间，将目标不等式（如）转化为自变量的大小关系（如）.利用其中一个函数的单调性，将自变量的比较转化为函数值的比较，再结合已知等式，最终归结为证明一个单变量函数的最值问题. 【考点五 方法总结】 1. 证明含有指数和对数的复杂不等式时，若直接求导遇到超越方程，常利用“隐零点代换”化简极值表达式. 2. 若能观察出表达式的结构特征，利用同构思想将其凑成的形式，再结合常见不等式（如）进行整体放缩，往往能大幅简化证明过程. 3. 处理极值点偏移或双函数值相等的变量关系证明时，核心是“变量统一”.通过分析函数的单调区间，将目标不等式转化为自变量的大小关系. 4. 利用其中一个函数的单调性，将自变量的比较转化为函数值的比较，再结合已知等式，最终归结为证明一个单变量函数的最值问题. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲 导数同构 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精练 4 考点一：同构变形与解方程、求值 4 考点二：利用同构比较大小与求最值 4 考点三：利用同构研究零点与交点问题 5 考点四：利用同构解决不等式恒成立问题 6 考点五：利用同构证明不等式与极值点偏移 6 一、考情分析 近三年全国一卷未直接或间接考查导数同构相关知识点.备考时建议将本讲作为应对复杂指对数混合方程与不等式的高阶方法储备，重点掌握常见的同构构造模式（如、、等）与基本题型即可，无需在极端复杂的同构变形上过多投入精力. 二、知识清单 1. 常见的同构函数图像 函数表达式 图像 函数表达式 图像 ，函数极值点 ，函数极值点 ，函数极值点 ，函数极值点 ，过定点 ，函数极值点 ，函数极值点 ，函数极值点 ，函数极值点 2. 同构式的基本概念与导数压轴题 （1） 同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式. （2） 同构式的应用： ① 在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根. ② 在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.同构小套路：指对各一边，参数是关键；常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；信手拈来凑同构，凑常数、、参数；复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围. ③ 在解析几何中的应用：如果，满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程. ④ 在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解. （3） 常见的指数放缩：；. （4） 常见的对数放缩：；. （5） 常见三角函数的放缩：，. （6） 学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： ① 当且，时，有. ② 当且时，有. 再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）： ③ ；. ④ ；. ⑤ ；. ⑥ . 再结合常用的切线不等式，，，等，可以得到更多的结论，这里仅以第③条为例进行引申： ⑦ ；. ⑧ ；. （7） 同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有： ① . ② . ③ . （8） 乘法同构、加法同构 ① 乘法同构，即乘同构，如. ② 加法同构，即加同构，如. ③ 两种构法的区别：乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围. （9） 积、商、和差型同构的代数特征 ① 和差型：代数式中呈现加减关系，常构造母函数或. ② 积型：代数式中呈现乘法关系，如，常通过两边同取自然对数转化为和差型，进而构造母函数；或直接构造母函数与. ③ 商型：代数式中呈现除法关系，如，常构造母函数或. （10） 同构与极值点偏移的横向联系 在处理双变量问题（如）时，同构常与极值点偏移结合.通过同构变形将双变量转化为同一函数的两个自变量，再利用对称构造（如）研究自变量之和或之积的范围. 三、典题精练 考点一：同构变形与解方程、求值 考法1：构造同构解方程或求值 例1.（2026·安徽A10·五模）已知正实数满足，则 A. B. C. D. 【考点一 方法总结】 1. 处理指对数混合的等式求值问题时，常通过移项、合并或拆分，将等式两边化为结构相同的形式. 2. 若构造出的函数具有唯一的最值点，且等式恰好在最值处成立，则可直接利用最值条件解出变量的值. 3. 常见的放缩不等式如和在同构构造中应用广泛. 考点二：利用同构比较大小与求最值 考法2：利用同构比较大小 例2.已知，且，其中为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是 A. B. C. D. 考法3：利用同构求函数最值 例3.（2025·萍乡·二模）已知定义在上的函数满足：，且，都有恒成立，则的最大值为 A. B. C. D. 【考点二 方法总结】 1. 利用同构法比较大小时，核心步骤是“分离变量—构造函数—研究单调性”.将已知等式变形为或等形式，结合函数的单调性即可比较大小. 2. 当遇到且时，必然分别位于极值点的两侧.若需进一步比较两自变量的和与某常数的关系，常通过构造差函数或利用对称性进行极值点偏移分析. 3. 处理含有双变量的抽象函数不等式时，赋值法是降维的有效手段.通常将其中一个变量赋为已知函数值对应的自变量，从而得到目标函数的解析式或边界. 4. 在求复杂分式函数最值时，常通过换元将其转化为对勾函数模型，注意换元后新变量的取值范围. 考点三：利用同构研究零点与交点问题 考法4：利用同构研究函数零点或方程根的个数 例4.（2026·华师一附中·五模）已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围为 A. B. C. D. 考法5：利用同构求函数交点问题 例5.已知函数和有相同的最大值，并且. （1）求. （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 【考点三 方法总结】 1. 解决指对数混合方程根的个数问题，核心是“同构变形”.将方程化为的形式，利用的单调性得到，从而将复杂方程转化为常规的参数分离问题. 2. 分离参数后，通过研究新函数的极值与渐近线，结合图象直观确定参数范围. 3. 处理不同函数与同一直线交点横坐标的关系时，关键在于寻找两个函数解析式之间的同构联系.通过代数变形，将其中一个函数的方程化为与另一个函数结构一致的形式，从而利用同一函数的单调性建立不同交点横坐标之间的等量关系. 考点四：利用同构解决不等式恒成立问题 考法6：指对数混合同构求参数范围 例6.（2026·湘一联盟·二模）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 考法7：其他类型同构求参数范围 例7.（2026·沧州十二校·一模）已知函数，（为自然对数的底数，）. （1） 证明：当时，. （2） 关于的方程的一个实数根为，其中， ①求实数的取值范围. ②证明：. 【考点四 方法总结】 1. 处理指对数混合的方程有解或恒成立问题，标准动作是“取对数”或“指数化”.将常数或参数转化为指数形式（如），通过加减项配凑，构造出或等经典同构函数. 2. 脱去函数符号后，问题即转化为常规的参数分离求最值. 3. 处理复杂的指数对数混合方程时，两边取对数是降次和分离变量的常用技巧. 4. 在证明与方程根相关的参数不等式时，核心思想是“整体代换”，即将参数用含有根的表达式替换，从而将含参不等式转化为只含单变量的函数不等式，再结合前问结论或构造新函数进行证明. 考点五：利用同构证明不等式与极值点偏移 考法8：利用同构证明不等式 例8.已知函数. （1） 讨论函数的零点的个数. （2） 证明：. 考法9：利用同构处理极值点偏移问题 例9.（2026·梅州·一模）已知函数，. （1）若在上单调递减，求的取值范围. （2）若曲线与在处有相同的切线， （i）求的值. （ii）若，证明：. 【考点五 方法总结】 1. 证明含有指数和对数的复杂不等式时，若直接求导遇到超越方程，常利用“隐零点代换”化简极值表达式. 2. 若能观察出表达式的结构特征，利用同构思想将其凑成的形式，再结合常见不等式（如）进行整体放缩，往往能大幅简化证明过程. 3. 处理极值点偏移或双函数值相等的变量关系证明时，核心是“变量统一”.通过分析函数的单调区间，将目标不等式转化为自变量的大小关系. 4. 利用其中一个函数的单调性，将自变量的比较转化为函数值的比较，再结合已知等式，最终归结为证明一个单变量函数的最值问题. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $