函数与导数第10讲极值与最值讲义-2027届高三数学一轮复习

极值与最值 极值的判定、闭区间最值与含参最值 一、极值与最值 极值的判定与应用 一、极值与极值点。设函数 在点 附近有定义，若在 的某个邻域内， 比其他各点的函数值都大，就称 是极大值；都比其他点小，就称极小值，两者统称极值。要分清三个说法：极值点指的是横坐标 ，极值指的是函数值 ，它们是两个不同的对象。 二、判定极值的两个条件。可导函数在极值点处的导数一定为零 ——这是必要条件，用来筛出候选点；但导数为零的点未必是极值点，还要看导数在该点两侧是否变号：左正右负是极大值，左负右正是极小值，两侧同号就不是极值点。所以判断的标准动作是两步，缺一不可。 三、标准动作分三步。第一步求定义域并求导；第二步令导数等于零解出候选点，再逐个检查两侧的符号；第三步把极大值与极小值分别算出来。导数解出来是分式时，符号只看分子，但定义域的限制不能丢。若导数恒不为零，函数在定义域上就没有极值点，这也是需要写出来的结论。 四、边界与易混。极值是局部概念，只跟该点附近比；最值是整体概念，要跟整个区间上的所有函数值比。一个函数可以有多个极值，但最值至多一个最大值与一个最小值。已知极值求参数时，解出参数后必须再验证该点两侧确实变号，否则会把不合要求的值留着。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知函数的极小值为，则实数的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【切入点】题目只说极小值是 ，没有给极值点，所以先把极值点找出来。 是三次多项式，对一切实数都有定义。 【关键】求导并因式分解：。令 得 或 。 【关键】判断两侧的符号。 时两个因式都取负，乘积为正，函数递增； 时 为正而 为负，乘积为负，函数递减； 时两个因式都为正，函数递增。所以 处左减右增，它是极小值点； 处左增右减，是极大值点。把 代进解析式：。由极小值为 得 ，所以 。选 A。 【易错】三次函数的两个驻点里， 是极大值点、 是极小值点，判断时要看该点两侧导数的符号，别把两个点弄反。另外题目问的是参数 ，求出 之后还要用「极小值为 」把它解出来，不能停在极值点就结束。 【答案】A 变式1-1（单选·★★★☆☆） 若函数的极大值为1，则函数的极小值为 A. B. C. D. 【切入点】题目的函数里有一个待定的常数 ，用「极大值为 」这个条件可以把它定下来。 是三次多项式，定义域是全体实数。 【关键】求导得 。令 得 或 。判断符号： 时乘积为正，函数递增； 时乘积为负，函数递减； 时乘积为正，函数递增。所以 是极大值点， 是极小值点。 【关键】把 代入：。由极大值为 得 ，所以 。再求极小值：。选 A。 【易错】导数依次为正、负、正，所以函数先增后减再增 —— 处是极大值点、 处是极小值点，顺序别记反。另外求出 之后还要再代入求极小值，不能停在参数上。 【答案】A 例2（单选·★★☆☆☆） 函数的所有极值的和为（ ） A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 【切入点】题目要的是所有极值的和，所以两个极值都要算出来。先求导：。 【关键】令 得 或 。 时两个因式同号，乘积为正，函数递增； 时乘积为负，函数递减； 时乘积为正，函数递增。所以 是极大值点， 是极小值点。分别代入解析式：，。两个极值的和是 。选 A。 【易错】「所有极值」要把极大值和极小值都算进来，只算一个就会漏。这里 也是一个极值，它的值恰好是 ，容易被当成「没有值」而漏掉。 【答案】A 变式2-1（单选·★★★☆☆） 若是函数的极小值点，则函数的极大值为（ ） A. B. C. D. 1 【切入点】题目给了极小值点 ，先求出参数 ，再求极大值。函数含 ，定义域是 。 【关键】求导： 的导数是 中的系数直接保留，即 ； 的导数是 ； 的导数是 。合起来：。由 是极小值点得 ，即 ，也就是 ，所以 。 【关键】代回导数并通分：。分母恒正，符号由两个一次因式决定： 时乘积为正，函数递增； 时乘积为负，函数递减； 时乘积为正，函数递增。所以 是极大值点。代入解析式：。选 C。 【易错】 的导数是 ，负号求导后变正，漏掉这个符号会把 算错。通分后要因式分解成 ，才能看出 是极大值点。 【答案】C 例3（单选·★★☆☆☆） 函数的极小值点是（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数是多项式与指数函数的乘积，求导用乘积法则。先分别求两部分的导数： 的导数是 ， 的导数还是 。 【关键】于是 。两项都含 ，提出来合并：。 【关键】指数因子 恒为正，所以符号只看两个一次因式。 时同号为正，函数递增； 时异号为负，函数递减； 时同号为正，函数递增。所以 处左减右增，它是极小值点。注意题目问的是极值点，要填横坐标 ，而不是点 。选 C。 【易错】题目问的是「极值点」，填的是横坐标；选项里特意放了 这样的点来干扰。极值点是一个数，极值才是函数值，两个概念别混。 【答案】C 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 【切入点】函数含 ，定义域是 。「恰有 个极值点」意味着导函数恰有一个变号的零点。 【关键】求导： 用乘积法则，导数是 ； 的导数是 ； 的导数是 。合起来：。令 得 。这个方程在 上的解的个数，要分 的正负讨论。当 时， 是增函数（因为 递增而 不递减），它从负无穷升到正无穷，恰有一个零点，且零点处由负变正，所以恰有一个极小值点。 【关键】当 时， 先增后减，在 处取到最大值 。若这个最大值小于零，导数恒负，没有极值点；若大于零，导数有两个零点，有两个极值点；若恰好等于零，导数只在一点取零而不变号，依旧没有极值点。所以 时无法恰有一个极值点。综合两类， 的取值范围是 。 【易错】 时要看导函数的最大值 与 的大小：小于 没有零点、大于 有两个零点，而恰好等于 时导数只在一点取零却不变号，仍然没有极值点 —— 第三种情况最容易漏。 【答案】 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 【切入点】函数含 ，定义域是 。「有两个极值点」意味着导函数在定义域内恰有两个变号的零点。 【关键】求导得 ，通分成分式：。分母 ，所以导数的零点由分子 决定。要让 有两个极值点， 在 上必须有两个不同的零点（每一个零点处导数都变号，因为它们都是一次的零点）。 【关键】开口向上，先要求判别式为正：，解得 或 。再要求两个零点都是正数。由韦达定理，两根之积为 、两根之和也为 。两根之积为正且两根之和为正，才能保证两根同为正 —— 这要求 。两段条件取交集： 与「 或 」同时成立，得 。所以 的取值范围是 。 【易错】判别式为正只说明有两个零点，还要保证它们都落在定义域 内。用韦达定理：两根之和为 、两根之积也为 ，都为正才能要求 。漏掉这一步会多出 那一段。 【答案】 例4（填空·★★☆☆☆） 已知是函数（）的极值点，则 = ______． 【切入点】函数含 ，定义域是 。题目已经把极值点给出来了，那就用「极值点处导数为零」这个必要条件把 定下来。 【关键】求导。注意 是复合函数，外层是平方、内层是对数，由外向内逐层求导再相乘：。于是 。分母 ，导数的符号由分子决定。 是极值点，所以 ，即 ，由 得 ，所以 。 【易错】 是复合函数，求导要「外层导数乘内层导数」，写成 ；只写 就漏掉了内层的 。另外含 的函数定义域是 ，写解析时先交代。 【答案】2 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数含 ，定义域是 。「既有极大值又有极小值」等价于导函数有两个变号的零点。 【关键】求导： 的导数是 ， 的导数是 ， 的导数是 。通分得 。分母 恒正，所以要看分子 在 上的零点个数。 【关键】开口向上，要它有两个正零点，需要两个条件。第一，判别式为正：，解得 。第二，两根都为正。由韦达定理，两根之和为 ，这一条自动满足；两根之积为 ，要为正就得 ，即 。两段取交集，得 。选 C。 【易错】两根都为正用韦达定理判：本题两根之和为 ，恒为正、不用管；只需两根之积 ，即 。两根之积是 而不是 ，漏掉负号就会选到 上去。 【答案】C 变式4-2（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上存在极值点，且该极值点处导数存在，则a的取值范围是______． 【切入点】函数含 ，定义域是 。题目要求在区间 上存在极值点，关键是导数的零点要落在这个区间内。 【关键】求导得 。分母 ，符号由分子 决定。令 得 。这个零点要落在 内，所以 。 【关键】再确认 时它确实是极值点： 时分子为正、导数大于零，函数递增； 时分子为负、导数小于零，函数递减。两侧符号确实相反，所以是极大值点，符合要求。因此 的取值范围是 。 【易错】求出零点 后，要写清它确实落在 内，即 ；还要确认该点两侧导数变号。条件与结论要对上才算完成。 【答案】 最值的求法与应用 一、最值的定义。函数在某个区间上的所有函数值中，最大的叫最大值，最小的叫最小值。与极值不同，最值考察的是整个区间，而极值只在局部比较。闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。动手之前先把区间的类型看清楚：闭区间、开区间，还是整个定义域，三种情形处理方式并不一样。 二、闭区间上求最值的标准动作。第一步求导，解出导数为零的点；第二步把这些点与区间端点的函数值都算出来；第三步比大小，最大的是最大值，最小的是最小值。这里的关键是把候选点列全 —— 只算极值点会漏掉端点，只算端点会漏掉极值点，两种都会算错。 三、定义域不是闭区间时的处理。若区间是开区间或整个定义域，函数可能取不到最值，要结合端点的走向判断：从某处开始一直上升的，最小值可能在左端附近取到，而最大值则不一定存在。 四、边界与易混。已知最值反求参数时，要分清最值在端点取到与在极值点取到两种情形，后者还要验证该点确实落在给定区间内。另外，参数出现在解析式里时，求导后的式子会同时含参数与自变量，把参数分离出来往往比直接讨论更省事。最后提醒一点：开区间上的最值问题要先判断它存不存在，再动手去求。 例5（填空·★★★☆☆） 函数的最小值为_____． 【切入点】解析式里有两个绝对值，不能直接求导，先按两个零点 与 把数轴分段，每一段上把绝对值去掉，得到分段函数。 【关键】当 时，两个绝对值里的式子都是负的，去掉绝对值要变号：。求导得 ，两项都是负的，所以这一段上函数递减。当 时， 非负而 非正：。，这一段仍然递减。 【关键】当 时，两个绝对值都是正的，直接去掉：。这时 ，令它等于零得 ，即 。 约等于 ，确实落在 这一段内。当 时导数为负、函数递减；当 时导数为正、函数递增。所以整条数轴上的最小值在 处取到。代入计算：。 【易错】两个绝对值的零点 与 把数轴分成三段，每一段上两个式子的正负要分别判断，去掉绝对值时别忘变号。另外求得的最小值点要回头核对它确实落在所在的那一段内，本题 落在 一段，核对无误。 【答案】 变式5-1（填空·★★★☆☆） 函数在上的最小值为__________. 【切入点】解析式里的 与 看着像未知函数，其实只是两个数 —— 把 与 分别代进去，就得到关于这两个数的一个方程组。 【关键】代入 ：。两边的 抵消，得 ，所以 。再代入 ：。两边的 抵消，得 ，所以 。 【关键】把两个数代回解析式，函数就是 。求导得 。分母恒正，分子 在 上有唯一零点 。 时导数为负、函数递减； 时导数为正、函数递增。所以最小值在 处取到。，所以最小值为 。 【易错】、 是两个待定的常数，代 与 时要保持它们在等式两边，靠抵消求出数值；直接把 当成未知函数去求导就做不下去了。求导后还要确认 确实落在区间内。 【答案】2 例6（单选·★★★☆☆） 若函数的最大值为，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】函数含 ，定义域是 。题目说最大值为 ，那就先把最大值的表达式求出来，再让它等于 。 【关键】求导，用商法则：。分母恒正，符号由分子 决定。令分子等于零得 ，即 。 是增函数，所以 时分子为正、函数递增； 时分子为负、函数递减。 【关键】所以最大值在 处取到：。由最大值为 得 ，所以 ，。选 C。 【易错】商法则的分子是 ，其中 这一步要写出来，否则容易把分子记成 而算错符号。另外最大值点 必须落在定义域 内，本题自动满足。 【答案】C 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的最小值为0，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 【切入点】函数含 ，定义域是 。题目说最小值为 ，注意 对任何 都成立 —— 也就是说函数值总能取到 ，那么「最小值为 」就等价于「 恒成立」。 【关键】按 与 的大小分开看。当 时 ，要乘积非负就得 ，即 对一切 成立。 在 上的最大值是 （取不到），所以 。当 时 ，要乘积非负就得 ，即 对一切 成立。 在 上的最小值是 （取不到），所以 。两段取交集，得 。选 A。 【易错】关键一步是看出 对任何 都成立 —— 有了这个观察，「最小值为 」才能翻译成「 恒成立」。接下来按 与 两段讨论时， 在两段上符号相反，得到的不等号方向也相反，两段要分别写、最后取交集。 【答案】A 变式6-2（单选·★★★☆☆） 函数的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【切入点】解析式的分子分母都含 与 ，直接求导会很乱。注意到分母里的 反复出现，先看看能不能把它整体换成新变量。 【关键】把函数改写成用 表达的形式。因为 ，所以 ，于是 。令 ，则 。先求 的取值范围：，所以 时 递减、 时 递增，最小值 。两端 都趋于正无穷，所以 。 【关键】再求 在 上的最小值。求导：。当 时分子非负，所以 递增，最小值在 处取到：。对应到原来的变量， 即 。所以函数的最小值为 。选 C。 【易错】换元前先把分母写成 的倍数 —— 用 把 换成指数形式，才能和其他 的幂合并。换元后必须交代新变量 的取值范围（本题 ），否则最小值可能取在取不到的地方。 【答案】C 例7（单选·★★★☆☆） 已知函数的最小值为－1，则实数a＝（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【切入点】函数是多项式与指数函数的乘积，求导用乘积法则。把 与 分别求导： 【关键】。指数因子恒为正，所以符号由 决定。 时导数为负、函数递减； 时导数为正、函数递增。 【关键】所以 处左减右增，是最小值点。代入解析式：。由最小值为 得 ，即 ，所以 ，解得 。选 A。 【易错】题干给的是「最小值为 」，代入后是 ，两边同时去掉负号得 ，进而 。符号处理错一步，答案就会差一个负号。 【答案】A 变式7-1（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【切入点】题目问的是「在区间上有最大值」，所以要判断的是极大值点是否落在区间内、以及它是不是真的比区间另一端更高。 【关键】求导得 。把常数项分解：，所以两个零点为 与 。由 是正整数知 ，于是 。分子（二次式）开口向上，所以 或 时导数为正、函数递增， 时导数为负、函数递减。因此 是极大值点。区间是 ，开区间，要让最大值存在，极大值点必须落在区间内部：。由 得 即可满足。 【关键】还要保证极大值不小于区间右端附近的函数值，否则函数在 处会升得更高、取不到最大值。把 写出来：，。代入整理得 ，把它分解为 。因为 恒成立，所以只需 。与 取交集得 ，正整数 可取 ，共 个。选 C。 【易错】区间是开区间，「有最大值」比「有极大值」多一层要求：极大值还要不小于右端附近的函数值，否则 时函数升得更高、最大值取不到。不等式 不能省，它正是把 那一段定出来的条件。 【答案】C 例8（填空·★★★☆☆） 已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为______. 【切入点】题目问的是「存在最小值」，不是「求最小值」—— 要判断的是函数在两端会不会一路跑下去。先把导数求出来看看。 【关键】用乘积法则：。指数因子恒正，所以导数的符号由括号里决定。当 时， 处 （因为 而 ）， 也随之趋于正无穷；而 时 增长最快，括号里的三次式若系数为负，乘积会趋于负无穷 ——这样函数就没有最小值。 【关键】所以要存在最小值，必须让 时函数不趋于负无穷，也就是括号里最高次项的系数为正：。 时， 处 而括号趋于负无穷，乘积趋于零（从负侧接近零）； 处乘积趋于正无穷。两端之间导数必有变号的零点，函数先减后增，最小值确实存在。所以 的取值范围是 。 【易错】「存在最小值」要分别看两端： 时由最高次项系数决定； 时虽然括号里的三次式趋于负无穷，但 趋于零、把乘积压回零附近（从负侧接近），所以这一端不构成障碍。只看一端容易判断错。 【答案】 变式8-1（填空·★★★☆☆） 若函数 的最小值为 ，则实数m的值为_______. 【切入点】函数是 ，两个参数都没有，只有 一个，说明最小值 这个条件能把 定下来。先看 的符号：由 知 。 【关键】求导并提取公因式：。指数因子恒正，所以导数的符号由括号里决定。记 。求导得 ，所以 时 递增、 时 递减，最大值是 ；而 时 ， 时 。因为 ，所以 落在 的负值段上，方程 在 上有唯一解，记为 。此时 时导数为负、 时导数为正，所以最小值在 处取到。由 得 。把这个关系代进最小值表达式，先把 写成 ： 【关键】。再由 得 ，代入上式：。由题意这个值等于 ，所以 ，两边约去 得 ，即 。由前面知 ，所以 。代回 得 ，所以 。 【易错】用 把 消掉，把最小值写成只含 的式子；同时 的符号要先定下来（由 知 ），解出 后才能取 而不是 。符号定不出来就会多留一个根。 【答案】 变式8-2（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上有最小值，则正整数的值有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【切入点】区间 是开区间，「有最小值」比「求最小值」多一层要求：最小值必须能在区间内某一点真正取到，不能只是在端点附近无限接近。 【关键】求导得 。由 为正整数知判别式 ，两根为 、。二次式开口向上，所以 或 时递增， 时递减。于是 是极小值点，最小值只可能在 处取到。第一个要求： 落在区间内，即 。解 得 ，即 。 【关键】第二个要求： 处的函数值要不高于左端附近的函数值。否则 时函数值更低，而 取不到，最小值就不存在了。所以需要 。把两边展开相减并整理。利用 满足 ，可以把式子里的 全部换成 的表达式，整理后得到 。解这个不等式，正根为 。代入 得 ，即 ，所以 。结合 以及 是正整数，得 ，即符合要求的正整数只有一个。选 A。 【易错】开区间上「有最小值」要求极小值点落在区间内，且极小值不高于左端附近的函数值，两个条件缺一不可 —— 只写 会多算一个 。整理不等式时可以借助 把 全部换成 ，方程会简单很多。 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $ 极值与最值 极值的判定、闭区间最值与含参最值 一、极值与最值 极值的判定与应用 一、极值与极值点。设函数 在点 附近有定义，若在 的某个邻域内， 比其他各点的函数值都大，就称 是极大值；都比其他点小，就称极小值，两者统称极值。要分清三个说法：极值点指的是横坐标 ，极值指的是函数值 ，它们是两个不同的对象。 二、判定极值的两个条件。可导函数在极值点处的导数一定为零 ——这是必要条件，用来筛出候选点；但导数为零的点未必是极值点，还要看导数在该点两侧是否变号：左正右负是极大值，左负右正是极小值，两侧同号就不是极值点。所以判断的标准动作是两步，缺一不可。 三、标准动作分三步。第一步求定义域并求导；第二步令导数等于零解出候选点，再逐个检查两侧的符号；第三步把极大值与极小值分别算出来。导数解出来是分式时，符号只看分子，但定义域的限制不能丢。若导数恒不为零，函数在定义域上就没有极值点，这也是需要写出来的结论。 四、边界与易混。极值是局部概念，只跟该点附近比；最值是整体概念，要跟整个区间上的所有函数值比。一个函数可以有多个极值，但最值至多一个最大值与一个最小值。已知极值求参数时，解出参数后必须再验证该点两侧确实变号，否则会把不合要求的值留着。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知函数的极小值为，则实数的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 变式1-1（单选·★★★☆☆） 若函数的极大值为1，则函数的极小值为 A. B. C. D. 例2（单选·★★☆☆☆） 函数的所有极值的和为（ ） A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 变式2-1（单选·★★★☆☆） 若是函数的极小值点，则函数的极大值为（ ） A. B. C. D. 1 例3（单选·★★☆☆☆） 函数的极小值点是（ ） A. B. C. D. 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 例4（填空·★★☆☆☆） 已知是函数（）的极值点，则 = ______． 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-2（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上存在极值点，且该极值点处导数存在，则a的取值范围是______． 最值的求法与应用 一、最值的定义。函数在某个区间上的所有函数值中，最大的叫最大值，最小的叫最小值。与极值不同，最值考察的是整个区间，而极值只在局部比较。闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。动手之前先把区间的类型看清楚：闭区间、开区间，还是整个定义域，三种情形处理方式并不一样。 二、闭区间上求最值的标准动作。第一步求导，解出导数为零的点；第二步把这些点与区间端点的函数值都算出来；第三步比大小，最大的是最大值，最小的是最小值。这里的关键是把候选点列全 —— 只算极值点会漏掉端点，只算端点会漏掉极值点，两种都会算错。 三、定义域不是闭区间时的处理。若区间是开区间或整个定义域，函数可能取不到最值，要结合端点的走向判断：从某处开始一直上升的，最小值可能在左端附近取到，而最大值则不一定存在。 四、边界与易混。已知最值反求参数时，要分清最值在端点取到与在极值点取到两种情形，后者还要验证该点确实落在给定区间内。另外，参数出现在解析式里时，求导后的式子会同时含参数与自变量，把参数分离出来往往比直接讨论更省事。最后提醒一点：开区间上的最值问题要先判断它存不存在，再动手去求。 例5（填空·★★★☆☆） 函数的最小值为_____． 变式5-1（填空·★★★☆☆） 函数在上的最小值为__________. 例6（单选·★★★☆☆） 若函数的最大值为，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的最小值为0，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 变式6-2（单选·★★★☆☆） 函数的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 例7（单选·★★★☆☆） 已知函数的最小值为－1，则实数a＝（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 变式7-1（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 例8（填空·★★★☆☆） 已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为______. 变式8-1（填空·★★★☆☆） 若函数 的最小值为 ，则实数m的值为_______. 变式8-2（单选·★★★☆☆） 若函数在区间上有最小值，则正整数的值有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 学科网（北京）股份有限公司 $