函数与导数：第1讲 二次函数综合：根的分布、最值、恒成立与含参讨论 讲义-2027届高三数学一轮复习

二次函数综合：根的分布、最值、恒成立与含参讨论 函数与导数 · 专题篇 根的分布 根的分布研究的是：含参二次方程的根落在数轴的哪一段。核心动作只有一句话 —— 把「根的位置」翻译成对图象的限制，看三样东西：判别式管有没有根，对称轴管根偏向哪边，端点值管根有没有越出区间。 常见要求与对应条件：两根都小于 ，要 、，且对称轴在 左侧；两根都大于 只需把「左侧」换成「右侧」；两根都在 内，要 、、，且对称轴落在区间内部。 最省力的是端点异号：一根在 内、另一根在 内，只要两段区间各自端点异号；而在 内恰有一根，只需 ，连判别式都不必算。这一条之所以管用，是因为图象连续：区间两端一个在横轴上方、一个在下方，中间必定穿过去。 为什么「两根都在区间内」的条件最多：端点值只说明根没有跑到区间外面，说不出根在区间里的哪一侧，所以要补对称轴；又因为这时两端点的函数值都为正，图象完全可能在区间内碰不到横轴，所以判别式也不能省。 要求两根同号或异号时，用两根之和与两根之积更省力：异号等价于积为负；同为正需要积为正且和为正；同为负则积为正而和为负。这几种说法都以判别式非负为前提。最后别忘了二次项系数的符号 —— 它决定开口方向，上面列的条件都是在开口向上时写下的，开口向下时要相应调整。 例1（多选·★★★★☆） 已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干说两根分居 的两侧，这是「一根小于 、一根大于 」的类型，最省力的判据是端点值 ，不必再算判别式。 【关键】先看能不能分解：常数项 与一次项 ，恰好是两根之和，所以原方程可分解为 ，两根为 与 ，且 恒成立。一根小于 、一根大于 ，等价于 ，解得 。选 BC。 【易错】本题能分解就不必用判别式 —— 分解后两根的大小关系一目了然，比套「三件套」快得多。判断能不能分解，是解这类题的第一步。 【答案】BC 变式1-1（解答·★★★★☆） 关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【切入点】一根小于 、一根大于 ，两根被 与 两个点隔开，这种情况用两个端点值同时为负来刻画最快。 【关键】记 ，开口向上。两根分布满足「一根小于 、一根大于 」时，图象在 与 处都在横轴下方，即 且 。两式分别解得 与 ，取交集得 。 【易错】判断两个端点值的符号要看根的分布形态：两根分别在 的左侧与 的右侧，所以 与 都落在两根之间，图象在这两处都在横轴下方。符号方向不要凭感觉写。 【答案】取交集得 例2（填空·★★★★☆） 已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【切入点】「两根都大于 」属于两根同侧的类型，要同时管住判别式、对称轴与端点值三件事。 【关键】记 ，开口向上，对称轴为 。两根都大于 ，需要三条同时成立：判别式 ，解得 或 ；对称轴在 的右侧，即 ，解得 ；端点值 ，解得 。三式取交集得 。 【易错】「两根都大于 」与「在 上有两个根」是一回事，但都不是「」—— 端点值必须是正的，因为两根都在 的同侧，图象在 处还没穿过横轴。 【答案】 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目直接给定了两根的位置：都在 与 之间。这是「两根都落在给定区间内」的标准形态，要把判别式、对称轴、区间端点值三样一起用上。 【关键】记 ，开口向上，对称轴为 。两根都在 内，需要四条同时成立：判别式 ；端点值 、；对称轴落在区间内部，即 。由 得 ；由对称轴条件得 ；由 得 或 。四者取交集得 。选 C。 【易错】四条缺一不可，最容易漏的是对称轴这一条 ——只写判别式与端点值会得到一个宽得多的范围。另外两根不相等，判别式要严格大于零，等号不能取。 【答案】C 例3（填空·★★★★★） 若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【切入点】两根都落在开区间 内，四条条件缺一不可：判别式、对称轴、两个端点值。 【关键】记 ，开口向上，对称轴为 。判别式 ，解得 或 ；对称轴落在区间内，即 ，解得 ；端点值 ，解得 ；，解得 。四式取交集得 。 【易错】两根不相等，判别式要严格大于零；区间是开的，端点值也要严格大于零（若取等号则根落在端点处，不合题意）。四条里最容易漏的是对称轴这一条。 【答案】四式取交集得 变式3-1（单选·★★★☆☆） 若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（ ）. A. B. C. D. 【切入点】「两个实根都落在给定区间内」是根的分布里最典型的一类，三件事要同时满足：判别式保证有根，对称轴保证根的位置居中，端点处的函数值保证根没有跑到区间外面去。 【关键】记 。两根都在 内，需要三条同时成立：判别式 ；对称轴 落在区间内，即 ；端点处函数值同为正，、。由 得 。再把 的界限算出来： 或 ，与 取交集得 。逐个核对选项，只有 落在该范围内，选 B。 【易错】三件套缺一不可。只写对称轴与端点值、忘了判别式，会把「无实根」的情形也算进来；另外端点值的符号方向要按开口方向定：开口向上且要求两根都在区间内时，两端点都必须为正，不是一正一负。 【答案】B 区间上的最值 在给定区间上求二次函数的最值，全部难点集中在一点：对称轴落在区间的什么位置。这一条清楚了，剩下的只是比较大小。 分三种情形。对称轴在区间左侧，函数在整个区间上单调，最值都在端点处；对称轴在区间内部，最小值就在顶点，最大值仍要到两个端点里去找；对称轴在区间右侧，又是单调的，最值同样在端点处。 要特别注意：求最小值与求最大值的分类标准并不一样。最小值先看顶点在不在区间内，所以分三类；最大值一定在端点处取得，只需比较两个端点谁大，通常只分两类，分界点由区间中点给出。把这两套标准混用，是本节最常见的错误。 参数可能藏在两个地方：藏在对称轴里，或者藏在区间端点里。前者叫动轴定区间，后者叫定轴动区间。两者做法一致 —— 都拿对称轴与区间的相对位置去分类，只是一个动的是轴、一个动的是区间。 如果题目反过来给最值求参数，做法是先把各类情形各解一遍，再回头检查解出的参数是否真的落在那类的前提范围里。不满足前提的解必须舍去，这一步不能省。整理答案时，把每一类的结果连同它成立的条件一起写出来，读的人才知道这个结果是在什么前提下才有效。 例4（解答·★★☆☆☆） 求函数 在区间 上的最大值与最小值． 【切入点】定轴定区间是最基础的一类：对称轴与区间都已知，把顶点与两个端点处的函数值算出来比较即可。 【关键】配方得 ，开口向上，对称轴为 。 因为 落在 内，顶点在区间里，最小值就在顶点处，即 。最大值只可能在端点处，把 与 比一比，大的 就是最大值。 【易错】最小值与最大值的取法不同：最小值看顶点在不在区间内，最大值只需比较两个端点。只算端点会漏掉顶点处的最小值。所以最小值为 ，最大值为 。 【答案】所以最小值为 ，最大值为 变式4-1（解答·★★★☆☆） 已知函数 在区间 上的最大值为 ，求 的表达式． 【切入点】区间固定、顶点横坐标随 移动，而要求的是最大值。最大值一定在端点处取得，所以只需比两端谁大，不必管顶点在不在区间内。 【关键】 开口向上，顶点横坐标为 ，两个端点的函数值分别是 与 。作差比较：。所以分界点是 。 【关键】当 时差为正， 更大，最大值 ；当 时差为负， 更大，最大值 ；当 时两端相等，两种写法给出同一个值，写分段函数时把它归入左边那一支，即用 而不是 ，这样两段就盖住了整个数轴。 【易错】求最大值与求最小值的分类标准不同：最小值要看顶点是否落在区间内（可能分三类），而最大值只需比较两个端点（只分两类，分界点由区间中点给出）。把两套标准混用是本节最常见的错误。所以 。 【答案】所以 例5（解答·★★★★☆） 已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的表达式． 【切入点】这里的顶点横坐标由参数 决定，随着 变化，顶点会在区间内外移动，最小值的取得位置也跟着变。所以先把 分段，再逐段求最小值。 【关键】配方得 ，开口向上，顶点横坐标为 。若 ，顶点落在区间左端之外，函数在 上一直上升，最左端取值最小，；若 ，顶点落在区间当中，最小值就是顶点的纵坐标，；若 ，顶点落在区间右端之外，函数在 上一直下降，最右端取值最小，。所以 。 【易错】分类的界点就是「轴与区间的两个端点重合」这两个位置，即 与 ；界点归到哪一类都可以，但要写清归属，不能两边都漏。 【答案】所以 变式5-1（填空·★★★★☆） 若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 【切入点】题目说最小值在某个端点处取得，这等于给了对称轴与区间的位置信息：说明该端点离对称轴更远。 【关键】 开口向下，对称轴为 。开口向下时离对称轴越远的点函数值越小，所以「最小值在 处取得」要求 离对称轴比 更远，即 的相反数，也就是 。端点 时两端函数值相等且同为最小值，仍符合题意，故取等号。 【易错】用「离对称轴更远」来判断时，开口方向决定谁大谁小 ——本题开口向下，距离远的反而小。另外端点能否取到要看等号时题意是否仍成立，这里两端同时取得最小值，题意仍满足，所以要取等号。 【答案】 例6（解答·★★★★☆） 已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的表达式． 【切入点】这一问反过来：轴钉死了，滑动的变成了区间。所以要盯住区间相对于轴的位置，看它有几种放法。 【关键】，对称轴为 。所以 。 若 （即 ），区间落在轴的左边，函数值随 增大而变小，故 ；若 （即 ），对称轴被区间罩住，故 ；若 ，区间落在轴的右边，函数值随 增大而变大，故 。 【易错】第二类的条件是「轴落在区间内」，写成 才完整；只写 虽然等价，但看不出它来自「轴的落点」，容易在别的题上套错。 【答案】所以 变式6-1（解答·★★★★★） 已知函数 在区间 上的最大值为 ，求 的表达式． 【切入点】区间在动、求最大值，同样只需比较两个端点处的函数值，分界位置由区间的中间点落在对称轴哪一侧决定。 【关键】，对称轴为 。，，作差得 。当 （即 ）时右端点更小，最大值 ；当 （即 ）时，最大值 。所以 。 【易错】作差之后要看清是「谁减谁」—— 说明右端点更小，此时最大值取左端点，方向不要弄反。 【答案】 二次不等式与恒成立 二次不等式的问题分两类：已知不等式求参数范围，以及已知解集反推系数。两类都绕着同一个东西转 —— 图象的开口方向与根的分布。 求参数范围时先看能否分离参数。能分离的，把参数留在一侧，另一侧就变成一个求最值的问题，路径最短。分不出来的，就把整个式子看成函数，用它的最小值不小于零来刻画，这时判别式派上用场 —— 开口向上且判别式为负，函数值恒正。 在给定区间上恒成立，与在全体实数上恒成立，处理方式不同。全体实数上只需看开口方向与判别式；给定区间上则要落到这个区间上的最值上，区别在于端点能不能取到。 已知解集反推系数时，解集的端点就是对应方程的根。把端点代回方程，或用两根之和与两根之积，就能定下系数之间的比例关系。这类题要注意开口方向与解集形式的对应：开口向上时大于零的解集在两根之外，开口向下时大于零的解集在两根之间。 还有一类容易漏的：式子里带分母。分母恒不为零的要求本质上也是判别式问题，只不过这时要的是判别式小于零，而不是大于零。判别式小于零、等于零、大于零这三种情形，分别对应图象与横轴没有交点、相切、相交，是这一整讲的共同语言。 例7（填空·★★☆☆☆） 若不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 【切入点】「解集为全体实数」即不等式对一切实数都成立，这是二次不等式恒成立的最基本形态，用判别式判断即可。 【关键】 的二次项系数为 ，开口向上，要使函数值恒非负，只需判别式不大于零：，解得 。 【易错】开口向上的二次式恒非负，对应的是判别式不大于零；若把不等式改成严格大于，则判别式要严格小于零，等号去留要看题目。 【答案】 变式7-1（填空·★★★☆☆） 若分式不论取何值总有意义，则的取值范围是___________. 【切入点】分式不论自变量取何值都有意义，等价于分母恒不为零。这是个伪装成函数的判别式问题。 【关键】分母为 ，要求它恒不为零。因为二次项系数为 、开口向上，只需它与横轴没有交点：，解得 。 【易错】分母恒不为零对应判别式小于零（无实根），而不是大于零；看到「有意义」不要条件反射地写成判别式为正。 【答案】 例8（单选·★★★☆☆） 已知""是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干给的是一个全称命题，「对一切实数成立」正是二次不等式恒成立的标准形态，转成判别式条件即可。 【关键】 开口向上，对一切实数成立需要判别式小于零：，解得 。选 C。 【易错】这里是不等号严格大于，所以判别式要严格小于零；化简时 展开后二次项抵消，很容易在符号上出错。 【答案】C 变式8-1（单选·★★★★☆） 若，使得成立，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干里是存在量词，与恒成立不同：只需要存在一个自变量使不等式成立，因此要比的是该区间上的最小值。 【关键】要求存在 使 ，只需这个二次式在区间上的最小值不大于零。对称轴为 ，按轴与区间的位置分三类算最小值，再令最小值不大于零，解出 的范围。 【易错】「存在」比最小值、「任意」比最大值 ——两个方向正好相反，弄反了就全错。另外最小值要按对称轴的位置分类讨论，不能想当然地取顶点。选 B。 【答案】B 例9（单选·★★★☆☆） 命题""为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【切入点】这次恒成立的区间不是全体实数，而是给定的一段。在给定区间上恒成立，就要落到这个区间上的最值，不能再只看判别式。 【关键】命题为真要求 对一切 成立，只需 不小于 在该区间上的最大值，即 。题目问的是「该命题为真的一个充分不必要条件」，所以从 的范围里取一个真子集即可。 【易错】两类恒成立不能混：全体实数上看判别式，给定区间上看最值。另外「充分不必要条件」要求答案是 的真子集，取到等号处的全集不算。选 A。 【答案】A 变式9-1（解答·★★★★☆） 设函数，若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【切入点】含参二次不等式在给定区间上恒成立，先把参数分离到一侧，另一侧就变成求最值的问题。 【关键】原不等式即 ，移项整理得 。因为 对一切实数成立，两边可以同时除以它，得 。于是问题化为： 大于右边这个式子在 上的最大值。分母 在 上单调递增，所以它在 处取最小值 ，从而右边在 处取最大值 。因此 。 【易错】除以含 的式子之前必须先证明它恒正（或恒负）——本题分母的判别式为负且开口向上，确实恒正，不等号方向不变。另外「恒成立」比的是右边式子的最大值，方向别弄反。 【答案】 含参二次方程与不等式的讨论 含参二次不等式的讨论，第一步不是分类，而是判断能不能因式分解 ——这一个判断把题目劈成两条路，两条路的分类标准完全不同。拿一条路的标准去套另一条路的题，只会越分越乱。 路线一：能分解。分解之后不等式成了「两个一次因式的积的符号」，开口向上时大于零取两根之外、小于零取两根之间，所以只需比较两个根谁大。这一类与判别式无关，分类的界点就是两根相等那一点。 路线二：不能分解。这时要按三层依次讨论：先看二次项系数是否为零（是不是二次），再看判别式的正负，最后才比两根大小。 按这三层走下来，大于零的解集一共有六种情形：二次项系数为零时退化成一次不等式，还要再看一次项系数；二次项系数为正、判别式为负时解集是全体实数；为正且判别式为零时解集是除去重根以外的所有实数；为正且判别式为正时解集在两根之外；二次项系数为负、判别式不大于零时解集为空集；为负且判别式为正时解集在两根之间。 两条路最容易混的地方是：路线一里开口方向不起作用（因为比较的是两根），而路线二里开口方向决定取中间还是取两边。另外路线二必须先讨论二次项系数，这一步漏掉，后面全错。 例10（解答·★★★☆☆） 解关于的不等式：． 【切入点】二次项系数含参数，先要判断它是不是零 —— 若为零，不等式就不是二次的，判别式根本用不上。所以第一步永远是把 单独拎出来看。 【关键】 时原不等式化为 ，对一切实数成立，解集为 。 时算判别式：。由 解出分界点 与 ，于是按这三个界点分成四段讨论。 【关键】 时 ，开口向上且图象与横轴无交点，综上：当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 。 整条曲线都在横轴上方，解集为 。 时 ，不等式成为 ，即 ，只有 使左边为零，解集为除去 以外的一切实数。 时 ，用求根公式得两根 ，；因为此时 ，所以 ，开口向上且要求大于零，解集为两根之外： 或 。 时 （两个负因数相乘得正），同样由求根公式得两根 ，，但这时 ，分子中的 为正而分母为负，所以两根的大小关系反过来：。开口向下且要求大于零，解集在两根之间，即 。所以 或 时解集为 ， 时解集为除去 以外的一切实数， 时解集为两根之外， 时解集为两根之间。 【易错】三个地方最容易出错：一是漏掉 ；二是以为「小于零时才要反过来」—— 真正决定取两边还是取中间的是开口方向；三是 时忘了分母为负会把两根的大小关系颠倒，写解集时端点顺序就反了。 【答案】综上：当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 变式10-1（解答·★★★★☆） 解关于 的不等式：． 【切入点】左边能分解成两个一次因式，属于路线一 —— 分解之后只需比两根大小。但二次项系数含参数 ，还要先讨论它是否为零：为零时不等式退化成一次的，就不能用两根比较法了。 【关键】先分解：，在 时对应方程的两根为 与 。再单独摘出 ：此时不等式化为 ，解得 ，它已退化成一次不等式，与后面各类的结论都不同，不能并进去。 【关键】 时按开口方向与两根大小分类。两根相等的界点由 给出，即 。当 时 ，开口向上，小于零取两根之间，解集为 ；当 时 ，解集为 ；当 时两根重合，不等式成为 ，无解，解集为空集；当 时开口向下，小于零取两根之外，且此时 ，解集为 。 【易错】三处最容易错：一是把 并进 —— 时解集只有 一支，而 时还有 那一支，两者不能合并；二是漏掉 ，此时两根重合，解集是空集而不是某个区间；三是 时取两根之外，端点顺序与 时相反。所以 时解集为 ； 时解集为 ； 时解集为 ； 时解集为空集； 时解集为 。 【答案】所以 时解集为 ； 时解集为 ； 时解集为 ； 时解集为空集； 时解集为 变式10-2（解答·★★★☆☆） 解关于 的不等式：． 【切入点】左边不能因式分解，属于路线二 —— 要按三层依次讨论：先看二次项系数是否为零，再看判别式，最后才考虑两根。本题二次项系数是定值 ，所以第一层可以跳过。 【关键】算判别式：。它恰好是一个关于 的一次式，所以分类界点只有 一个。 【关键】当 时 ，开口向上且图象与横轴没有交点，整条曲线都在横轴上方，函数值恒正，而要求的是小于零，故解集为空集。当 时 ，不等式成为 ，即 ，因平方非负，无解，解集仍为空集。当 时 ，用求根公式得两根 ，，开口向上且要求小于零，解集为两根之间：。 【易错】两个地方要留意：一是 与 两种情形的解集都是空集，可以合并写成 ；二是 时 才有意义，写解集前先确认根号下非负。所以 时解集为空集， 时解集为 。 【答案】所以 时解集为空集， 时解集为 例11（解答·★★★☆☆） 解下列关于的不等式：(1)； (2)． 【切入点】两问的二次项系数都是定值 ，开口向上且不可能退化，所以只需按判别式分两层，比上一题简单。 【关键】第一问 ：。当 时 ，图象与横轴至多相切，函数值不可能小于零，解集为空集；当 时 ，两根为 ，，开口向上且要求小于零，解集在两根之间：。 【关键】第二问 ：。第一问：当 时解集为 ，当 时解集为 。第二问：当 时解集为 ，当 或 时解集为 。 当 时 ，解集为空集；当 或 时 ，两根为 ，，解集为 。所以第一问在 时解集为空集，第二问在 时解集为空集。 【易错】开口向上且要解「小于零」，所以判别式不大于零时解集是空集，而不是全体实数 —— 方向不要和「大于零」记混。另外 要并入 那一档，因为相切时也没有取到负值的点。 【答案】第一问：当 时解集为 ，当 时解集为 。第二问：当 时解集为 ，当 或 时解集为 变式11-1（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 【切入点】第一问把 代进去就是一个具体的二次不等式，分解即可；第二问是「解集为全体实数」，要按二次项系数与判别式分层。 【关键】第一问： 时 ，解 。分解得 ，两根为 与 ，开口向上且要求大于零，解集为两根之外： 或 。 【关键】第二问： 即第一问：解集为 。第二问：。 ，整理得 ，要求它对一切实数成立。若 ，化为 ，恒成立，符合；若 ，开口向下不可能恒正；若 ，需判别式 ，解得 。两种情况合起来得 。所以第一问的解集为 或 ；第二问 。 【易错】第二问必须单独讨论 ：这时不等式退化成常数不等式，判别式无从谈起，而它恰好是符合条件的一种情形，漏掉就少了一段。另外要注意判别式取不取等号 —— 这里要求严格大于零，所以是 。 【答案】第一问：解集为 。第二问： 例12（解答·★★★★☆） 已知函数．(1)若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式． 【切入点】第一问是「解集为空集」，第二问是「解不等式」。两问都要先看二次项系数是否为零，再按开口方向与判别式分层。 【关键】第一问：要使 无解，图象必须「开口向下且不高于横轴」。若 ， 有解，不合；若 ，开口向上必有正值，不合；所以只能 ，且判别式 ，即 ，解得 或 ，与 取交集得 。 【关键】第二问：当 时解 ，第一问：。第二问：当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 。 移项整理得 。左边恰好可分解：，所以两根为 与 。分类界点由「两根相等」给出，令 得 。当 时 落在 内，比 大，且开口向下，大于等于零取两根之外，解集为 。当 时两根重合于 ，不等式化为 ，恒成立，解集为 。当 时 ，同理得解集 。所以 ；当 时第二问的解集为 。 【易错】第一问要同时管住开口方向与判别式：开口向下且判别式不大于零，才恒不取正值，只写判别式会把 的解也算进来。第二问属于路线一（能分解），分类界点只由两根相等给出，不必再算判别式；但两根的大小随 变号而颠倒，写解集时端点顺序要跟着换。 【答案】第一问：。第二问：当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数综合：根的分布、最值、恒成立与含参讨论 函数与导数 · 专题篇 根的分布 根的分布研究的是：含参二次方程的根落在数轴的哪一段。核心动作只有一句话 —— 把「根的位置」翻译成对图象的限制，看三样东西：判别式管有没有根，对称轴管根偏向哪边，端点值管根有没有越出区间。 常见要求与对应条件：两根都小于 ，要 、，且对称轴在 左侧；两根都大于 只需把「左侧」换成「右侧」；两根都在 内，要 、、，且对称轴落在区间内部。 最省力的是端点异号：一根在 内、另一根在 内，只要两段区间各自端点异号；而在 内恰有一根，只需 ，连判别式都不必算。这一条之所以管用，是因为图象连续：区间两端一个在横轴上方、一个在下方，中间必定穿过去。 为什么「两根都在区间内」的条件最多：端点值只说明根没有跑到区间外面，说不出根在区间里的哪一侧，所以要补对称轴；又因为这时两端点的函数值都为正，图象完全可能在区间内碰不到横轴，所以判别式也不能省。 要求两根同号或异号时，用两根之和与两根之积更省力：异号等价于积为负；同为正需要积为正且和为正；同为负则积为正而和为负。这几种说法都以判别式非负为前提。最后别忘了二次项系数的符号 —— 它决定开口方向，上面列的条件都是在开口向上时写下的，开口向下时要相应调整。 例1（多选·★★★★☆） 已知关于的方程有两个根，且一个大于1，一个小于1，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（解答·★★★★☆） 关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 例2（填空·★★★★☆） 已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例3（填空·★★★★★） 若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 变式3-1（单选·★★★☆☆） 若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（ ）. A. B. C. D. 区间上的最值 在给定区间上求二次函数的最值，全部难点集中在一点：对称轴落在区间的什么位置。这一条清楚了，剩下的只是比较大小。 分三种情形。对称轴在区间左侧，函数在整个区间上单调，最值都在端点处；对称轴在区间内部，最小值就在顶点，最大值仍要到两个端点里去找；对称轴在区间右侧，又是单调的，最值同样在端点处。 要特别注意：求最小值与求最大值的分类标准并不一样。最小值先看顶点在不在区间内，所以分三类；最大值一定在端点处取得，只需比较两个端点谁大，通常只分两类，分界点由区间中点给出。把这两套标准混用，是本节最常见的错误。 参数可能藏在两个地方：藏在对称轴里，或者藏在区间端点里。前者叫动轴定区间，后者叫定轴动区间。两者做法一致 —— 都拿对称轴与区间的相对位置去分类，只是一个动的是轴、一个动的是区间。 如果题目反过来给最值求参数，做法是先把各类情形各解一遍，再回头检查解出的参数是否真的落在那类的前提范围里。不满足前提的解必须舍去，这一步不能省。整理答案时，把每一类的结果连同它成立的条件一起写出来，读的人才知道这个结果是在什么前提下才有效。 例4（解答·★★☆☆☆） 求函数 在区间 上的最大值与最小值． 变式4-1（解答·★★★☆☆） 已知函数 在区间 上的最大值为 ，求 的表达式． 例5（解答·★★★★☆） 已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的表达式． 变式5-1（填空·★★★★☆） 若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 例6（解答·★★★★☆） 已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的表达式． 变式6-1（解答·★★★★★） 已知函数 在区间 上的最大值为 ，求 的表达式． 二次不等式与恒成立 二次不等式的问题分两类：已知不等式求参数范围，以及已知解集反推系数。两类都绕着同一个东西转 —— 图象的开口方向与根的分布。 求参数范围时先看能否分离参数。能分离的，把参数留在一侧，另一侧就变成一个求最值的问题，路径最短。分不出来的，就把整个式子看成函数，用它的最小值不小于零来刻画，这时判别式派上用场 —— 开口向上且判别式为负，函数值恒正。 在给定区间上恒成立，与在全体实数上恒成立，处理方式不同。全体实数上只需看开口方向与判别式；给定区间上则要落到这个区间上的最值上，区别在于端点能不能取到。 已知解集反推系数时，解集的端点就是对应方程的根。把端点代回方程，或用两根之和与两根之积，就能定下系数之间的比例关系。这类题要注意开口方向与解集形式的对应：开口向上时大于零的解集在两根之外，开口向下时大于零的解集在两根之间。 还有一类容易漏的：式子里带分母。分母恒不为零的要求本质上也是判别式问题，只不过这时要的是判别式小于零，而不是大于零。判别式小于零、等于零、大于零这三种情形，分别对应图象与横轴没有交点、相切、相交，是这一整讲的共同语言。 例7（填空·★★☆☆☆） 若不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 变式7-1（填空·★★★☆☆） 若分式不论取何值总有意义，则的取值范围是___________. 例8（单选·★★★☆☆） 已知""是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式8-1（单选·★★★★☆） 若，使得成立，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 例9（单选·★★★☆☆） 命题""为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 变式9-1（解答·★★★★☆） 设函数，若对于，恒成立，求实数的取值范围. 含参二次方程与不等式的讨论 含参二次不等式的讨论，第一步不是分类，而是判断能不能因式分解 ——这一个判断把题目劈成两条路，两条路的分类标准完全不同。拿一条路的标准去套另一条路的题，只会越分越乱。 路线一：能分解。分解之后不等式成了「两个一次因式的积的符号」，开口向上时大于零取两根之外、小于零取两根之间，所以只需比较两个根谁大。这一类与判别式无关，分类的界点就是两根相等那一点。 路线二：不能分解。这时要按三层依次讨论：先看二次项系数是否为零（是不是二次），再看判别式的正负，最后才比两根大小。 按这三层走下来，大于零的解集一共有六种情形：二次项系数为零时退化成一次不等式，还要再看一次项系数；二次项系数为正、判别式为负时解集是全体实数；为正且判别式为零时解集是除去重根以外的所有实数；为正且判别式为正时解集在两根之外；二次项系数为负、判别式不大于零时解集为空集；为负且判别式为正时解集在两根之间。 两条路最容易混的地方是：路线一里开口方向不起作用（因为比较的是两根），而路线二里开口方向决定取中间还是取两边。另外路线二必须先讨论二次项系数，这一步漏掉，后面全错。 例10（解答·★★★☆☆） 解关于的不等式：． 变式10-1（解答·★★★★☆） 解关于 的不等式：． 变式10-2（解答·★★★☆☆） 解关于 的不等式：． 例11（解答·★★★☆☆） 解下列关于的不等式：(1)； (2)． 变式11-1（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 例12（解答·★★★★☆） 已知函数．(1)若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $