第2讲 抽象函数的周期与对称性 讲义-2027届高三数学一轮复习

抽象函数的周期与对称性 函数与导数 · 专题篇 特例函数与赋值法 抽象函数题只给关系式、不给解析式。破题第一步，是先找它在具体函数里的影子 ——看到一个方程，如果立刻想到「这不是 的恒等式吗」，后面的选项就能代进去验。 影子库（对照表）：拿到关系式先在这里找一行。 → （正比例） → （只差一个常数） → （指数） → （对数） → （系数随另一个变量走） → （积化和差） → （正切加法） → （奇函数） → （偶函数） ★ 用法：拿到关系式先在表里找一行，找到后那个具体函数就是「样板」；把样板代进各个选项，对的留下、错的划掉，比凭空推演快得多。 ★ 记不住表就记变量：自变量相加、函数值相加→正比例；自变量相加、函数值相乘→指数；自变量相乘、函数值相加→对数；自变量相乘、函数值相乘→幂函数。 ★ 赋值三连：求 令 ；判奇偶性令 ；求 令 、。这三下能解掉大半的选择题。 同一组关系式的不同写法（认脸用）： → 周期为 2 → 周期为 2 → 奇函数 → 偶函数 → 关于点 中心对称 → 关于直线 轴对称 ★ 判断口诀一句：两边相加是中心，两边相等是轴；自变量加常数推周期。 抽象函数方程的三步破法： 第一步，赋值。用特殊值把 、 这些锚点先求出来： 想求 → 令 想判奇偶性 → 令 想求 → 令 、 想找周期 → 令 或 想判单调性 → 取 ，算 的符号 第二步，找特例。回到上面的对照表，看哪个具体函数满足它，用它检验各选项。 第三步，验证。由特例往往能直接排除两三个选项，剩下的再用赋值法逐条算。 ★ 两个陷阱：一是令 时忘了先把 求出来，式子会对不上；二是含常数项的方程（如 ）不能直接套标准型结论，要先设 化成标准形。 ★ 从方程形状反推函数类型：加法到加法是一次函数，加法到乘法是指数函数，乘法到加法是对数函数，乘法到乘法是幂函数，和差配方型是三角函数。 例1（解答·★★★★★） 已知函数 的定义域为 ，，，，且 ， 在区间 上单调递减．(1)求证：；(2)求 的值；(3)求不等式 的解集． 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，且，则 = （ ） A. 1 B. C. 2024 D. 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数，满足，且，则 = （ ） A. 1 B. 10 C. 11 D. 1024 变式1-3（填空·★★★☆☆） 已知定义在R上的函数满足且，则 = ________． 例2（单选·★★★★☆） 若，且，则 = （ ） A. -2 B. -1 C. D. 0 例3（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则 = （ ） A. 12 B. 6 C. D. 由关系式求周期 周期题的判断只看一件事：从 到 ，中间能不能消干净。做法是把关系式里的 换成 再写一遍，两式联立消掉中间项。 周期对照： → → → → → → 以第三行为例推一遍：把 换成 得 ，再把原式 代进去，即得 。其余各行都是同一套动作。 ★ 判断倍数只看一件事：关系式里的函数值有没有变号或取倒数。变了周期就翻倍；没变，周期就是那个常数。分式那种要代四次才回头，所以是 。 几个容易看错的写法： → 令 得 ， → ， → 和是常数型， → 两边减 1 再配方， → 令 ，， ★ 最后一行最容易错：题面写的是 和 ，但周期既不是 也不是 ，而是先把两个自变量之差求出来（），再取两倍（）。统一口诀：先算两个自变量之差，再看要不要翻倍。 周期与大数求值的配合（几乎每道周期题的最后一步）： 求 → 先算 的余数，化成 求 → 算一个周期的和，再用「组数×每组和 + 余项」 求 （区间外含小数）→ 加整数倍周期移进已知区间再代入 ★ 第三行容易被忽略：题干通常只给某一段区间上的解析式，遇到区间外的自变量要先用周期性平移回去。平移时优先凑成轴对称的区间，计算量最小。 周期题的固定三步： 第一步 → 把关系式里的 换成 ，写出第二式 第二步 → 两式相减（或相除），消掉中间项 第三步 → 看剩下的是不是 ，读出周期 周期与对称的结合（周期题常和对称一起考）： 为偶函数 → 关于 对称 为奇函数 → 关于点 对称 → 先化标准形，再判类型 已知周期 与一条对称轴 → 可推出另一条对称轴的位置 求值时的三个动作： 大数（如 ）→ 先取模， 负数（如 ）→ 加 的整数倍移进已知区间 求和（）→ 先算一个周期的和，再算组数与余项 ★ 取模时余数为 就取 （或 ），不要写成 就当没了 —— 两者要看清题干给的是哪一段。 例4（填空·★★★☆☆） 已知函数满足，且，则 = ______； = ______． 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 例5（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 变式5-1（填空·★★★☆☆） 若定义在上的函数满足，则的最大值是______． 例6（单选·★★☆☆☆） 定义在上的函数满足，且当时，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 变式6-1（多选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足：，且当时，，则下列说法正确的为（ ） A. 的最小正周期为2 B. 在上单调递增 C. 在上单调递增 D. 对，都有 对称性的判定 对称性只看等号两边的关系：函数值相等是轴对称，函数值加起来是常数是中心对称。 对称对照： → 关于直线 轴对称 → 关于点 中心对称 → 关于点 对称，且 → 关于直线 轴对称 → 关于点 中心对称 ★ 最实用的一条：若关于点 对称，则必有 。题目一给中心对称，先去算 是不是 ，不满足的选项直接划掉。 ★ 轴对称与中心对称不会同时成立（除非函数恒为常数），所以一旦确认是轴，就能排除所有「关于某点对称」的选项。 题面里对称的几种伪装（先化标准形）： → 令 ，，中心 → 已是标准形，中心 → 移项得 ，中心 → 令 ，，中心 → 轴 为偶函数 → 由 得轴 ★ 化标准形的固定动作：把两个括号里的自变量加起来除以 ，得到的数就是对称轴或对称中心的横坐标。上面每一行都对得上。 对称性的三条推论： 关于 对称 → ，且 处取到极值 关于 对称 → 关于 对称 → 对称与奇偶性的关系： 为偶函数 → 关于直线 对称 为奇函数 → 关于点 对称 为偶函数 → 关于直线 对称 为奇函数 → 关于点 对称 为奇函数 → 由定义式反解 的值 为偶函数 → 同样由定义式反解 判断对称中心的两个动作： 看括号 → 若形如 与 ，中心横坐标就是 看符号 → 若两者相加为常数 ，中心纵坐标就是 ；若相加为 ，中心在横轴上 ★ 中心不在横轴上时（如关于点 。 例7（单选·★★★★☆） 若偶函数满足，且当时，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★★★★☆） 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则 = （ ） A. 8 B. C. 12 D. 例8（多选·★★★★☆） 已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 是周期为的周期函数 D. 变式8-1（单选·★★★☆☆） 定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 例9（多选·★★★★☆） 已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 变式9-1（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域均为，，，，则 = （ ） A. B. C. D. 对称与周期的联动 对称和周期单独看都不难，真正考的是两者一起出现。这里只有三行结论。 两条对称轴 与 → 周期 两个对称中心 与 → 周期 一条对称轴 与一个对称中心 → 周期 以第一行为例推一遍：由 与 ，把 代进第二个式子得 ，于是 ，周期为 。 ★ 一句话记法：轴轴、心心取差的两倍；轴心取差的四倍。忘了就现场推，三步之内能出来。 常见组合的现成结果： 为奇函数 + 为偶函数 → 中心 、轴 ， 为奇函数 + 为偶函数 → 中心 、轴 ， 为偶函数 + → 轴 、中心 ， 为偶函数 + → 轴 、中心 ， 为奇函数 + 为偶函数 → 中心 、轴 ， 为奇函数 + → 中心 、 ★ 第三行是考试出现最多的组合：偶函数给一条轴，中心对称条件给一个中心，轴与中心距离为 ，所以周期是 。 反向用法（给周期求对称）： 已知轴 与周期 → 也是对称轴 已知中心 与周期 → 也是对称中心 已知轴 与 → 是中心 已知中心 与 → 是轴 ★ 周期为 时最好用：轴与中心每隔 个单位交替出现，知道一条轴就能把其余三条对称要素全写出来。 ★ 注意与「对称轴之间的距离」区分： 且 时，轴为 与 ，距离为 ，周期是 ——不要把轴之间的距离直接当成周期。 为什么轴轴取两倍、轴心取四倍： 轴轴 → 一次翻折回到同侧，再翻折一次回到原位 → 走两段距离 心心 → 绕一个中心转半圈，再绕另一个中心转半圈 → 同样走两段距离 轴心 → 翻折一次再旋转半圈，方向变了 → 要四段距离才复位 ★ 想不清楚就用具体函数试： 取 ，它关于 与 都对称（轴轴），周期是 ；两点距离为 ，周期的确是距离的两倍。 轴心组合的方向（容易记反）： 轴 、中心 → 中心 、轴 → （与上一行相同） 轴 、轴 → 中心 、中心 → ★ 只按「对称要素的类型」判断，与谁先谁后无关：两个同类型（轴轴或心心）就是两倍，一轴一心就是四倍。 例10（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则 = （ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 变式10-1（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（ ） A. 是偶函数 B. C. 的图象关于对称 D. 例11（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则 = （ ） A. B. C. D. 变式11-1（单选·★★★★☆） 已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 例12（单选·★★★★☆） 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则 = （ ） A. 4047 B. 4048 C. 4049 D. 4050 变式12-1（单选·★★★★☆） 已知是上的偶函数，且满足，若在上单调递减，且，则在上的最小值是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 抽象函数的周期与对称性 函数与导数 · 专题篇 特例函数与赋值法 抽象函数题只给关系式、不给解析式。破题第一步，是先找它在具体函数里的影子 ——看到一个方程，如果立刻想到「这不是 的恒等式吗」，后面的选项就能代进去验。 影子库（对照表）：拿到关系式先在这里找一行。 → （正比例） → （只差一个常数） → （指数） → （对数） → （系数随另一个变量走） → （积化和差） → （正切加法） → （奇函数） → （偶函数） ★ 用法：拿到关系式先在表里找一行，找到后那个具体函数就是「样板」；把样板代进各个选项，对的留下、错的划掉，比凭空推演快得多。 ★ 记不住表就记变量：自变量相加、函数值相加→正比例；自变量相加、函数值相乘→指数；自变量相乘、函数值相加→对数；自变量相乘、函数值相乘→幂函数。 ★ 赋值三连：求 令 ；判奇偶性令 ；求 令 、。这三下能解掉大半的选择题。 同一组关系式的不同写法（认脸用）： → 周期为 2 → 周期为 2 → 奇函数 → 偶函数 → 关于点 中心对称 → 关于直线 轴对称 ★ 判断口诀一句：两边相加是中心，两边相等是轴；自变量加常数推周期。 抽象函数方程的三步破法： 第一步，赋值。用特殊值把 、 这些锚点先求出来： 想求 → 令 想判奇偶性 → 令 想求 → 令 、 想找周期 → 令 或 想判单调性 → 取 ，算 的符号 第二步，找特例。回到上面的对照表，看哪个具体函数满足它，用它检验各选项。 第三步，验证。由特例往往能直接排除两三个选项，剩下的再用赋值法逐条算。 ★ 两个陷阱：一是令 时忘了先把 求出来，式子会对不上；二是含常数项的方程（如 ）不能直接套标准型结论，要先设 化成标准形。 ★ 从方程形状反推函数类型：加法到加法是一次函数，加法到乘法是指数函数，乘法到加法是对数函数，乘法到乘法是幂函数，和差配方型是三角函数。 例1（解答·★★★★★） 已知函数 的定义域为 ，，，，且 ， 在区间 上单调递减．(1)求证：；(2)求 的值；(3)求不等式 的解集． 【切入点】 是余弦型恒等式，样板是 。三问的通道都是同一个动作：给 、 赋特殊值。 【关键】（1）要证 ，就让两个自变量都取 ：，即 。 （2）令 ： ①。把 换成 得 ，即 ，代入 ① 的右边得 ，所以 ，再换成 ，周期 。赋值求值：令 、 得 ；令 得 ；由 依次得 ，，，。一个周期内六项之和为 。因为 ，故原式等于 。 【关键】（3）令 ：，由 得 。代入原不等式：，整理得 ，即 ，所以只能取等号：。再由 代入原恒等式得 ，故 为偶函数。由周期 与 ，结合偶性得解集为 。 【易错】三处关键动作：（1）把两个自变量都取 ，是为了让 、；（2）周期那一步要用两个式子相减消去 ，直接硬代看不出周期；（3）把 用恒等式降成 的二次式，是本题唯一的突破口。另外第（3）问容易漏掉 那一支 —— 那是偶函数带来的。所以 ，不等式的解集为 。 【答案】所以 ，不等式的解集为 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，且，则 = （ ） A. 1 B. C. 2024 D. 【切入点】 与余弦同族，先赋值求 ，再令 得到递推。 【关键】令 、：，由 得 。令 ： ①。把 换成 ：，代入 ① 得 ，所以 ，即 ，推得 ，周期为 。由 得 。令 ：，即 ，得 。选 B。 【易错】递推式 想直接看出周期不容易，标准做法是把 换成 得到第二个式子，再与原式相减消去中间项，这样才得到 。所以 。 【答案】B 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数，满足，且，则 = （ ） A. 1 B. 10 C. 11 D. 1024 【切入点】方程里多了一个常数 ，形如 。先求 定基准，再作换元化成标准型。 【关键】令 ：，得 。设 ，则 ，是标准「乘法变加法」型。由 得 ；又 ，故 。于是 。选 C。 【易错】含常数的方程必须先换元，不能直接套标准型结论。本题的关键是 这一条，它把 定了下来。所以 。 【答案】C 变式1-3（填空·★★★☆☆） 已知定义在R上的函数满足且，则 = ________． 【切入点】方程里除了 、 还多一项 ，这时候令 就能把二维关系压成一维递推。 【关键】令 ：，即 。累加：，所以 ，。 【易错】累加时下限从 开始、上限到 ，容易多算一项。验一下： 时右边为 ，对得上。本题的样板是 ，可用它直接检验。所以 。 【答案】所以 例2（单选·★★★★☆） 若，且，则 = （ ） A. -2 B. -1 C. D. 0 【切入点】余弦型恒等式。先把 、 代成特殊值求出 ，再令 得到只含 的递推式。 【关键】令 、：，由 得 。令 ：，得 ，所以 为偶函数。令 ： ①。把 换成 ： ②。由 ① 得 ，在 ② 中把 换成 ： ——与 ① 相同。改用 ② 的 与 ① 联立：由 ② 得 ，代入 ①：，所以 ，即 ，周期 。求值：令 于 ①：，得 ；令 于 ①：，得 ；令 于 ①：，得 。三个下标对 取余分别为 、、，故原式的值为 。选 A。 【易错】周期是 不是 ：由 再代一次才回到原值。另外令 、 时要靠题目给的 才能约分，这一步要说明理由。所以 。 【答案】A 例3（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则 = （ ） A. 12 B. 6 C. D. 【切入点】 是「乘法变加法」型，样板函数是对数函数。题目给了 ，先把这两个自变量乘起来，凑成一个已知值。 【关键】令 ：，得 。由已知 。再把 与 相乘凑成 ：，所以 。最后 ，故 。选 D。 【易错】这类题的固定套路是凑 ：已知 求 ，用 。另外要把目标数拆成已知数的幂，本题 是关键一步。所以 。 【答案】D 由关系式求周期 周期题的判断只看一件事：从 到 ，中间能不能消干净。做法是把关系式里的 换成 再写一遍，两式联立消掉中间项。 周期对照： → → → → → → 以第三行为例推一遍：把 换成 得 ，再把原式 代进去，即得 。其余各行都是同一套动作。 ★ 判断倍数只看一件事：关系式里的函数值有没有变号或取倒数。变了周期就翻倍；没变，周期就是那个常数。分式那种要代四次才回头，所以是 。 几个容易看错的写法： → 令 得 ， → ， → 和是常数型， → 两边减 1 再配方， → 令 ，， ★ 最后一行最容易错：题面写的是 和 ，但周期既不是 也不是 ，而是先把两个自变量之差求出来（），再取两倍（）。统一口诀：先算两个自变量之差，再看要不要翻倍。 周期与大数求值的配合（几乎每道周期题的最后一步）： 求 → 先算 的余数，化成 求 → 算一个周期的和，再用「组数×每组和 + 余项」 求 （区间外含小数）→ 加整数倍周期移进已知区间再代入 ★ 第三行容易被忽略：题干通常只给某一段区间上的解析式，遇到区间外的自变量要先用周期性平移回去。平移时优先凑成轴对称的区间，计算量最小。 周期题的固定三步： 第一步 → 把关系式里的 换成 ，写出第二式 第二步 → 两式相减（或相除），消掉中间项 第三步 → 看剩下的是不是 ，读出周期 周期与对称的结合（周期题常和对称一起考）： 为偶函数 → 关于 对称 为奇函数 → 关于点 对称 → 先化标准形，再判类型 已知周期 与一条对称轴 → 可推出另一条对称轴的位置 求值时的三个动作： 大数（如 ）→ 先取模， 负数（如 ）→ 加 的整数倍移进已知区间 求和（）→ 先算一个周期的和，再算组数与余项 ★ 取模时余数为 就取 （或 ），不要写成 就当没了 —— 两者要看清题干给的是哪一段。 例4（填空·★★★☆☆） 已知函数满足，且，则 = ______； = ______． 【切入点】 是三项递推，先把相邻几项算出来，再看周期。 【关键】由递推式：；；，得 ，。再算 。由递推式可得 ，故周期为 。一个周期内 到 依次为 ，和为 。因为 ，故 。 【易错】求周期那一步要自己从递推式推：由 ，代入 ，得 ，再代一次即为周期 。另外求和时余项只有 项，别按 项算。所以 ，且 。 【答案】所以 ，且 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】关系式里两个自变量相差 ，先平移成标准形，再求周期。 【关键】令 ，则 ，原式化为 ，故周期为 。又 为奇函数，即 ，说明 关于点 对称，所以 ，A 正确。由周期 ：（加 ），C 正确。B 项：由关于 对称，；由周期 ，；再由对称 。于是 恒成立，B 正确。D 项：，而由周期与对称 ，得 ，D 错误。选 D。 【易错】第一步必须先把 与 的差化成标准形：两者相差 ，所以 ，周期是 而不是 。这类「差 带负号」的写法，周期是差的两倍。所以结论错误的是 D。 【答案】D 例5（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 也是三项递推，先推周期，再用已知的大小关系定符号。 【关键】由 逐次代入，可得 ，周期为 。于是 ，，（都减去 的倍数）。由 得 ；由 得 。又 ，，，三式相加得 。又 ，且 ，结合前面的不等式可定出 与 的符号：由 ，，而 ，代入整理可得 。选 C。 【易错】本题的关键是先用周期性把 、、 拉回一个周期内，再利用递推式建立 、 与已知函数值的关系。直接对 硬算会绕远。所以 ，选 C。 【答案】C 变式5-1（填空·★★★☆☆） 若定义在上的函数满足，则的最大值是______． 【切入点】根号里是 ，这种形状提示先配方，配方之后关系式会变成熟悉的平方和形式。 【关键】由 得 ，两边平方整理得 。把 换成 再写一遍并相减，得 ，周期为 ，所以 。目标化为 。令 ，，由平方和得 ，且根号要求 ，故 。目标是 ，由 得 ，最大值 。 【易错】两处容易漏：一是配方后要用平方和才能推周期，直接开根号会把符号丢掉；二是求最值要用柯西不等式 ，并且要检查取等条件 能与 同时成立。所以最大值是 。 【答案】所以最大值是 例6（单选·★★☆☆☆） 定义在上的函数满足，且当时，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 【切入点】 两个自变量相差 ，把 记作 就是标准周期式。 【关键】令 ，得 ，周期为 。于是 。因为 ，代入 ，得 。选 D。 【易错】往区间 平移时加 的整数倍即可：，一步到位。另外要看清落在 还是 —— 两段解析式不同。所以 。 【答案】D 变式6-1（多选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足：，且当时，，则下列说法正确的为（ ） A. 的最小正周期为2 B. 在上单调递增 C. 在上单调递增 D. 对，都有 【切入点】 是「和是常数」型，把 换成 再写一遍，两式相减即得周期。 【关键】由 ①，把 换成 得 ②，①② 得 ，故 是周期。再由 ① 取 ：，而 ，所以 ，可见 不是周期，最小正周期为 ，A 正确。 【关键】当 时 ， 在这个区间上恒小于零，函数递减。 与 相隔 个周期，故同样递减，B 错。又由 ① 得 ：一个区间上递减，下一个区间上必递增，故 上递增；而 ， 与 对应，C 正确。 【关键】D 项：由周期 ，，。于是 ，两边相等，D 正确。选 ACD。 【易错】B、C 两项要先把区间平移到已知区间再比较单调性： 递减，由 立得 递增。D 项不能只停在 上就判断符号：要把 代进去算出 ，再拿具体值去验 与 是否相等。所以正确的是 ACD。 【答案】ACD 对称性的判定 对称性只看等号两边的关系：函数值相等是轴对称，函数值加起来是常数是中心对称。 对称对照： → 关于直线 轴对称 → 关于点 中心对称 → 关于点 对称，且 → 关于直线 轴对称 → 关于点 中心对称 ★ 最实用的一条：若关于点 对称，则必有 。题目一给中心对称，先去算 是不是 ，不满足的选项直接划掉。 ★ 轴对称与中心对称不会同时成立（除非函数恒为常数），所以一旦确认是轴，就能排除所有「关于某点对称」的选项。 题面里对称的几种伪装（先化标准形）： → 令 ，，中心 → 已是标准形，中心 → 移项得 ，中心 → 令 ，，中心 → 轴 为偶函数 → 由 得轴 ★ 化标准形的固定动作：把两个括号里的自变量加起来除以 ，得到的数就是对称轴或对称中心的横坐标。上面每一行都对得上。 对称性的三条推论： 关于 对称 → ，且 处取到极值 关于 对称 → 关于 对称 → 对称与奇偶性的关系： 为偶函数 → 关于直线 对称 为奇函数 → 关于点 对称 为偶函数 → 关于直线 对称 为奇函数 → 关于点 对称 为奇函数 → 由定义式反解 的值 为偶函数 → 同样由定义式反解 判断对称中心的两个动作： 看括号 → 若形如 与 ，中心横坐标就是 看符号 → 若两者相加为常数 ，中心纵坐标就是 ；若相加为 ，中心在横轴上 ★ 中心不在横轴上时（如关于点 。 例7（单选·★★★★☆） 若偶函数满足，且当时，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】题目给了两个对称条件（偶函数 + ），先把目标自变量化到已知区间 上。 【关键】由 为偶函数知对称轴 ；由 知对称轴 。两条轴距离为 ，故周期 。，减两个周期得 ，它落在 。再用对称轴 翻折：，而 ，落在 内。代入解析式：。选 B。 【易错】两步化简不能省：先用周期性把自变量减到 ，再用对称性翻到 。只做第一步会停在 ，而解析式只给了 。另外计算 时，用 通分最快。所以 。 【答案】B 变式7-1（单选·★★★★☆） 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则 = （ ） A. 8 B. C. 12 D. 【切入点】题目给 关于某点对称，要算交点纵坐标之和 ——只要 关于同一个点也对称，交点就能成对配对。 【关键】由 移项得 ，故 关于点 对称。再验证 ：，所以 也关于点 对称。两函数的交点关于 两两配对，每对的两个交点横坐标之和为 、纵坐标之和为 。题目说有 个交点，配成 对，故纵坐标总和为 ——但交点中还包含中心本身被重复计算的项，按对称中心成对求和得 。选 A。 【易错】判断 的对称中心时，把 代进去看是否等于 ，这一步是本题唯一的技巧点。另外注意 与 的对称中心必须相同，交点才能配对。所以交点纵坐标之和为 8。 【答案】A 例8（多选·★★★★☆） 已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 是周期为的周期函数 D. 【切入点】题目给了 是奇函数、 满足 。先把 的对称性翻译成 的性质。 【关键】由 ：，即 。对 得 ，故 关于点 对称（B 正确， 时由 也对得上）。又 为奇函数，关于 对称 —— 两个中心距离为 ，故周期 ，C 正确。由 与奇函数得 ；由周期 得 ，再算 ，A 错。D 项：一个周期内 ，而 ，故 ，D 正确。选 BCD。 【易错】A 项最容易算错：，括号里是 而不是 ，别漏乘。另外把 的对称性翻译成 的对称性时，要同除以 ，这一步要求 ， 的情形要单独验证。所以正确的是 BCD。 【答案】BCD 变式8-1（单选·★★★☆☆） 定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个条件分别给出奇偶性与单调性，做法是把负数用偶性翻成正数，再用单调性比大小。 【关键】由 得 ，所以 是偶函数；由 上差的商大于零知 在正半轴递增。翻正三个数：，， 不变。比较 ，由递增性得 ，即 。选 A。 【易错】 与 的大小要熟：，。翻正之后再比大小，顺序就不会乱。所以 。 【答案】A 例9（多选·★★★★☆） 已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个方程把 与 关联起来，做法是消去 ，只留下 的关系式，再用 是偶函数这一条。 【关键】由 ①，把 换成 ： ②。由 ③，把 换成 ： ④。②④ 并注意 为偶函数（）：，再令 得 ，故周期 。A 项：由周期与偶性可验证 ，正确。B 项：由周期 得 ，正确。C 项：，由 ① 取 ：；由 得 ，故 需另算，C 不一定成立。D 项：由周期 与 的取值规律，，一个周期内三个值之和为 ，共 ，正确。选 ABD。 【易错】消去 时注意自变量要同步替换：① 里 换成 后， 变成 ，这一步容易只换左边的 、漏掉括号里的。所以正确的是 ABD。 【答案】ABD 变式9-1（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域均为，，，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两个方程把 与 关联，做法是消去 ，得到只含 的递推或对称关系。 【关键】由 ①，把 换成 ： ②。由 ③，把 换成 ： ④。②④ 得 ，令 得 ，故 的周期为 。于是 ，，而 与 相差 ，由 得两者之和为 。选 B。 【易错】消元时两个方程的自变量要替换成同一个：先把 ① 化成含 的形式，再把 ③ 也化成含 的形式，这样相减才能消掉 。直接硬代会绕远。所以 。 【答案】B 对称与周期的联动 对称和周期单独看都不难，真正考的是两者一起出现。这里只有三行结论。 两条对称轴 与 → 周期 两个对称中心 与 → 周期 一条对称轴 与一个对称中心 → 周期 以第一行为例推一遍：由 与 ，把 代进第二个式子得 ，于是 ，周期为 。 ★ 一句话记法：轴轴、心心取差的两倍；轴心取差的四倍。忘了就现场推，三步之内能出来。 常见组合的现成结果： 为奇函数 + 为偶函数 → 中心 、轴 ， 为奇函数 + 为偶函数 → 中心 、轴 ， 为偶函数 + → 轴 、中心 ， 为偶函数 + → 轴 、中心 ， 为奇函数 + 为偶函数 → 中心 、轴 ， 为奇函数 + → 中心 、 ★ 第三行是考试出现最多的组合：偶函数给一条轴，中心对称条件给一个中心，轴与中心距离为 ，所以周期是 。 反向用法（给周期求对称）： 已知轴 与周期 → 也是对称轴 已知中心 与周期 → 也是对称中心 已知轴 与 → 是中心 已知中心 与 → 是轴 ★ 周期为 时最好用：轴与中心每隔 个单位交替出现，知道一条轴就能把其余三条对称要素全写出来。 ★ 注意与「对称轴之间的距离」区分： 且 时，轴为 与 ，距离为 ，周期是 ——不要把轴之间的距离直接当成周期。 为什么轴轴取两倍、轴心取四倍： 轴轴 → 一次翻折回到同侧，再翻折一次回到原位 → 走两段距离 心心 → 绕一个中心转半圈，再绕另一个中心转半圈 → 同样走两段距离 轴心 → 翻折一次再旋转半圈，方向变了 → 要四段距离才复位 ★ 想不清楚就用具体函数试： 取 ，它关于 与 都对称（轴轴），周期是 ；两点距离为 ，周期的确是距离的两倍。 轴心组合的方向（容易记反）： 轴 、中心 → 中心 、轴 → （与上一行相同） 轴 、轴 → 中心 、中心 → ★ 只按「对称要素的类型」判断，与谁先谁后无关：两个同类型（轴轴或心心）就是两倍，一轴一心就是四倍。 例10（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则 = （ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 【切入点】题目给了一个奇函数和一个偶函数条件，这正好对应「一个对称中心 + 一条对称轴」，套联动结论即可得周期。 【关键】 为奇函数，故关于点 对称； 为偶函数，即 ，故对称轴为 。一条轴与一个中心，距离为 ，周期 。于是 。由对称轴 ：；由奇函数：。所以 。选 A。 【易错】 为偶函数等价于 关于 对称，不要误读成「 是偶函数」。判断依据： 为偶函数即 ，括号内相加为 ，除以 得 ，故轴为 。 【答案】A 变式10-1（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（ ） A. 是偶函数 B. C. 的图象关于对称 D. 【切入点】两个条件给出一条轴（ 偶）与一个中心（ 奇），先用联动结论定周期，再把选项里的自变量翻到已知区间。 【关键】 为奇函数：，故对称中心为 ，且 。 为偶函数：，故对称轴为 。轴与中心距离为 ，周期 。由周期得 ，B 正确。由中心与周期可推出 ，即 为偶函数，A 正确。中心为 ，由周期 得 也是中心；再结合轴 ，可验证 也是对称中心，C 正确。 【关键】看 D 项：把两个自变量都用周期与对称翻进 。 加一个周期得 ，再由轴 翻折： —— 按对称轴公式 ，取 得 。同理 。因为 ，而 在 上递增（题干给的），所以 ，即 。D 项写的是 ，方向相反，D 错误。选 D。 【易错】判断 为奇函数给出的是中心 ：把自变量凑成 与 ，相加除以 得 。另外比大小时必须先全部翻进同一个单调区间，本题是 ，不翻就直接比会把方向搞反。所以结论错误的是 D。 【答案】D 例11（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两个条件分别是「 加常数后为奇」「 平移后为偶」，先把它翻译成 的对称中心与对称轴，再套联动结论。 【关键】 为奇函数：，得 ，故 关于点 对称。 为偶函数：，故对称轴为 。一条轴与一个中心，距离为 ，周期 。求和范围为 到 ，恰是两个周期。由关于点 对称得 ，且 ；由轴 得 、，再由中心对称得 、 等。逐项配对可得一个周期内八项之和为 ，故两个周期之和为 。选 B。 【易错】 为奇函数给出的是 ，对称中心是 而不是原点。把常数项漏掉，后面的配对求和就全错。所以 。 【答案】B 变式11-1（单选·★★★★☆） 已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】 为偶函数给出一条轴， 给出一个中心，两者配合得周期。 【关键】 为偶函数：，即 关于直线 对称。 即 关于点 对称。轴 与中心 距离为 ，周期 。于是 ，。由中心对称 ，且 ；再由轴 得 ，结合 得 。故 。选 B。 【易错】 为偶函数给出的对称轴是 ，不是 ：由 知括号内自变量相加为 ，除以 得 。这一步看反，周期就求错。所以 。 【答案】B 例12（单选·★★★★☆） 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则 = （ ） A. 4047 B. 4048 C. 4049 D. 4050 【切入点】 给出周期信息， 为奇函数给出对称中心，两者配合求出周期。 【关键】由 得 ，故周期为 。 为奇函数：，即 ，故 关于点 对称。由 与周期 得 ；由周期与对称性可逐一算出 、、，得一个周期内四项之和为 。因为 ，故 ，代入得 。选 C。 【易错】求对称中心时常数 2 不能丢： 为奇函数意味着 ，中心是 ，不是 。另外求和时余项是 项，别写错。所以 。 【答案】C 变式12-1（单选·★★★★☆） 已知是上的偶函数，且满足，若在上单调递减，且，则在上的最小值是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是对称中心条件，先把自变量凑成 与 的形状。 【关键】令 ，则 ，原式化为 ，故 关于点 对称。又 为偶函数，即关于 对称 —— 一条轴 加一个中心 ，距离为 ，周期 。由中心对称得 ；由偶性与周期可把 上的图象补全：，，再由关于 对称得 。故在一个周期内最小值为 ，即 在 上的最小值为 。选 B。 【易错】偶函数给的是轴，相加为 给的是中心，一组合就是 倍距离。求最小值时要先把图象补全到一个完整周期，只画半段容易把符号读反。所以 在 上的最小值为 。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $